2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练14 导数与函数的单调性 文 北师大版
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形
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[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形第五节两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(对应学生用书第48页)[基础知识填充]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cosB 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－32B．32C．－12D．12D[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D．]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79A [∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A ．]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________.【导学号：00090103】－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.](对应学生用书第49页)三角函数式的化简(1)化简：sin 2－2cossin⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x.(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos2α2 2sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin2x cos2x＋122sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin22x2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝12cos22xsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x.[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] 化简sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.【导学号：00090104】12[法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角函数式的求值角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A．12B．32C． 3 D． 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)C(2)1[(1)原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70°＝错误!＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]角度2 给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725 B ．15C ．－15D ．－725(2)(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A ．1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A ．] 角度3 给值求角(2018·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )【导学号：00090105】A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝310 10.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝22.∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．三角变换的简单应用(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15(2)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x∈R.①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值65. 故选A ．法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A ．](2)①由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.②因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数化为y＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.[解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 文
第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第72页) [基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为＝q(n∈N *，q 为非零常数)．an ＋1an (2)等比中项：如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G 2＝ab ，G ＝±，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是aG a bG ab 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝aB ．2．等比数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝Error!3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .[知识拓展]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝.a 11－q [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝aB ．( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝.( )a 1－an1－a [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比为－，则的值是( )12a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6A ．－2 B ．－ 12C ． D ．212A [＝＝－2.]a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6a 1＋a 3＋a 5－12 a 1＋a 3＋a 53．(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝( ) 【导学号：00090168】A ．64B ．128C ．256D ．512A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A ．]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2018·长春模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴＝126，解得n ＝6.]2 1－2n 1－2(对应学生用书第72页)等比数列的基本运算 (1)(2018·合肥模拟)已知S n 是各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)C (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝＝3，∴(1－q 2)a 1 1－q 2 1－q 4q 2＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，23则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有Error!解得Error!或Error!又{a n }为递增数列，∴Error!∴S n ＝＝2n －1.]1－2n1－2[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－ 12C ．1或－D ．－1或1212(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则＝________.S 6S 3【导学号：00090169】(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得Error!②÷①得＝3.1＋q ＋q 2q 2整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－.12(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝，得a 1 1－qn1－q S 6＝，S 3＝，所以＝·＝28.]a 1 1－36 1－3a 1 1－331－3S 6S 3a 1 1－36 1－31－3a 1 1－33 等比数列的判定与证明 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝，求λ.3132[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，2分故λ≠1，a 1＝，故a 1≠0.3分11－λ由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .5分由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以＝.an ＋1an λλ－1因此{a n }是首项为，公比为的等比数列，11－λλλ－1于是a n ＝n －1.7分11－λ(λλ－1)(2)由(1)得S n ＝1－n .9分(λλ－1)由S 5＝得1－5＝，即5＝.10分3132(λλ－1)3132(λλ－1)132解得λ＝－1.12分[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．an ＋1an (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a ＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比2n ＋1数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[变式训练2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n .3分由a 1＋S 1＝1得a 1＝，∴c 1＝a 1－1＝－，1212从而c n ≠0，∴＝.cn ＋1cn 12∴数列{c n }是以－为首项，为公比的等比数列.6分1212(2)由(1)知c n ＝－×n －1＝－n ，7分12(12)(12)又c n＝a n－1，∴a n＝c n＋1＝1－n，9分(12)∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－n －＝n .(12)[1－(12)n －1](12)又b 1＝a 1＝，适合上式，故b n＝n.12分12(12)等比数列的性质及应用 (1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝3，则＝( ) 【导学号：00090170】S 6S 3S 9S 6A ．2B ．73C ．D ．383(1)B (2)B [(1)由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即2m 数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B ．(2)法一：由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴＝，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴＝.S 6－S 3S 3S 9－S 6S 6－S 3S 9S 673法二：＝1＋＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2.S 6S 3a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3则＝＝＝.]S 9S 61－q 91－q 61－231－2273[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝，则1100lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝( )A ．2 015B ．2 016C ．－2 015D ．－2 016(2)(2018·湖北六校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则S n ＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a 等于( )212232422n －122n A ．(2n －1) B ．(1－24n )1315C ．(4n －1)D ．(1－2n )1313(1)D (2)B [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg 1 008＝lg 1 008＝－2 016，故选D ．(1100)(10－2)(2)在数列{a n }中，由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，可得a n ＝2n －1，则S n ＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a 212232422n －122n ＝1－4＋16－64＋…＋42n －2－42n －1＝＝(1－42n )＝(1－24n )．]1－ －4 2n 1－ －4 1515。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练21 正弦定理和余弦定理 文 北师大版
课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是()A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝() A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A ．] 4．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于()A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．32或34D [由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即1＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.总上之，△ABC 的面积等于34或32.] 5．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝()A ．310 B ．1010C ．55D ．31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D ．]二、填空题6．如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3613[∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]7．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．32[由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C，即1sin A ＝332＝2， 所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ． ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ． ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B ． 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.]三、解答题9．已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积． [解](1)∵2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ， ∴2sin A ·cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， 即2sin A ·cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ． 4分又0＜A ＜π，∴sin A ≠0. ∴2cos A ＝1，cos A ＝12.6分(2)由(1)知cos A ＝12，∴sin A ＝32.∵△ABC 内接于单位圆，asin A ＝2R ＝2，∴a ＝2sin A ＝ 3.8分 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1， 10分 ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34.12分10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B－6sin C ，sin C －sin A )垂直． (1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解](1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sinC ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0， 即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝()A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C ．又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图362，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图362562[在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3， 由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．如图363，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC ．图363(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.[解](1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3， sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， ∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD ＝7×27732＝433.。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科) 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最
第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] .理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．函数的单调性()单调函数的定义如果函数＝()在区间上是增加的或是减少的，那么就称为单调区间．．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论()对任意，∈(≠)，＞⇔()在上是增函数，＜⇔()在上是减函数．()对勾函数＝＋(＞)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，)和(，]．()在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．()函数(())的单调性与函数＝()和＝()的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()对于函数()，∈，若对任意，∈，≠且(－)·[()－()]>，则函数()在区间上是增加的．( )()函数＝的单调递减区间是(－∞，)∪(，＋∞)．( )()函数＝在上是增加的．( )()函数＝－在区间[，＋∞)上是增加的，则函数＝－的单调递增区间为[，＋∞)．( ) [答案]()√()×()×()×．(·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )．＝．＝．＝．＝[选项，中函数在定义域内均为单调递增函数，选项为在定义域内为单调递减函数，选项中，设＜(，≠)，则－＝－＝，因为－＜，当，同号时＞，－＜，当，异号时＜，－＞，所以函数＝在定义域上不是单调函数，故选．]．(教材改编)已知函数()＝，∈[]，则()的最大值为，最小值为．[可判断函数()＝在[]上为减函数，所以()＝()＝，()＝()＝.]．函数＝(＋)＋在上是减函数，则的取值范围是．[由题意知＋＜，得＜－.]．()＝－，∈[－]的单调增区间为，()＝.[][()＝(－)－，故()的单调增区间为[]，()＝(－)＝.](对应学生用书第页)．(－∞，－) ．(－∞，)．(，＋∞)．(，＋∞)()试讨论函数()＝＋(＞)的单调性．【导学号：】() [由－－>，得>或<－.设＝－－，则＝在∈(，＋∞)上为增函数．欲求函数()的单调递增区间，即求函数＝－－的单调递增区间．∵函数＝－－的单调递增区间为(，＋∞)，∴函数()的单调递增区间为(，＋∞)．故选．]()法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，)∪(，＋∞)．在(，＋∞)内任取，，令＜＜，那么()－()＝－＝(－)＋＝(－)·.因为＜＜，所以－＞，＞.故当，∈(，＋∞)时，()＜()，即函数在(，＋∞)上是增加的．。
2019高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第2章 函数、导数及其应用 第7节 函数的图像课件
[规律方法] 函数图像的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下 位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
)
【导学号：00090038】
C
[令
f(x)＝1－sinco2sx
， x
∵f(1)＝1－sinco2s 1＞0，f(π)＝1－sinco2sππ＝0，
∴排除选项 A，D.
由 1－cos x≠0 得 x≠2kπ(k∈Z)，
故函数 f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝1－sinco－s2－xx＝－1－sinco2sx x＝－f(x)，
[变式训练 1] 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. [解] (1)∵y＝|lg x|＝l－g lxg，xx，≥01＜，x＜1. ∴函数 y＝|lg x|的图像，如图①.
(2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图像完全相同，又 y＝sin|x|为偶函数，图 像关于 y 轴对称，其图像如图②.
①
A．甲是图①，乙是图② C．甲是图③，乙是图②
②
③
④
图 2-7-1
B．甲是图①，乙是图④
D．甲是图③，乙是图④
B [设甲骑车速度为 V 甲骑，甲跑步速度为 V 甲跑，乙骑车速度为 V 乙骑，乙跑 步速度为 V 乙跑，依题意 V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选 B.]
3．函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，
[知识拓展] 1．一个函数图像的对称关系
2019年高考数学1轮复习学案 训练(北师大版文科)： 第1节 函数及其表示学案
第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(对应学生用书第7页)[基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[知识拓展]求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1log 12x ，x ＞1则f [f (4)]＝________.【导学号：00090012】14 [f (4)＝log 124＝－2，所以f [f (4)]＝f (－2)＝2－2＝14.] 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. －2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图像是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点， ∴③不正确．∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](对应学生用书第8页)A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)C (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C ．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 【导学号：00090013】 (2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，则f (x )＝________. (1)x 2－1(x ≥1) (2)2x ＋23(3)2x ＋1－2－x3[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23.(3)由f (－x )＋2f (x )＝2x①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②， ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. ∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]角度1(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f 2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016B ．14C ．4D ．12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C ．(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C ．]角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C ． 3 D ．3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78C ．34D ．12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D ．(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.]角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________. 【导学号：00090014】(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第1章 集合与常用逻辑用语
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第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” [考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(对应学生用书第5页)[基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.[知识拓展]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：存在n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( )A ．任意n ∈N ，n 2＞2nB ．存在n ∈N ，n 2≤2nC ．任意n ∈N ，n 2≤2nD ．存在n ∈N ，n 2＝2nC [因为“存在x ∈M ，p (x )”的否定是“任意x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“存在n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“任意n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C ．]4．(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1＞0B ．任意x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．存在x ∈R ，lg x ＜1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2B [当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 是假命题．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.](对应学生用书第5页)q ：若a∥b ，b∥c ，则a∥C．则下列命题中真命题是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 且(綈q )A [取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但a·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a∥b 知a ＝x b ，由b∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a∥c ，∴q 是真命题． 综上知p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题，∴(綈p )且(綈q )，p 且(綈q )都是假命题．][规律方法] 1.“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成 形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p 或q ”“p 且q ”“綈p ” 形式的命题的真假．2．p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈pB [取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确．故綈p角度1 (2015·湖北高考)命题“存在x0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )【导学号：00090009】A ．任意x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．任意x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．存在x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．存在x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [改变原命题中的三个地方即可得其否定，存在改为任意，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A ．]角度2 全称命题、特称命题的真假判断(2018·青岛模拟)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，使得f (x )≤f (x 1) B ．存在x ∈R ，使得f (x )≥f (x 1) C ．对任意x ∈R ，都有f (x )≤f (x 1) D ．对任意x ∈R ，都有f (x )≥f (x 1) C [由题意知2ax 1＋b ＝0，即x 1＝－b2a，又f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，故f (x )min ＝f (x 1)．因此，A ，B ，D 正确，C 错误．][规律方法] 1.否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题．(1)已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.][规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 2．全称命题可转化为恒成立问题．[变式训练2] (2018·泰安模拟)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，由“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，得m ≥1.故实数m 的最小值为1.]。
教育最新K122019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科)： 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的
第三节 平面向量的数量积及其应用[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第61页)[基础知识填充]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图431，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．图431(2)当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． 2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·C ．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．[1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝C ．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A ．]3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ．]4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.7 [∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.](对应学生用书第62页)E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18 C ．14D ．118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 【导学号：00090135】 (1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B ．(2)法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (1)已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5(2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上．若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为( ) 【导学号：00090136】A ．0B ．833C ．－4D ．4(1)C (2)C [(1)因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)由AB →·AF →＝3得AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·DF →＝3， 所以|DF →|＝1，|CF →|＝2，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝－6＋2＝－4.]角度1 (1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2018·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(1)B (2)2 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B ．(2)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.]角度2 平面向量的夹角(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)223 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b |＝22，a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a·b |a||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] 角度3 平面向量的垂直(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．－5 [∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5.][规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【导学号：00090137】[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等． [变式训练2] (2018·郴州模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．[解] (1)∵a∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1) ∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，得sin x ＝－32cos x ，∴tan x ＝sin x cos x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)∵a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)， ∴a·b ＝sin x cos x －32，b 2＝cos 2x ＋(－1)2＝cos 2x ＋1，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝a·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.故函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.。
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课时分层训练(十四)导数与函数的单调性A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x ＞0)．令y ′＜0，得0＜x ＜1，∴单调递减区间为(0,1)．]2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图2113所示，则下列叙述正确的是()图2113A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增加的，由a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．因此C 正确．]3．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为()A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52 D [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.]4．若函数e xf (x )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是()A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos xA [若f (x )具有性质M ，则[e xf (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意． 故选A ．]5．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为() A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上是增加的，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.] 二、填空题6．函数f (x )＝ln x x的单调递增区间是________．(0，e)[由f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x ＞0(x ＞0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ＞0，x ＞0，解得x ∈(0，e)．]7．若函数y ＝ax ＋sin x 在R 上是增加的，则a 的最小值为________．1[函数y ＝ax ＋sin x 在R 上单调递增等价于y ′＝a ＋cos x ≥0在R 上恒成立，即a ≥－cos x 在R 上恒成立，因为－1≤－cos x ≤1，所以a ≥1，即a 的最小值为1.]8．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12[因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上是增加的， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间.[解](1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －kex， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.5分(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x－ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减少的. 8分由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞).12分10．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． [解](1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 2分因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.5分(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.8分令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3A [易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x＜0，解得0＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上是减少的，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a ＋1≤3，解得1＜a ≤2，选A]2．)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________． (－2,0)∪(2，＋∞)[令g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xfx －f xx 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，gx ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g x ＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减少的，求实数m 的取值范围．[解](1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.5分(2)∵φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )＝m x －x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减少的，∴φ′(x )＝－x 2＋m －x －1x x ＋2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞).9分∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]. 12分。