高考数学三轮复习：(文数)“5+2选1”解答题限时练(一)
新高考高三数学滚动测试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \)，则 \( f'(x) \) 的零点为：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)2. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，且 \( A \) 在第二象限，则 \( \cos A \) 的值为：A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)3. 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \( a_1 = 3 \)，\( a_5 = 15 \)，则该数列的公差 \( d \) 为：A. 3B. 4C. 5D. 64. 若 \( \overrightarrow{a} = (1, 2) \)，\( \overrightarrow{b} = (2, -1) \)，则 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \) 的值为：A. 5B. -5C. 35. 在直角坐标系中，点 \( P(2, 3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为：A. \( (2, 3) \)B. \( (3, 2) \)C. \( (-2, -3) \)D. \( (-3, -2) \)6. 若 \( a^2 + b^2 = 10 \)，\( ab = 2 \)，则 \( a^2 - b^2 \) 的值为：A. 6B. 8C. 10D. 127. 在三角形 \( ABC \) 中，若 \( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则 \( \angle C \) 的度数为：A. 75^\circB. 105^\circC. 135^\circD. 165^\circ8. 已知函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \)，则该函数的极值点为：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)9. 若 \( \log_2 x + \log_2 y = 3 \)，则 \( xy \) 的值为：A. 8C. 32D. 6410. 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \( a_1 = 2 \)，\( a_4 = 16 \)，则该数列的公比 \( q \) 为：A. 2B. 4C. 8D. 1611. 若 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，且 \( \theta \) 在第三象限，则\( \tan \theta \) 的值为：A. \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)C. \( -\sqrt{3} \)D. \( \sqrt{3} \)12. 在直角坐标系中，点 \( P(-2, 3) \) 关于原点的对称点为：A. \( (-2, 3) \)B. \( (2, -3) \)C. \( (-2, -3) \)D. \( (2, 3) \)13. 若 \( a^2 + b^2 = 25 \)，\( ab = 5 \)，则 \( a^4 + b^4 \) 的值为：A. 50B. 75C. 10014. 在三角形 \( ABC \) 中，若 \( \angle A = 30^\circ \)，\( \angle B = 75^\circ \)，则 \( \angle C \) 的度数为：A. 45^\circB. 60^\circC. 75^\circD. 90^\circ15. 已知函数 \( y = x^3 - 9x^2 + 24x \)，则该函数的拐点为：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)16. 若 \( \log_3 x + \log_3 y = 2 \)，则 \( xy \) 的值为：A. 9B. 27C. 81D. 24317. 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \( a_1 = 3 \)，\( a_5 = 243 \)，则该数列的公比 \( q \) 为：A. 3B. 9C. 27D. 8118. 若 \( \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，且 \( \theta \) 在第二象限，则 \( \tan \theta \) 的值为：A. \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( -\sqrt{2} \)D. \( \sqrt{2} \)19. 在直角坐标系中，点 \( P(3, 4) \) 关于直线 \( y = -x \) 的对称点为：A. \( (3, 4) \)B. \( (-3, -4) \)C. \( (4, -3) \)D. \( (-4, 3) \)20. 若 \( a^2 + b^2 = 50 \)，\( ab = 10 \)，则 \( a^4 + b^4 \) 的值为：A. 100B. 150C. 200D. 250二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）21. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \)，求 \( f'(x) \) 并求 \( f(x) \) 的单调区间。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。
新课标高考数学一轮复习限时训练1(含答案)
高三数学（理科） 1 / 5限时训练（一）1、已知集合{}21A x x x =><-或，{}B x a x b =≤≤。
A B R = ，A B = {}24x x <≤，则b a 的值为.2、下列命题： ①2log log 22x x +≥成立的充要条件是1x >；②“若0a b >>且0c <，则c c a b>”的逆否命题是真命题； ③命题“x R ∀∈，n N *∃∈，使得2n x < 不成立”的否定形式是“x R ∃∈，n N *∀∈，使得2n x ≥成立”；④若[]1,1x ∀∈-，不等式212x x x m -+>+均成立，则(),1m ∈-∞-；若[]1,1x ∃∈-，使得不等式212x x x m -+>+成立，则(),5m ∈-∞。
其中真命题是 。
3、已知函数()()35121a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩。
①当4a =时，求解不等式()1f x >；②若()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围4、已知函数()1f x +为偶函数，当(),1x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1b f =-，()2c f =，则a 、b 、c 大小关系为。
高三数学（理科） 2 / 55、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单增，则方程()()23f x f x =-的所有实数根的和为 。
6、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有()()2f x f x +=-，当[]0,2x ∈时()22f x x x =-，则()()()()()0+12+32018f f f f f +++= 。
7、已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
若实数a 满足()(12a f f ->，试求实数a 的取值范围。
2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)解析版
2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01（新高考专用）测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与基本初等函数一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2024·全国·高考真题）集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,52．（2024·江苏南通·三模）已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()(22)x x f x x -=-，则(2)(21)f x f x ->+的解集为（）A ．(,3)-∞-B ．()3,3-C ．13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(3,)-+∞4．（2024·全国·高考真题）已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞5．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数()()2e cos 2e e 1x xx f x =-（e 为自然函数的底数）的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．（2024·福建福州·模拟预测）当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）A ．0.57hB ．1.36hC ．2.58hD ．3.26h7．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A ．12122log 22y y x x ++>B ．12122log 22y y x x ++<C ．12212log 2y y x x +>+D ．12212log 2y y x x +<+8．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A ．6m /s74B ．6m /s72C ．2m /s7D ．2/s7二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．（2024·河南·三模）已知函数()()lg 1f x x =-，则（）A ．()f x 的定义域为(),1-∞B ．()f x 的值域为RC ．()()141f f -+-=D ．()2y f x =的单调递增区间为()0,110．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，()()*1()()1,N n n g x f g x n n -=>∈．且关于x 的函数()2*1()N ni i y x g x n ==+∈∑．则（）A ．()n g x x n =+或()1n g x nx =+B ．22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．当2n ≤时，存在关于x 的函数y 在区间(,1]-∞-上的最小值为6，0n =D ．当2n >时，存在关于x 的函数y 在区间(,1]-∞-上的最小值为6，4n =11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x +=-+，()()2g x f x ='+'，且()2f x +为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．()()202320252g g +=-C ．()202310k f k ==∑D ．()20231k g k ==∑三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)12．（2024·山东济宁·三模）已知函数410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13．（2024·重庆·模拟预测）已知()22ln f x x x x=-+，若实数m ，n 满足()210f m f n⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则214m n +的最小值为14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为；若nx 为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为.四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(13分)（22-23高一上·山东济南·期末）已知集合{A x x a =<或}2x a >+，{}139x B x -=≥.(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围.16.(15分)（23-24高三上·山东威海·期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ,,,记ABC 的面积为S 2AB AC S ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若a =，求22b c +的最大值.17.(15分)（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数()212x x f x a+=+为奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性（不用证明）；(3)设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．18.(17分)（2024·湖南长沙·模拟预测）设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.19.(17分)（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果()123,,,,2n x x x x n ⋅⋅⋅≥是关于x 的实系数一元n 次方程()111000n n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠在复数集C 内的n 个根，则()123121311231242101231,2,3,,1.n n nn n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x x x a a x x x x x x x x x a a x x x x a ----⎧+++⋅⋅⋅+=-⎪⎪⎪-++⋅⋅⋅+=⎪⎪⎪-⎨++⋅⋅⋅+=-⎪⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⎪⎩试运用韦达定理解决下列问题：(1)已知,,R a b c ∈，1a b c ++=，0ab bc ca ++=，求333a b c ++的最小值；(2)已知,R a b ∈，关于x 的方程()()32200x a x bx a a +-+-=>有三个实数根，其中至少有一个实效根在区间()0,a 内，求2a b -的最大值．参考答案：1．D【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．A【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立.【详解】若z z =，则R z ∈，则2z z =，故充分性成立；若22z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，222i z a ab b =--，则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立，则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件，故选：A 3．C【分析】根据奇偶性定义得出()f x 为R 上偶函数，当0x >时，得出()0f x '>，即可得出()f x 的单调性，将(2)(21)f x f x ->+转化为22(2)(21)x x ->+，求解即可．【详解】()f x 定义域为R ，(22)(22)()()x x x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为R 上偶函数，当0x >时，221()22(22)ln 2ln 2(22)2x xxxxx x xf x x x ----'=-++=++，因为2221,210,20x x x ->->>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，所以22(2)(21)|2||21|(2)(21)f x f x x x x x ->+⇔->+⇔->+，整理得，(3)(31)0x x +-<，解得1(3,)3x ∈-，故选：C ．4．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.5．A【分析】由函数的奇偶性可排除B ，C ；再由x 趋近0+，()0f x >，排除D ，即可得出答案.【详解】()()2e cos 2e e 1x xx f x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222e cos 2e e e cos2e 1e e 1e x x x x x xx x f x f x --⎡⎤-⋅⎣⎦-===---⋅，所以()f x 为奇函数，故排除B ，C ；当x 趋近0+，2e 1x >，所以2e 10x ->，()e >1,cos 2e 0xx >，所以()0f x >，故排除D.故选：A.6．C【分析】设经过t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得．【详解】设经过t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，由题意得：()()800125%500110%tt⨯-=⨯-，整理得：5568t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取常用对数得：55lg lg 68t =，即()lg5lg 6lg5lg8t -=-，即(12lg 2lg 3)14lg 2t --=-，所以14lg 212lg 2lg 3t -=--，即140.3012.58120.3010.477t -⨯≈≈-⨯-，所以大约经过2.58h 时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．故选：C ．7．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==21,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.8．B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BC AB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.9．ABC【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A 、B ，求出()()14f f -+-利用对数运算法则即可求解C ，根据复合函数的单调性即可判断D.【详解】对AB ，由10x ->，得1x <，则()f x 的定义域为(),1∞-，值域为R ，A ，B 均正确；对C ，()()14lg2lg5lg101f f -+-=+==，C 正确；对D ，因为()()22lg 1f x x =-，所以lg y u =，外层函数为增函数，21u x =-，令210x ->，所以函数定义域为()1,1-，内层函数21u x =-，在()1,0-上单调递增，()0,1上单调递减，所以()2y f x =的单调递增区间为()1,0-不是()0,1,D 错误.故选：ABC 10．ABD【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A ，根据A 及求和公式化简即可判断B ，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数n 可判断CD.【详解】因为1()()1g x f x x ==+，()1()()n n g x f g x -=，所以2()(1)2g x f x x =+=+，3()(2)3g x f x x =+=+，依次类推，可得()n g x x n =+，故A 正确；由A 选项知，()22222112()(12)242ni i n nn n n y x g x x x x x n x nx x =+⋅+⎛⎫=+=+++++⋯++=++=++ ⎪⎝⎭∑，故B 正确；当2n ≤时，22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴12n x =-≥-，所以y 在区间(,1]-∞-上单调递减，故当=1x -时，22min 2242642n n n n y -+-+===，方程无整数解，故C错误；当2n >时，22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴1(,1]2n x =-<-∈-∞-，所以当2n x =-时，2min 264n ny +==，解得4n =，故D 正确.故选：ABD 11．AC【分析】对于A ：由()()2g x f x ''=-可设()()2g x f x a =-+，根据题意分析可得2a =-，()()2f x f x =-，即可得结果；对于C ：结合奇偶性可得函数()f x 的周期4T =，结合周期性分析求解；对于B ：分析可知()()2g x f x =--，根据周期性分析求解；对于D ：结合选项BC 中的结论运算求解.【详解】对于选项A ：因为()()2g x f x ''=-，则()()2g x f x a =-+，可得()()42g x f x a -=-+，又因为()()42f x g x --=，可得()()22f x f x a =-++.令1x =，可得()()112f f a =++，解得2a =-，可得()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，A 正确；对于选项C ：因为()2f x +为奇函数，可知()y f x =的图象关于点()2,0对称，且()()220f x f x ++-=，令0x =，可得()220f =，即()20f =；令1x =，可得()()130f f +=；令1x =，可得()()400f f +=；由函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可得()00f =；所以()40f =，又因为()()()22f x f x f x +=--+=-，则()()()24f x f x f x =-+=+，可知函数()f x 的周期4T =，所以()()()()()()()()2023150512341230k f k f f f f f f f =⎡⎤=⨯++++++=⎣⎦∑，故C 正确；对于选项B ：由AC 可知()()()()22222g x f x f x f x =--=+-=--，可得()()()20232021212g f f =-=-，()()()20252023232g f f =-=-，所以()()()()2023202512324g g f f +=-+-=-，故B 错误；对于选项D ：可得()()()2023202320231112220234046k k k g k f k f k ===⎡⎤=--=--⨯=-⎣⎦∑∑∑，故D 错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．12【分析】利用已知的分段函数，可先求11()22f =-，再求1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】因为410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，，所以44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.13．4【分析】利用导数求解函数单调性，由()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21mn =，即可利用不等式求解最值.【详解】由()()22ln 0f x x x x x =-+>可得()22120f x x x '=++>，故()22ln f x x x x =-+在()0,∞+单调递增，而()12212ln2ln 0f x f x x x x x xx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，故()210f m f n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21m n =，22211444m n n n ++≥==，当且仅当2214n n =，即212n =时取等号，故答案为：414．31【分析】利用给定定义，整理出3122331n n n x x x ++=+，求值解决第一空即可，利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=，进而得到n T ，再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+，设切点为()3,3n n n x x x +-，由切线几何意义得斜率为231n x +，故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-，由给定定义知1(,0)n x +在该直线上，代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++，当00x =时，易知13x =，故r 的1次近似值为3，由33323n nn n x x a x +=+得，331323n n n n n x x x x a x ++==+，121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ，而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，且()2310f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f <，()20f >，故()()21f f ⋅<0，由零点存在性定理得(1,2)r ∈，由题意得1333(,3)2n xr +→∈，故32λ<，而λ是整数，故m 1ax λ=，故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出1n nn x x a +=，求出n T ，得到所要求的参数最值即可．15．(1){2x x <或}3x ≥；(2)1a <.【分析】（1）化简B ，根据并集的概念可求出结果；（2）转化为B 是A 的真子集，再根据真子集关系列式可求出结果.【详解】（1）当2a =时，{2A x x =<或}4x >，由139x -≥，得3x ≥，所以{}3B x x =≥，所以{2A B x x ⋃=<或}3x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，故23a +<，解得1a <.16．(1)π3A =(2)24【分析】（1）根据向量数量积公式及面积公式求出角A 即可；（2）应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.【详解】（12AC S ⋅=cos sin A bc A =，可得tan A =因为0πA <<，所以π3A =.（2）由余弦定理可知222π2cos3a b c bc =+-，即2212b c bc =+-，因为222b c bc +≥，所以222b c bc +≤，所以2222122b c bc b c +=+-≤，可得2224b c +≤，当且仅当b c ==22b c +的最大值为24.17．(1)1a =-(2)()f x 在()0,∞+，(),0∞-上单调递减.(3)13,4m ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）考虑0a ≥和a<0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.（2）确定定义域，设()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x <，计算()()120f x f x ->，得到单调性.（3）根据单调性确定(]0,1x ∈时()f x 的值域[)3,A ∞=+，设[]2log ,1,3t x t =∈，换元得到二次函数，计算()g x 最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.【详解】（1）由已知函数需满足20x a +≠，当0a ≥时，函数的定义域为R ，函数()212x x f x a+=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即212122x x x xa a--++=-++在R 上恒成立，即()()1210x a ++=，1a =-（舍），当a<0时，()2log x a ≠-，函数的定义域为()()()()22,log log ,a a ∞∞--⋃-+，又函数()212x x f x a +=+为奇函数，所以()2log 0,1a a -==-，此时()2121x x f x +=-，函数定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()()21212121x x x x f x f x --++-===---+，函数为奇函数，满足，综上所述：1a =-；（2）()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，证明如下：()21212121x x xf x +==+--，定义域为()(),00,∞∞-⋃+，设()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭因为()12,0,x x ∞∈+，且12x x <，所以21121120,20,220x x x x --->>>，所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，同理可证，所以()f x 在(),0∞-上单调递减；所以()f x 在()0,∞+，(),0∞-上单调递减.（3）函数()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，且当(),0x ∞∈-时，()0f x <，当()0,x ∞∈+时，()0f x >，(]20,1x ∈时，()()13f x f ≥=，所以当(]0,1x ∈时()f x 的值域[)3,A ∞=+，又()()()[]2222log log log 1log 2,2,824x xg x m x x m x =⋅+=--+∈，设[]2log ,1,3t x t =∈，则()()21232y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，取最小值为14m -+，当3x =时，取最大值为2m +，即()g x 在[]2,8x ∈上的值域1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，又对任意的[]12,8x ∈，总存在(]20,1x ∈，使得()()12g x f x =成立，即B A ⊆，所以134m -+≥，解得134m ≥，即13,4m ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.18．(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ；（2）要证原等式成立，只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，结合（1）可是1cos32θ=，可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，计算可得结论.【详解】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-，因此()3343P x x x =-，即32343ax bx cx d x x +++=-，则4,0,3a b d c ====-，（2）()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-，()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.（3）函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，则123π5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππππcoscos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1230x x x ++=.19．(1)59(2)4【分析】（1）构造函数()32,f x x x abc --=求导()232f x x x '=-，根据函数的单调性求解极值，即可得4027abc -<<，进而可求解，（2）根据韦达定理可得2m n k a mn mk nk b nmk a++=-⎧⎪++=⎨⎪=⎩，即可表达出24k m n k ++≥，进而化简可得a b mk nk k =++，即可根据()()()211222k a b m n k kk -⎛⎫--++-+ ⎪⎝⎭=，利用不等式求解.【详解】（1）根据韦达定理可设,,a b c 是320x x abc --=的三个实数根，令()()322,32f x x x abc f x x x '---==，当2,03x x ><时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增，当203x <<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，故()f x 的极大值为()0,f abc -=极小值为24,327f abc ⎛⎫- ⎪⎝⎭=由于,,a b c 不可能相等，否则13a b c ===，与0ab bc ca ++=矛盾，故()32f x x x abc --=有两个或者三个零点，则240327f abc ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭=且()00f abc -≥=，故4027abc -<<，由()()22222a b c ab bc ca a b c ++-++=++，结合1a b c ++=，0ab bc ca ++=，所以2221a b c =++由()()2223333a b c a b c ab bc ca a b c abc ⎡⎤++-++=-⎣⎦++++，所以33331a b c abc -++=，则333453131279a b c abc ⎛⎫=≥⨯+= ⎪⎝⎭+++-，故333a b c ++的最小值为59，（2）设方程的三个实数根分别为,,m n k ，其中0k a <<，由韦达定理可得2m n k a mn mk nk b nmk a ++=-⎧⎪++=⎨⎪=⎩，由()24m n mn +≥和0k >，得()240k m n mnk +-≥，当且仅当m n =时等号成立，又22m n k a mnk ++=-=-，故()()2420k m n m n k +-+++≥，()()()24480k m n m n k +-+-+≥，即()()()()2240240m n mk nk k a k mk nk k +++--≥⇒-+--≥，由0k a <<，得240mk nk k +--≥，因此24k m n k++≥，当且仅当m n =时等号成立，由mn mk nk b ++=和nmk a =可得ab mk nk k=++，结合2n m k a ++=-可得()()()()()()21111222222k a b a m n k m n k m n k m n k k k kk -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+++-+=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，由于()210k k--≤以及24k m n k++≥，故()()()2221224122244k k k a b k kkk k --+⎛⎫-≤-⋅+-++≤ ⎪⎝⎭=-，当2k =时，且22k m n k+===时等号成立，此时8,12a b ==，符合0k a <<，综上可知2a b -的最大值为4，【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式(1)
由xx＋ ＋32≤0，得xx＋＋23≠0x＋，2≤0， 解得－3≤x<－2， 即q：B＝{x|－3≤x<－2}， 因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a， 即p：A＝{x|3a<x<a}， 若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A， 所以3aa≥<－－23，， 即－2≤a<－1.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
必刷小题1 集合、常用 逻辑用语、 不等式
一、单项选择题
1.(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么
集合A∩B等于
A.{－1,0,1,2}
B.{0,1,2,3}
√C.{0,1,2}
D.{－1,0,1,2,3}
因为 B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝x－12<x<3
，
故A∩B＝{0,1,2}.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为
A.16
√B.32
C.15
D.31
三、填空题 13.已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a 的取值范围为__[_2_，__＋__∞__)_.
∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B， ∴A与B的关系如图， ∴a≥2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
x＋3 14.设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足 x＋2 ≤0.当a<0时，若 p是q的必要条件，则实数a的取值范围是__[_－__2_，__－__1_)_.
2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()A.y=|x|B.y=x+3C.y=1D.y=-x2+42.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)3.(5分)函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是()A.12,15B.5,2C.2,1D.1,124.(5分)函数f(x)=2- +1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a6.(5分)(多选题)关于函数y=4-( +1)2,下列说法正确的是()A.在区间[-1,0]上单调递减B.单调递增区间为[-3,-1]C.最大值为2D.没有最小值7.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为,单调递减区间为.8.(5分)函数f(x)=-x+1 在[-2,-13]上的最大值是.9.(5分)函数y=2x+ -1的最小值为.10.(10分)已知函数f(x)= +2 .(1)写出函数f(x)的定义域和值域;(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值11.(10分)已知f(x)= 2+2 + ,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.【能力提升练】12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是()A.f(x)=x2+1 2B.f(x)=2x+2C.f(x)= -1 +1D.f(x)=lg( +1)13.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有 ( 1)- ( 2)1- 2>-1,则下列说法正确的是()A.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数14.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ( ), ≥0,- ( ), <0.(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()A.y=|x|B.y=x+3C.y=1D.y=-x2+4【解析】选AB.函数y=1 与y=-x2+4在(0,1)上都是减函数.2.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选C.由复合函数的单调性知,要使f(x)单调递增,需 2-4>0,>0,解得x>2.3.(5分)函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是()A.12,15B.5,2C.2,1D.1,12【解析】选A.因为y=x2+1在(0,+∞)上单调递增,且y>1,所以f(x)=1 2+1在区间[1,2]上单调递减,所以函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)=112+1=12,f(2)=122+1=15.4.(5分)函数f(x)=2- +1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)【解析】选D.因为f(x)=2- +1=-1+3 +1在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,且当x∈(m,n]时最小值为0,即f(n)=0,n=2,所以m<n=2.又函数f(x)的定义域分为两段,x=2在(-1,+∞)上,故m≥-1,综上,-1≤m<2.5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a【解析】选A.因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2),因为x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递增,因为2<2<3,所以f(2)<f(2)<f(3),即f(2)<f(-2)<f(3),所以a<b<c.6.(5分)(多选题)关于函数y=4-( +1)2,下列说法正确的是()A.在区间[-1,0]上单调递减B.单调递增区间为[-3,-1]C.最大值为2D.没有最小值【解题指南】先求出函数定义域,令t=4-(x+1)2,根据二次函数的性质,由已知解析式,逐项判断,即可得出结果.【解析】选ABC.由4-(x+1)2≥0得-3≤x≤1,即函数y=4-( +1)2的定义域为[-3,1].令t=4-(x+1)2,则t=4-(x+1)2的图象是开口向下、对称轴为x=-1的抛物线,所以函数t=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减.又y= 单调递增,所以y=4-( +1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,故A,B正确;y max=4-(-1+1)2=2,当x=-3时,y=4-(-3+1)2=0,当x=1时,y=4-(1+1)2=0,则y min=0,故C正确,D错误.7.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为,单调递减区间为.【解析】y=- 2+2 +1, ≥0,- 2-2 +1, <0,即y=-( -1)2+2, ≥0,-( +1)2+2, <0.画出函数图象如图所示,则其单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).答案:(-∞,-1]和[0,1][-1,0]和[1,+∞)8.(5分)函数f(x)=-x+1 在[-2,-13]上的最大值是.【解析】易知f(x)在[-2,-13]上单调递减,即f(-2)为最大值,为2-12=32.答案:329.(5分)函数y=2x+ -1的最小值为.【解析】方法1(单调性法):函数y=2x+ -1的定义域为[1,+∞),因为函数y=2x与y= -1在定义域[1,+∞)上均单调递增,故y=2x+ -1在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y min=2+1-1=2,即函数y=2x+ -1的最小值为2.方法2(换元法):令 -1=t,则t≥0,x=t2+1,所以原函数转化为f(t)=2t2+t+2=2(t+14)2+158,易知在t∈[0,+∞)时,函数f(t)单调递增,所以当t=0时,f(t)min=2,故函数y=2x+ -1的最小值为2.答案:210.(10分)已知函数f(x)= +2 .(1)写出函数f(x)的定义域和值域;【解析】(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.又f(x)=1+2 ,所以函数f(x)的值域为{y|y≠1}.(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.【解析】(2)由题意可设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1+2 1)-(1+2 2)=2 1-2 2=2( 2- 1) 1 2.又0<x1<x2,所以x1x2>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.在x∈[2,8]上,f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(8)=54.11.(10分)已知f(x)= 2+2 + ,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;【解析】(1)当a=12时,f(x)=x+12 +2,任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(12 1-12 2)=( 1- 2)(2 1 2-1)2 1 2.因为1≤x1<x2,所以x1x2>1,所以2x1x2-1>0.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72.(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(2)在区间[1,+∞)上,f(x)= 2+2 + >0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设g(x)=x2+2x+a(x≥1),则g(x)min>0.又g(x)=(x+1)2+a-1,其图象的对称轴为x=-1,且开口向上,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=3+a.由3+a>0,得a>-3,所以a的取值范围是(-3,+∞).【能力提升练】12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是()A.f(x)=x2+1 2B.f(x)=2x+2C.f(x)= -1 +1D.f(x)=lg( +1)【解析】选AD.对于A,f(x)=x2+1 2≥2,当且仅当x2=1 2,即x=±1时等号成立,故f(x)min=2,A正确.对于B,当x>0时,f(x)=2x+2 ≥2当且仅当2x=2 ,即x=1时等号成立;当x<0时,-f(x)=2(-x)+2- 当且仅当2(-x)=2- ,即x=-1时等号成立,故f(x)≤-4.所以f(x)=2x+2 的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最小值,B错误.对于C,f(x)= -1 +1=1-2 +1的值域为{y|y≠1},无最小值,C错误.对于D,由题意可得 ≥0 +1>0,解得x≥0,故f(x)=lg( +1)的定义域为[0,+∞).因为y=lg u在定义域内单调递增,u= +1在定义域[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg( +1)在定义域[0,+∞)上单调递增,则f(x)=lg( +1)≥f(0)=0,故f(x)=lg( +1)有最小值0,D正确.13.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有 ( 1)- ( 2)1- 2>-1,则下列说法正确的是()A.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数【解析】选A.不妨令x1<x2,所以x1-x2<0,因为 ( 1)- ( 2)1- 2>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)<g(x2),又x1<x2,所以g(x)=f(x)+x是增函数.14.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ( ), ≥0,- ( ), <0.(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;【解析】(1)因为f(-1)=0,所以b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,所以a=1,b=2,从而f(x)=x2+2x+1.所以F(x)=( +1)2, ≥0,-( +1)2, <0.(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.【解析】(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,所以g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-2- 2≤-2或-2- 2≥2,得k≤-2或k≥6.即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).。
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“5＋2选1”解答题限时练(一)
1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2a sin A ＝(2sin B －3sin C )b ＋(2sin C －3sin B )c .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，b ＝23，求△ABC 的面积．
2．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图1所示：
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；
(2)甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a 、b 、c 的值；
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．
3．已知长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A -BCD ，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，直线AB 与CD 能否垂直？若能，求出相应a 的值；若不能，请说明理由．
(2)求四面体A -BCD 体积的最大值．
4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12
，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问
是否为定值？若是，求出此定
值；若不是，请说明理由．
5．已知直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象相切，且f ′(1)＝e.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求n m
的取值范围．
6．[二选一](选修4－4)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝
⎛⎭⎫θ－3π4(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π);
(2)若直线l 与C 2相切，求a 值．
(选修4－5)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .
(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12
(x ＋1)； (2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．
参考答案
1．解：(1)由已知及正弦定理可得 2a 2＝(2b －3c )b ＋(2c －3b )c ，整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，
所以cos A ＝32
. 又A ∈(0，π)，故A ＝π6
. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，a ＝2，b ＝23，A ＝π6，得sin B ＝32
. 又B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，故B ＝π3或2π3
. 若B ＝π3，则C ＝π2，于是S △ABC ＝12
ab ＝23； 若B ＝2π3，则C ＝π6
， 于是S △ABC ＝12
ab sin C ＝ 3. 2．解：(1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5，乙组数据的中位数为75＋822
＝78.5. 从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散．
(2)由图易知a ＝0.05，b ＝0.02，c ＝0.01.
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数
之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P ＝16100＝425
. 3．解：(1)直线AB 与CD 能够垂直．
因为AB ⊥AD ，
若AB ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，
则有AB ⊥平面ACD ，
从而AB ⊥AC .
此时，a ＝BC 2－AB 2＝16－9＝7，
即当a ＝7时， 有AB ⊥CD .
(2)由于△BCD 面积为定值，所以当点A 到平面BCD 的距离最大，即当平面ABD ⊥平面BCD 时，该四面体的体积最大，
此时，过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ，垂足为H ，
则有AH ⊥平面BCD ，AH 就是该四面体的高．
在△ABD 中，AH ＝AB ·AD BD ＝125
， S △BCD ＝12
×3×4＝6， 此时V A -BCD ＝13S △BCD ·AH ＝245
，即为该四面体体积的最大值． 4．解：(1)已知椭圆的离心率为12
，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t >0，当△F 1PF 2面积取最大值3时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，
可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2
， 直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2
(x ＋2)， 直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2
(x ＋2)， 则R ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2
＋2，
＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1
＋2，＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2， 则
＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2 ＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋9
＋9＝0， 即
为定值0. 5．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 图象的切点为(x 0，f (x 0))．
由f (x )＝a e x ＋b 可得f ′(x )＝a e x .
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b ，a e ＝e ，
解得a ＝1，b ＝0.
(2)由(1)可知f (x )＝e x ，则存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0，32，使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立， 等价于存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0，32，使2m e x －1＋n e x ＝mx 成立．
∴n m ＝x －2e x －
1e x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －
1e x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32，则g ′(x )＝1－x e x ， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭
⎫1，32上单调递减．
∴g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝⎛⎭⎫32＝32e 32－2e ，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫32＝－32e 32
<0. ∴n m
的取值范围是⎝⎛⎦⎤－2e ，－1e . 6．[二选一](选修4－4)
解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2， 2 ]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y
＝2，联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)， 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为⎝
⎛⎭⎫2，π4. (2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．
由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2
＝2a ，故a ＝1. (选修4－5)
解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1. 当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)， 解得x ≤13
； 当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12
(x ＋1)， 解得x ≥3.
综上，不等式f (x )≥12
(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，
g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]， 由A ⊆[－1，3]，得⎩
⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，
解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2;
当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，
g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]， 由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，
解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3.
综上，a 的取值范围为[1，3]．。