【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题专题阶段评估2
年高考数学二轮复习 阶段评估2 新人教版
专题阶段评估(二)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意．答案： C2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析： ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2，(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.答案： C3．(2012·陕西五校三次联考)在数列{a n }中，a 1＝2i(i 为虚数单位)，(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n (n ∈N *)，则a 2 012的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．2i解析： ∵(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，∴a n ＋1a n ＝1－i 1＋i＝－2＋－＝－i ，故{a n }是以2i 为首项，－i 为公比的等比数列，∴a 2 012＝2i×(－i)2 012－1＝2i×(－i)4×502＋3＝2i×i＝－2.答案： A4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝( ) A ．λa ＋bB ．a ＋λbC.1λa ＋b D ．a ＋1λb解析： AC →＝AD →＋DC →＝b ＋1λAB →＝b ＋1λa .故选C.答案： C5．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4D.233解析： 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝1＋4tan 2αtan α＝654.答案： B6．(2012·山东潍坊一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a ·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A ．－35B ．－45C.35D.45解析： 由a ·b ＝85，得2cos x ＋2sin x ＝85，∴22cos x ＋22sin x ＝45， 即cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，故选D.答案： D7．△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin A sin B sin C ＝( ) A.14 B.32C.34D.12解析： 由a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，S △ABC ＝12ab sin C ＝1，可得S △ABC ＝12×4R 2sin A sin B sin C ＝1，∵R ＝1，∴sin A sin B sin C ＝12.答案： D8.(2012·河北衡水中学一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝( )A.π6B.7π12 C.76π D.73π 解析： 由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π.故选C. 答案： C9．(2012·长春市调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形解析： 依题意得：cAC →＋aPA →＋bPB →＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b2＝0c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c∴△ABC 为等边三角形，选C.答案： C10．(2012·烟台四校联考)据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋7(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( )A ．4.2万元B ．5.6万元C ．7万元D ．8.4万元解析： 由题意得函数f (x )图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A ＝9－52＝2，T2＝7－3，∴T ＝8，又∵T ＝2πω，∴ω＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7， 把点(3,9)代入上式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7，∴当x ＝10时，f (10)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×10－π4＋7＝2＋7≈8.4.答案： D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析： 化11－7i1－2i 为标准形式，利用复数相等，求出a ，b .∵11－7i 1－2i＝－＋－＋＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝5＋3＝8. 答案： 812．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝__________. 解析： ∵a ＝(2,1)，∴|a |＝ 5.又∵|a ＋b |＝52，|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ， ∴(52)2＝(5)2＋|b |2＋2×10， 即|b |2＝25，∴|b |＝5. 答案： 513．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，若函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．解析： 函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为T 4，由题意可知T4＝π3，∴ω＝32. 答案： 3214．已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析： 由题意可知cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.∵α、β∈(0，π)，∴sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝82＋315.答案：82＋31515．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离为________．解析： 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20 km ，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝180°－140°＋65°＝105°， ∴∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20sin 30°sin 45°＝10 2 km.答案： 10 2 km三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)16．(12分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解析： (1)因为AB →＝(3,1)，A C →＝(－1，a )，所以AD →＝12(AB →＋A C →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2.又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形， 所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－A B →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0， 即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解． 综上所述，a ＝3或13.17．(12分)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解析： (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2(sin 2x cos π4－cos 2x sin π4)＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴函数f (x )的最小正周期为π，最大值为1＋ 2. (2)由(1)知故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，2上的图象是18．(12分)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a ＞c ，b ＝7，求AB →·AC →的值． 解析： (1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝7，根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a ＞c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.19．(12分)已知函数y ＝f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象经过如下三步变换得到的： ①将y ＝sin x 的图象整体向左平移π6个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍． (1)求f (x )的周期和对称轴；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝2，c ＝1，ab ＝23，且a ＞b ，求a ，b 的值．解析： (1)由变换得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以T ＝2π2＝π.由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴为x ＝k π2＋π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.在△ABC 中，根据余弦定理，有c 2＝1＝a 2＋b 2－2ab cos π6，即a 2＋b 2＝7，又ab ＝23，且a ＞b ，可得a ＝2，b ＝ 3. 20．(13分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1(x ∈R )．(1)若函数h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(2)设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴h (x )＝f (x ＋t )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.∴h (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6－t ，0，k ∈Z ，又已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0为h (x )的图象的一个对称中心，∴t ＝k π2＋π3，k ∈Z . 而t ∈(0，π)，∴t ＝π3或5π6.(2)若p 成立，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，f (x )∈[1,2]，由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3，因为p 是q 的充分不必要条件，⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2⇒－1＜m ＜4.故m 的取值范围为(－1,4)．21．(14分)(2012·福州市高三质量检查)如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值． 解析： (1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC ＜∠BAC ＜π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，在△ADC 中，根据正弦定理，可得 ADsin C ＝43sin 2π3＝DC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋4 3＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3， ∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。
高中新课程数学(人教新课标理)二轮复习精选第二部分 洞察高考43个热点《热点二十二 考查双曲线方
x2 y2 [押题 42] 已知双曲线 2－ 2＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2， a b 过点 F2 作 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P， 且∠PF1F2 π ＝6，则双曲线的渐近线方程为________． 解析 根据已知得点 P
b2 b2 的坐标为c，±a ，则|PF2|＝ a ，又
解析
根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方
b 程为y＝ a x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得
2 2 x y b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是20－ 5 ＝1.
Hale Waihona Puke 答案Ax2 y2 【例50】► (2011· 全国)已知F1、F2分别为双曲线C： － ＝1 9 27 的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠ F1AF2的平分线，则|AF2|＝________. 解析 依题意得知，点F1(－6,0)，F2(6,0)，|F1M|＝8，
|F1M| |F1A| |F2M|＝4.由三角形的内角平分线定理得 |F M| ＝ |F A| ＝2， 2 2 |F1A|＝2|F2A|；又点A在双曲线上，因此有|F1A|－|F2A|＝ 2×3＝6,2|F2A|－|F2A|＝|F2A|＝6. 答案 6
命题研究：1.双曲线定义的考查，常常是利用两个定义去求动
点的轨迹方程或某些最值问题；
2.双曲线标准方程的考查，常常是利用基本量求标准方程或去 解决其他相关的问题； 3.双曲线性质的考查，主要是离心率与渐近线这两个热点问题.
x2 y2 [押题 41] 点 P 在双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2 是这 条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90° ，且△F1PF2 的三条边 长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A．2 B．3 C．4 D．5 ( )．
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破专题训练8
训练8 数列的综合应用(参考时间：80分钟)一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n等于________．2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4m＋1n的最小值为________．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________. 6．(2012·天一、某某、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．9．(2012·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．二、解答题10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，某某数t 的取值X 围．12．(2012·某某期中)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2且a n ＞0. (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ； (3)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，不等式S n ＞13log a (1－a )对任意的正整数n 恒成立，某某数a 的取值X 围．13．(2012·某某、某某一模)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案训练8 数列的综合应用1．解析 由{log 3(a n －1)}是等差数列得d ＝log 3(a 2－1)－log 3(a 1－1)＝log 3(10－1)－log 3(4－1)＝1，所以log 3(a n －1)＝log 3(a 1－1)＋(n －1)×1＝n 所以a n ＝3n＋1，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝132＋1－31－1＋133＋1－32－1＋…＋13n ＋1＋1－3n－1＝13×2＋132×2＋…＋13n ×2＝12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .答案 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n2．解析 由a 7＝a 6＋2a 5得q 2＝q ＋2，又a n ＞0，所以q ＝2，a m a n ＝2m ＋n －2a 1＝2a 1，所以m ＋n ＝3，故4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋n 3＝53＋4n 3m ＋m 3n ≥53＋2 49＝3.(当且仅当m ＝2，n ＝1等号成立)． 答案 33．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n＝33n＋n －1，设f (n )＝33n＋n －1，令f ′(n )＝－33n2＋1＞0，则f (n )在(33，＋∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的，因为n ∈N *，所以当n＝5或6时f (n )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以，a n n 的最小值为a 66＝212.答案 2124．解析 T n ＝17a 1[1－2n]1－2－a 1[1－22n]1－2a 12n＝11－2·22n－172n＋162n＝11－2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋162n－17，因为(2)n＋162n≥8，当且仅当(2)n＝4，即n＝4时取等号，所以当n 0＝4时T n 有最大值． 答案 45．解析 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 12＝2a 7，又2(a 2＋a 12)＝a 27，所以4a 7＝a 27，b 7＝a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 5b 9＝b 27＝42＝16. 答案 166．解析 f ′(0)即为f (x )展开式中x 的系数，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 2 012＝(a 1a 2 012)1 006＝91 006＝32 012，又f (0)＝2，故在点(0，f (0))处的切线方程为y －2＝32 012x ，即为y ＝32 012x ＋2.答案 y ＝32 012x ＋2 7．解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，所以b ＝1，即f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，由f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，得f 2(4)＝f (1)f (13)，即(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，因为k ≠0，所以解得k ＝2，即f (x )＝2x ＋1，所以f (2)＋f (4)＋…f (2n )＝5＋9＋…＋(4n ＋1)＝n 5＋4n ＋12＝n (2n ＋3)．答案 n (2n ＋3)8．解析 因为a 1·a 2·a 3…a k ＝log 23×log 34×…×log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，当log 2(k ＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m－2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 0269．解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5. 答案 510．解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.11．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m 2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )．②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)． 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－192n 2＋6n ，n 为正偶数，192n 2＋6n ＋7，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立． 只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59.12．解 (1)当n ＝1时，有a 31＝a 21，由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 31＋a 32＝(a 1＋a 2)2，将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.(2)由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，①则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2.②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2，由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ， 所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n .(3)由(2)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1a n －1a n ＋1＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.∵S n －1－S n ＝1n ＋1n ＋3＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞13log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.所以，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 13．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2n ≥2.(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k－1)．则由S k ＜30，得a ＜1032k－1， 当k ≥3时，1032k－1＜1，所以必定有a ＜1， 所以不存在这样的最大正整数当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。
【拿高分,选好题】高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-3-4 推理与证
(2)对于③，“若 a，b∈C，则 a－b＞0⇒a＞b”是错误 的，如 a＝2＋i，b＝1＋i，则 a－b＝1＞0，但 2＋i＞1＋i 不 正确； 对于④， “若 z∈C， 则|z|＜1⇒－1＜z＜1”是错误的， 1 1 2 1 1 如 y＝2＋2i，|y|＝ 2 ＜1，但－1＜2＋2i＜1 是不成立的．故 选 A.
(2)(2012· 太原模考)给出下面类比推理命题(其中 Q 为有 理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－b＝0⇒a＝b”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b ＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒ a＝c，b＝d”；
•
(1)有关否定性结论的证明常用反 证法或举出一个结论不成立的例子即可． • (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方 法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口， 然后用综合法来写出证明过程，有时候，分 析法和综合法交替使用．
nπ 1．(2012· 福建卷)数列{an}的通项公式 an＝ncos 2 ，其 前 n 项和为 Sn，则 S2 012 等于( A．1 n＝ncos 2 ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4 ＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 由此易知 a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且 a1＋a2＋a3＋a4 ＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－
• ③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出 “若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b； • ④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”，类比 推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”． • 其中类比正确的为( ) • A．①② B．①④ • C．①②③ D．②③④
高中新课程数学(人教)二轮复习专题第二部分专题提分宝典《2-2高考命题调研篇》课件
2 3
nπ＝n(n＋1)π－
2n3π，所以sin Sn＝sinnn＋1π－23nπ.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为
偶数，所以sin Sn＝－sin
2nπ 3.
当n＝3m－2(m∈N*)时，sin Sn＝－sin2mπ－43π＝－ 23；
当n＝3m－1(m∈N*)时，sin Sn＝－sin2mπ－23π＝ 23； 当n＝3m(m∈N*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0.
• 2．注重“双基” 强调通法
• 试题注重中学数学的基础知识、基本技能和 能力，从知识点分布看，试题覆盖面很广， 在新课标所要求的各知识系列中基本上都有 试题，考查的知识、技能、方法不偏不 怪．高考大部分试题均源自课本中习题的改 编，给人以题在书外、根在书中的感觉．试 卷注重通性通法，淡化特殊技巧，形成入口 宽、方法多、立意新的设问特点．
• 天津卷第12题，以解析几何为载体，将解析 几何内容与不等式有预谋地“相遇”，既为 解析几何输送了新鲜的血液，又为基本不等 式运用找到了坚实的着陆点．安徽卷第21题， 借助导数来包装数列问题，构思新颖，是不 落俗套的好题．
(2012·安徽卷21题)设函数f(x)＝2x＋sin x的所有 正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
－
23，n＝3m－2m∈N*
综上所述，sin
Sn＝
23，n＝3m－1m∈N*
0，n＝3mm∈N*
• 4．应用题型 悄悄变脸
• “强调应用”也是今年高考卷命题的指导思 想，体现了新课标高考的“在玩中学，在学 中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培 养学生的探究意识和创新精神，又能够很好 地甄别学生的数学综合素养，因而成为高考 试卷中的一道亮丽的风景线．如江苏卷第17 题以炮弹发射为背景考查函数、方程及基本 不等式，新课标全国卷第18题以玫瑰花为背 景，考查概率统计问题，是具有时代气息的 好题．
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测1函数与导数、不等式 新人教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1函数与导数、不等式 新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝( )．A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a－c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．(xx·汕头测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )．A ．1 B.12 C ．－12 D ．－15．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )．7．(xx·泉州质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要8．下列结论错误的是( )．A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真 C ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题9．(xx·太原模拟)a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋3b ＝1，则3a ＋1b的最小值为( )．A ．12B ．16C ．24D ．3210．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．函数y ＝log 2x (3－x )的定义域是________．12．(xx·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)． 三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值． 16．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 17．(10分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 18．(12分)(xx·郑州质检)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R .(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)(x ≥1)，求证：当p ≤－12时，有g (x )≤0.19．(12分)(xx·临沂一模)设函数f (x )＝x e x，g (x )＝ax 2＋x .(1)若f (x )与g (x )具有完全相同的单调区间，求a 的值； (2)若当x ≥0时恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围．参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 2．C [∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ， ∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.] 3．B [由f (a )＝1，得log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.]4．A [由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2.解得a ＝1.]5．B [观察函数y ＝2x和函数y ＝x ＋2的图象可知，函数f (x )＝2x－x －2有一个大于零的零点，又f (1)＝1－2＜0，f (2)＝2－2＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．]6．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＞0，排除A 、C 项，又当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有两个极值点，排除B 项，故选D.]7．C [函数f (x )在(1，＋∞)单调递增，则a ＞0，x ＝－b2a ≤1，所以b ≥－2a .这与f (2)≥0等价．而f (2)≥0，不能确定函数f (x )在(1，＋∞)单调递增．]8．C [根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.] 9．A [3a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝3＋9b a ＋ab＋3≥6＋2a b ·9b a ＝12(当且仅当9b a ＝ab时，取“＝”号)．]10．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]11．解析 由x (3－x )＞0，得0＜x ＜3，故其定义域为(0,3)．答案 (0,3)12．解析 对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0，得，a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 2113．解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 414．解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④15．解 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1± 3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3. 16．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1.f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ＜2－3，或x ＞2＋3时，得f ′(x )＞0； 当2－3＜x ＜2＋3时，得f ′(x )＜0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)与(2＋3，＋∞)；f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)＜0，且f ′(3)＞0， 解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.17．解 (1)由题意知，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1，当(2b )2－4a ≤0时，f (x )无极值，当(2b )2－4a ＞0，即b 2＞a 时，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1＝0有两个不同的解，即x 1＝－b －b 2－aa，x 2＝－b ＋b 2－a a，因此f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．①当a ＞0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12 ②当a ＜0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12(2)由题意知f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1≥0在区间(0,1]上恒成立，则b ≥－ax2－12x，x ∈(0,1]． 设g (x )＝－ax2－12x，x ∈(0,1]． ①当1a∈(0,1]，即a ≥1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋12x ≤－2a4＝－a .等号成立的条件为x ＝1a∈(0,1]，[g (x )]最大值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＝－a ，因此b ≥－a . ②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，g ′(x )＝－a2＋12x 2＝1－ax 22x 2＞0，[g (x )]最大值＝g (1)＝－a2－12＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12. 综上所述，当a ≥1时，b ≥－a ；当0＜a ＜1时，b ≥－a ＋12.18．(1)解 当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1＞0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明 由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1) ＝x ln x ＋p (x 2－1)， 得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立， 所以当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )≤g (1)＝0满足题意． 19．解 (1)f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)内单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)内单调递增．又g ′(x )＝2ax ＋1，由g ′(－1)＝－2a ＋1＝0得，a ＝12.此时g (x )＝12x 2＋x ＝12(x ＋1)2－12，显然g (x )在(－∞，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)内单调递增，故a ＝12.(2)由f (x )≥g (x )，得f (x )－g (x )＝x (e x－ax －1)≥0， 令F (x )＝e x －ax －1，则F ′(x )＝e x－a . ∵x ≥0，∴F ′(x )＝e x－a ≥1－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，而F (0)＝0， 从而当x ≥0，F (x )≥0，即f (x )≥g (x )；若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数，而F (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时F (x )＜0，即f (x )＜g (x )，则f (x )≥g (x )不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．36947 9053 道125869 650D 攍25423 634F 捏21404 539C 厜f 29719 7417 琗 33460 82B4 芴`28464 6F30漰 U34268 85DC 藜。
适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学二轮总复习题型专项练2客观题8+4+4标准练B
题型专项练2 客观题8+4+4标准练(B)一、单项选择题1.(2024·广东揭阳模拟)已知全集U=R,集合A={x|1-2x≥3},∁U B={x|-3≤x≤1},则A∩B=()A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x<-3}C.{x|x≤-3}D.{x|x≤-3或x≥1}2.已知i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.24.某工厂生产一批医疗器械的零件,每个零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是()A.0.49B.0.73C.0.79D.0.915.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是闻名的香农公式:C=W log2(1+).它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽视不计.依据香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比从1 000提升到16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3)()A.21%B.32%C.43%D.54%6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个好玩的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它们诞生后的第3个月里,又能生一对小兔子.假如没有发生死亡现象,那么有一对刚诞生的兔子,从第1个月起先,每月末的兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,假如用a n表示第n个月的兔子的总对数,那么a n=a n-1+a n-2(n∈N*,且n≥3),这就是闻名的斐波那契数列,其中,a1=1,a2=1.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为()A. B. C. D.7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标记着中国古代数学形成了完整的体系.书中提到许多几何图形,例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=,AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1中异面直线A1C与AB所成角的大小是()A. B. C. D.8.(2024·广西河池高三期末)如图,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点且=2,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,=x(x>0),=y(y>0),则的最小值为()A. B.1 C. D.4二、多项选择题9.(2024·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差10.(2024·浙江绍兴高三期末)主动降噪耳机工作的原理是:先通过微型麦克风采集四周的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为y=f(x),降噪声波曲线函数为y=g(x),已知某噪声的声波曲线f(x)=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)=-g(x)B.f(x)=2sin2x+C.y=g(x)的单调递减区间为+kπ,+kπ(k∈Z)D.y=f(x)图象可以由y=g(x)图象向右平移π个单位长度得到11.如图,在直角三角形ABC中,A=90°,|AB|=,|AC|=2,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上,则()A.点P所在圆的半径为2B.点P所在圆的面积为4πC.的最大值为14D.的最大值为1612.(2024·湖南岳阳二模)已知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,过点F的动直线l与抛物线C交于A,B两点,以A,B为切点的抛物线的两条切线的交点为P,则下列结论正确的是()A.p=2B.当l与M相切时,l的斜率是±C.点P在定直线上D.以AB为直径的圆与直线y=-1相切三、填空题13.已知双曲线x2-=1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的焦点重合,则m的值为.14.(2024·辽宁沈阳一模)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必需站在中间两个位置之一,且乙、丙2人相邻,则不同的排队方法共有种.15.在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC边的中点,沿中线AD折起,使∠BDC=60°,连接BC,所得四面体ABCD的体积为,则此四面体内切球的表面积为.16.在一个三角形中,到三个顶点距离之和最小的点叫作这个三角形的费马点.如图,在△ABC中,P 为△ABC的费马点,经证明它也满意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,因此费马点也称为三角形的等角中心.在△ABC外作等边三角形ACD,再作△ACD的外接圆,则外接圆与线段BD的交点P即为费马点.若AB=1,BC=2,∠CAB=90°,则PA+PB+PC= .题型专项练2客观题8+4+4标准练(B)一、单项选择题1.B解析由∁U B={x|-3≤x≤1},得B={x|x<-3或x>1}.又因为A={x|1-2x≥3}={x|x≤-1},所以A∩B={x|x<-3}.2.A解析∵z=i,i,故z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限.3.C解析因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2(0+a)=0,所以a=1.又因为y=f(x)的周期为4,所以f(2024)=f(4×505+1)=f(1)=1.4.C解析设事务A:“第一次就得到合格零件”,事务B:“第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P(A)=0.7,P(B)=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P(A)+P(B)=0.7+0.09=0.79.5.D解析由题意-1=1.1-1=1.1-1≈0.54,所以C大约增加了54%.6.A解析因为奇数加奇数结果是偶数,奇数加偶数结果是奇数,偶数加奇数结果是奇数,所以数列中随意相邻的三项,其中一项为偶数,两项为奇数,所以前120项中偶数有40项,所以这个数是偶数的概率为7.C解析在堑堵ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,所以BC⊥平面ACC1A1,所以阳马B-A1ACC1的体积V=BC=AC·AA1·BC=AC·BC,在直角三角形ABC中,4=AB2=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC=时取得等号.所以当AC=BC=时,阳马B-A1ACC1的体积取得最大值又A1B1∥AB,所以∠CA1B1(或其补角)为异面直线A1C与AB所成的角,连接B1C(图略),则B1C==2,A1C==2,即A1B1=B1C=A1C=2,所以∠CA1B1=,即异面直线A1C与AB所成角为8.B解析因为M为线段BC的中点,所以因为=2,所以因为=x(x>0),=y(y>0),所以,所以因为G,P,Q三点共线,所以=1,即x+(y+1)=4.所以[x+(y+1)]()=+2)(2+2)=1,当且仅当,即x=2,y=1时,等号成立,所以的最小值为1.二、多项选择题9.BD解析对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD.10.AB解析对于A,由已知,g(x)=A sin[-(ωx+φ)]=-A sin(ωx+φ)=-f(x),∴f(x)=-g(x),故选项A正确;对于B,∵ω>0,∴由图象知,,∴ω=2.又f()=A sin(2+φ)=0,且x=在f(x)的单调递减区间上,∴2+φ=+φ=2kπ+π(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=f(0)=A sin=1,∴A=2,∴f(x)=2sin(2x+),故选项B正确;对于C,g(x)=2sin[-(2x+)]=-2sin(2x+),由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x+kπ(k∈Z),∴y=g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z),故选项C错误;对于D,y=g(x)图象向右平移π个单位长度得到y=g(x-π)=-2sin[2(x-π)+]=-2sin(2x+-2π)=-2sin(2x+)≠f(x),故选项D错误.故选AB.11.ABC解析如图,设BC的中点为M,过A作AH⊥BC于点H,连接PM,PA,AM.因为A=90°,|AB|=,|AC|=2,所以|BC|=5,|AM|=,所以由|AB||AC|=|BC||AH|,得|AH|==2,所以圆的半径为2,即点P所在圆的半径为2,所以点P所在圆的面积为4π,所以选项A正确,B正确;因为=0,所以=()·()=()=4+2, 所以当P,M,A三点共线,且P,M在点A的两侧时,2取最大值,且(2)max=2||·||=2×2=10,所以的最大值为4+10=14,所以选项C正确,D错误.12.ACD解析对于A,由题意知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,即F与圆上的点(0,-1)的距离为2,则|OF|=1,∴p=2,故A正确;对于B,过点F(0,1)的动直线l与M相切时,斜率必存在,设l的方程为y=kx+1,则=1,解得k=±2,故B错误;对于C,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y可得y'=x,联立消去y得x2-4kx-4=0,Δ=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.设在点A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=,所以抛物线C在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=x-, ①同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y=x-, ②由①②可得x P==2k,将x P=代入①得y P==-1,所以P点坐标为(2k,-1),即点P在定直线y=-1上,故C正确;对于D,由题意知|AB|=x1+x2+p=4k+2,由梯形的中位线可得AB的中点到抛物线准线y=-1的距离为=2k+1=|AB|,则以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,故D正确.故选ACD.三、填空题13.3解析设抛物线的焦点为F,由8x+y2=0得y2=-8x,所以F(-2,0).由题意得m>0,所以1+m=22,得m=3.14.72解析先支配甲,可从中间两个位置中任选一个支配有种方法,而甲站好后一边有2个位置,另一边有3个位置.再支配乙、丙2人,因为乙、丙2人相邻,所以可分为两类:支配在甲有2个位置的一侧有种方法;支配在甲有3个位置的一侧有2种方法.最终支配其余3人有种方法.综上,不同的排队方法有(+2)=72种.15.(84-48)π解析如图,由题意得BD=CD=2,AD⊥平面BCD,四面体A-BCD的体积V A-BCD=AD=,得AD=3,所以AB=,设BC的中点为E,连接AE,DE.因为BD=DC=2,∠BDC=60°,所以DE⊥BC,BC=BD=DC=2,DE=,所以AB=AC,所以AE⊥BC.所以AE==2所以四面体A-BCD的表面积S=(2×3)×2+22×2=6+3设内切球的半径为R,由V A-BCD=S·R=(2+)R=,得R==2-3,所以内切球的表面积为4πR2=12(7-4)π=(84-48)π.16解析依据题意有,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则∠PAB+∠PBA=60°.因为AB=1,BC=2,∠CAB=90°,所以∠ABC=60°,即∠PBC+∠PBA=60°,所以∠PAB=∠PBC,从而有△PAB∽△PBC,则,则PC=2PB=4PA,在△PAB中,由余弦定理,可得PA2+PB2-12=2PA·PB cos120°,解得PB=,PA=,则PC=,故PA+PB+PC=。
【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第二部分 洞察高考热点39题《专题二 90分
专题二90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题【示例】► (2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50. (1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分) (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65， 由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35.(4分) 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.(6分) (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.(11分) 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)评分细则 1没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|直接计算的，扣1分.,2不交代∠CAD 的范围的，扣1分；,3不交代∠BAC 范围的，扣1分. 【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2，－sin C ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，2sin C ，且m ⊥n . (1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) (阅卷说明：无中间分)∵C ∈(0，π)，∴cos C 2＞0，sin C ＞0.∴cos C2＝sin C (4分) (阅卷说明：得到2cos 2C ＋cos C －1＝0也得2分) 则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又∵a 2＝2b 2＋c 2，∴a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab .则a ＝3b .(10分)由正弦定理，得sin A ＝3sin B ．(11分) ∵C ＝π3，∴sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .(12分) 即sin A ＝－33cos A ．(13分)∵cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0，∴tan A ＝－3 3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事【示例】► (2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE .解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CD DA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE ⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC ⊥平面PDE .证明 (1)法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.(5分)又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法二连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.(5分)又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法三取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分) 因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点．所以DAAE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.(9分) 因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分)评分细则 1第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分； 2第二问，不用平面几何知识证明DE ⊥AC ，扣2分.【突破训练】 (2012·南师附中统测)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝63，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE ；(2)当△AEC 面积的最小值是9时，求证：EC ⊥平面PAB .(1)证明 连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .(4分)又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面PDB ，E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE .(7分)(2)解 连ED .由(1)知AC ⊥平面PDB ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .S △ACE ＝12×6×EF ＝9，解得EF ＝3，(10分)由PB ⊥EF 且PB ⊥AC 得PB ⊥平面AEC ，则PB ⊥EC ，又由EF ＝AF ＝FC ＝3得EC ⊥AE ，而PB ∩AE ＝E ，故EC ⊥平面PAB .(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题【例1】► (2012·南京高三调研)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破 由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫100v ＋23＋300·400v ＝123 000v＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 123 000v ＋690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v＋600(v ＞50) 由y ′＝3v 25－120 000v 2＝3v 3－10625v2＝0，得v ＝100 当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v＋600单调递减．所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 1第一问，有一段求解错误的，扣4分； 2第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题阶段评估(二)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析： a |a|表示与a 同向的单位向量，b|b|表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a|＝b|b|，观察选择项易知C 满足题意． 答案： C2．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析： ∵f(x)为偶函数，∴φ3＝k π＋π2，(k ∈Z)，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.答案： C 3．(2012·陕西五校三次联考)在数列{an}中，a1＝2i(i 为虚数单位)，(1＋i)an ＋1＝(1－i)an(n ∈N*)，则a2 012的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．2i解析： ∵(1＋i)an ＋1＝(1－i)an ， ∴an ＋1an ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i ＝－i ，故{an}是以2i 为首项，－i 为公比的等比数列，∴a2 012＝2i×(－i)2 012－1＝2i×(－i)4×502＋3＝2i×i ＝－2. 答案： A4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB|＝λ|DC|，设AB →＝a ，A D →＝b ，则A C →＝( ) A ．λa ＋b B ．a ＋λb C.1λa ＋b D ．a ＋1λb 解析： A C →＝A D →＋D C →＝b ＋1λA B →＝b ＋1λa.故选C.答案： C5．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α的值为( )A ．4 3B.654C ．4 D.233解析：1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α＝2cos2α＋8sin2α2sin αcos α＝1＋4tan2αtan α＝654.答案： B 6．已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73C.57D ．1解析： 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，选D.答案： D7．(2012·山东潍坊一模)已知向量a ＝(cos x ，si n x)，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( )A ．－35B ．－45C.35D.45解析： 由a·b ＝85，得2cos x ＋2sin x ＝85，∴22cos x ＋22sin x ＝45， 即cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝45，故选D. 答案： D8．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝52，则|b|＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．25解析： ∵a ＝(2,1)，∴|a|＝ 5.又∵|a ＋b|＝52，|a ＋b|2＝a2＋b2＋2a·b ， ∴(52)2＝(5)2＋|b|2＋2×10， 即|b|2＝25，∴|b|＝5. 答案： C9．△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin Asin Bsin C ＝( )A.14B.32C.34 D.12解析： 由a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ， S △ABC ＝12absin C ＝1，可得S △ABC ＝12×4R2sin Asin Bsin C ＝1，∵R ＝1，∴sin Asin Bsin C ＝12.答案： D10.(2012·河北衡水中学一模)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A·ω＝( ) A.π6 B.7π12C.76π D.73π 解析： 由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A2， ∴A ＝712π，∴A·ω＝76π.故选C. 答案： C 11．(2012·长春市调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形解析： 依题意得：cAC →＋aPA →＋bPB →＝cAC →－12a(AB →＋AC →)＋12b(AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b 2＝0c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c∴△ABC 为等边三角形，选C.答案： C 12．(2012·烟台四校联考)据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋7(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( ) A ．4.2万元 B ．5.6万元 C ．7万元 D ．8.4万元解析： 由题意得函数f(x)图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A ＝9－52＝2，T2＝7－3，∴T ＝8，又∵T ＝2πω，∴ω＝π4，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7，把点(3,9)代入上式，得sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1， ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7， ∴当x ＝10时，f(10)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4×10－π4＋7＝2＋7≈8.4. 答案： D二、填空题(本大题共4小题．请把正确答案填在题中横线上)13．设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析： 化11－7i1－2i 为标准形式，利用复数相等，求出a ，b.∵11－7i 1－2i ＝11－7i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝5＋3＝8. 答案： 814．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)，若函数f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．解析： 函数f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为T 4，由题意可知T 4＝π3，∴ω＝32.答案： 3215．已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析： 由题意可知cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.∵α、β∈(0，π)，∴sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223＝82＋315. 答案：82＋31516．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离为________．解析： 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20 km ，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝180°－140°＋65°＝105°， ∴∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得AC ＝BC·sin ∠ABC sin A ＝20sin 30°sin 45°＝10 2 km.答案： 10 2 km三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17．已知向量AB →＝(3,1)， AC →＝(－1，a)，a ∈R. (1)若D 为BC 中点， AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解析： (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a)， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝⎛⎭⎫1，1＋a 2.又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a·(a －1)＝0， 即a2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解． 综上所述，a ＝3或13.18．已知函数f(x)＝2sin x(sin x ＋cos x)． (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数y ＝f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 解析： (1)f(x)＝2sin2x ＋2sin xcos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2(sin 2xcos π4－cos 2xsin π4)＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1＋ 2.(2)由(1)知x －π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2 y211－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象是19．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2bsin A＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a ＞c ，b ＝7，求AB →·AC →的值． 解析： (1)因为3a －2bsin A ＝0， 所以3sin A －2sin Bsin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝7，根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accos π3，整理，得(a ＋c)2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a ＞c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝cbcos A ＝2×7×714＝1.20．已知函数y ＝f(x)的图象是由y ＝sin x 的图象经过如下三步变换得到的：①将y ＝sin x 的图象整体向左平移π6个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍． (1)求f(x)的周期和对称轴；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(C)＝2，c ＝1，ab ＝23，且a ＞b ，求a ，b 的值．解析： (1)由变换得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以T ＝2π2＝π.由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴为x ＝k π2＋π6，k ∈Z.(2)由f(C)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.在△ABC 中，根据余弦定理，有c2＝1＝a2＋b2－2abcos π6，即a2＋b2＝7，又ab ＝23，且a ＞b ，可得a ＝2，b ＝ 3.21．已知函数f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1(x ∈R)．(1)若函数h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (2)设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f(x)－m|＜3，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析： (1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴h(x)＝f(x ＋t)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3.∴h(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6－t ，0，k ∈Z ， 又已知点⎝⎛⎭⎫－π6，0为h(x)的图象的一个对称中心， ∴t ＝k π2＋π3，k ∈Z.而t ∈(0，π)，∴t ＝π3或5π6.(2)若p 成立，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，f(x)∈[1,2]， 由|f(x)－m|＜3⇒m －3＜f(x)＜m ＋3，因为p 是q 的充分不必要条件，⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2⇒－1＜m ＜4.故m 的取值范围为(－1,4)．22.(2012·福州市高三质量检查)如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值． 解析： (1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD·AC·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC ＜∠BAC ＜π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理，得 DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos π6，∴DC2＝4＋48－2×2×43×32＝28，∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3， ∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3.。