高中数学 2.3.3双曲线的简单几何性质教案 新人教A版选修2-1
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2
渐近线方程为
y＝±
2 2 x.
典例剖析
一.已知双曲线的方程，研究其几何性质
• 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长 、离心率和渐近线方程，并作出草图．
• [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依 据各几何量的定义作答．
[解析] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
三.双曲线的离心率
已知 F1、F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率．
• [解析] 设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|， ∠PF2Q＝90°，
)
B．x42－y52＝1 D．x22－ y25＝1
• [答案] B
[解析] e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5， 即双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
4．已知双曲线ax22－y52＝1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的
离心率等于( )
A．3 1414
B．3 4 2
C．32
D．43
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
• 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质 ．
• 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．
双曲线的简单几何性质(教案)
★济宁市实验中学第五届教学能手比赛讲课教案人教 A 版数学选修2-1 P56—58高二数学组陈辉2011年12月双曲线的简单几何性质陈辉教学目标：（1）知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等，熟练掌握双曲线的几何性质.（2）能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师的指导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强学生的自信心.(3）情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.教学重点：双曲线的几何性质.教学难点：双曲线的渐近线.教学方法：启发诱导、练讲结合教学用具：多媒体教学过程：一、复习回顾，问题引入：问题1：双曲线的定义及其标准方程？问题2：椭圆的简单几何性质有哪些？我们是如何研究的？双曲线是否也有类似性质？又该怎样研究？二、合作交流，探究性质：1.范围：双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：（1）双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.（2）线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b, b 叫做双曲线的虚半轴长.（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，其方程为： 4.渐近线（1）概念：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近！故把这两条直线叫做双曲线的渐近线！（2）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为：x a b y ±= ,即0=±b ya x（3）等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±=.（4）利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双)0(22≠=-m m y x曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e=a c，叫双曲线的离心率. （2）范围：由c>a>0可得e>1.思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？（3）含义:离心率是表示双曲线开口大小的一个量,离心率越大开口越大. 思考：你能到处双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y的性质吗？三、学以致用，巩固双基：例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习1 求双曲线9y 2－16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.思考1：请你写出一个以 为渐近线的双曲线方程. 思考2：你能写出所有以 为渐近线的双曲线方程吗? 练习2 求渐近线为 x y 34±=，且过点)4,23(的双曲线的标准方程.三、小结反思，总结提高：1.知识2.方法五、作业布置：必做：作业案1-10 选做：作业案11-12x y 34±=x y 34±=。
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件
（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x
(教师参考)高中数学 2.3.2 双曲线的简单几何性质课件1 新人教A版选修2-1
2.3.2 双曲线的简单几何性质
精选ppt
1
复习回顾：
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
图象
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
x
F1
方程
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
c2 a2b2
精选ppt
2
标准 方程
精选ppt
10
4、渐近线
（2）等轴双曲线的渐近线 方程是什么？
yx
kb a
y
kb a
B 2 (a,b)
b
b
A1
a
o
A2
x
B1
（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
画矩形
画渐进线 画双曲线的草图
精选ppt
11
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程
【例2∴】((12))双 经m6根－－－曲 过据mn4n线 点＝＝下的123P列，，(渐3条解，近件得－线，mn的求 2＝＝)方，双－－程离43曲3.，为心线率2的x±标e3＝y准＝2方50.程且．经过 P( 6，2)；
故所求双曲线方程为y42－x32＝1.
3
法二 由于双曲线的渐近线方程是 y＝±23x，所以可设双曲线方程 为x92－y42＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点 P( 6，2)．∴69－44＝λ，λ＝－13.
∴故所求双曲线方程为y42－x3精2＝选pp1t.
12
3
【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
条直线逐渐接,我 近们把这两条直线叫做 双曲线的渐近线 . 也就是说,双曲线与它的 渐 近 线 无 限,但接永近远 不.相 交
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
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2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
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学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
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双曲线的简单几何性质(教案)
教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。
（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。
）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。
二、教学目标 （一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。
（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。
三、 教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。
四、 教学过程 (一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。
） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。
【板书】：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。
）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（讨论） （二）双曲线的性质 1、范围：把双曲线方程12222=-by a x 变形为22221b y a x +=。
因为022≥b y ，因此122≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。
又因为022≥by ，故R y ∈。
【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。
2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222=-by a x 的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。
高中数学第二章 2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修2_1
2.3.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第36页[基础认识]知识点双曲线的几何性质预习教材P56－58，思考并完成以下问题椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥ay∈R y≤－a或y≥ax∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab x2.[自我检测]1．若点M (x 0，y 0)是双曲线y 24－x 225＝1上支上的任意一点，则x 0的取值范围是________，y 0的取值范围是________．答案：(－∞，＋∞) [2，＋∞)2．双曲线4x 2－2y 2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________． 答案：1233．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为________．答案：2 2授课提示：对应学生用书第37页探究一 根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P 58例3]求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型：根据双曲线方程研究其几何性质． 方法步骤：(1)将方程化成标准方程的形式． (2)写出a 2、b 2，从而求出a 、b 、c 的值． (3)求出双曲线的几何性质．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．[解析] 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 跟踪探究 1.求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．解析：双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1，所以焦点在x 轴上，所以a 2＝25，b 2＝4，因此实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．由c ＝a 2＋b 2＝29，得焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程[阅读教材P 58例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m ．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程．方法步骤：(1)根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系． (2)设出标准方程．(3)求出方程中的a 2、b 2，进而求出c . [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. [解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∵4a 2－6b2＝1. 由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259， ∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3.当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.方法技巧 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时，常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上)，后计算(确定a 2，b 2的值)．要特别注意c 2＝a 2＋b 2的应用，不要与椭圆中的关系混淆．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪探究 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.探究三 求双曲线的离心率[例3] (1)点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．[解析] (1)由题意得不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列， 分别设为m －d ，m ，m ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －(m －d )＝2a ，m ＋d ＝2c ，(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ＝8a ，c ＝5d 2，∴离心率e ＝c a ＝5aa ＝5.故选D.(2)不妨设一个焦点F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，则k FB ＝b－c .又∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴－b c ·ba＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， ∴e ＝1±52(舍负)，∴e ＝1＋52.[答案] (1)D (2)1＋52方法技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解；(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解；(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪探究 3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解析：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.授课提示：对应学生用书第38页[课后小结](1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小．[素养培优]1．考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，求其离心率．易错分析 因为渐近线方程为y ＝±13x ，所以b a ＝13，即a ＝3b ，所以a 2＝9b 2，a 2＝9(c 2－a 2)， 即10a 2＝9c 2，c 2a 2＝109，所以e ＝103. 本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故13＝b a 或13＝ab 两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 由题意得b a ＝13或a b ＝13，故c 2－a 2a 2＝13或a 2c 2－a 2＝13， e 2－1＝13或e 2－1＝3，e ＝103或e ＝10. 2．解题缺乏依据致误点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且有2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的左、右两个焦点，求双曲线C 1的离心率．易错分析 因为圆的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，又因为∠F 1PF 2＝90°，2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据．考查直观想象、逻辑推理．自我纠正因为圆的半径r＝a2＋b2＝c，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．所以∠F1PF2＝90°.因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c.故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.。
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质(一)课件(共30张PPT)
双曲线 x2 y2 1 16 9
(1)范围： x 4或x 4, y R
(2)顶点坐标： A1(4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
（5）渐近线方程： y 3 x 4
y F1• • A1 O A2• •F2 x
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
课堂练习
练习：求下列双曲线的渐近线方程
x2 1.
y2
1
94
2. x2 y2 1 18 8
x2 y2 1与 x2 y2
a2 b2
a2 b2
x2 3.
y2
1
36 16
具有相同的渐近线。
根据下列条件，求双曲线方程:
与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
例3、若双曲线过点（6，3），且渐近线方程
是y=
1 3
x，求双曲线的方程。
渐近线方程为
x a
y b
0
的双曲线可设为
x2 a2
y2 b2
（
0）
渐近线方程为 ax by 0 的双曲线可设为 a2 x2 b2 y2
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1
62
一、二、三、五
一个特例：
新疆 王新敞
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双曲线的简单几何性质教案 新人教A版选修2-1
◆
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过
方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、
渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探
究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统
一定义．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双
曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方
法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由
方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点
的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；
⑤类比椭圆通过56P的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2
双曲线的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大
小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba，进一步得：xa，或xa．这
说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；
②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双
曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中
心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做
圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的
对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线byxa叫做双曲线22221xyab的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace叫做双曲线的离心率（1e）．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐
近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,abc．引导学生用双曲线的实半轴长、
虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的
渐近线是ayxb．
扩展：求与双曲线221169xy共渐近线，且经过23,3A点的双曲线的标准方及
离心率．
解法剖析：双曲线221169xy的渐近线方程为34yx．①焦点在x轴上时，设所
求的双曲线为22221169xykk，∵23,3A点在双曲线上，∴214k，无解；②焦
点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169xykk，∵23,3A点在双曲线上，∴
2
14k，因此，所求双曲线的标准方程为221944yx，离心率5
3
e
．这个要进行分类
讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为
22
,0169xymmRm
．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），
它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐
标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221xyab，算出
,,abc
的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,abc的近似值，原
则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送
到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知150APm，100BPm，60BCm，
60APB
．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该
选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，即
50BMAMAPBP
（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的
左支上的一部分，容易“等距离”线方程为
22
13525,0606253750xyxy
．理由略．
例5 如图，设,Mxy与定点5,0F的距离和它到直线l：165x的距离的比是常
数54，求点M的轨迹方程．
分析：若设点,Mxy，则225MFxy，到直线l：165x的距离
16
5
dx
，则容易得点M的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点,Mxy与定点,0Fc的距离和它到定直线l：2axc的距离比是常数
c
ea
0ca，则点M的轨迹方程是双曲线．其中定点
,0Fc
是焦点，定直线l：
2axc相应于F的准线；另一焦点,0Fc，相应于F的准线l：2
a
xc
．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同
探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学
世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的
标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与
理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的
特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计
算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，
没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的
轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．