高考数学总复习 62一元二次不等式及其解法课件 理 新人教B版
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高考数学总复习 专题06 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理
点拨
a>0， 1. f(x)＝ax ＋bx＋c≥0(a≠0)对 x∈R 恒成立时，只要求满足 即 Δ ≤ 0
2
可．另外：
a>0， (1)ax ＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ Δ<0；
解得－7≤a≤－6. 综合①，②，③得a∈[－7,2]．
方法二：f(x)＝x2＋ax＋3≥a，只要f(x)的最小值大于或等于a即可． a a2 2 2 f(x)＝x ＋ax＋3＝x＋2 ＋3－ 4 . a 当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4时， a2 f(x)min＝3－ 4 . a2 令3－ 4 ≥a⇔－6≤a≤2，再结合－4≤a≤4，得－4≤a≤2.① a 当－2>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7. 令2a＋7≥a，则a≥－7， ∴－7≤a<－4.② a 当－2<－2，即a>4时， f(x)min＝f(－2)＝7－2a. 7 令7－2a≥a则a≤3，∴a∈∅.③ 由①，②，③，得－7≤a≤2. 即当a∈[－7,2]时，在x∈[－2，2]时，有f(x)≥a恒成立．
x－ax－b≤0， x －a ≤0等价于 x －b x－b≠0.
分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解， 需要注意分式有意义，即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式的 交集，然后求出其解集．
典例分析
考点一 一元二次不等式及分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： 2 (1)－x2＋2x－3>0； (2)8x－1≤16x2； x＋5 (3) ≥2. x－12
第五单元 不等式、推理与证明
第二节 一元二次不等式及其解法
知识汇合
1. 一元二次不等式的解集如下表
2. 分式不等式与一元二次不等式的关系 设a<b，则有 x －a >0等价于(x－a)(x－b)>0； x －b x －a <0等价于(x－a)(x－b)<0； x －b x－ax－b≥0， x －a ≥0等价于 x －b x－b≠0；
高考数学总复习 专题06 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理
－x＋2＜0，∴x＞2；
若 a≠0，原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0；
当 a＜0 时，1a＜2，解集为x| x＜1a或x＞2；
当 0＜a＜12时，1a＞2，解集为x| 2＜x＜1a； 当 a＝12时，1a＝2，解集为∅；
当 a＞12时，1a＜2，解集为x| 1a＜x＜2.
综上可知，当
a＜0
时，解集为x|
x 1 2x 1
0
(2x
1)(x 2x 1
1) 0
0
1 2
x
1
.
练习巩固
1. 不等式x2＞2x的解集是( )
A. (－∞，0) C. (2，＋∞)
B. (0,2) D. (－∞，0)∪(2，＋∞)
解析：x2＞2x⇔x2－2x＞0⇔x(x－2)＞0，∴x＞2或x＜0. 答案：D
2.（2011 广西柳铁一中第一次月考）不等式 2 x x 1的解集是
预测2013年高考仍将以解一元二次不等式，含参数的一元二次不等 式的求解为主要考查点，重点考查学生的运算能力及逻辑推理能力．
(2012
年高考重庆卷理科
2)不等式
x 1 2x 1
0
的
解集为（ ）
A.
1 2
,1
B.
1 2
,1
C.
.
1 2
1,
[来源:学#科#网]
D.
,
1 2
1,
【答案】 A
【解析】
考点四 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，
税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于 市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的 税率为P%(即每百元征收P元)时，每年销售量减少10P万件，据此，问：
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
12/8/2021
第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
12/8/2021
第二十二页，共三十九页。
2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其 对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不 能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．
高考数学总复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件文
【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨 论：
①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2)．
【互动探究】 2．已知不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}． (1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
考点 3 一元二次不等式的应用
例 3：(2014 年大纲)函数 f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数，求 a 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3， 令 f′(x)＝3ax2＋6x＋3＝0，其判别式 Δ＝36(1－a)， 当 a≥1 时,Δ≤0,f′(x)≥0 恒成立，故 f(x)在 R 上是增函数； 由于 a≠0，当 a<1 时，Δ>0，f′(x)＝0 有两个根，
第 2 讲 一元二次不等式及其解法
考纲要求
1.会从实际情境中抽象出一元二 次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不 等式与相应的二次函数、一元二 次方程的联系. 3.会解一元二次不等式，对给定 的一元二次不等式，会设计求解 的程序框图.
考情风向标
1.不等式解法是不等式中的重要内 容，它的应用范围几乎涉及高中 数学的所有章节，且常考常新， “三个二次”之间的联系的综合 应用等问题是高考的热点. 2.由于本节内容涉及的计算较多， 因此学习时应注意运算能力的训 练.
【互动探究】
1．(2014 年广东广州水平测试)关于 x 的不等式 2x2＋ax－
人教B版数学必修第一册2.2.3一元二次不等式的解法课件
1
1
5
3
2
x1＋x2＝－ ＋ ＝
1
1
3
2
x1x2＝－ × ＝
a＝30，b＝－5
bx2－5x＋a>0⇔－5x2－5x＋30>0
－3<x<2
达标检测
2．已知不等式 ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则( C )
A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2
D．a＝－2，b＝1
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
活学活用
4.设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
分类讨论
当a＝0时
ax2＋(1－2a)x－2>0
活学活用
3．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集．
2+3=−
2×3=
<0
= −5
ቐ = 6
<0
6ax2＋5ax＋a>0(a<0)
cx2－bx＋a>0
6x2＋5x＋1<0
1
1
2
3
− <<−
题型探究
题型三 解含参数的一元二次不等式
当a<－1时
解集为 | < − 或 > 1
1
1
1
5
3
2
x1＋x2＝－ ＋ ＝
1
1
3
2
x1x2＝－ × ＝
a＝30，b＝－5
bx2－5x＋a>0⇔－5x2－5x＋30>0
－3<x<2
达标检测
2．已知不等式 ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则( C )
A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2
D．a＝－2，b＝1
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
活学活用
4.设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
分类讨论
当a＝0时
ax2＋(1－2a)x－2>0
活学活用
3．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集．
2+3=−
2×3=
<0
= −5
ቐ = 6
<0
6ax2＋5ax＋a>0(a<0)
cx2－bx＋a>0
6x2＋5x＋1<0
1
1
2
3
− <<−
题型探究
题型三 解含参数的一元二次不等式
当a<－1时
解集为 | < − 或 > 1
1
1
高三数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课件
C.11
D.12
【解析】选C.由题意可知x2-ax+b=0的两根为2,3,故
a=2+3=5,b=2×3=6,故a+b=11.
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13
4.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的
取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
第二节 一元二次不等式及其解法
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1
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2
【知识梳理】 1.一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_不__等__于__0.
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3
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
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8
④不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0;
⑤若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c正确的是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.②③④
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9
【解析】选C.①正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2) 可知函数对应的抛物线开口向上, 因此必有a>0; ②正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结 论是正确的; ③错误.只有当a>0时才成立,当a<0时,若方程ax2+bx+c=0没 有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集;
高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理
本例中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为
“存在 x，使 f(x)<5－m 成立”，如何求 m 的取值范围．
解 由题知 f(x)<5－m 有解，
6 6 即 m< 2 有解，则 m< 2 max， x － x ＋ 1 x －x＋1
又 x∈[1,3] ，得 m<6.即 m 的取值范围为(－∞，6)．
3．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) 4．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
二、小题快练 1．[2016· 全国卷Ⅱ]已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}， 则 A∩B＝( C．{1,2,3}
第6章 不等式、推理与证明
第2讲 一元二次不等式及其解法
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零 的 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(a>0)． 2．计算相应的 3．当
【变式训练 1】 ( ) A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞)
判别式．
时，求出相应的一元二次方程的根． 4．利用二次函数的图象与 x 轴的 交点 确定一元二 次不等式的解集．
Δ ≥0
考点 2
三个二次之间的关系
[ 必会结论] 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 注意 在题目中没有指明不等式为二次不等式时， 若二 次项系数中含有参数， 应先对二次项系数为 0 的情况进行分 析，检验此时是否符合条件．
高考数学人教版理科一轮复习课件：6-2 一元二次不等式及其解法
2．(方向 2)若不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 的解集是[－4，3]的子集，
则 a 的取值范围是( B )
A．[－4,1]
B．[－4,3]
C．[1,3]
D．[－1,3]
解析：原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解 集为[a,1]，此时只要 a≥－4 即可，即－4≤a<1；当 a＝1 时，不 等式的解为 x＝1，此时符合要求；当 a>1 时，不等式的解集为[1， a]，此时只要 a≤3 即可，即 1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
③当
0<a<1
时，1a>1，解x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为x|x<1a或x>1；当 a＝0 时，解
集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为x|1<x<1a；当 a＝1 时，解集
A．(－2,3)
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝{x|－2<x≤2} ＝(－2，2]．
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
等式 bx2－5x＋a>0 的解集为( B )
解析：
3 ． ( 方 向 2)(2019·福 建 四 地 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝