复变函数
复变函数总结完整版
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
复变函数
复变函数一、复数与复变函数1、w n =ZW=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]其中k 取1、2、3、、、、、n-12、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。
3、单连通域：区域中没有洞和缝多连通域：区域中有洞或者缝二、解析函数1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。
2、解析函数的一个充分必要条件：函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。
（C-R 方程）∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂xf(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂yC-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件4、调和函数和共轭调和函数调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ2∂x +∂φ2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数指数函数：e iy =cosy+isinye z 是以2ki π为周期的周期函数对数函数：lnz=ln z +iargzLnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)Ln z 2≠2LnzLn z n ≠1n Lnz幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分1、常用的公式dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1成立条件：a 、封闭区间的积分b 、z 0在封闭曲线C 的内部C 、被积函数分子为常数2、复合闭路定理3、闭路变形定理4、柯西——古萨定理设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f z dz =05、柯西积分公式f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点f(z 0)=12πi f(z)z −z 0dz 6、高阶导数公式f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz7、计算积分的步骤a.分析奇点b.奇点在曲线的内部还是外部c.应用定理四、级数1、常见函数的级数e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !ln(1+z)= (−1)n ∞n=0z n +1n+111+z= (−1)n ∞n=0z n 11−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离收敛半径：比值法、根值法函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数3、泰勒级数设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数
2．实变复值函数的概念 定义：设T 是实数集， F 是复数集，T f F
1) t R z z(t) ，称 z 是 t 的实变复值函数 z z(t) ;
2) 单值： t 一个z z(t) 多值： t 多个z z(t) ,本文只研究单值函数；
1.5复变函数
一、复变函数的概念 1．映射的概念
定义：设 E 和 F 是复平面上的两个点集， E f F
z 唯一确定 w
w 称为 z 在映射 f 下的像，记作 w f (z)，z 称为 w 在 f 下
的一个原像。 例如：设 E F {z;| z |1}，则 f : z iz ，g : z z 都是 E 到 F
w x2 y2 2 2xyi z2 2
四、函数与空间 y f (x) 二维； u f (x, y) 三维； z z(t) 三维；
w f (z) 四维，用两张复平面表示： z 平面 w 平面
例 3：设映射 w z2 ，求
1）直线 x c( 0) 在 w 平面上的像；
2
即 r 2, 2 是扇形区域 0 ,0 4 。
2
例 4：在 w 1 映射下，ｚ平面上圆周 x2 y2 9 将变成 w 平 z
面上什么曲线
［解］这是ｗ平面上以原点为中心，1/3 为半径的圆周。
y
v 2c
，将其代入（1.2.1）中，得
uc2来自v2 4c 2，
即
u
c2
v2 4c 2
是
w
平面上的抛物线方程，它的图形关于
u
轴对
称。
2）设 w ei , z rei ，则 ei r 2e2i ，
第一章 复变函数
积分与路径无关时
,
常取的路径为取的路 ( x0 , y 0 )出发，沿平行x轴 到 ( x, y 0 ),再由 ( x, y 0 )沿平行y轴平行y ( x, y )
v( x, y ) − v( xo , y 0 ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q(x, y )dy
x0 x y y0 x y
外点: 当z0及其邻域均不属于点集E时,则称z0 为点集E的外点. • 境界点: 当z0及其邻域有部分属于点集E,又有 另外一部分不属于点集E时,则称z0为点集E的境 界点. 境界点的全体称为境界线. • 需要注意的是点集E一般并不一定构成区域,只 有当点集E内的点连续变时才构成区域. 在复变函数范围内一般来说区域满足下列两条 件: • (1)全由内点组成; (2)具有连通性.
sinsincossinsincossin1icefcyevyedydyeydxedyyvdxxvdviceicyixeivufcyyxv常数ycxczxxxxzxx?????????????????????????出发????沿平行y轴平行yx??????????dyyxqdxyxpyxvyxvyxyx再由yx到沿平行x轴yx常取的路径为取的路yo????y?0?x?0000000??????1积分与路径无关时dyyxqdxyxpdv??????????cyecydyeyxvydyeydxedvcdyyxqdxyxpyxvxyo?xxxyy?0xx?0?????????coscoscossin03
(d)乘方 zn=ρne inφ , 需注意的问题是幅角具有多值性, 即复数z绕 原点转一圈又回该点,而幅角增加2π,同样转n圈时幅角增加2nπ,一 般我们把幅角在(-π,π)内的值称为幅角的主值,记argz . (e)开方
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
复变函数
25
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
对复平面内的所有点z 都是连续的 ;
(2) 有理分式函数
P(z) w , 其中 P ( z ) 和 Q( z ) 都是多项式, Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
26
例3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在 z0
也连续.
证
设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ),
3
4. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
u u ( x , y ), v v ( x , y ),
它们确定了自变量为x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 函数 w z 2 , 令 z x iy, w u iv ,
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
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3 1 r1 r2 2 2
于是 z 1 3i
19
【例5】
设z1 , z2为任意两个复数，证明：
| z1 z 2 | 2 | z1 | 2 | z 2 | 2 2 Re( z1 z 2 )
证明:
利用| z | 2 zz , 有
| z1 z 2 |2 ( z1 z 2 )( z1 z 2 )
5
显然, r = | z | = 1,
3 sin cos cos , 5 5 10 2
3 cos sin sin . 5 5 10 2
因此
3 3 z cos i sin e 10 10
i
3 10
于是得: | z1 z 2 | r1 r2 | z1 || z 2 | ，
Arg( z1 z 2 ) Arg z1 Arg z（如何理解？） 2
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乘积的几何意义 :
y
z1 z 2
1 2
2 1
z2
z1
x
i i 乘积的指数形式 : z1 r1e 1 , z 2 r2 e 2
2
zz Re z Im z
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16
【例2】已知正三角形的两个顶点为 z1 = 1, z2 = 2 + i 求三角形的另一个顶点。
z3 - z1 = ( z2 - z1 )e
i
π 3
y
z3
z1
1 3 = (1 + i )( + i) 2 2
1- 3 1+ 3 = + i 2 2
8
y
复数的三角表示形式
z 0 时, z x iy 可表示为 :
iy
p
z x iy
x
z r cos i sin | z | cos(Arg z ) i sin(Arg z )
复数的指数表示形式
利用 Euler 公式 : e i cos i sin
记： x Re z ,
y Im z
当x 0, y 0时， z yi称 为 纯 虚 数 ；
当 y 0 时，z x 为实数。
全体复数构成的集合称 为复数集， 记 为C。
即 ：C x iy x , y R
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2
复数相等
设z 1 x 1 iy1 , z 2 x 2 iy 2 ,
z2 Arg z 2 Arg z1 z1
（如何理解？）
15
4.复数运算的性质
设 z1 , z2 , z3 , z C , 则有
(1) 交换律 : z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
( 2) 结合律 : z1 z2 z3 z1 z2 z3 , ( z1 z 2 ) z3 z1 ( z2 z 3 )
( z1 z2（ ) z1 z2 )
| z1 |2 | z 2 |2 ( z 2 z1 z1 z 2 )
| z1 |2 | z 2 |2 ( z1 z 2 z1 z 2 )
| z1 |2 | z 2 |2 2 Re( z1 z 2 )
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利用共轭复数 , 可得:
zz zz Re(z ) , Im(z ) 2 2i
y
二.复平面
iy
p
z x iy
x
x 轴称为实轴 , y 轴称为虚轴 , 这样表示的平面称为 复平面或z 平面。
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复数的模
向量 OP 的长度称为复数 z 的模,记为 | z | 或 r , 即 r | z | x 2 y 2 0。
【思考与练习 】
2 1.把 复 数1 i对 应 的 向 量 按 顺 时 针 旋 转 3 所得向量对应的复数为 _______。
2.设 f ( x iy ) x(1
1 1 ) iy(1 2 ) 2 2 2 x y x y
试写出f (z)的关于z表达式。
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iy
y p
z x iy
r zz
2
复数的辐角
x
以正实轴为始边，以 z( z 0)所对应向量为终边的角 称为z 的辐角 记 为 Arg z Arg z 2k
显然 x r cos , y r sin , r
y 所以 tan(Arg z ) tan x
第一章
复数与复变函数
复习复数的概念、运算、几何表示、 三角表 示 平面点集的有关概念 复变函数的概念 复变函数的极限、连续和可导
2013-12-19
1
§1.1
一、 复数的基本概念
复数及其运算
对x , y R, 称 z x yi 或 z x iy 为复数。 复数定义：
其 中 ，x , y分别称为复数的实部和 虚部。
7
y y arg z 由 arctan arc tan 按如下关系确定 : x 2 x 2
y arctan ( x 0) ( I , IV ) x ( x 0, y 0) 2 y arg z arctan ( x 0, y 0) ( II ) ( z 0) x y ( x 0, y 0) ( III ) arctan x ( x 0, y 0) 2
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x2 y2
任何一个复数z 0 有无穷多个辐角 ,它们之间相差 2 的整数倍。
满足 0 的辐角称为辐角的主值 ，记为
0 arg z
于是有 Arg z arg z 2k ( k 0,1,2,...)
当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定
3 5 2 arctan arctan 3 6 . 12
5 5 z 4 cos( ) i sin( ) 4e 6 6
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10
( 2) z sin
5
i cos
容易看出
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z = z , argz = -arg z .
6
y
z
arg z
y arctan x
x
y arg z arctan x y arctan x
y
arctan
y x
z
arg z
x
arg z arctan
y x
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z2
x
O
3- 3 1+ 3 z3 = + i 2 2
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3+ 3 1- 3 = z3 + i 2 2
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【例3】
已知 zz 3iz 1 3i , 求 z
解 : 设 z x iy, 则 z x iy
代入方程有 :
x 2 y 2 3 y 3ix 1 3i
由复数相等定义得 :
3 x 3 2 2 x y 3y 1
求得 : x 1, y 0 或 3
于是, z 1 或 z 1 3i
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18
【例4】 设 arg(z 2)
3
, arg(z 2)
5 求 z , 6
1 3 z 2 r1 (cos i sin ) r1 i r1 解： 3 3 2 2
z 1 z 2 x 1 x 2 且 y1 y 2
?
两个复数能比较大小吗 ？
共轭复数
称实部相同而虚部相反 的两个复数x iy 与 x iy 共轭。
若记 z x iy, 则记 z x iy
共轭概念是相互的 ,即 z z
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若 z z , z ? 为实数。
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11
三、复数的运算
设 z1 x1 iy1 , z 2 x 2 iy 2
1、复数的加、减法运算
几何意义
z1 z2 x1 x2 i y1 y2
z2
z1 z 2
z2
z1
z1
z1 z 2
z1 z2 表示z1与z2之间的距离
5 5 3 1 z 2 r2 (cos i sin ) r2 i r2 6 6 2 2
1 3 3 1 z ( r1 2) ir1 ( r2 2) ir2 2 2 2 2
比较实部和虚部，得
解得： r1` 2
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1 3 r1 2 r2 2 2 2
复 数 z x iy 可以表示为 :
z re i
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【例1 】 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
5
i cos
5
.
解
1)
r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
因此
5 i 6
( 3) 分配律 : z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
(4) 共轭 : z z , z1 z2 z1 z2
________
z1 z1 z1 z 2 z1 z 2 , z z 2 2