专题7.1 与数学文化相关的数学考题(解析版)—20届高考压轴题讲义(选填题)
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1A y y ==+，{}30B x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞【答案】B【解析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可. 【详解】{{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cos sin33z i ππ=+，则3z 等于（ ）A ．12- B ．1- C ．12-D ．12-+ 【答案】B 【解析】根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可. 【详解】由题意得3cossin33iz i e πππ=+=，333()cos sin 1ii z e e i ππππ====-＋.故选：B本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3π-B．2313π-C．3πD．31π-【答案】B【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.【详解】如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）n≤？A．n是偶数？，100n≤？B．n是奇数？，100n<？C．n是偶数？，100n<？D．n是奇数？，100【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.【详解】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n是偶数？”；n=>结束，执行程序框图，当101100n≤？.所以第二个框应该填100故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11 B ．16 C ．10 D ．15【答案】D 【解析】首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可. 【详解】因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列， 数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D 【点睛】本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，所以()f x 为奇函数，排除C .221432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D 【点睛】本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是（ ） A ．10B ．132C 13D ．133【答案】B【解析】首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11bB b b -++， 1(,)11bC b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可.【详解】由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+. 因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11bC b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r因为54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r， 所以511b b b b =+-，解得32b =，2c =，2e =.故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意解出b ，c 的值为解题的关键，属于中档题.8．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，()20192020xf f x ⎡=⎤⎣⎦-.若()2sin 6g x x mx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],2-∞-D ．[]2,1--【答案】B【解析】首先设()2019xt f x =-，得到()2019xf x t =+在R 上的增函数，从而得到()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.再利用导数转化为max [2cos()]6m x π≥-+，即可得到答案. 【详解】由于()f x 连续可导且无极值，故函数()f x 为单调函数， 可令()2019xt f x =-（t 为常数），使()2020f t =成立，故()2019xf x t =+，故()f x 为R 上的增函数.故()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.()2cos 06g x x m π⎛⎫'=++≥ ⎪⎝⎭在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即max [2cos()]6m x π≥-+. 因为3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以513,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故61cos ,12x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎝⎭⎣+⎥⎦，[]2cos 2,16x π⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭， 所以1m ≥-. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了导数的单调区间和极值，属于中档题. 9．在平面四边形ABCD 中，AB BD ⊥，60BCD ∠=︒，223424AB BD +=，若将ABD △沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -外接球的表面积是（ ） A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】D【解析】首先根据二面角A BD C --为直二面角得到AB ⊥平面BCD .再将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球即可得到表面积. 【详解】 如图所示：因为二面角A BD C --为直二面角，且AB BD ⊥， 所以AB ⊥平面BCD .将三棱锥A BDC -放入三棱柱中，如图所示：1O ，2O 为底面外接圆的圆心，12O O 的中点O 为三棱锥A BDC -外接球的球心.在BDC V 中，2sin 60BD r =o，所以3r =. 因为222222221111()3234R r OO BD AB BD AB =+=+=+ 又因为223424AB BD +=，所以2211234BD AB +=所以22R =，外接球表面积 248S R ππ==. 故选：D 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积，同时考查了二面角，将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球为解题的关键，属于中档题.10．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案. 【详解】因为3xy =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()xf x x=，21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.11．已知F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．60 B ．62C ．64D ．66【答案】C【解析】首先设出()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，联立直线1l ，2l 和抛物线得到()212242k x x k++=，124x x=，()234412x x k +=+，344x x =.利用向量的减法化简AD EB ⋅u u u r u u u r得到FD FE FA F AD B B E ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r ，再利用焦半径公式和基本不等式从而得到最小值. 【详解】 如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ， 直线1l 方程为()()20y k x k =-≠，则直线2l 方程为()12y x k=--， 联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()212242k x x k++=，124x x=；同理()223424211412k x x k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==+，344x x =. ()()AD EB FD FA FB FE FD FE FA FB ⋅=-⋅-=-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()12342222FD FE FA FB x x x x +++++⋅=+⋅()()12341234822x x x x x x x x =++++++()()2222282161681232163264k k k k k +=+++=++≥+=. 当且仅当1k =±时，取“=”. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了抛物线的焦半径公式和基本不等式，属于中档题.12．已知函数()f x ，()g x 定义域为R ，()()1f x g x +=.若()()()()()()(),, ,,f x f xg x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩且()()2222F x x a x a a R =-+∈，则关于x 的方程()()1f x g x -=有两解时，a 的取值范围为（ ）A．{}1122⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．{}112⎛⎤-⋃ ⎥ ⎝⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题知()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，根据题意得到：()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解.分别讨论0a <和0a >时的情况，根据图象即可得到a 的取值范围. 【详解】由题意知：()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，则()()()210f x g x F x -=-≥对任意的x ∈R 恒成立， 又()()1f x g x -=有两解， 则()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解. ()222222()F x x a x a x a a =-+=-+.当0a <时，如图所示：只需21212a ≤<，解得2122a -<≤-. 当0a >时，如图所示：只需212a ≥且221a <或者21a =即可，解得1a =. 综上所述：{}21,122a ⎛⎤∈--⋃ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.二、填空题13．变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数232z x y =--的取值范围是______. 【答案】[]3,2-【解析】首先根据不等式组画出可行域，根据可行域化简目标函数得到2633z y x +=-+，再根据z 的几何意义结合可行域即可得到z 的取值范围. 【详解】不等式的可行域如图所示：由图知：0x ≥，02y ≤≤，因此23(2)236z x y x y =+-=+-，此时2633z y x +=-+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点()0,1A 时，min 363z =-=-，联立24010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)C .当直线经过点(1,2)C 时，max 2662z =+-=， 所以z 的范围为[]3,2-. 故答案为：[]3,2- 【点睛】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于中档题.14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量()12,a xe ye x y R =+∈r u r u u r ，若1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，则yar 的最大值等于______.【答案】3【解析】首先计算2a r ，化简22y ar 得到2221()1x x y y y a =++r ，再利用二次函数的最值得到yar 的最大值. 【详解】当0y =时，0ya=r . 当0y ≠时，222222211222=a x e xye e y e x xy y =++++r u r u r u u r u u r g， 则2222221()1y x x x xy y yy a y ==++++r ， 因为22133()1()244xx x yy y ++=++≥ 所以()222140133()24y a y x y =≤≠++r所以y a r【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了二次函数的最值，属于中档题.15．在数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-11a =，11b =.设11n n mc a b +=，则数列{}n c 的通项公式n c =______. 【答案】22n -【解析】首先让两式()12n n n a a b +=++和()12n n n b a b +=+-别相加和相乘得到212n n n a b -+=和13382n n n n a b --⋅==，再代入n c 即可得到通项公式.【详解】由()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-两式相加可得：()114n n n n a b a b +++=+. 112a b +=，故数列{}nn a b +是以2为首项，4为公比的等比数列.212n n n a b -+=.两式相乘得：()()22211448n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，111a b =，故{}n n a b ⋅是以1为首项，8为公比的等比数列， 13382n n n n a b --⋅==，所以2123311222n n n n n n n n n n a b c a b a b ---⎛⎫+=+===⎪⋅⎝⎭. 故答案为：22n - 【点睛】本题主要考查利用定义求等差数列和等比数列的通项公式，同时考查了学生分析问题的能力，属于中档题.16．已知a R ∈，函数()sin 2cos x f x a a x =-++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则a的取值范围为______.【答案】1(,]4-∞ 【解析】首先令()sin 2cos xg x x=+，利用导数求出函数的单调区间和最值，再分类讨论a 的范围即可得到答案.【详解】 令()sin 2cos x g x x=+，()()22cos 12cos x g x x +'=+， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x '>，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，()00g =，122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()102g x ≤≤，()12a g x a a -≤-≤-.若0a ≤，()()1[0,]2f xg x =∈，此时()f x 最大值为12，成立； 若12a ≥，()()12[2,2]2f x a g x a a =-∈-，则()max 122x f a ==，14a =，不成立，舍去.若102a <<，()max 1max 2,2f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，只需122a ≤，即104a <≤. 综上所述：14a ≤. 故答案为：1(,]4-∞【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值问题，构造函数()g x 为解题的关键，属于难题.三、解答题17．已知ABC V 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=. （1）求角B 的大小；（2）若1cos 7A =，BA BC +=u uu r u u u r ABC V 的面积.【答案】（1）3B π=（2）【解析】（1）首先利用三角函数的诱导公式得到sin cossin 22BBa ab A π-==，再利用正弦定理的边化角即可得到1sin22B =，3B π=.（2）首先根据已知1cos 7A =和3B π=得到53sin 14C =，利用余弦定理得到2211129474c b cb +-=，再根据sin 7sin 5b B c C ==算出b ，c 值求面积即可. 【详解】 （1）因为sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin 22B B a a b A π-==， 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==知，sin cos sin sin 2B A B A =， 而sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 又0B π<<，022B π<<，cos 02B ≠，所以1sin 22B =. 26B π=，3B π=. （2）设ABC V 三边分别为a ，b ，c ，AC 中点为M ， 如图所示：因为1cos 7A =，所以43sin A =. 又因为3B π=，()53sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 因为1292BA BC BM +==u u u r u u u r u u u u r ，所以1292BM =.由余弦定理知2222cos BM AB AM AB AM A=+-⋅⋅2222111111292427474c b c b c b cb =+-⋅⋅=+-=，因为3sin72sin553b BcC===，75b c=.得到221717129()45754c c+⨯-⨯=解得5c=，7b=.1143sin5710322S bc A==⨯⨯⨯=.【点睛】本题第一问考查利用正弦定理的边化角求角，第二问考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，1AA BC⊥，145BAA∠=︒.（1）求证：平面11AA C C⊥平面11AA B B；（2）若122BB==，直线11B C与平面11ABB A所成角为45°，D为1CC的中点，求二面角11B AD C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31414【解析】（1）首先过点C作1CO AA⊥，垂足为O，根据1CO AA⊥，1AA BC⊥得到1AA⊥平面BOC，从而得到1AA OB⊥.又因为Rt AOC Rt BOC△≌△得到CO OB⊥，CO AO⊥，从而得到CO⊥平面11ABB A，由此即证平面11AA C C⊥平面11AA B B.（2）首先以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，根据直线11B C与平面11ABB A所成角为45o得到2AB=，1AO BO CD ===，再利用向量法求二面角11B AD C --的余弦值即可.【详解】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O . 因为1AA BC ⊥，BC 交CO 于点C ， 所以1AA ⊥平面BOC .又因为OB ⊂平面BOC ，故1AA OB ⊥. 因为145A AB ∠=︒，1AA OB ⊥，所以AOB V 为等腰直角三角形，则OA OB =. 又因为CA CB =，CO CO =，所以Rt AOC Rt BOC △≌△，故90COA COB ∠=∠=︒， 故CO OB ⊥，CO AO ⊥.因为BO ，AO ⊂平面11ABB A ，BO AO O =I ，所以CO ⊥平面11ABB A . 又因为CO ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面11AA B B . （2）由（1）知CO ⊥平面11AA B B .以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -.因为直线11B C 与平面11ABB A 成角为45°，而11//BC B C ， 所以直线BC 与平面11ABB A 成角为45︒，而CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=︒.所以AB =，1AO BO CD ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D - ()2,0,1AD =-u u u r ，()11,1,1B D =-u u u u r设平面1AB D 的法向量为()111,,n x y z =r，则111111200n AD x z n B D x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11x =，得()1,3,2n =r .因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu r为平面1AC D 的一条法向量，()0,1,0OB =u u u r .所以cos ,14n OB n OB n OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，二面角11B AD C --的余弦值为14. 【点睛】本题第一问考查面面的垂直的证明，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为p ，即每次抽查的产品是相互独立的. （1）若05n =，求这批产品能够通过检查的概率；（2）已知每件产品质检费用为50元，若04n =，设对这批产品的质检个数记作X ，求X 的分布列；（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用⨯批数）【答案】（1）()51p -（2）详见解析（3）171950元【解析】（1）根据05n =，这批产品能够通过检查说明前5次都通过检查，即可得到()()51P A p =-.（2）根据题意得到1X =，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.（3）首先计算数学期望，令()()32464f p E X p p p ==-+-+，利用导数求出其最小值，即可得到答案. 【详解】（1）因为05n =，记事件A 为“当05n =时，这批产品能够通过检查”， 则由题意知：()()51P A p =-. （2）由题可知1X =，2，3，4()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p p ==-，()()341P X p ==-所以X 的分布列为：（3）由（2）可知X 的数学期望为：()()()()2332213141464E X p p p p p p p p p =+-+-+-=-+-+.设()32464f p p p p =-+-+，()2386f p p p '=-+-，因为64720∆=-<，所以()0f p '<， 所以()f p 在11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以()min 11464 3.43910100010010f p f ⎛⎫==-+-+=⎪⎝⎭所以每批次平均检查费用至少为50 3.439171.95⨯=（元）所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要1000171.95171950⨯=（元）【点睛】本题主要考查离散型随机变量，同时考查了数学期望的应用，利用导数思想求最值为解题的关键，属于中档题.20．平面内与两定点()12,0A -，()22,0A 连线的斜率之积等于14-的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线为C .若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）求ABM V 面积S 的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）6425【解析】（1）首先设出(),P x y ，根据斜率之积等于14-得到()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-，再化简即可得到曲线C 的轨迹方程. （2）分别讨论AB 的斜率存在和不存在时，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将ABM V 面积转化为ABM AMN BMN S S S =+V V V ，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.【详解】（1）设曲线C 上任意一点(),P x y ，12A P y k x =+，22A P y k x =-， ()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-， 整理得：()22124x y x +=≠±.又曲线C 加上1A ，2A 两点，所以曲线C 的方程是：2214x y +=.（2）由题意可知()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =＋，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -⋅=+.()11,1MA x y =-u u u r ，()22,1MB x y =-u u u r，因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，()()()2222244811101414m km k k m m k k--++-+-=++， ()()()()()22222144811140k mk m m m k +---+-+=化简得到()()1530m m -+=，解得：35m =-或1m =（舍）. 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r的直线AB 为：0x =.因此，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以1212ABM AMN BMN S S S MN x x =+=-=V V V1212MN x x ==-ABMS =V ， 因为35m =-，所以2322514ABM S k =+V .设2t =≥，()2323229494t S t t t t==≥++. 由对勾函数的单调性得到94y t t=+在[2,)+∞为增函数，所以92542t t +≥. 即：6425S ≤（0k =时取到最大值）. 所以ABM 面积S 的最大值为6425.【点睛】本题第一问考查圆锥曲线的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）记()12ln 2121nn i S n i ==-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【答案】（1）1a =（2）12（3）[]0,1,1, 2.n n S n =⎧=⎨≥⎩ 【解析】（1）首先求导()1x a f x x a+-=+'，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最小值，即可得到a 的值.（2）当0k ≤时，易证不合题意，当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，()()2121x kx k g x x ⎡⎤---⎣⎦'=+，令()0g x '=，可得10x =，2122k x k-=.分类讨论12k ≥和102k <<时()g x 的单调性和最值即可得到实数k 的最小值.（3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =.当2n ≥时，()1122ln 212121nnn i i f n S i i ==⎛⎫==-+= ⎪--⎝⎭∑∑，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而得到()()()*222,N 212321f i i i i i ⎛⎫<≥∈ ⎪---⎝⎭，所以12ln 31221nS n <-+-<-.又因为10n n S S -->，得到123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，即可得到[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩.【详解】 （1）()()111x a x a x a f x x a+-=-+'=>-+，令()0f x '=，得1x a =-，()f x 在(),1a a --单调递减，()1,a -+∞单调递增，()()min 110f x f a a =-=-=，所以1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()11ln 20f =->，故0k ≤不合题意. 当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，求导函数可得()()21211211x kx k g x kx x x ⎡⎤---⎣⎦'=--=++，令()0g x '=，可得10x =，21212kx k-=>-. ①当12k ≥时，1202k k-≤， 所以[)0,x ∈+∞，()0g x '≤恒成立， 因此()g x 在[)0,+∞上单调递减，从而对任意的[)0,x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=，即对任意的[)0,x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，故12k ≥符合题意； ②当102k <<时，1202k k->， 对于120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，因此()g x 在120,2k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 从而当0120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()000g x g ≥=， 即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不合题意.综上， k 的最小值为12. （3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =. 当2n ≥时，11222ln 1212121nn i i f i i i ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()12ln 2121nn i n S i ==-+=-∑由（2）知，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而()()()()2*2212222,N 21221232121f i i i i i i i ⎛⎫⎛⎫≤=<≥∈ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-， 所以()()()12222222ln 233212211nnnn i i i S f f fi i i i ===⎛⎫⎛⎫==+<-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝--⎭∑∑∑ 21112ln 32ln 312232121ni i i n =⎛⎫=-+-=-+-< ⎪---⎝⎭∑. 又()()1112ln 21221n n i S n n i --==--≥-∑， 所以122122ln ln 121212121n n n S S n n n n -+⎛⎫-=-=-+ ⎪----⎝⎭. 令221t n =-，则()0,1t ∈，设()()ln 1h t t t =-+， ()11011th t t t'=-=>++，所以()h t 在()0,1单调递增，则()()00h t h >=，所以{}n S 单调递增，即1230n S S S S <<<<⋅⋅⋅<，又222ln 513S =+->， 所以123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，所以[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，同时考查了分类讨论和构造函数的思想，属于难题.22．已知在极坐系中，点(),P ρθ绕极点O 顺时针旋转角α得到点(),P ρθα'-.以O 为原点，极轴为x 轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线E ：1xy =绕O 逆时针旋转4π得到曲线C . （1）求曲线E 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点M 的极坐标为4,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点M 且与曲线E 交于A ，B 两点，求MA MB⋅的最小值.【答案】（1）2sin 22ρθ=；22122y x -=（2）14【解析】（1）首先根据题意得到E 的极坐标方程为2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点，得到点,4P πρθ⎛⎫'-⎪⎝⎭在曲线E 上，即2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再化简得到曲线C 的直角坐标方程为22122y x -=.（2）首先设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy =得到()2cos sin sin cos 70t αααα+++=，利用直线参数方程的几何意义得到1214sin 2MA MA t t α⋅==，再利用三角函数的性质即可得到最小值.【详解】（1）由E 的直角坐标方程为1xy =可得cos sin 1ρθρθ⨯=即：2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点， 则P 绕O 顺时针旋转4π得到点,4P πρθ⎛⎫'- ⎪⎝⎭在曲线E 上，则2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2cos 22ρθ=-， ()22222si cos n 2x y ρθθ-=-=-所以曲线C 的方程为22122y x -=.（2）M的直角坐标为(，设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy=，整理后可得()2cos sin sin cos 70t αααα+++=.127cos sin t t αα=g所以1271414cos sin sin 2MA MA t t ααα⋅===≥.当且仅当4k παπ=+或()4k k Z παπ=-∈时取等号，此时>0∆，符合条件.故MA MB ⋅的最小值为14【点睛】本题第一问考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =+-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222221a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）12M =（2）证明见解析； 【解析】（1）首先化简解析式得到()31,01=1,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，根据函数的单调性即可得到()f x 的最小值.（2）首先利用重要不等式得到222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++，再根据均值不等式和12a b c ++=即可证明. 【详解】（1）()31,0,1=211,0,2131,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪+-=-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩因为函数13(0)y x x =-<是减函数，11(0)2y x x =-≤<是减函数；131()2y x x =-≥是增函数，故当12x =时，()f x 取得最小值11()22M f ==.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++()()()2()1b c a c c ba b c a b c c b c a b a=+++++≥++=，当且仅当16a b c ===取等号.【点睛】本题第一问考查求绝对值函数的最值，把绝对值函数变为分段函数为解题的关键，第二问考查利用均值不等式的性质证明不等式，属于中档题.。
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为42，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲) 已知x ，y ，z 均为正数，且1113112x y y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3件进行检验，求至少有2 件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I .故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：132 11．【答案】2或3【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥Q 平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆Q 为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅， 求得233PA AF mAH PF m ⋅==+，211422AE PC m ==+， AE ∵平面PBC 所成的角的正弦值为427， 223423sin 142mAH m AEH AE m +∴∠===+,解得2m =或3m =，即PA 的长为2或3，故答案为2或3. 12．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ． 由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：013．【答案】(e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++-142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值3 故可得3[2y z x =∈-， 又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +1334312≤-⨯-=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：312. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1平方百米；（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==o在ABE V 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABE S AB BE ABE V =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE V 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin ,cos 77αα===，当CH DE ⊥时，水管CH 最短， 在Rt ECH V 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭=7百米.18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。
北京市2020年高考文科数学压轴卷含解析
3．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨x ≥ 1, ,则 z = 2 x + y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0北京市 2020 年高考文科数学压轴卷（含解析）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知 (1+ b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i2．下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ． y = x 2⎧x + y ≤ 2, ⎪⎩A ． 0B ． 2C ． 3D ． 44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的 a 值为（）开始输入否是输出结束A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．3613.若 0 < a < b < 1 ， x = a b ， y = b a ， z = log a ，则 x ， y ， z 有小到大排列为．6 ) + 1 的最小正周期是，最小值是．10．已知 cos α = ， α ∈ 0, ⎪ ，则 cos + α ⎪ = ______．6. “ ab = 4 ”是直线 2x + ay -1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点 Q (2 2,0) 及抛物线 x 2 = 4 y 上一动点 P( x , y) ，则 y + | PQ | 的最小值是（）A ．1B ．1C ．2D ． 328. 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 D ， 如 果 存 在 正 实 数 m ， 使 得 对 任 意 x ∈ D ， 都 有f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 20二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填在题中的横线上．）9.函数 y = 2sin(2 x +π3 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 5 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭11. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a - 1,a + 1) ， B(a, a ) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为_.12.在平面向量 a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) ，.如果 a ⋅ b = 5 ，那么 y = _____；如果a +b = a -b ，那么 y = ______b1 = 1 ， a + + L + <2 . , ⎥ ，都有 f (x ) ≥ -3 ．(Ⅱ)求证：对于任意的 x ∈ ⎢- 14.数列{a } 满足： ann -1+ an +1> 2a (n > 1,n ∈ N * ) ，给出下述命题：n①若数列{a } 满足： a > a ，则 a > an21n n -1(n > 1, n ∈ N * ) 成立；②存在常数 c ，使得 a > c (n ∈ N * ) 成立；n③若 p + q > m + n (其中p , q , m , n ∈ N *) ，则 a + a > a + a ；p qmn④存在常数 d ，使得 a > a + (n - 1)d (n ∈ N * ) 都成立．n1上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2020届全国普通高等学校统一招生考试高三压轴(一)数学(文)试题(解析版)
2020 届一般高等学校招生全国一致考试高三数学（文）压轴（一）试题一、单项选择题1．已知会集M x y x和N y y x2，则以下结论正确的选项是（）A．M =N B．MN C．M UN R D．MN【答案】 A【分析】利用函数的定义域可知x 0 求出会集 M ，依据二次函数值域的求法求出N ，再利用会集之间的基本关系即可求解.【详解】M0,，N0,，因此M=N，应选： A.【点睛】本题主要观察了会集的基本运算，同时观察了函数的定义域、值域的求法，属于基础题.2．复数z 2 2i在复平面内对应的点在（）i1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 C【分析】利用复数的乘、除运算可得z 1 3i ，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】2 2i 2 2i i1 z1i1i 1 3i ，i1对应点的坐标为1,3，应选： C.【点睛】本题观察了导数的几何意义以及导数的四则运算，属于基础题.3．中央电视台每天夜晚的“焦点访谈”是时势、政治性较强的一个节目，其播出时间是在夜晚看电视节目人数最多的“黄金时间”，即夜晚 7 点与 8 点之间的一个时辰开始播出，这一时辰是时针与分针重合的时辰，以高度显示“聚焦”之意，比喻时势、政治的“焦点”，则这个时辰大体是（）A．7点36分B．7点38分C．7点39分D．7点40分【答案】 B【分析】设 7 点t分0 t 60 时针 OA 与分针 OB 重合，在7点时，时针、分针所成的夹角为 210 ，依据时针每分钟转0.5 ，分针每分钟转 6 ，可得6 t0.5 t 210 ，解方程即可 .【详解】设 7 点t分0t 60 时针 OA 与分针 OB 重合.在 7 点时，时针OC与分针 OD 所夹的角为210，时针每分钟转 0.5 ，分针每分钟转 6 ，则分针从 OD 到达OB需旋转6 t，时针从OC到达OA需旋转0.5 t，于是 6 t0.5 t 210 ，解得t 38238（分），11应选： B.【点睛】本题观察了任意角的表示以及终边同样角的表示，观察了基本运算能力，属于基础题.4．以椭圆y2x21的长轴端点作为短轴端点，且过点4,1 的椭圆的焦距是（）94A． 16B． 12C． 8D． 6【答案】 D【分析】设所求椭圆的方程为x2y21，将点4,1 代入，求出a，由c2a2 b 2a29即可求解 .【详解】设所求椭圆的方程为x2y23) ，a21,( a9将点4,1 代入，解得a218 ，则c2a2b218 99 ，即 c 3 ， 2c 6 ，应选： D.【点睛】本题观察了待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于基础题. 5．2019 年北京世园会的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、爽朗可爱的园艺小兄妹，造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、衣饰创意的奇妙组合，被给予了普及园艺知识、流传绿色理念的特别使命 . 现将三张分别印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”这三个图案的卡片（卡片的形状和大小同样，质地也同样）放入盒子中 . 若从盒子中挨次有放回的拿出两张卡片，则一张为小萌芽，一张为小萌花的概率是（）A．2B．1C．2D．1 3399【答案】 C【分析】将卡片分别为 A 、B、 C ，依据抽取方法列出基本领件个数，而后再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”图案的卡片分别为A、B、C，则基本领件分别为A,B ， A,C， B,C， A,A，B,B，C,C ， B,A，C,A，C,B，共9种状况 .此中一张为小萌芽，一张为小萌花是A, B， B,A 共2种状况，因此所求的概率为2P9，应选： C.【点睛】本题主要观察了古典概型的概率计算公式，解题的要点是列出基本领件个数，属于基础题 .6．古代人家修建大门时，切近门墙搁置两个石墩. 石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最先的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础坚固，防范大门前后晃动此后不停演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”. 以以下图，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）. 但是A．半圆柱和四棱台B．球的1和四棱台4C．半圆柱和四棱柱D．球的1和四棱柱4【答案】 D【分析】依据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特色.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体上边是球的1，下边是放倒的四棱柱. 4应选： D【点睛】本题观察了几何体的三视图还原直观图，观察了空间想象能力，属于基础题.7．已知等比数列a的前 n 项和为 S ，若公比为q 1S621a的，，则数列n n24n前 n 项之积n）T 的最大值为（A． 16B． 32C． 64D． 128【答案】 C【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出a8，从而可求出前n 项之积n1T 的最大值.【 解】6a 1 11121 221，解得 a 1由 q， S ，得8，26 41412因此数列a n 8， 4， 2，1， 1 ，1 ，⋯⋯，前4 乘 最大 64.24故 ： C.【点睛】本 主要考 了等比数列的前n 和公式基本量的运算，需熟 公式，属于基.8．若函数 f xln x 与 g x1 x2 2x k 的 象只有一个公共点，且在 个公共63点 的切 同样， 数 k （）A ．1B ．2C ．1D ．53366【答案】 D【分析】 公共点 P x 0 , y 0f x 0g x 0 ，依据 数的几何意 可得x 0g，依据函f x 0数表达式以及 函数解方程 即可.【 解】两个函数 象的公共点P x 0 , y 0 ，f x 0g x 0 ln x 01x 022x 0 k, 1依据 意，得,63fx 0g x 0即12，,1x 0 , 2x 03 3 解 2 式得 x 01 或 x 0 3 （舍去），代入第5 1 式，解得 k .6故 ： D.【点睛】本 考 了 数的几何意 以及基本初等函数的 数公式，熟 数公式、 运算法 是解 的关 ，属于基.9． 了 算 S 3 33 333 3333 33333 ， 了如 所示的程序，判断框内填入（）A．i3?B．i4?C．i5?D．i6?【答案】 C【分析】依据流程图，写出每次循环运转的结果即可得出结果.【详解】a13， S1 3 ，i 2 ；a233， S2333 ，i3；a3333， S3333 333 ，i 4 ；a43333 ， S43333333333 ，i 5 ；a533333， S53333333333 33333 ，i 6 ，此时满足 i5，则输出 S5 3 33 3333333 33333 .应选： C.【点睛】本题观察了程序框图，观察了基本的运算能力，属于基础题.10．某纺织企业经过电脑设计各种漂亮的布料图案，设计者考虑用一条长度为 a 的线段EF，其端点 E 、F在边长为 3 的正方形ABCD 的四条边上滑动，以以下图，当EF绕着正方形的四边滑动一周时，以 A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，探究 EF 的中点M所形成的轨迹. 此中a 2 时，点M的轨迹是（）A．B．C．D．【答案】 B【分析】依据题意可得AM 1EF ，设 E 0, m ， F n,0， M x, y，利用两点2间的距离公式直接列方程即可求解.【详解】由题意，得AM 1EF ，2设 E 0,m ， F n,0， M x, y，则 x2y21m2n2121，解得y 1 x20x 1 ，22将函数y 1 x2 0x1的图象（记为 C1）关于直线 x 3对称，2可得函数y1322x 3 的图象（记为C2）；x将 C1和 C 2的图象分别关于直线y 3对称，2可分别获取以正方形ABCD 的极点D、 C 为圆心、1为半径的1圆弧.4应选： B.【点睛】本题观察了圆的轨迹方程，解题的要点是列出方程，属于基础题.11．已知双曲线C :x2y20 的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作221 a 0,ba b一条直线与 C 的右支交于 A 、B两点，且F1AB 90 ，若 VF1 AB 的内切圆直径等于实轴的长，则 C 的离心率为（）A ． 5B ．6 C ．10D ．152222【答案】 C【分析】 设 AF 1m ， AF 2 n m n ，依据双曲线的定义可得 m n 2a ，结合m2n24c 2 ，解得 2mn 4b 2 ，在 Rt VF 1 AB 中，内切圆直径2r m AB F 1 B m nF 2 BF 1B ，再依据 2 c 2 b 22a2a 即可求解 .【详解】设 AF 1m ， AF 2 n m n ，由题意，得 m 2 n 24c2， m n2a ，解得 2mn4b 2，则 m n2n 22mn 4c24b 2 ，即 m n 2 c 2 b 2m2；RtVF 1AB的内切圆直径2r m AB F 1 B m nF 2 B F 1B 2 c 2 b 22a ，依据题意，得 2c 2 b 22a2a，解得e10 ，2应选： C.【点睛】本题观察了双曲线的简单几何性质、双曲线的定义以及焦点三角形，属于中档题.12．若定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f 2 x f x ，且在区间 1,2 上是减函数，f 11， f 01现有以下结论，此中正确的选项是：（）① fx 的图象关于直线x 1 对称；② fx 的图象关于点3 对称；③ fx 在,02区间3,4 上是减函数；④f x 在区间4,4 内有 8 个零点 .A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】 C【分析】 依据题意可得f 2 xf x，再由函数为偶函数可得f 2 x f x ，从而可判断①；没法推出f 3 xf x ，可判断②；利用周期为2 可判断③；利用对称性可判断④.【详解】由 f 2 x f x ，得 f 2 x f x ，结合 f x 为偶函数，得 f 2 x f x ，则曲线 y f x 关于直线 x 1 对称，则①正确；没法推出 f 3 x f x ，则②不必定正确；由曲线 y f x 1 x 2 可得曲线 y f x 0 x 1 ，即得曲线y f x 0 x 2 ，恰好是在一个周期内的图象；再依据 f x 是以2为周期的函数，获取曲线y f x 2 x 4 ，由于在 y f x 在1,2上是减函数，由于 y f x 在1,2上是减函数，y f x 在 3,4 上是减函数，则③正确；f 1 1 0 ， f 210 ，因此 y f x 在1,2上有独一的一个零点，依据对称性， f x 在区间4,4 内有 8 个零点 .应选： C.【点睛】本题观察了函数的奇偶性、周期性、单调性的应用，观察了函数性质的应用，属于基础题 .二、填空题r r r r r r r r 13．已知a k,1 ，b2, 4 ，c 4, 3 ，若c a b R ，则a与b的夹角为 ______.【答案】 90°1 ， k r【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出2，从而可得 a 2,1，再利用向量数目积的坐标表示即可求解.【详解】由已知，得4, 3k,12, 4 ，即 4,3k 2 ,14，解得 1 ， k 2 ，r2,1r r r r则 a，因此a b0，从而a与b的夹角为 90°.故答案为： 90°【点睛】本题观察了向量线性运算的坐标表示、向量数目积的坐标表示，依据向量的数目积求向量的夹角，属于基础题.14．已知S n为等差数列{ a n}的前n项和，公差d0 ，且 S1224 ， a1， a7， a5成等比数列，则 a1__________ ．【答案】 -9【分析】由 S1224 ，利用等差数列的前n 项和公式，求得2a111d 4 ，又由 a1，a7，a5 成等比数列，利用等差数列的通项公式，求得2a19d 0，联立方程组，即可求解 .【详解】由题意知 S12 24 ，则12a11211d24 ，即2a111d 4 ，2又由 a1， a7， a5成等比数列，则a72a1 a5，因此a12a1 a14d ，即6d2a1 9d 0 ，联立方程组，解得a19 .【点睛】本题主要观察了等差数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，此中解答中熟记等差数列的通项和前n 项和公式，正确计算是解答的要点，侧重观察了运算与求解能力，属于基础题 .15．已知函数 f x sin x0,02满足：① f x 的图象关于点,0 对称；②f x的图象关于直线 x对称 . 则满足①和②的，的一组值126分别是 ______.【答案】 2；6【分析】依据题意可得 T4，再由 T 22 ，将点求出612,0π 代入表达式求出 即可 .126【详解】可将,0 和 x视为 f x 在一个周期内的相邻的对称中心与对称轴，126则 T 412，于是2 ；6将,0 代入 y sin 2x ，得 sin 2 0，1212结合 02 π，可取.6故答案为： 2；6【点睛】本题观察了利用三角函数的性质求分析式，需熟记三角函数的对称轴以及对称中心与函数周期的关系，属于基础题.三、双空题16．在圆锥 SO 中， A 、 B 、 M 是底面圆周上的点，且 OA OB ， N 是线段 OA 上的一点， 且 MN //OB ， SO OA 2 ，则三棱锥 S MON 体积 V 的最大值是 ______；当 V 获得最大值时， SM 与 OB 所成角的大小为 ______.【答案】260°3【分析】 由题意设 ON x 0 x2 ，可得 MN4x 2 ，利用三棱锥的体积公式可得 V1 2 1 x 4 x 2 ，利用基本不等式即求出体积的最大值；依据题意求出3 2 SMN60 ，由 MN // OB 即可求解 .【详解】由 MN //OB 及 OA OB ，得 OA MN ；设 ON x 0 x2 ，则MN4 x 2 ，因此三棱锥 S MON 体积为：V1SO 1ON MN1 2 1 x 4 x 21x 4 x21 x 24 x222323 2333（当且仅当x 2 时取等号），即V max 2 . 3由 SO 平面AOB，得SO MN，结合OA MN，得MN平面SOA，从而MN SN.由ON2及OM2，得MN 2 ，结合 SM 2 2，得 SMN60 ；由 MN //OB ，得 SM 与 OB 所成角为SMN 60 .故答案为：2；60°3【点睛】本题观察了三棱锥的体积公式、异面直线所成的角，同时观察了线面垂直的判判定理，属于基础题 .四、解答题17．某市数学教研室对全市2018 级 15000 名的高中生的学业水平考试的数学成绩进行调研，随机采用了200 名高中生的学业水平考试的数学成绩作为样本进行分析，将结果列成频率分布表以下：数学成绩频数频率40,50550,601560,705070,807080,904590,10015合计2001依据学业水平考试的数学成绩将成绩分为“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，此中成绩大于或等于80 分的为“优秀”，成绩小于60 分的为“不合格”，其他的成绩为“合格”.（ 1）依据频率分布表中的数据，预计全市学业水平考试的数学成绩的众数、中位数（精确到）；（ 2）市数学教研员从样本中又随机采用了n n N *名高中生的学业水平考试的数学成绩，假如这 n 名高中生的学业水平考试的数学成绩的等级状况恰好与依据三个等级分层抽样所得的结果同样，求n 的最小值；（ 3）预计全市2018 级高中生学业水平考试“不合格”的人数.【答案】（ 1）众数、中位数分别为75，；（ 2）n的最小值为10；（ 3） 1500 .【分析】（ 1）由频率分布表中的数据，众数为7080，设中位数为70 x，依据各组2频率可得 0.025 0.075 0.25 0.035 x 0.5，解方程即可.（ 2）第一求出“优秀”、“合格”、“不合格”的人数，再依据分层抽样法可得n k 6k 3k 10k k N*即可.（ 3）依据“不合格”的人数所占的比率即可预计出整体.【详解】7080解：（ 1）此样本的众数为75 ；2设中位数为 70x ，则0.0250.075 0.25 0.035x 0.5，解得 x 4.3 ，因此中位数约为.运用此样本的数字特色，可以预计整体的数字特色，因此全市学业水平考试的数学成绩的众数、中位数分别为75， .（ 2）“优秀”、“合格”、“不合格”的人数分别为60， 120， 20，则“优秀”、“合格”、“不合格”的比率为3： 6： 1，因此依据分层抽样法，采用的人数为n k6k 3k 10k k N *，故 n 的最小值为10.（ 3）全市 2018 级高中生学业水平考试“不合格”的人数为1500011500 .10【点睛】本题观察了样本的数字特色、分层抽样的特色、依据样本数字特色预计整体，观察了考生的数据分析、办理能力，属于基础题.18．在V ABC中，BAC 120 ，sin ABC 21，D是CA延长线上一点，且7AD 2AC 4.（ 1）求sin ACB 的值；（2）求BD的长.【答案】（ 1）21（2）13 14【分析】（ 1）第一利用同角三角函数的基本关系求出cos ABC 2 7，依据三角形的内角和7性质可得 sin ACB sin 180 120ABC，利用引诱公式以及两角差的正弦公式即可求解 .（ 2）在V ABC中，利用正弦定理求出AB ，在△ABD 中，利用余弦定理即可求解.【详解】解：（ 1）由sin ABC21 ，72得cos ABC12127 ，77因此 sin ACB sin 180120ABCsin 60ABCsin60cos ABC cos60sin ABC32712121272714.（ 2）由正弦定理，得AB ACsin ACB ，sin ABC21AC sin ACB2即 AB14 1.sin ABC217由余弦定理，得BDAB 2 AD 22AB ADcos BAD12 422 14 113 .2【点睛】本题观察了正弦定理、余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.19．在三棱柱ABC A 1B 1C 1 中，侧面 ACC 1 A 1 底面 ABC ， AA 1 BC 1，A 1B AC2， AB5， E 为 AB 的中点 .（ 1）求证： BC 1 // 平面 A 1CE ；（ 2）求 A 1C 的长 .【答案】（ 1）证明见分析； （ 2） 3【分析】（ 1）连接 AC 1 ，设 A 1C AC 1 F ，可得 EF //BC 1 ，再利用线面平行的判断定理即可证出 .（ 2）由题意可得 AC BC ，结合面面垂直的性质定理可证出 BC ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ，从而可得 BCA 1 A ，依据线面垂直的判判定理可得A 1 A平面 A 1BC ，即可证出A 1 A AC 1 ，在 RtVAAC 1 中，利用勾股定理即可求解【详解】解：（ 1）连接 AC1，设A1C AC1 F ，则 F 为AC1的中点，由于 E 为 AB 的中点，因此 EF //BC1.又 BC1平面 A1CE ，EF平面 A1CE ，因此 BC1 // 平面 A1CE .（ 2）在V ABC中，由 BC1，AC2，AB 5 ，得 ACB 90，即 AC BC ；在 VA1 AB 中，同理可得 A1 A A1B .由于侧面 ACC1A1底面ABC，侧面 ACC1 A1I 底面ABC AC ，因此 BC ⊥平面ACC1A1，又 A1A平面 ACC1 A1，因此 BC A1A ，又 A1BI BC B，因此 A1A平面 A1BC .由于 A1A平面 A1BC ， AC1平面 A1BC ，因此 A1A AC1.在 RtVAAC1中，由 AA11及AC 2 ，得AC1AC 2AA1222 12 3 .【点睛】本题观察了线面平行的判判定理、线面垂直的判判定理、线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理，观察了学生的逻辑推理能力，属于基础题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知 F1、 F2分别为椭圆x2y2 1 的左、右焦点，43直线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴，动直线 l 2垂直于直线 l1于点P，线段 PF2的中垂线交 l2于点 Q .记点 Q 的轨迹为曲线 E .（ 1）求曲线E的方程，并说明 E 是什么曲线；（ 2）若直线l : y x2y2 2 上是k 与曲线E交于两点A、B，则在圆C : x 2否存在两点 M 、 N ，使得 MA MB，NA NB 若存在，央求出 k 的取值范围；若不存在，请说明原由 .【答案】（ 1）y24x ；E是以F21,0为焦点， l1 : x=-1 为准线的抛物线（2）存在；0 k1【分析】（ 1）依据题意可得QP QF2，再依据抛物线的定义即可求出曲线E的方程.（ 2）将直线l : y x k 与曲线E ：y24x 联立，由直线l与曲线 E 交于点A x , y1 1 ，B x2, y2，，利用韦达定理可得x1 x2 4 2k ，从而求出AB 的中垂线方程，由 MA MB，NA NB ，可得 AB 的中垂线与圆C 交于两点M 、 N ，利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离小于半径即可求解.【详解】（ 1）由题意，得QP QF，则动点 Q 的轨迹是以F21,0为焦点，2l1 : x=-1为准线的抛物线，因此点Q 的轨迹E的方程为 y 24x .y x k,2k 4 x k 20 .（ 2）由得 x2y24x,由直线 l 与曲线 E 交于点 A x1, y1， B x2 , y2，得△ 2k420，解得 k 1 . 4k2由韦达定理，得x1 x242k .设 AB 的中点为 G x0 , y0，x1x22 k ，y0x0 k 2 k k 2，则 x02即 G 2 k,2 ，因此 AB 的中垂线方程为y 2x 2 k ，即 x y k 4 0 ，由 MA MB，NA NB ，得 AB 的中垂线与圆 C 交于两点 M 、 N ，20 k 4k 4 .因此2，解得02由①和②，得0 k1.综上，当 0 k 1时，圆 C 上存在两点 M 、 N ，使得 MA MB ， NA NB .【点睛】本题观察了抛物线的定义、直线与抛物线的地址关系，观察了考生的运算求解能力，属于难题 .21．已知函数f x ax2ln x a a R .x（ 1）谈论函数f x 的极值；（ 2）设0 a 1 ，若曲线 y f x 在两个不一样的点M m, f m， N n, f n 处的切线相互平行，求证： f m f n0.【答案】（ 1）答案不独一，详尽见分析（2）证明见分析；【分析】（ 1）求出f x ax22x a，分类谈论 a 0 或a0，判断 f x的正负x2即可求解 .（ 2）依据题意可得f m f n ，代入导函数整理可得a m n m n 2 m n，利用基本不等式证出mn a2，从而m2n2mnf m f n2mn2ln mn 2 ，令 mn t ，不如设g t2t2ln t 2 t a2，利用导数判断g t 的单调性，求出最小值即可证出.【详解】解：（ 1）f x a2a ax 22x a， x0,.x x2x2（ i ）当a0 时，f x 0 ，则 f x 在 0,上是减函数，此时 f x无极值 .（ ii ）当a0 时，考虑二次函数h x ax22x a ，则△ 4 1 a2 4 a 1 a 1 .当 a 1 时，0 ，则 h x0，即对任意的 x0,恒建立，因此在0,上是增函数，此时 f x无极值 .当 0 a1时，，则 h x0 的两根为x111a2，x211a2.a a当 0 x x1时，f x0；当x1x x2时，f x0；当 x x2时， f x0 ，因此 f x 在 0, x1上是增函数，在 x1 , x2上是减函数，在x2 ,上是增函数，因此 f x在 x x1处有极大值，在x x2处有极小值.（ 2）由题意，得f m f n ，m0，n0 ， m n ，2aa 2a且 am 2n n2.m移项整理，得 a m n m n 2 m n.m2 n2mn由于 m0， n0 ， m n ，因此 2mn a m n a 2 mn ，即mn a2 .f m f n am 2ln m aan2ln na m na m n2ln mn a m n2mn2ln mn2.mn令 mn t ，则t a2 .设 g t2t2ln t2t a2，则g t2 2 t 12.t t当a2t1时， g x0 ；当 t1时， g t0 ，因此 g t在 a2 ,1 上是减函数，在1,上是增函数，因此t1是 g t的极小值点，也是g t的最小值点，即 g t g 10 ，故 f m f n0 建立.【点睛】本题观察了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，观察了分类谈论的思想，属于难题 .22．在平面直角坐标系x a5 cos ,xOy 中，圆C的参数方程为（为参数），y 5 sinx2t,直线 l 的参数方程为（ t 为参数），设原点 O 在圆 C 的内部，直线 l 与圆 C 交y2t,于M、 N 两点；以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（ 1）求直线l和圆C的极坐标方程，并求 a 的取值范围；2 2（2）求证：OMON 为定值.【答案】（ 1）R ；22a cos a2 5 0 ；a的取值范围是5,5 4（ 2）证明见分析；【分析】（ 1）消参可得直线l 的直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化可得直线l 和圆 C 的极坐标方程，依据原点在圆的内部可得0a 25 ，解不等式即可.02（ 2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程可得22a a2 5 0，由2222，利用韦达定理即可求解 .OM ON12【详解】解（ 1）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y x ，因此直线 l 的极坐标方程为R ；4将圆 C 的参数方程化为直角坐标方程，得x a 2y2 5 ，因此圆 C 的极坐标方程为22a cos a250.由原点 O 在圆 C 的内部，得020255a5 ，a，解得故 a 的取值范围是5,5.（ 2）将代入22a cos a250 ，4得22a a250 .则122a ， 1 2a2 5 ，2222221 2因此OM ON121222a 2 a2510 ，2 2故OMON 为定值.【点睛】本题观察了直线的参数方程与一般方程的互化、一般方程与极坐标方程的互化、极坐标方程的应用，属于基础题.23．（ 1）已知x0 ，y 0，z 0，证明：y z x111x2y2z2x y；z（2）已知a1，b 1， c1，且 abc 8 ，若log b a log 2 a log c b log 2b log a c log 2 c k 恒建立，务实数k 的最大值.【答案】（ 1）证明见分析；（ 2）实数k的最大值为3【分析】（ 1）利用基本不等式可得y1y12同向相加即x22x2y，再依据不等式的性质：y x可求解 .（ 2）利用换底公式可得原式log22 a log 22b log22 c log b 2log c 2log a2log 2 b log 2c log2 a log a2 2log b2 2log c2，结2合（ 1）即可证出 .【详解】（ 1）证明：由 x0 ， y0 ，得y1 2 y 12y 1 2 ，即 x 2 y，x 2yx 2 yx xz 1 2x 1 2同理z， ，y 2y z 2 xz以上三式相加，得y z x11 12 2 2x2y2z2x y z x y z（当且仅当 xy z 时取等号），y zx1 11故x 2 y 2 z 2 x y z 建立.（ 2）解： log b a log 2 a log c b log 2 b log a c log 2 clog 22 a log 22 b log 22 c log 2 b log 2 c log 2 alog b 2log c 2 log a 2log a 2 2 log b 2 2log c 2 ，2log b 2 log c 2log a 2 1 1 1依据（ 1），得log b 2 2 log c 2 2 log a 2log b 2 log c 2log a 2 2 log 2 a log 2 b log 2 c log 2 abclog 2 8 3 ，因此， k 3 ，故实数 k 的最大值为 3.【点睛】本题观察了基本不等式证明不等式、不等式的性质、换底公式，属于基础题 .。
2020届全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学(文)(解析版)
2020新课标1高考压轴卷数学（文）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z =+-，则2||z =（ ） A. 2i + B. 3i + C. 5 D. 103.若向量a r ＝13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，|b r |＝23，若a r ·(b r －a r )＝2，则向量a r 与b r 的夹角为( )A.6πB.4π C.3π D.2π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( ) A ．1115B ．1315C ．35D ．10136.我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．49.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3,23,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 1B.2C.3D.510..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ） A. 9B. 4C.12D.1411.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,222p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ）A. 2y x =B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且2sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 14. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.15. 已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+，令()13log n a nb +=，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和2020S =__________．16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；④异面直线PD 与BC 所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin22 2A BA B-+=+（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，122BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）ð═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
2020年江苏省高考数学压轴卷(解析版)
2020年江苏省高考压轴卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________.11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______. 14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE 平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.——★ 参 考 答 案 ★——1.『答案』{|12}x x <<『解析』因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}AB x x =<<.故『答案』为：{|12}x x <<2．『解析』12z i i =+-==3．『答案』8『解析』设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故『答案』为：8 4．『答案』205『解析』模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故『答案』为205.5．『答案』y x = 『解析』由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即y x =.故『答案』为：y x =. 6．『答案』14『解析』由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．『答案』7『解析』PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．『答案』1665『解析』∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故『答案』为1665． 9．『答案』1『解析』设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=，所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故『答案』为1． 10．『答案』132『解析』由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故『答案』为：13211．『答案』2『解析』设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥，ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥， 则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC，sin AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2『答案』为2. 12．『答案』0『解析』如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．『答案』013．『答案』(-∞『解析』当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2t g t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减,1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故『答案』为：(-∞.14．『答案』『解析』因为22Sa bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosAc b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >， 故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.故『答案』为：12. 15．『答案』（1）3；（2）(]6,9. 『解析』（1）由sin26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.16．『答案』（Ⅰ）详见『解析』（Ⅱ）详见『解析』『解析』证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．『答案』（1（2）7百米. 『解析』（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 41222ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin αα===， 当CHDE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH中，2π2π2πsin2sin2sin cos2cos sin333CH CE HECααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭= .18．『答案』（1）22143x y+=（2）12或32『解析』(1)因为椭圆离心率为12，当P为C的短轴顶点时，12PF F△.所以22212122caa b cc b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩C的方程为:22143x y+=.（2）设直线PQ的方程为()1y k x=-，当0k≠时，()1y k x=-代入22143x y+=，得:()22223484120k x k x k+-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y，线段PQ的中点为()00,N x y，212024234x x kxk+==+，()1200231234y y ky k xk+-==-=+即22243,3434k kNk k⎛⎫-⎪++⎝⎭因为TN PQ⊥，则1TN PQk k⋅=-，所以222314381443kk kkk--+⋅=-+，化简得24830k k-+=，解得12k=或32k，即直线PQ的斜率为12或32.19．『答案』（1）23a=（2）见『解析』（3）存在8,340m k==满足题意。
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一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。
例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。
本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。
举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个.类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养。
例2、【2018百校联盟联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =L ，且1210a a a <<<L ，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7探究提高：本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网举一反三：【2017届江西省赣州市高三上学期期末考试】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一。
例3、在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.图1图2解析类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C r n＋C r＋1n ＝C r＋1n＋1，有1C1n＋1C r n＝1C1n＋2C r n＋1＋1C1n＋2C r＋1n＋1.学*科网答案1C1n＋2C r n＋1＋1C1n＋2C r＋1n＋1＝1C1n＋1C r n探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数学名著和欧洲数学有解的结合在一起，进行和合理命题。
举一反三：【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法。
例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C探究提高：合情推理主要包括归纳推理和类比推理。
数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。
而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
举一反三：我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =L ，且1210a a a <<<L ，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 学*科网【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}n a ，设公差为d ，则1219101222{ { 42174a a a d a a a d +=+=+=+=，，解得1151,168a d ==，所以该金杖的总重量15109110151628M ⨯=⨯+⨯=， ()151485,48175168i a M i ⎡⎤=∴+-⨯=⎢⎥⎣⎦Q ，解得6i =，故选C. 类型五、取材数学图形例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形。
【2018北京丰台二模】血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个关键.由图象可得函数先增后减,在t=1时取到极大值,在血液浓度所对应的值超过最低中毒浓度时,会发生药物中毒,因此两次服药的间隔不能太小,需要看是否有两次药效之和超过最低值. 学*科网举一反三：【2018广东湛江二模】某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的%x的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%xx⋅-元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是（）A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 10【答案】D类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息。