高中数学双曲线几何性质教案新人教A版选修2
2.2《双曲线的几何性质》教案(新人教选修2-1))
2.3 双曲线的简单几何性质一、教学目标知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。
2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。
过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。
情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？(二)讲授新课下面我们研究双曲线的几何性质：1、运用几何画板演示得到双曲线221169x y-=的范围：44,x x y R ≤-≥∈或进一步归纳出22221x y a b-=的范围。
2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。
4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。
5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1）双曲线焦距与实轴的比ce a =叫做双曲线的离心率，且1c e a=>。
2） 222222221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。
例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．解：把方程化为标准方程 2222143x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c=。
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修201
2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C 1的方程：x 29－y 216＝1.问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b2≥1，∴x 2≥a 2，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图．[例2] (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝ca列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. (3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)设与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b ax ，依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a bx ，依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，∴e ＝c a ＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[类题通法]求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a.(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． [活学活用]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.3.直线与双曲线的相交[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．[解题流程][活学活用]已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8. 解得k ＝0或k ＝±62， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±62.[随堂即时演练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.[课时达标检测]一、选择题1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32， ∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．(全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7.又因为焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B | ＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215三、解答题9．已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(二)》教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学
（5）双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的________，其X围是___________．
例3：过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直
线交双曲线于 两点，求
变式：已知直线 与双曲线 没有公共点，求 的取值X围
选做：已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，求 的取值X围。
总结：求到定点 和它到定直线 距离之比是 的点 的轨迹。
例2（1）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
（2）设点 的坐标分别为（-5,0），（5,0）.直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。
总结：已知三角形 的两个顶点 的坐标分别为（-5,0），（5,0），且 所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点 的轨迹.
课 题
§双曲线的简单几何性质(二)
讲课教师
教
学
过
程
教
学
过
程
板
书
设
计
过 程 设 计
设 计 意 图
班 级
二年一班
课 型
新 课
2.双曲线 的简单几何性质
（1）X围：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）对称性：双曲线是以 轴、 轴为对称轴的___________图形；也是以原点为对称中心的___________图形，这个对称中心叫做______________．
温故所学知识，为进一步学习做准备
引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。
有利于巩固所学的知识,同时检验本节课效率
课堂小结
课后作业：
高中数学人教A版选修(2-1)2.3 教学设计 《双曲线的简单几何性质》(人教)
《双曲线的简单几何性质》◆教材分析本课教学双曲线的简单几何性质。
学生之前已经学过双曲线及其标准方程，本课则是在双曲线基本定义的基础上引入双曲线的几何性质。
全课的内容分成两大部分：先介绍双曲线的简单的几何性质，再用性质解决相关问题。
◆教学目标【知识与能力目标】1、通过对双曲线的图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线的形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
2、熟练掌握双曲线的几何性质，会用双曲线的几何性质解决相应的问题3、理解等轴双曲线的特点和性质【过程与方法目标】通过讲解双曲线的相关性质，理解并会用双曲线的相关性质解决问题。
【情感态度价值观目标】1、学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。
2、培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学科产生兴趣。
◆教学重难点◆【教学重点】双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质【教学难点】数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质◆课前准备◆多媒体课件◆教学过程一、复习（课件2-3页）1、双曲线的标准方程谈话：前面我们学习了双曲线的标准方程，首项让我们一起回顾下双曲线的标准方程。
（显示课件第2页）谈话：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点；实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
（显示课件第3页）二、新课讲授（课件4-7页）（1）范围（课件第4页）。
高二数学 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修2 学案
§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1.熟练掌握求曲线方程的方法；2.掌握双曲线的标准方程的极其推导方法，并根据方程或a 、b 、c 相互转化求解；3.双曲线与椭圆的异同比较. 学习重点：双曲线的定义、标准方程及其推导过程 学习难点：双曲线的标准方程的推导过程及椭圆的异同比较 教学过程：一知识回顾：1.椭圆的标准方程及其相应的a 、b 、c 的相应的含义2.椭圆上221259x y +=上一点P ，焦点为1F 、2F ，则△21F PF 的周长为________,若21PF F ∠为直角,则△21F PF 的面积为__________.3.在椭圆中,a=13 ,b=12,则椭圆的标准方程是 ．二知识新授：1.双曲线的定义： 椭圆的定义：注意事项： 注意事项：思考：a c a c a c 22,22,22<=>轨迹是什么？ 思考： a c a c a c 22,22,22<=>轨迹若2a=0轨迹又什么？ 是什么？画法演示：2.双曲线的标准方程：思考1：求轨迹的一般步骤是什么？类比椭圆的推导过程双曲线又该如何去推导？思考2：椭圆和双曲线的b 是如何定义的？ a 、b 、c 的大小关系如何？注意：标准方程的特征及异同点3.双曲线与椭圆的异同比较：三例题分析：例1：请判断哪些方程表示的是双曲线？并指出a 、b 、c 及焦点坐标.⑴12322=-y x ⑵14422-=-y x ⑶13422-=--y x ⑷()0012222≠=+-m m y m x变式：已知方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围知识总结：形如122=-ny m x 的方程什么时候表示的是圆、椭圆、双曲线例2：已知两定点()()0,5,0,521F F -，动点P 满足621=-PF PF ，求P 的轨迹方程.变式1：若621=-PF PF ，P 的轨迹方程又是什么？变式2：若1021=-PF PF ，P 的轨迹方程又是什么？练习：写出满足下列条件的对应的双曲线⑴4,3==b a ⑵焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)，⑶过点()3,2--，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,315例3：已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：若同时听到爆炸声，求炮弹爆炸点的轨迹方程．思考题：如何确定爆炸点的具体位置？ 课堂小结：巩固练习：1.动点P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2.双曲线的两焦点分别为 1F (-3 ,0) , 2F (3,0) ，若a = 2 ，则b =（ ）． A. 5 B. 13 C. 5 D. 133. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：⑴焦点在x 轴上，a=52，经过点A(-5,2)； ⑵经过两点A(-7,26-)、B(72,3)．4.点A,B 的坐标分别是(-5 ,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是94，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．。
高中数学 2.3双曲线教案 新人教A版选修2-1
2．2.3 双曲线的简单几何性质（共2课时）一、教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 练习P41 练习1例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
高中数学 双曲线知识精讲教案 新人教A版选修2-1
2.3双曲线一、学习目标：1、知识目标：掌握双曲线的定义，双曲线的标准方程和双曲线的几何性质。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、重点、难点：重点：双曲线的定义、标准方程和几何性质，并会利用双曲线的几何性质解决一些问题。
难点：双曲线的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关双曲线焦点三角形的问题并能与正余弦定理结合解题。
能用坐标法解决简单的直线与双曲线的位置关系等问题。
三、考点分析：学习完本节内容，我们要熟练掌握双曲线的定义及其两种标准方程的表达，会用待定系数法确定双曲线的方程，以及双曲线的简单几何性质的运用。
初步掌握用定义法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时解决一些直线与双曲线的位置关系的问题。
1、对双曲线第一定义的理解在双曲线定义中，平面内的动点与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数，当这个常数小于|F 1F 2|时，动点的轨迹是双曲线；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两射线F 1F 2，F 2 F 1；当这个常数大于|F 1F 2|时，动点不存在。
2、双曲线的第二定义：动点M 与一个定点F 的距离和它到一条定直线的距离的比是一个大于1的正常数，这个点的轨迹是双曲线。
定点是双曲线的焦点。
定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
即dMF ||＝e （e ＞1）。
注意：（1）定点必须在直线外。
（2）比值必须大于1。
（3）符合双曲线第二定义的动点轨迹肯定是双曲线，但它不一定具有标准方程的形式。
（4）双曲线离心率的两种表示方法：到相应准线的距离点的距离到焦点点M F M a c e ==准线方程为：双曲线焦点在x 轴：c a x 2±=双曲线焦点在y 轴：ca y 2±=3、双曲线的标准方程与几何性质4. 焦半径公式（1）当M （x 0，y 0）为22a x －22b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。
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范围
顶点 焦点 对称轴
对称中心 长（实）轴与 长实轴的长 短（虚）轴与 短（虚）轴的 长 渐进线
离心率
e=_____ ______
离心率越大，开口越
问题 3：观察特征矩形，你从中都能看出什么性质
F1 A1
F2 A2
F1 A1
A 3
4 F2 A2
问题 4：. 等轴双曲线 a=b，渐近线方程为 ________, 离心率 =_________. 问题 5: 写出如图两个双曲线的方程和渐近线的方程，
m m 0 渐近线 ________，是 ____________.
问题 8： 如何求一个双曲线的渐近线方程。
二、典型例题 :
例 1 求双曲线 x 2 4
y2 1 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
3
练习： P61练习1
例 2 已知双曲线的中心在原点，焦点在 方程
y 轴上，焦距为 16，离心率为 4 ，求双曲线的标准 3
从中你发现了什么规律？
问题 6：在同一坐标系中，画出 x2 y 2 1 与 x 2 y 2 1 ，并写出他们的渐近线方程，你
16 9
64 36
发现了什么规律？
问题 7：由上面的做图我们发现
x2
2
y2
2
1与
x2
2
ab
ka
y2
2
kb
1 渐近线 _________________,
x2 与 a2
y2 b2
§2.3.2 双曲线的几何性质⑴
编写人： 班级：
教学目标
审核人： 姓名：
高二数学组
时间： 2011 年 11 月
学号：
1. 理解双曲线的简单几何性质，如范围、对称 性、顶点、渐近线和离心率等 ;
2. 能用双 曲线的简单几何性质解决一些简单问题 .
教学重点： 双曲线的几何性质及初步运用
教学难点： 双曲线的渐近线 教学过程：
练习： P61练习 2 例 3 求与双曲线 x2 y2 1共渐近线， 且经过 A 2 3, 3 点的双曲线的标准方及离心率．
16 9
课堂小结：
巩固练习： 1. 求双曲线的标准方程：
⑴离心率 e 2 ，经过点 M 5,3 ⑵渐近线方程为 y
2 x, ，经过点 M
9 ,1
3
2
2. 双曲线 x 2 y 2 1 实轴和虚轴长分别是（ ）． 16 8
.
一、问题导学： 问题 1： 双曲线上的点满足（用符号） _____________________
其标准方程是 _____________________________ ，其中 a，b，c满足 ____________________. 问题 2： 椭圆与双曲线的几何性质，填下表
标准方程
观察图形，把 握对称性` 开 放性和特殊点
5. 已知双曲线 x2 y 2 1的离心率为 e 2 ，则 k 的范围为（
）
4k
Ａ． 12 k 1 Ｂ． k 0 Ｃ． 5 k 0 Ｄ． 12 k 0
6. 双曲线
x2
2
y2 2 1 的两 条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为
ab
__________
7. 经过点 A( 3,-1 ) ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
_______ ．
பைடு நூலகம்
8. 设 P 是双曲线
x2 a2
y2 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为
9
3x 2 y 0 ， F1， F2 分别
是双曲线的左、右焦点，若 PF1 3 ，则 PF2 的值为 ______________
9. 求与椭圆 x 2 y 2 1 有共同焦点，渐近线方程为 x 16 8
3 y 0的双曲线方程
A． 8、4 2
B.
8、2 2 C ． 4、4 2 D.
4、2 2
3. 双曲线
2
x
2
y
4 的顶点坐标是（ ）．
A．(0, ± 1)
B ．(0, ± 2) C ．( ± 1,0)
4. 双曲线 x 2 y 2 1 的离心率为（ ）． 48
D ．（ ± 2,0 ）
A． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 2