安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期开学考试试题文
安徽省合肥一六八中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
安徽省合肥一六八中学2021-2022学年高二上学期第一次
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．（多选题）若直线l的方向向量为m u r，平面α的法向量为n r，则不可能使l//α的是（）
A．m u r=(1，0，0)，n r=(-2，0，0)B．m u r=(1，3，5)，n r=(1，0，1)
C．m u r=(0，2，1)，n r=(-1，0，-1)D．m u r=(1，-1，3)，n r=(0，3，1)
C ．点M 为1CC 的中点时，平面a 经过点B ，则平面a 截正方体所得截面图形是等
腰梯形
D ．已知N 为1
DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的三等分点
16．在棱长为1的正四面体ABCD 满足()1DN DA DB l l =--uuur uuu r uuu r
，当四、解答题
（1）证明：平面ABEF^平面EFDC；（2）求二面角E BC A
--的余弦值.
12．AC
【分析】以点D 为坐标原点，DA 坐标系D xyz -，利用空间向量法可棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可。
安徽省合肥市第一六八中学2017-2018学年高二上学期开学考试语文试题 Word版含答案
2017-2018学年高二上学期入学考试试卷（语文）第I卷阅读题一、现代文阅读(9分，每小题3分）阅读下面的文宇，完成1-3題。
信息时代更需经典阅读冷成金信息时代为我们提供了获取信息的便利，世界变得既立体又平面。
所谓立体，是指信息的丰富性使我们很容易较为全面地了解事物，使我们处在一个与世界的立体联系之中；所谓平面，是指大家处于同一个平面上，凌驾于人们之上的权威似乎在逐渐消逝。
对于年轻人来讲，这似乎是一个无所不能的时代，也应该是一个幸福的时代。
然而，事实似乎并非如此，普遍的焦虑弥漫在年轻人中间：我想知道一切，我也似乎能够知道一切，但却不知道我应该知道什么——选择的自由，使年轻的朋友们感受到了前辈们从未有过的恐慌。
网络信息与传统出版业最大的不同，是前者较少受到社会理性的约束和过滤。
网络上，越具有个人色彩的东西就越具有吸引力，越容易受到追捧，这样的东西有很大几率是“脾气”，而不是具有深厚时代文化内容的个性。
阅读上的羊群效应使人产生从众心理，很多青年人在潜意识里以为通过这种“海量”阅读就可以产生知识和智慧，就可以建立“三观”，但最终，他们得到的却只有空虚和焦虑。
这时候，基础阅读或者叫经典阅读的重要性就显现出来了。
经典是什么，经典就是永不过时的东西，它是人类按照自己的根本利益共同选择下来的文明成果，是建立正确的价值观和人生观的文化基础。
经典阅读，会在潜移默化中让人习得珍贵的思维方式和价值观念，尤其是在童年、少年和青年时期。
比如读四大名著，孩子首先会为故事所吸引，而这些故事本身，都深深镌刻着中国人在漫长历史过程中总结出来的思维模式和价值观念。
故事的演进，会帮助孩子们辨别正邪、建立是非观念，也使他们从中感受到扶危济困、除暴安良的快乐和坚忍不拔的精神，燃起追求正义的热情等等，而这些，都是生活的精神原动力。
如果说小说主要作用于人的思维方式，诗词则直接作用于人的情感模式。
比如小儿皆可诵的《春晓》：“春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
合肥市第一六八中学高二上学期期末考试数学文科答案
合肥一六八中学2015—2016学年第一学期期末考试高二数学(文/理科)试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。
3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（共60题，每题5分。
每题仅有一个正确选项）.1.设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 1.B2. 如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A.曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线；B.方程(,)0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上；C.不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上；D.方程(,)0f x y =是曲线C 的方程. 2【答案】C3. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 3.【解析】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，可得2214c a =，可得22214a b a -=，解得3b a =，∴双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：3y =，故选A ．4. 已知命题:p x R ∃∈,使5sin x =命题:q x R ∀∈,都有210.x x ++> 给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ；②命题“q p ⌝∧”是假命题；③命题“q p ∨⌝”是真命题 ；④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 .其中正确的是（ ） A.①②③ B.③④ C.②④ D.②③ 4D 【解析】由5sin 1x =>，知命题p 是假命题，由22131()024x x x ++=++>，知命题q 是真命题，可判断②、③正确.5. 以双曲线2214x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．245y =C ．285y =D ．25y =5【解析】双曲线2214x y -=的右焦点为5,0)F ，52p=245p =，则所求抛物线的方程为245y =；故选B ．6. 在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ） A 2 B 3 C 3 D 66【解析】如图所示，取BD 中点O ，连接CO 、MO ，由已知条件1==CD BC ，所以CO BD ⊥，由平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD =BD ，所以⊥CO 平面ABD ，则CMO ∠即为直线CM 与平面ABD 所成的角，由AD AB ⊥，所以2=BD ，则得到：CD BC ⊥，所以2221==BD CO ，2121==AD MO ，所以在COM Rt ∆中，tan 2COCMO MO ∠==,所以6sin CMO ∠=7. 若双曲线22221x y a b-=)0(>>b a 的渐近线和圆08622=+-+x y x 相切，则该双曲线的离心率等OM DC BA于（ ）A ．2B ．2C ．3D ．37【解析】根据圆方程，得到圆心坐标03C （，），圆22680x y y +-+=与渐近线相切，说明圆C 到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=3a ，即可得出该双曲线的离心率．圆22680x y y +-+=可化为2231y x -+=（）∴圆心坐标03C （，），∵双曲线22221x y a b-=的渐近线为0ay bx ±=，圆22680x y y +-+=与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为2231,3,3a c a e a b=∴=∴=+，8. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．213 B ．13 C ．233D ．5 8【解析】过抛物线：22(0)y px p =>的焦点02pF ⎛⎫⎪⎝⎭，，且倾斜角为60︒的直线l 的方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线方程与抛物线方程可得直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 332p p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 点A 也在双曲线：22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线上，应在b y x a =上，则332b pp a =⨯，则有2223433b b a a =⇒=，222222247211333b c a e e e a a -==-=⇒=⇒=，故选A ． 9. 已知如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π12 C ．π16 D ．π369【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则圆心在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==，故选C ．BACD10. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】由三视图知该几何体为棱锥S ABD -，如图2，其中SC ⊥平面ABCD ．四面体S ABD -的四个面中面SBD 的面积最大，三角形SBD 是边长为22的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为38234⨯=，故选C ．11. （文科）若曲线1,11,11x e x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，与直线1y kx =+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(322,322)---+B ．(32,0)(0,)-++∞C ．(,322)(0,)-∞--+∞D ．()()-3-220+∞，，【答案】B.11【解析】根据题意，将()f x 的图象画出，从而可知当直线1y kx =+与曲线11y x =-相切时，联立方程，消去y 可得，2211(1)20(1)80321kx kx k x k k k x +=⇒+--=⇒∆=-+=⇒=-±-，又∵切于第一象限，∴322k =-+，从而实数k 的取值范围是(322,0)(0,)-++∞.11.（理科）已知椭圆221169x y+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆上，若1F，2F，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．95B．3 C．977D．9411【解析】可以证明，焦点三角形中，当点P在椭圆短轴端点时，21PFF∠最大．在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点P到x轴的距离为点P的纵坐标y的绝对值y．将)(ccx-=或代入椭圆方程得，49±=y,所以49=y．故选D．12. 如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且AP与a所成角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为（）．2222tan x y dθ+=．2222tan x y dθ-=．22()tandy d xθ=-．22()tandy d xθ=--12【答案】B【解析】解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出tanθ，对于tanθ的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示tanθ，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示tanθ找到关系.设(,)P x y，则22tan||d yxθ+=，化简得2222tan x y dθ-=．二、填空题（共20分，每题5分）13. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 13【答案】必要不充分14. 直线y=x+m 与圆x 2+y 2=4交于不同的两点M 、N ，且，其中O 为坐标原点，则实数m 的取值范围是 . 14. 【答案】试题分析：MN 的中点为A ，则2=+，利用||≥|+|，可得||≥2||，从而可得||≤1，利用点到直线的距离公式，可得≤1，即可求出实数m 的取值范围． 试题解析：解：设MN 的中点为A ，则OA⊥MN，并且2=+， ∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤1，∴O 到直线MN 的距离≤1，解得﹣≤m．故答案为：．15. 在平面直角坐标系中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，()1,AP OA R λλ=-∈，且72OA OP ⋅=，则OP 在x 轴上的投影线段长的最大值是 . 【答案】15【解析】因为点A 在椭圆221259x y +=上，所以可设(5cos ,3sin )A θθ，(1)AP OA λ=-，所以(5cos ,3sin )OP OA λλθλθ==,22225cos 9sin 16cos 972OA OP λθλθλθλ⋅=+=+=,所以有227216cos 916cos 924|cos |λθλλθλλθ=+≥⋅=，即|cos |3λθ≤，又向量OP 在x 轴上投影为向量OP 的横坐标，所以OP 在x 轴上的投影线段长为5|cos |λθ，其最大值为5315⨯=16.（文科）如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论：F EA'B'ABCD C'D'M N①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________． 16【答案】①②④【解析】①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()22111,4122MF x f x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在[]01，上不是单调函数； ④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数． 16．（理科）已知正四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转，//平面CD α．若2AB =，5VA =,则正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是 ．16.【解析】由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为3π，侧面上的高为2，设正四棱锥的底面与平面α所成角为θ，当06πθ≤≤时投影为矩形，其面积为2×2cos θ=4cos θ23,4⎡⎤∈⎣⎦,当26ππθ≥>时，投影为一个矩形和一个三角形，此时VAB 与平面α所成角为23πθ-，正四棱锥在平面α上的投影面积为 4cos θ+1222cos 33cos 233,23233ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当232ππθ≥≥时投影面积为12222cos 2cos 3,2233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎤⨯⨯-=-∈⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭，综上，正四棱锥V ABCD -在面α内的投影面积的取值范围是3,4⎤⎦.三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17.(本题满分10分) 设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”．（1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程．解：（1）掌握四种命题的构成关系就不难写出p 的逆否命题；原结论否定作条件，原条件否定作结论；（2）从条件出发能推出结论，则为真命题，否则为假命题，本题从条件能推出结论，故为真命题． （1）p 的逆否命题：若20x x a +-=无实根，则0a <． （2）∵20x x a +-=无实根，∴140a ∆=+<∴104a <-< ∴“若20x x a +-=无实根，则0a <”为真命题．18. (本题满分10分) 已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA=AD=DC=21BC=a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△B 1AE ，使面B 1AE ⊥面AECD ，F ，G 分别为B 1D ，AE 的中点． （Ⅰ）求三棱锥E ﹣ACB 1的体积； （Ⅱ）（文科）证明：B 1E ∥平面ACF ； （Ⅲ）（理科）证明：平面B 1GD ⊥平面B 1DC ．18.解：（Ⅰ）由题意知，AD ∥EC 且AD=EC ，所以四边形ADCE 为平行四边形， ∴AE=DC=a ，∴△ABE 为等边三角形， ∴∠AEC=120°， ∴连结B 1G ，则B 1G ⊥AE ，又平面B 1AE ⊥平面AECD 交线AE ， ∴B 1G ⊥平面AECD 且∴（Ⅱ）（文科）证明：连接ED 交AC 于O ，连接OF ， ∵AEDC 为菱形，且F 为B 1D 的中点， ∴FO ∥B 1E ，又B 1E ⊄面ACF ，FO ⊂平面ACF ， ∴B 1E ∥平面ACF（Ⅲ）(理科)证明：连结GD ，则DG ⊥AE ，又B 1G ⊥AE ，B 1G ∩GD=G ， ∴AE ⊥平面B 1GD ．又AE ∥DC ，∴DC ⊥平面B 1GD ，又DC ⊂平面B 1DC ∴平面B 1GD ⊥平面B 1DC ． 19. 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝2，点P 坐标为（2，－1），过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ． （1）求直线PA ，PB 的方程； （2）求切线长PA 的值；（3）求直线AB 的方程．【答案】（1）7x―y―15＝0，或x ＋y －1＝0；（2）22；（3）x －3y ＋3＝0. 试题解析：（1）易知切线斜率存在，设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx―y―2k―1＝0.因为圆心（1，2）到直线的距离为2，13 2＋－－k k ＝2，解得k ＝7，或k ＝－1故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x ＋y －1＝0（2）在Rt △PCA 中，因为|PC|＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA|＝2， 所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8.所以过点P 的圆的切线长为22 （3）容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31如图，由CA 2＝CD·PC，可求出CD ＝PC CA 2＝102设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37（舍）所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0.19(本题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C 中，D 是AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）设1222AA AC CB AB ====，，求异面直线1BC 与D A 1所成角的大小． 19试题解析：（1）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD ，因为D 是AB 的中点，所以1//BC OD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ． （2）解：结合（1）易知1A DO ∠即为异面直线1BC 与D A 1所成角， 因为AC BC D =，为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又因为该三棱柱是直三棱柱，所以CD ⊥平面11ABB A ，即CD ⊥平面1A DE ，11111222,622AA AC CB AB A D DO A O A C ====∴====，，, 113cos ,26A DO A DO π∴∠=∴∠=． 20.(本题满分12分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．（1）求证：PB ADMN ⊥平面；（2）（文科）求BD 与平面ADMN 所成的角； （3）（理科）点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45． 试题解析：（1）∵M 、N 分别为PC 、PB 的中点，AD ∥BC∴AD ∥MN ，即,,,A D M N 四点共面∵N 是PB 的中点，PA=AB,∴AN ⊥PB ．∵AD ⊥面PAB,∴AD ⊥PB ． 又∵AD AN N ⋂= ∴PB ⊥平面ADMN ． （2）连结DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角． 在Rt BDN ∆中,1sin ,2BN BDN BD ∠== ∴BD 与平面ADMN 所成的角是6π．（3）作AF CD ⊥于点F ，连结EF ∵PA ⊥底面ABCD ∴CD PA ⊥ ∴CD PAF ⊥平面∴CD EF ⊥ ∴AFE ∠就是二面角A CD E --的平面角 若45AFE ∠=︒，则AE AF =由AF CD AB AD ⋅=⋅可解得455AF =∴当455AE =时，二面角A CD E --的平面角为45°21(本题满分13分) 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得2m =． 所以直线AB 的斜率是22±．（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆．因为22121212122||||()4412AOB S OF y y y y y y m ∆=⨯⋅⋅-=+-=+， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.22．(文科，本题满分13分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455． xyDCOBA（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求BCD ∆面积的最大值．【答案】（1）22194x y +=；（2）详见解析，3x =；（3）274； 试题分析：（1）利用离心率和焦准距建立,,a b c 的关系式求解；（2）顺着题意，设点,B C 的坐标，表示出,BD CD 的方程，利用方程组得到D 点坐标满足的关系式，若关系式为二元一次方程，则该方程表示直线；（3）用（2）中所设坐标作为目标函数的变量，可以发现容易消去横坐标，从而得到一个关于0y 的目标式，利用基本不等式或二次函数可以求得最大值；试题解析：（1）由题意得5c a =，245a c c -=， 解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=． （2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=， 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， 消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =， 故点D 在定直线3x =上运动．（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以220994y x -=-，则2000000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=， 将0y y =代入22194x y +=得20314y x =±-， 所以BCD ∆面积200119612244ABCy S BC h y ∆=⋅=⨯-⋅ 220020012712727441242224y y y y -+=-⋅≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即02y =±时等号成立，故02y =±时，BCD ∆面积的最大值为274． 22．（理科，本题满分13分）(本题满分13分)如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在常数2λ=符合题意． 试题分析：（1）根据点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又12c e a ==且222a b c =+解方程组可得,,a b c 的值．（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用k 表示出123,,k k k ．从而可得λ的值． 试题解析：解：（Ⅰ）由点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上得，221914a b +=，①又12e =，所以12c a =，② 由①②得222143c a b ===，，，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=， 由题意可设AB k 的斜率为， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，③代入椭圆方程22143x y +=， 并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则有2212122284(3)4343k k x x x x k k -+==++，，④ 在方程③中，令4x =得，(43)M k ，，从而121212332211y y k k x x --==--，，33312412k k k -==--． 又因为A F B ，，共线，则有AF BF k k k ==， 即有121211y yk x x ==--， 所以12k k +=1212332211y y x x --+=--12121231111211y y x x x x ⎛⎫+-+ ⎪----⎝⎭=322k -1212122()1x x x x x x +--++，⑤将④代入⑤得12k k +=322k -2222228243214(3)814343k k k k k k k -+=---+++，又312k k =-， 所以12k k +=32k ，故存在常数2λ=符合题意．。
安徽省合肥168中高二数学上学期期中试卷理(含解析)
2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣34．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+125．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=06．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 88．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：59．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为cm2．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D ﹣ABC的体积的最大值是．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析： A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解答：解：对于A，两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于B，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于C，两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于D，由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，则a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c ∥b，又a∥c，所以a∥b．故选：D．点评：本题主要考查了空间线面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣3考点：两条直线平行的判定；直线的截距式方程．专题：待定系数法．分析：由直线在y轴上的截距为，可得=，解出 n，再由直线平行可得=≠，求出 m．解答：解：由题意得=，n=﹣3，直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，∴=≠，∴m=﹣4．故选 C．点评：本题考查直线在y轴上的截距的定义，两直线平行的性质．4．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．5．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=0考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解答：解：设直线的方程为+=1（a＞0，b＞0），则有+=1，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（+）=5++≥5+4=9，当且仅当=，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．点评：本题考查直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：根据正四棱锥P﹣ABCD与外接球的关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，∵底面边长为4，∴AE=，PE=6，∴侧棱长PA==，PF=2R，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，即44=2R×6，解得R=，则S=4πR2=4π（）2=，故选：B点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，根据条件求出球的半径是解决本题的关键．7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 8考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用四个和式的几何意义求得答案．解答：解：根号表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，根号表示点（x，y）与点（0，1）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，1）之间的距离，∴函数就是四个距离之和，满足条件0＜x＜1，0＜y＜1的点（x，y）位于矩形内，则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于．故选：A．点评：本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义，是中档题．8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：5考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中平面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），我们根据棱柱体积公式，和棱台的体积公式，结合组合体的体积求法，分别计算出V1，V2的表达式，即可得到答案．解答：解：设S△AEF=x，则S△ABC=S△A1B1C1=4x，S□EFBC=3xV1：V2=（4x+2x+x）：4x﹣[（4x+2x+x）]=7：5故选B点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]考点：两条直线的交点坐标；函数最值的应用．专题：直线与圆．分析：可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．点评：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．解答：解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．故选C．点评：本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞0} ．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：当a=﹣1时，符合题意；当a≠﹣1时，只需＜0或＞1即可，解不等式综合可得．解答：解：当a+1=0即a=﹣1时，直线无斜率，倾斜角为90°，满足倾斜角大于45°；当a+1≠0即a≠﹣1时，直线的斜率＜0或＞1即可解不等式可得a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣或a＞0综上可得a的取值范围为：{a|a＜﹣或a＞0}故答案为：{a|a＜﹣或a＞0}点评：本题考查直线的倾斜角，涉及不等式的解集和分类讨论，属基础题．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为8cm2．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，根据所给的图形中∠BAD=45°，得到原图形为一个直角梯形，然后，根据高之间的关系进行求解．解答：解：根据题意，得∠BAD=45°，则原图形为一个直角梯形，上下底面的边长和BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，∴原平面图形的面积为8cm2．故答案为：8cm2．点评：本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为2cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：作图题；综合题．分析：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．解答：解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图 BD=2，DO=BO=，∴S△BOD=，故答案为：2．点评：本题考查由三视图求面积，考查空间想象能力逻辑思维能力，是中档题．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D﹣ABC的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为10，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=5，c=3，故BE的最大值为b==4此时EF==故三棱锥D一ABC的体积的最大值是故答案为：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD．解答：证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB，又PB∥EF，∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．解答：解：（1）设点P的对称点为P'（a，b），则，解得：，即点P'的坐标为（﹣4，6）；（2）解方程组得，即两直线l与l的交点坐标为因为直线l与l2关于直线l对称，所以直线l2必过点，又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（﹣4，6），所以直线l2必过点P'（﹣4，6），这样由两点式可得：，即7x+y+22=0；（3）由（1）得P'（﹣4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，，解得，x=1，则可得N（1，6）．点评：本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称，以及运用：求最值，考查直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．点评：本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．21。
安徽省合肥市一六八中学高二数学上学期入学考试试题
2017级高二年级第一学期入学考试数学试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合(){}22log 41A x x x =+->，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()RA CB =（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C. (]11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. ()(),12,-∞-+∞2、设()2lg 2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（ ） A.()()4,00,4- B. ()()4,11,4-- C. ()()2,11,2-- D. ()()4,22,4--3、已知α为锐角，且7sin 2cos2αα=，则sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）4、设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若()11,2,,10i i y x i =+=，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A.2,4B.2,5C.1,4D.1,5 5、在数列{}n x 中，若11x =，1111n n x x +=-+，则2018x 的值为（ ） A.-1 B. 12-C. 12D.1 6、在ABC ∆中，若()sin cos cos sin sin C A B A B +=+，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 7、设102m <<，若212212k k m m+≥--恒成立，则k 的取值范围为（ ） A. [)(]2,00,4- B. [)(]4,00,2- C. []4,2- D. []2,4-8、已知1sin cos 2x y ⋅=，则sin cos y x ⋅的取值范围是（ ） A. []1,1- B. 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9、已知()122018122018f x x x x x x x x =-+-++-++++++++，若()()2321fm m fm -+=-，则满足条件的所有实数m 的和为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且212n n S n T n +=+，则512837++a ab b b b +等于（ ） A.1922 B. 322 C. 811D. 1 11、已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.512、斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..,，在数学上，斐波那契数列以以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n fn n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有几种上楼方法？A.377B.610C.987D.1597 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、函数lgsin 2y x =的定义域为 .14、数列{}n a 前n 项和为21n-，则数列{}21n a -的前n 项和为 .15、ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足42PA PB PC AB ++=，则PAC ∆与PBC ∆的面积之比为 .16、已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前项和，若也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项为 . 三、解答题17、已知函数()xf x b a =⋅（其中,a b 为常量且0a >，1a ≠）的图像过点()1,6A ,()3,24B .⑴试确定()y f x =的解析式；⑵若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.18、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=.⑴若4c =，求sin A 的值； ⑵若AB边上的中线长为2，求ABC ∆的面积19、某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：万元）的数据如下表：⑴求y 关于t 的线性回归方程；⑵利用⑴中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.符：回归直线的斜率和截距的最小乘估计公式分别为：()()()121ˆni i i ni i tt y y bt t ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay bt =-20、函数()sin 2cos2f x x x =+ ⑴求712f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； ⑵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围； ⑶函数的性质通常指的是函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性等，请你探究函数()f x 其中的三个性质（直接写出结论即可）21、某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：1,162,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（36c ≤≤）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（注：次品率=次品数/生产量）⑴试将生产这种仪器元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； ⑵当日产量为多少时，可获得最大利润？22、已知数列{}n a 满足()()131n n n a na n N *++=∈，且13a = ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ； ⑶若231n n a n b n +=+，求证12511116nb b b ≤+++<一六八入学考试答案二、填空题 13、3,0,22ππ⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 14、11433n n ⋅-- 15、12 16、1724n + 三、解答题17、⑴()32xf x =⋅-------（5分）⑵11023x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1123x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1-∞上恒成立 ∴56m ≤----------（10分）18、⑴由题意得sin sin 2sin cos b A C a B C =则tan 2C =，∴sin C =则sin sin 2a C A c ==----------（6分） ⑵取AB 中点E 并延长至D ，试CE=DE ，连BD则CD =CB =cos DBC ∠=2222cos CD CB DB CB DB DBC =+-⋅⋅∠∴DB =∴4ABC DBC S S ∆∆==---------（12分）19、⑴ˆ0.5 2.3yt =+--------------（8分） ⑵ˆ 6.8y=---------------------（12分） 20、⑴122+------------（2分）⑵⎡⎣-------------（6分）⑶①定义域x R ∈②值域⎡⎣③偶函数 ④4T π=⑤在,484k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，在,8444k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦单调递减------（每个2分，写三个即可） 21、⑴①1x c ≤≤ 16P x=- ∴21192121666x x T x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭②x c > 23P =∴1221033T x x =⋅⋅-⋅⋅= ∴292,160,x x x c xT x c ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩------------（6分）⑵①x c > 0T =②1x c ≤≤ ()292915261512366x x T x x x -⎡⎤==--+≤-=⎢⎥--⎣⎦当且仅当3x =是等号成立∴日产量3万件时，利润最大---------------（12分） 22、⑴131n n a a n n +=+ n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则3n n a n =⋅------（3分） ⑵利用错位相减法得1213344n n n S +-=⋅+---------------------------（6分） ⑶()1323n n n n b n +=+ 则()1123111113313n nnn n b n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1211111113nn b b b n ⎛⎫⎛⎫+++=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭则12511116nb b b ≤+++<-------------------------------（12分）。
2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二(上)开学数学试卷(理科)
2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M-N={x|x∈M且x∉N}，则M-（M-N）等于（）A.NB.M∩NC.M∪ND.M【答案】B【解析】解：M-N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M-（M-N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M-（M-N）=N；若M与N的V enn图互不相交，则M-（M-N）=M．故选B．本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A.x2-4B.x2+4C.（x+4）2D.（x-4）2【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x-4）=（x-4）2故选D根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（-2，0）上来求．本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3.已知函数f（x）=＞，则f（log23）=（）A.3B.C.1D.2【答案】B【解析】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23-1）而log23-1＜1∴f（log23）=f（log23-1）==3×=故选B．先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23-1），再判定log23-1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4.计算log2sin+log2cos的值为（）A.-4B.4C.2D.-2【答案】D【解析】解：∵==2-2．∴原式===-2．故选：D．由于=．可得原式==，即可得出．本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：＜＜，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6.奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【解析】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：=cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sin B，在△ABC中，由正弦定理得=∠•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sin B=|BC|•=，故选：B．利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2-q-2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n-2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值．本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4-2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】D【解析】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4-2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.3B.4C.5D.8【答案】B【解析】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：当=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A.f（x）=sin2xB.f（x）=-sin2xC.f（x）=sin（2x-）D.f（x）=sin（2x+）【答案】C【解析】解：依题意，知A=1，T=-=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向右平移个长度单位，得y=f（x-）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），故选：C．依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12.函数，＞，＜图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A.3B.4C.5D.无数【答案】B【解析】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=-cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=-cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（-x）=-f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为______ ．【答案】10【解析】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21．由451≤30n-21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750求得正整数n的个数，即为所求．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.向量，，，，若与的夹角等于，则|的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：如图，设=，=，则=，与的夹角等于，即∠OBA=，再设||=a，||=t，在△OAB中，根据余弦定理有：22=a2+t2-2at•cos，整理得：t2-at+a2-4=0，由（-a）2-4（a2-4）≥0，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以||的最大值为4．由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之．在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得||的最大值．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题．16.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sin A=cos B，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是______ ．【答案】（3）（4）【解析】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sin A=cos B=，∵A，B∈（0，π），∴A=-B，或A+-B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，∴cos A[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cos A cos B cos C＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sin A=cos B=，A，B∈（0，π），可得A=-B，或A+-B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化为cos A cos B cos C＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函数的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判断出正误．本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【答案】解：（1）f（x）=，＜若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（-∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【解析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A+tan B=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sin A sin C的值．【答案】解：（Ⅰ）已知等式变形得：+=，去分母得：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos B，即sin（A+B）=2sin C cos B=sin C，∵sin C≠0，∴cos B=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cos B=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2-2accos B=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sin A sin C=，则sin A sin C=．【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sin C不为0求出cos B的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cos B的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sini A sin C的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．【答案】解：（Ⅰ）===…．（4分）∵，，∴，，．∴，．…．（7分）（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9-2×2×3×cos=7，解得a=．…．（10分）由，得，又b＜a，从而B＜A，cos B=．∴…（14分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sin B及cos B的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②-①得，a2（a2-a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2-a1=1④①④联立可得，或，综上可得，a1=0，a2=0或，或，（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得，当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2∴b1＞b2＞…＞b7=＞当n≥8时，＜∴数列的前7项和最大，==7-【解析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．22.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1-a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n-1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n＞0，则|a n+1-a n|=p n化为：a n+1-a n=p n，分别令n=1，2可得，a2-a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2-p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1-a n|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1-a2n-1＞0，且a2n+2-a2n＜0，则-（a2n+2-a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＞0，即a2n+1-a2n+2＞a2n-1-a2n，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＞0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＞a2n+1-a2n，即|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m-1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…-…+ =-=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，为偶数为奇数．【解析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n +1-a n |=p n”、不等式的可加性，求出和a 2n +1-a 2n =，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．。
安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期期中试卷文(凌志班)
高二数学试题（凌志班）（考试时间：120 分钟满分： 150 分）注意事项：1、 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
选择题答案请用 2B 铅笔正确地填涂在答题卡上相应地点，非选择题答案一定填写在答题卷上相应地点，不然不得分。
3、考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交第Ⅰ卷一、选择题（共 60 题，每题 5 分。
每题仅有一个正确选项。
）1. 以下说法正确的选项是( )A. 有两个平面相互平行，其他各面都是平行四边形的多面体是棱柱B. 四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C. 有两个平面相互平行，其他各面都是梯形的多面体是棱台D. 棱台的各侧棱延伸后不必定交于一点2. 如图，矩形 O ′A ′B ′C ′是水平搁置的一个平面图形的直观图，此中 O ′A ′＝ 6 cm ，O ′C ′＝ 2 cm ，则原图形是( )A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形3. 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面睁开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°4. 已知直线 a 、 b 是异面直线，直线c 、d 分别与 a 、b 都订交，则直线 c 、d 的地点关系A. 可能是平行直线B. 必定是异面直线C. 可能是订交直线D.平行、订交、异面直线都有可能5．在正四周体的6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱相互垂直的概率为 （）A ．3B．2C．1D．143536. 已知相互垂直的平面，交于直线l . 若直线 ， 知足 ∥α ， n ⊥β，则（）m nmA. m ∥ lB. m ∥ nC. n ⊥ lD. m ⊥ n7．直线 x cos y sina0 与 x siny cosb 0 的地点关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交 D．与 a, b,的值相关8．设△ ABC 的一个极点是 A(3 ，－ 1) ，∠ B ，∠ C 的均分线方程分别为x ＝ 0，y ＝ x ，则直线 BC的方程为 ()1 5A ．y ＝ 2x ＋5B ． y ＝ 2x ＋ 3C ．y ＝ 3x ＋5D ． y ＝－ 2x ＋ 29.,是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断平面,平行的是 ( )A.m, n 是平面内两条直线，且 m //, n //B.内不共线的三点到的距离相等C.,都垂直于平面D. m, n是两条异面直线，m, n，且 m // , n // 10．已知圆台上、下底面面积分别是π、 4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是 ( )A.2 3πB． 2 3π C.7 3πD.73π36311. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．64＋32π B ． 64＋64π C ．256＋64π D ． 256＋128π12.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B上存在一点 P使得 AP+D1P获得最小值 , 则此最小值是（）2+6C.2+2D.2+ 2A.2B.2第Ⅱ卷二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13.直线 l ： ax＋(a ＋ 1)y ＋2＝ 0 的倾斜角大于45°，则 a 的取值范围是 ________________.14.四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S, A, B, C , D都在同一个球面上，则该球的体积为 _________．15.如图，已知正三棱柱ABCAB C 的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿111着三棱柱的侧面绕行两周祥达点A1的最短路线的长为 ________cm.16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平川降雨量是________寸．( 注：① 平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸 )三、解答题（共70 分，每题必需要有必需的解答过程）17（ 10 分）. 已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm 和 20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.18（12分）.如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD，AB AD , BAD 600， E, F 分别是 AP, AD 的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD .（分）如图，在三棱锥P ABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC BAC 60o，19 12.AC4， AP3，AB 2 .（1）求三棱锥P ABC的体积；（2）求点 C 到平面PAB距离 .20( 此题满分12 分 )已知点 P到两个定点M(－1，0)， N(1，0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为 1. 求直线PN的方程．21（ 12 分） . 如图 1，在直角梯形ABCD中，AD // BC, BAD, AB BC 1AD a ，22E 是AD的中点， O 是 OC 与 BE 的交点，将ABE 沿BE折起到图2 中A1 BE 的地点，得到四棱锥 A1 BCDE .(I)证明： CD 平面 AOC1；(II)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2 ，求 a 的值.22（ 12 分）．如下图，在四棱锥P﹣ ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ DAB=60°，PA=PD，M 为 CD的中点， BD⊥ PM．（ 1）求证：平面PAD⊥平面 ABCD；（ 2）若∠ APD=90°，四棱锥P﹣ ABCD的体积为，求三棱锥A﹣ PBM的高．合肥一六八中学 2018— 2019 学年第一学期期中考试高二数学试题（凌志班）命题人：汪克亮 审题人：贾秋雨（考试时间： 120 分钟满分： 150 分）注意事项：4、5、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
安徽省合肥市蜀山区合肥一六八中学高二上学期期中考试数学理试卷含答案
高二理科数学试题(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．经过圆上任意三个不同的点可以作出_____个平面.( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或无数个2.已知光线从点A(-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A.5x-2y+7=0 B.2x-5y+7=0 C.5x+2y-7=0 D.2x+5y-7=03．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是BB 1,BC 的中点, 则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的投影为( )4. 设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则111a b c++等于( ). A . 411 B . 114 C .112 D .2115．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（ ）．A ．a α⊥，b β⊂ ，a b αβ⊥⇒⊥B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥C ．αβ⊥，a α⊥ ，b ∥a b β⇒⊥D ．αβ⊥，a αβ=I ，a b b β⊥⇒⊥ 6．连结Rt ABC ∆的直角顶点C 与斜边AB 的两个三等分点,DE ，所得线段,CD CE 的长分别为sin α和cos α(0)2πα<<，则AB 长为（ ）． A ．43 B ．5 C ．5D ．5 7.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2:3:4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（ ）．A ．18011oB ．60oC ．18013o D ．无法确定8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,且AB=AC=1.若球O 的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是( ) A.61 B.31 C.21 D.1 9.球面上有三点A,B,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( ) A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π10.两条异面直线a ，b 所成的角3π，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A.],[36ππB.],[23ππC.],[26ππD.],[326ππ11.如图,三棱锥P-ABC 的底面在平面α内,且AC ⊥PC,平面PAC ⊥平面PBC,点P,A,B 是定点,则动点C 的轨迹是( )A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点 12.已知矩形ABCD,AB=1,BC△ABD 沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直 C.存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直D.对任意位置,三对直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 个. 14.若动点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)分别在直线1l :2x+y-7=0和2l :2x+y-5=0上移动,则AB 的中点到原点的距离的最小值为 .15.如图,正方体ABCDA'B'C'D'有12条棱，选取其中6条棱，每条棱上取一点，使这6个点正好成为正八面体的6个顶点.(注：正八面体共有6个顶点.）比如就从点A 出发，来进行构建。
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2014级高二上学期入 学考试试卷（文科数学）一、选择题（60分，每题5分）1. 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，则M －（M －N ）等于（ ）A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M 2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-x B ．42+x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x3.已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤==（ ）A ．3B ．23 C ．1 D ．24.12coslog 12sinlog 22ππ+的值为A ．－4B ．4C ．2D ．－25.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．17.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC =，1AD =，则AD AC ⋅等于（ ）A.8．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n 的最小值为( ) A.83 B.114 C.145 D.176 9.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 10.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．8DA第7题图11.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移3π个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ） A.()sin 2f x x = B.()sin 2f x x =- C.()sin(2)3f x x π=- D.2()sin(2)3f x x π=+12．函数⎪⎩⎪⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f π图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，n =( )A ．3B ．4C ．5D ．无数对二、填空题（20分，每题5分）13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为（ ）14.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为_______15. 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.16. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的是_______ 选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12填空题答案13: _______ 14: _______ 15: _______ 16: _______ 三、解答题：（70分）17(10分).设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R.（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.18(12分).已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin Ccos A.(1)求角B 的大小；(2)若a c ＋ca ＝3，求sin Asin C 的值．19(12分).设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20.(12分)已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．21(12分).已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. (Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.22(12分). 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
2014级高二上学期入学考试试卷（数学）答案一、选择题（60分，每题5分）1. 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，则M －（M －N ）等于（ ）A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M 答案：B 2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-x B ．42+x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x 答案：D3.已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤==（ ）A ．3B ．23 C ．1 D ．2答案：B 4.12coslog 12sinlog 22ππ+的值为A ．－4B ．4C ．2D ．－2答案：D5.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【标准答案】: A6.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 D7.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC =，1AD =，则AD AC ⋅等于（ ）A.B8．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n 的最小值为( ) A.83 B.114 C.145 D.176 A9.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8DCBA第7题图D10.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8B11.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移3π个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ） A.()sin 2f x x = B.()sin 2f x x =- C.()sin(2)3f x x π=-D.2()sin(2)3f x x π=+C12．函数⎪⎩⎪⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f π图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，n =( )A ．3B ．4C ．5D ．无数对B二、填空题（20分，每题5分）13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 （ ）1014.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为_______715. 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______. (文科)13-15.向量(2,0),(,)a b x y ==，若b 与b a -的夹角等于6π，则｜b ｜的最大值为_____ (理) 4 16. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sinA=cosB ，则△ABC为直角三角形；(3)若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的是_______ (3)\(4) 选择题答案填空题答案13: _______ 14: _______ 15: _______ 16: _______ 三、解答题：（70分）17(10分).设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R. （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.f （x ）min =43. 18(12分).已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A. (1)求角B 的大小；(2)若a c ＋ca＝3，求sin Asin C 的值．∴cos B ＝12.又∵0<B<π，∴B＝π3.∴sin Asin C ＝38.19(12分).设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．20.(12分)已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．（Ⅰ）x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x ．所以函数f x ()的值域是]223,223[+-．（Ⅱ）由2323)32sin()(=++=πA A f ，得0)32sin(=+πA ， 又A 为锐角，所以3π=A ，又2=b ，3=c ，所以73cos322942=⨯⨯⨯-+=πa ，7=a ．由B b A a sin sin =，得73sin =B ，又a b <，从而A B <，72cos =B ． 所以，417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A 21(12分).已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.(Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.111)2()12()2(--⋅+==n n n a a,n=7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=2lg 22172771-=+）（b b 22(12分). 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。