第三章 线性规划的计算机求解(mooc)韩老师修订版
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
管理运筹学 第三版韩伯棠 考点归纳
１.线性规划问题及其数学模型
２、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ „ +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量xs，使它等于约束右边与左边之差 xs=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + „ + ain xn ) 显然， xs也具有非负约束，即xs≥0，
A B B’
C’
C D x1
E
3.图解法的灵敏度分析
（二）约束条件中右边系数bi的灵敏度分析 可见，由于增加了10个台时数，使利润增加了500元，可见 每 个台时数可增加利润50元. 像这样在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数 值得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。 本例中的设备对偶价格为50元/台时。 但不是每个约束条件右边常量的变化都会引起目标函数值的 变化的。 本例中，如果A原料的量增加10千克，也可以使可行域扩 大，但对最优解却没有影响，因此原料A的对偶价格为0。
3.图解法的灵敏度分析
（一）目标函数中的系数cj的灵敏度分析 由图可知，如果cj发生变化，则目标函数的等值线的斜率会 发生变化。如果要求最优解仍在B点，则会以B点为轴点而发 x 生转动。
2
z=27500=50x1+100x2
A B C
k=0
k=-c1/c2
E D x1
k=-2
k=-1
3.图解法的灵敏度分析
a11x1+a12x2+„+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+„+a2nxn≤( =, ≥ )b2
„„
am1x1+am2x2 +„+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，„ ，xn ≥ 0
运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解
变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100，故C1
允许增加量为： 上限-现在值=100-50=50；
而X2的下限为50，故C2的允许减少量为： 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为：Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92％不超过100％，所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元，每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时，此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件， Ⅱ产品生产250件(即x1= 50， x2=250)，此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700＋19500=23200(元)。
为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元；
原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零，
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使
用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)，
第3章 线性规划.ppt
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
第三章-线性规划的单纯形算法2
这样便结束了求全部最优基本可行解的过程，共得 四个基本最优解：
表1的：（2，3，0，1，0，0，0，0）T 表2的：（3 / 2，2，0，0，1/ 2，0，0，0）T 表3的：（0，1，0，1，0，0，2，0）T 表5的：（0，1/ 2，0，0，1/ 2，0，3 / 2，0）T
小结与复习提要：
x3
9x7 1/ 4 4 60 5 1/ 25 6 9 7 3x7 2 1/ 2 4 90 5 `1/ 50 6 3 7 x6 1 3 6
x j 0( j 17)
易见摄动问题的约束条件Ax=b(ε）中右端 的j 系数与左边
系数x j 相同，这是由b(ε）的构造决定的。
代公式知，应从下面两式中找θ，即：
min
x10 ( ) 1/ 4
x20 ( ) 1/ 2
min
1/
4
4
60 5 1/ 1/ 4
25
6
9
7
2 1/ 2 4 90 5 1/ 50 6 3 7
1/ 2
ε足够小，多项式取值主要取决于ε的较低次幂。
这里，0次项：
0 1/ 4
0 1/ 2
,1次项：1 1/ 4
X2 0 0 0 1 0 1/2 -90 -1/50 3
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0 0 0 -3/4 150 -1/50 0
（注XB处只列出 0的系数，XB的取值为对应的 0系数及
j 行与该行中元素积之和。）
k min j 4 0 k 4，如何找l？在k 4这一列，
14 1/ 4 0，24 1/ 2 0 ，ε>0足够小时，由单纯形法迭
第三章 线性规划问题的求解07.9
输入部分： 2. 输入部分：
（1）线性规划、整数规划的目标函数和约束的输 线性规划、 入必须按由小到大的序号顺序输入， 入必须按由小到大的序号顺序输入，同时约 束变量必须放在运算符的左侧。 束变量必须放在运算符的左侧。如（x1+x2x3=0，不能输为x2-x3+x1=0；x1-x2+x3=0， ， ； ， 不能输为x1+x3=x2） （2）输入的约束中不包括" ≥ "或"≤"，而是用 输入的约束中不包括 或 ，而是用">“ 代替， 或“<”代替，这不会影响求解。如 对于约束 代替 这不会影响求解。 X1 ≥ 2,则输入 X1>2,而不是 1 ≥ 2。 而不是X 则输入 而不是 。 （3）当所有的约束条件输入完了之后，在下一个 ）当所有的约束条件输入完了之后， 约束条件中输入“ 约围：
当前值——指bj的现在值 指 当前值 上限值和下限值——指bj在此范围内变化时，则与 上限值和下限值 指 在此范围内变化时， 其对应的约束条件的对偶价格不变。 其对应的约束条件的对偶价格不变。
三、百分之一百法则及其应用
1、允许增加量：允许△ = 上限 – 现在值 、允许增加量： 2、允许减少量：允许△ = 现在值 – 下限 、允许减少量： 3、允许增加（减少）百分比： 、允许增加（减少）百分比：
输出部分： 4. 输出部分：
（1）线性规划和整数规划子程序没有把运算结 果存储到文本文件的功能， 果存储到文本文件的功能，其它子程序都 可以实现。 可以实现。 （2）若不通过运行Main.exe进入各子问题，而 若不通过运行Main.exe进入各子问题， Main.exe进入各子问题 是直接运行各子程序，系统会默认当前目 是直接运行各子程序， 录为存储目录。 录为存储目录。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
百分之一百法则： 对于所有变化的目标函数决策变量系数（约束条件右端 常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百 分比之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变）
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
目标函数系数的百分之一百法则
������1 → 74，������2 → 78则 74−50 (100−78) | |+| |=92%
50 50
故最优解不变。
约束条件中常数项的百分之 一百法则
b1 → 315，������3 → 240,则 (315−300) (250−240) | |+| |=80%
25 50
故对偶价格不变
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意以下几方面
注意事项 1 当允许增加量（允许减少量）为无穷大时， 则对任意增加量（减少量），其允许增加（减少）百分 比均看作零 百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说 超过 100%最优解或对偶价格并不一定变化。 百分之一百法则ห้องสมุดไป่ตู้能用于目标函数决策变量系数和约束 条件右边常数值同时变化的情况。 这种情况下，只能重新求解
管理运筹学
第三章线性规划问题的计算机求解
北京理工大学
韩伯棠
教授
第三章
线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”3.0 版（Windows版），是“管理运筹 学”2.5 版（Windows版）的升级版。它包括15 个子模块。
本章内容
1
2
“管理运筹学”软件的输出分析
§ 1 “管理运筹学”软件的操作方法
对偶价格
常数项范围
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
影子价格： 当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数 值增加的数量
影子价格与对偶价格
条件 求目标函数max 影子价格与对偶价格的关系 当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增 加的量就为改进的数量，此时影子价格即为对偶价格 在求目标函数最小值时，改进的数量即减少的数量，此 时影子价格为负的对偶价格
§2
“管理运筹学”软件的输出信息分析
解释
分析软件输出的信息
变量 相差值： 为了使决策变量为正值，相应的决策变量的目标系数需要改 进的数量 松弛（剩余变量）：资源剩余量（超过量）。 如果为零, 表示与之相对应的资源正好全部用完。 对偶价格：对应的资源每增加一个单位，最优值将变化多少 个单位
约束
目标函数系 最优解不变的情况下，目标函数的决策变量系数的变化范围 数范围 当前值：当前的目标函数的系数取值
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
解释
松弛/剩余变量 约束条件2的值为125，表示对原料A多了125，即对A的剩余 变量值为125，原料A用了250。 约束条件1的对偶价格为-4，表示如果采购量再增加1吨， 那么总的成本要增加4万元。由800万元增加到804万元。 约束条件3的对偶价格为1万元，即如果把加工时数从600小 时增加到601小时，则总成本将得到改进，由800万元减少 到799万元 约束条件1： 常数项在300到475范围内变化，且其他约束条件不变时， 约束条件1的对偶价格不变，仍为-4 约束条件2： 常数项在负无穷到250范围内变化，且其他约束条件的常数 项不变时，约束条件2的对偶价格不变，仍为0 约束条件3： 常数项在475到700范围内变化，且其他约束条件的常数项 不变时，约束条件3的对偶价格不变，仍为1。
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第五步：点击解决
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第六步：点击开始
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第七步：点击下一步
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第八步：点击下一步
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第九步：关闭计算过程
本章内容
1
“管理运筹学”软件的操作方法
2
下面演示如何用“管理运筹学”软件包来解决第二 章例一的线性规划问题
第一步：双击“管理运筹学v3.0”在桌面上的快捷方式
§ 1 “管理运筹学”软件的操作方法 例 1. 目标函数： max z = 50 ������1 + 100������2 约束条件： ������1 + ������2 ≤300 2������1 + ������2 ≤400 ������2 ≤250 ������1 ≥0 ������2 ≥0
2
3
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
用“管理运筹学”软件来分析第二章的例2 目标函数： min ������ = 2������1 + 3������2 约束条件：������1 + ������2 ≥350 ������1 ≥ 125 2x1 + ������2 ≤ 600 ������1 , ������2 ≥0 当购进原料A 250t，原料B 100t时购进成本最低为800万 元。
§2
“管理运筹学”软件的输出信息分析
解释 上限值和下限值：当约束条件的右端常量在此范围内变化 时，与其对应的约束条件的对偶价格不变 当前值：约束条件的右端常量现在的取值。
分析软件输出的信息
常数项范围
灵敏度分析都是在只有一个系数变化的基础上得出的
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
当有多个系数变化，怎样进行灵敏度分析？
求目标函数min
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
注意： 管理运筹学”软件可以解决含有100个变量50个 约束方程的线性规划问题。
如果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由 芝加哥大学的 L.E.Schrage 开发的 LINDO计算机 软件包的微型计算机版本 LINDO/PC。
谢 谢！
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第二步：在主菜单中选择线性规划模型
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第三步：在点击“新建”按钮以后，输入变量个数，约束条件个数， 目标函数选择max(min)，点击确定
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第四步：输入约束条件个数，目标函数及约束条件各系数和b值， 并选择好” ≥ “,” ≤ “, ”=“