高一数学第一学期期末试卷
福建福州市2023-2024高一上学期期末质量检测数学试卷及答案
2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟1月期末学业联考高一数学试卷考试范围：必修一命题教师：审核教师：考试时间：1月3日完卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。
1．集合A={x∣−2<x≤2},B={−2,−1,0,1},则A∩B=A．{−1,1,2}B．{−2,−1,0,1}C．{−1,0,1}D．{−2,−1,0,1,2}2．若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是3．函数y=−|ln(x−1)|的图象大致是A．B．C．D．4．命题p：α是第二象限角或第三象限角，命题q：cosα<0，则p是q的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件A．110%B．120%C．130%D．140%7．命题“对∀x∈[1,2]，ax2−x+a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是8．已知f(x)=ax2−1是定义在R上的函数，若对于任意−3≤x1<x2≤−1，都有f(x1)−f(x2)<2，则实数x1−x2a的取值范围是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。
9．下列大小关系正确的是A．20.3<20.4B．30.2<40.2C．log23<log48D．log23>log32 10．设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是A．当k>1，有1个零点B．当k>1时，有3个零点C．当k<0时，有9个零点D．当k=−4时，有7个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为cm2．四、解答题：本大题共6小题，满分70分。
除第17小题10分以外，每小题12分。
高一数学上学期期末试卷(一)
高一期末数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={x|x2−16<0}，B={−5,0,1}，则( )A. A∩B=⌀B. B⊆AC. A∩B={0,1}D. A⊆B2. 若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，则f(3)=( )B. √3C. 3D. 9A. 133. 祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何体体积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数y=4x的图象大致为( )x2+1A. B.C. D.5. 设a=log30.4，b=log23，则( )A. ab>0且a+b>0B. ab<0且a+b>0C. ab>0且a+b<0D. ab<0且a+b<06. 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是小时( )A. 6B. 12C. 18D. 247. 黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12，根据这些信息，可得sin54°=( )A. 2√5−14B. √5+14C. √5+48D. √5+388. 已知函数f(x)={12x+1,x ≤0lgx,x >0，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|，则a +b +c +d 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (−2,8110] C. (−2,6110] D. (0,8110]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
学科网高一数学试卷期末
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则函数的最小值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则第10项$a_{10}$为（）。
A. 17B. 19C. 21D. 233. 已知直线$y = kx + b$经过点$A(1, 2)$和点$B(3, 4)$，则$k$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z| = 1$，则$\overline{z}$的值为（）。
A. $a - bi$B. $-a + bi$C. $-a - bi$D. $a + bi$5. 在三角形ABC中，$A = 60^\circ$，$AB = 4$，$AC = 6$，则$BC$的长度为（）。
A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知函数$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$，则函数的定义域为（）。
A. $(-\infty, +\infty)$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$D. $(0, +\infty)$7. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，公比$q = \frac{1}{2}$，则第5项$a_5$为（）。
A. 2B. 1C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{1}{4}$8. 已知圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$，则圆心坐标为（）。
A. (2, 3)B. (3, 2)C. (2, -3)D. (-3, 2)9. 若向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 810. 在等腰三角形ABC中，$AB = AC$，$AD$是底边BC上的高，若$BD = 3$，则$AD$的长度为（）。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量（）A．（8，1） B． C． D．2.若函数在给定区间上，存在正数，使得对于任意，有，且，则称为上的级类增函数，则以下命题正确的是（）A．函数是（1，+∞）上的1级类增函数B．函数是（1，+∞）上的1级类增函数C．若函数为[1，+∞）上的级类增函数，则实数的取值范围为D．若函数为上的级类增函数，则实数的最小值为23.下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A． B． C． D．7.在中，，，其的面积等于，则等于（）A． B．1 C． D．8.已知角的终边过点且，则的值为（）A．－ B． C．－ D．9.直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定10.对于，，下列命题中，正确命题的个数是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A． B． C． D．11.函数的定义域是：( )A． B． C．∪ D．∪12.函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．13.、函数的图象为C：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；以上三个论断中，正确论断的个数是（）A．0 B．1个 C．2个 D．3个14.（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i15.下列说法中，正确的是（）A．任何一个集合必有两个子集B．若C．任何集合必有一个真子集D．若为全集，16.若函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．17.．一等腰三角形的周长是20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为A．B．C．D．18.给定两个长度均为的平面向量和,它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示，若+，其中,,则的最大值是（）A． B． C． D．19.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （）A． B． C． D．220.若，，则的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题21.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为____________22.已知等差数列的前项和为，若，且，，三点共线（该直线不过点），则=_____________．23.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2asinB＝b，则角A等于________．24.将函数f(x)=sin(wx+j)(w>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则w的最小值是_________．25.若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.26. .27.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m.28.已知一个容量为80的样本，把它分为6组，第三组到第六组的频数分别为10，12，14，20，第一组的频率为0.2，那么第一组的频数是________；第二组的频率是_______。
2022-2023学年山东省泰安市高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
（3）若函数 满足性质P(T)，求证：函数 存在零点.
20．已知函数 是R上的奇函数.
（1）求a的值，并判断 的单调性；
（2）若存在 ，使不等式 成立，求实数b的取值范围.
21．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐
月租
本地话费
长途话费
套餐甲
2、A
【解析】由题可得分针需要顺时针方向旋转 .
【详解】分针需要顺时针方向旋转 ，即弧度数为 .
故选：A.
3、C
【解析】由集合 ， ，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选 ．
【点睛】考查列举法的定义，以及 图表示集合的方法,属于基础题．
4、D
C.3D.2
7．已知命题 ： ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8．已知a＝log23＋log2 ，b＝log29－log2 ，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）
A.a＝b<cB.a＝b>c
C.a<b<cD.a>b>c
9．已知点 是第三象限的点，则 的终边位于（）
A.第一象限B.第二象限
20、（1） ， 为 上的增函数；
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)
高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。
北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。
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高 一 数 学第一学期期末试卷一、选择题(共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，满分60分。
) 1．非空集合S 、T 、P 满足关系式⋃⋂S T=T,T P=T ，则S 、P 间的关系为（ ） A 、S=P B 、⊂S P C 、⊂P S D 、⋂∅S P ＝2．从集合A ={a ,b }到集合B ={x ,y }可以建立的映射有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3．“|x|<2”是“|x+1|<1”的A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件4．a 、b 、c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2+bx+c=0 （ ）A 、有两不等实根B 、有两相等实根C 、无实根D 、有两符号不相同的实根5．若函数()f x 的值域为[0,1]，则函数(2)f x +的值域为（ ） A 、[2,3] B 、[2,1]--C 、[1,2]D 、[0,1]6．直线y=1与函数y=log a |x|的图象交于A 、B 两点，则|AB|等于（ ） A 、1 B 、2 C 、a D 、2a7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3xf x =,那么(1)f 的值是（ ） A 、13- B 、13C 、3-D 、38．设数列}{n a 的前项和2n S an bn =+ （,a b 为常数）且12324a a a ++=-，18192078a a a ++= 则20S =（ ） A 、160 B 、180C 、200D 、2209．若函数(21)f x +的定义域为[1,4]，则(3)x f 的定义域为（ ） A 、33(,log ]2-∞ B 、39[3,3] C 、[1,2] D 、(1,2)10．下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（1）我离开家不久，发现作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
A 、（1）（2）（4）B 、（4）（2）（3）C 、（4）（1）（3）D 、（4）（1）（2）（1）（2）（3）（4）11．将奇函数()y f x =的图像沿x 轴的正方向平移1个单位所得图像为C ，又设图像/C与C 关于原点对称，则/C 对应的函数为（ ）A 、(1)y f x =+B 、(1)y f x =-+C 、(1)y f x =-D 、(1)y f x =--12．函数()f x 在[2,2]-上是减函数，函数(2)y f x =+是偶函数，下列不等式成立的是（ ） A 、(1)(1)(4)f f f -<< B 、(1)(4)(1)f f f <<- C 、(1)(4)(1)f f f -<< D 、(4)(1)(1)f f f <<-二、填空题(4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．共16分) 13．在等差数列}{n a 中，前项和为n S ，若990S =，则5a 的值为 ；14．函数212()log (2)f x x =-单调减区间为 ；15．已知函数2()1(2)f x x x =-≤-， 则其反函数是 ；16．定义一种运算“⊗”对于一切正整数n ，同时满足以下运算：（1）111⊗=；（2）(1)12(1)n n +⊗=⊗ 。
则1n ⊗用含n 的代数式表示为 。
三、解答题（本题共6小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知集合{||4|6}A x x =-≤，{|||3}B x x a =+≥ 且A B R ⋃=（R 为实数集）。
求实数a 的取值范围。
（12分）18．若,αβ是方程220x m += （0m >）的两实根，且,,ααββ-成等比数列。
（1）求m 的值； （2）数列}{n a ，1(1)n a n n =+，前n 项和为n S ，求证：21log log 22n m m S ≤<（12分）19．函数()y f x =定义域为(0,)+∞，且同时满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+；（3）当0x y >>时，有()()f x f y >。
若()(3)2f x f x +-≤，试求x 的取值范围。
（12分）20．设函数2()log log 2(01)x f x x x =-<<，数列{}n a 的通项n a 满足*(2)2()n a f n n N =∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定数列{}n a 的单调性。
（12分）21．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2003年底全县的绿化率已达30%。
从2004年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，2003年底绿化面积为,1031=a 经过n 年后绿化总面积为.1+n a 试求1n a +与n a 的关系式；（2）至少需要几年，才能使全县的绿化率达到60%？（年取整数，3010.02lg =）（12分）22．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：（1）对于任意正实数a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中p 是正实常数； （2）1)2(-=p f ；（3）当1>x 时，总有p x f <)(.求（Ⅰ）求)21()1(f f 及的值（写成关于p 的表达式）； （Ⅱ）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数；（Ⅲ）设(2)()n n a f n N =∈，数列}{n a 的前n 项和为S n当且仅当n=5时，S n 取得最大值. 求p 的取值范围。
（14分）参考答案一、选择题（把选项代号填入下表，每题5分。
满分60分）二、填空题(4小题，每题填对得4分，否则一律是零分．共16分)13． 10 ； 14．)+∞ ；15．1()(3)fx x -=≥； 16．12n - 。
三、解答题（本题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）解： {|210}A x x =-≤≤ ――――――――――――――2分{|33}B x x a x a =≤--≥-或 ――――――――――4分A B R ⋃=得分32310a a --≥-⎧∴⎨-≤⎩ ―――――――――――――――――8分得17a a ≤-⎧⎨≥-⎩――――――――――――――――――10分故[7,1]a ∈-- ―――――――――――――――――12分18．（12分）解：（1） ,,ααββ-成等比数列∴22()()5αβαβαβαβ-=+=即 ―――――――1分又αβ+=2m αβ= ―――――――――――2分221040105m m ⎧=->∴⎨=⎩―――――――――――――3分得0m m => ―――――――――――――4分故m = ―――――――――――――――――5分（2）111(1)1n a n n n n ==-++ ――――――――――――――――――6分又1211111(1)())2231n n S a a a n n =++=-+-+-+……(111n =-+ ――7分m =211log ,log 2122m m ∴== ――――――――――――――――――9分 *1111,102122(1)n n n N S n n -∈∴-=--=≥++ ――――――――――10分1101n S n ∴-=>+ ―――――――――――――――――――――――11分故21log log 22n m m S ≤< ――――――――――――――――――――12分19. （12分）解：令2x y ==，这由条件① ②得(4)2(2)2f f == ――――――――――――――――――2分 又由②得：()(3)[(3)]2(4)f x f x f x x f +-=-≤= ――――4分 又由③得：203034x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩―――――――――――――――――8分0314x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪-≤≤⎩―――――――――――――――10分 解得：34x <≤则x 的取值范围为{|34}x x <≤ ―――――――――――――12分 20. （12分）解：（1）2()log log 2x f x x =- 221(2)log 2log 2n n na a a f =-――――――――――――2分 12n na n a =-= 即2210n n a na --= ―――――――――――――――3分 又0210n an a <<∴< ―――――――――――――――4分n a n ∴=- ――――――――――――――――――6分（2）又11n a n +=+-得分得分得分11n n a a +∴-=+―――――――――――――――――7分0==> ―－10分1n n a a +∴> ―――――――――――――――――――――――－11分故数列{}n a 是递增数列 ―――――――――――――――――――12分（另解:n a =――8分，又n b n =+(0n b >)－10分1n b 为递减数列 ――11分 1n na b ∴=-是递增数列 ――12分) 21. （12分）（1）解：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下： 1+n a =n a %16)1(%)41(⋅-+-⋅n a ―――――――3分即1+n a =80%n a +16%=54n a +254――――――――――5分（2）解：由1+n a =54n a +254可得：-+1n a 54=54（-n a 54）=（54）2（--1n a 54）=…=)54()54(1-a n故有1+n a =54)54(21+-n ――――――――――――――――――――7分若1+n a .53≥则有54)54(21+-n .53≥即1)54(21-≥n ――――――――――8分两边同时取对数可得)12lg 3)(1()5lg 2lg 2)(1(2lg --=--≥-n n ――9分故412lg 312lg >+-≥n ―――――――――――――――――――――11分故使得上式成立的最小*N n ∈为5。