2018年春八年级北师大版数学下册同步(练习)：4.3 公式法 第1课时
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
2018春北师大版八年级下册数学第四章3公式法
7. 已知：A=4x+y，B=4x-y，计算A2-B2.
解：∵A=4xA+B）（A-B）
=（4x+y+4x-y）（4x+y-4x+y）
=8x· 2y
=16xy.
新知2 用完全平方公式因式分解 8. 9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2因式分解的结 果是（ A ）
3. 下列各式分解因式，正确的是（ A ）
A. 4a2+4a+1=（2a+1）2
B. a2-4b2=（a-4b）（a+b）
C. a2-2a-1=（a-1）2
D. a2+b2=（a+b）（a-b）
4. 为了应用平方差公式计算（a-b+c）（a+b-c）， 必须先适当变形，下列变形正确的是（ D ） A. ［（a+c）-b］［（a-c）+b］ B. ［（a-b）+c］［（a+b）-c］ C. ［（b+c）-a］［（b-c）+a］ D. ［a-（b-c）］［a+（b-c）］
D. 3（x+1）（x+3）
3. 下列多项式因式分解的结果是（x+y-z）（x-y+z）
的是（ D ）
A. x2-（y+z）2
C. -（x-y）2+z2
B. （x-y）2-z2
D. x2-（y-z）2
4. 若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A
）
A. -21
北师大版八年级数学下册 4.3公式法 同步练习试题
4.3公式法 同步练习题一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2+y 2=（x+y ）（x －y ）B ．x 2－y 2=（x+y ）（x －y ）C ．x 2+y 2=（x+y ）2D ．x 2－y 2=（x －y ）22．下列各式不是完全平方式的是（ ）A ．x 2+4x+1B ．x 2－2xy+y 2C ．x 2y 2+2xy+1D ．m 2－mn+n 2 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．m 2－mn+n 2B ．（a+b ）2－4abC ．x 2－2x+D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（x+2）（x －▲） 中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，85．若a+b=4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ）A ．8B ．16C ．2D ．4二、填空题6．分解因式：a 3－4a=______．7．已知x 2－y 2=69，x+y=3，则x －y=______．8．把a 2b+b 3－2ab 2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果___________．三、计算题10．分解因式：（x 2+4）2－16x 2．141411．已知a，b，c为 ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断 ABC的形状．12．在边长为179m的正方形农田里，修建一个边长为21m的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？提高题四、解答题13.若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．14.若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．15.若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．16.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）·（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时， 用上述方法产生的密码是_________．（写出一个即可）17．多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可）18.是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98 时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数，若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．19.已知a －b=，ab=，求－2a 2b 2+ab 3+a 3b 的值．20．（阅读理解题）观察下面计算过程：（1－）（1－）=（1－）（1+）（1－）（1+）=×××=×； （1－）（1－）（1－）=×××××=×； （1－）（1－）（1－）（1－）=×××××××=×；… 你发现了什么规律？用含n 的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出（1－）（1－）（1－）（1－）（1－）…（1－）的值．121821221312121313123223431243212213214123223433454125421221321421512322343345445651265212213214212007参考答案一、1．B2．A3．B4．B5．B二、6．a（a+2）（a－2）7．238．b（a－b）29．am2+2am+a=a（m+1）2三、10．解：（x2+4）2－16x2=（x2+4）2－（4x）2=（x2+4+4x）（x2+4－4x）=（x+2）2（x－2）2．11．解：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，所以（a+b）2=（a+c）2．因为a，b，c为三角形三边，所以a+b=a+c．所以b=c．所以 ABC为等腰三角形．12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）13．解：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为a+b=1，ab=－1，所以a2+b2=12－2×（－1）=3．14．解：因为9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）= （3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．所以 所以 所以m+n+p=+1+2=． 15．解：（1012+25）2－（1012－25）2=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n ．所以n=14．16．103010或301010或101030解：4x 3－xy 2=x （4x 2－y 2）=x （2x+y ）（2x －y ）．当x=10，y=10时，2x+y=30，2x －y=10．所以x （2x+y ）（2x －y ）103010，（2x+y ）（2x －y ）301010（2x －y ）x （2x+y ）101030．17．±4x 或4x 4或－1或－4x 218．解：假设存在这样的正整数m ，由题意得m+98=x 2，m+121=y 2， ． － 得y 2－x 2=23．所以（y+x ）（y －x ）=23×1．只有当x+y=23，y －x=1时， 成立，即 解得 所以m=x 2－98=112－98=121－98=23．19.解：－2a 2b 2+ab 3+a 3b=－ab （2ab －b 2－a 2）=ab （b 2－2ab+a 2）=ab （a －b ）2． 当a －b=，ab=时，原式=ab （a －b ）2=×（）2=×．320,20,20.m n n p p -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩2,31,2.m n p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩23113⇒⇒⇒23,1.x y y x +=⎧⎨-=⎩1112.x y =⎧⎨=⎩121818121811432=20．解：（1－）（1－）…（1－）=×××…××=×=． 当n=2007时，上式=．21221321n 1232231n n -1n n +121n n +12n n +200711004220072007+=⨯。
北师大版八年级数学下册4.3公式法(1)
1 2 b 4
第四环节 活动内容：
落实基础
1、判断正误： （1） x2+y2= （x+y） (x–y) （3） –x2+y2=– （x+y） (x–y) 2、把下列各式因式分解： ( ( ) ) （2） x2–y2= （x+y） (x–y) （4） –x2–y2=– （x+y） (x–y) ( ( ) )
第六环节 巩固练习
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
1.把下列各式分解因式：
2.简便计算
第七环节 教学内容：
联系拓广
例 3、如图，在一块边长为 a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长 为 b 的正方形． 用 a 与 b 表示剩余部分的面积， 并求当 a=3.6， b=0.8 时的面积． 问题解决： 如图， 大小两圆的圆心相同， 已知它们的半径分别是 R cm 和 r cm，求它们所围成的环形的面积。如果 R=8.45cm,r=3.45cm 呢？
第八环节
自主小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
课后反思：
２
） 的形式。
２
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 试一试 写一写
八年级数学导学案第 4 课时
下列多项式能转化成（ 如果能，请将其转化成（ ） －（ ） －（
２ ２
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
） 的形式吗？ ） 的形式。
２ ２
第三环节
范例学习
活动内容：例 1 把下列各式因式分解： （1）25–16x2 （2）9a2–
填空： （1） （x+5） （x–5） = （3） （3m+2n） （3m–2n）= 它们的结果有什么共同特征？
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》课时练习
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》课时练习一、选择题1.多项式①2x 2﹣x ，②(x ﹣1)2﹣4(x ﹣1)+4，③(x+1)2﹣4x(x+1)+4，④﹣4x 2﹣1+4x ； 分解因式后，结果含有相同因式的是( )A.①④B.①②C.③④D.②③2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a 2+(﹣b)2B.5m 2﹣20mnC.﹣x 2﹣y 2D.﹣x 2+93.下列多项式中不能用公式法分解的是( )A.－a 2－b 2＋2abB.a 2＋a ＋14C.－a 2＋25b 2D.－4－b 2 4.若a ＋b=5，ab=－24，则a 2 ＋b 2的值等于( )A.73B.49C.43D.235.若m ≠n ，下列等式中其中正确的有 ( )①(m-n)2=(n-m)2;②(m-n)2=-(n-m)2;③(m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n);④(-m-n)2=(m-n)2;A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列计算中：①x(2x 2﹣x+1)=2x 3﹣x 2+1；②(a+b)2=a 2+b 2；③(x ﹣4)2=x 2﹣4x+16；④(5a ﹣1)(﹣5a ﹣1)=25a 2﹣1；⑤(﹣a ﹣b)2=a 2+2ab+b 2，正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.若M 的值使得x 2+4x+M=(x+1)2-1成立，则M 的值为( ).A.5B.4C.3D.28.将9.52变形正确的是( )A.9.52=92＋0.52B.9.52=(10＋0.5)(10－0.5)C.9.52=102－2×10×0.5＋0.52D.9.52=92＋9×0.5＋0.529.若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=( )A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为( )A.255054B.255064C.250554D.255024二、填空题11.简便计算：7.292﹣2.712= .12.若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，则a= ，b= .13.在一个边长为12.75 cm的正方形内挖出一个边长为7.25 cm的正方形，则剩下部分的面积为_______________.14.已知(x+y)2=4,(x-y)2=3,则xy= .三、解答题15.因式分解：16﹣(2a+3b)216.因式分解:x2-8(x-2).参考答案1.A.2.D.3.D4.A；5.B；6.A.7.C.8.C9.D.10.D.11.答案为：45.8.12.答案为：a=2，b=1.13.答案为：110cm214.答案为：1/415.原式=(4+2a+3b)(4-2a-3b).16.原式=x2-8(x-2)=x2-8x+16=(x-4)2.。
北师大版初二数学下册4.3运用公式法(1)
4.3公式法(一)一、知识点：1因式分解与整式乘法的互逆关系2、用平方差公式分解因式3、因式分解的一般步骤：先考虑用提公因式法，然后再用平方差公式分解因式。
二、教学目标：知识与技能：使学生了解整式乘法中的平方差公式与因式分解的互逆关系，会用平方差公式进行因式分解；使学生了解公式法分解因式的一般步骤：提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.过程与方法：发展学生的观察能力和逆向思维能力；培养学生对平方差公式的运用能力.情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.三、重点难点：重点：运用平方差公式进行因式分解难点：正确把多项式看成两个数或式的平方差，运用平方差公式进行因式分解教学过程：四、回顾旧知(出示课件2)(1)(x+3) (xH3) = __________________ ；(2)_____________________________ (4x+y) (4x-) = ；(3)_____________________________ (1+2x) (1 Ex) = ；(4)(2a+b-c) (2a-b-c) = _____________ .根据上面式子填空：(1)x2-9= __________________ ；(2)_________________________ 16X2-2=；(3)________________________ 4a2-y2= ；(4)_______________________ 1 -4x2= .活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力.注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系.五、探究新知(出示课件3)活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a2 -b2= (a+b) (a -b)活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征.注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成.六、例题讲解：活动内容：把下列各式因式分解：（出示课件4、5）2 2 1 2（1）25-6x （2）9a — b4活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力.注意事项：学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误.同步巩固：（课件6、7）活动内容：（出示课件8、9）将下列各式因式分解：（1）9 （m-n）2- （m+n）2活动目的：让学生理解在平方差公式a2 -）2=（a+b）（a-b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；（2）2x3-8x活动目的：使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式.反馈练习活动内容：1、把下列各式因式分解：（出示课件10、11）活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏.注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来.学生反思（学生回答之后出示课件12、13）活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式;。
北师大版八年级下册数学课件公式法第1课时平方差公式
课堂导练
*12.若 xn－1＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)，则 n 等于( D )
A．16
B．4 C．6 D．8
【点拨】∵(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)＝ (x4－1)(x4＋1)＝x8－1＝xn－1，∴n＝8.
课堂导练
13．(中考·凉山州)多项式 3x2y－6y 在实数范围内分解因式正确
精彩一题 19．分解因式：x2－4y2－2x＋4y.细心观察这个式子就会发现，
前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式， 前、后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因 式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x ＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种 分解因式的方法叫做分组分解法．请利用这种方法解决下列 问题：
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2＝10 000；
课后训练 (2)251202－0020482；
解：原式＝（252＋248）10×00（0 252－248）＝510000×004＝5；
1 (3)5011
2－4911102.
原式＝50111＋491110×50111－491110＝100×121＝21010.
课堂导练
3．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( A ) A．－m4－n4 B．－16x2＋y2 C．1.96－x2 D．a2－14b2
课堂导练
4．(2019·贺州)把多项式 4a2－1 分解因式，结果正确的是( B ) A．(4a＋1)(4a－1) B．(2a＋1)(2a－1) C．(2a－1)2 D．(2a＋1)2
公式法(第1课时)八年级数学下册课件(北师大版)
呢？（=3.14）
解:R2-r2
=（R2-r2）
= (R+r)(R-r)
当R=8.45，r=3.45时,
原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
=186.83 cm2
体验新知 学以致用
3.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
将下列各式分解因式：
(2) (x+m)2-(x+n)2
a2 - b2 =
( a +b ) ( a - b )
(2) (x+m)2 - (x+n)2 =[ (x+m) + (x+n) ] · [ (x+m) - (x+n) ]
=(2x+m+n)(m-n)
归纳总结 认知升华
方法总结：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的
多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
1. 找出公式中的a、b;
2. 转化成a2－b2的形式；
3. 根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
典例探究 深化新知
将下列各式分解因式：
(1)x4－y4
解： 原式＝(x2)2－(y2)2
＝(x2+y2)(x2－y2)
式分解。
差公式的方法。
培养学生逆向思维的意
识，同时让学生了解换
元的思想方法。
教学重难点
教学重点
让学生掌握用平方差公式因式分解。
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第四章 因式分解
3 公式法（第1课时）
基础导练
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A.224x y +
B.281a -+
C.225m n --2
D.221p p -+
2.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（
）
A.46-b
B.64b -
C.46+b
D.94b - 3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.22b a +-
B.22249m y x -
C.22y x --
D.242516n m -
4.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）
A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
5.不论b a ,为何有理数, c b a b a +--+4222的值总是非负数,则c 的最小值是
( )
A. 4 B . 5 C. 6 D.无法确定
6.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则b
a 的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.2
1- 8.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________.
9.已知03442=-+++b a a ，则b a += .
10.分解因式：24
11x x +-= .
能力提升
11.利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1)22199201
- （2）01.099.199.12⨯+
12.把下列各式分解因式：
（1）22254y x -
（2） y y x -2
（3）()224z y x --
（4）22)()(16b a b a +--
（5）y x xy 33273+-
(6) 2222416a x a y -
(7)a a a 6)8)(2(+-+
(8)4481y x -
(9)22)3()32(4q p q p --+ (10)22)(196)(169b a b a +--
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.B
6.B
7.±8 8.1 9.2)12
1(-x 10.(1)800;(2)3.98;
11.(1)(2x+5y)(2x-5y); (2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z); (4)(5a-3b)(3a-5b);
(5)-3xy(y+3x)(y-3x); (6)4a 2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4); (8))3)(3)(9(22y x y x y x -++;
(9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);。