2020新品上市广东省阳春市第一中学-学年高二数学下学期月考试题 理

广东省阳春市第一中学2017-2018学年高二数学下学期月考试题 理一、选择题（共12小题，每小题5分,每小题，只有一项是符合题目要求） 1．设 i 是虚数单位，复数imi++21在复平面上的对应点在虚轴上，则实数m 为（*） A. 2 B. -2 C. 21-D. 212. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ * ） A. 假设没有一个钝角 B.假设至少有两个钝角C. 假设至少有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3. 下列说法中，正确的是（*） A. 若p : |x |>x ，q : 21≥+xx ，则p ∨q 是真命题 B. “x >0”是“x >2”的充分不必要条件C. 复数z =a +bi （a,b ∈R ），“若z 是纯虚数，则a =0”的否命题是真命题D. “12 ,0--≠>∀x x x” 的否定是“12,0000--=>∃x x x ”4. 已知集合A ,2{()80|}x y x y =+-≥，{()|}B ,10x y x y =--≤，{()4}C ,0|x y y =-≤，若点()C (,A B )P a b ∈I I ，则ab的取值范围是（*）A. [1,3]B. ]2,23[C. ]2,32[D. ]3,23[5. 数列{a n }满足120n n a a +-=(n ≥1) 且a n >0，243·32a a a -=-，则前5项和S 5=（*） A. 5 B.493C. 431 D. 31 6．把函数)62cos(3)(π-=x x f 的图象向右平移3π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心坐标为（*） A. )0,3(πB. )0,32(π C. )0,6(π- D. )0,65(π 7. △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知4,6c b ==，cos A =31，则BC 边上的中线AD 的长度为（*）A. 17B. 5C. 15D. 528. 双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则离心率e=（*）A. 3B. 2C. 2D. 59. 函数f (x )=x 2，在点P(a , f (a )) (a >0)处的切线为l ，若f (x )的图象与x 轴、直线l 围成的图形面积为32(图中阴影部分)，则a值为（*）A. 4B. 3C. 2D. 110. 以下是改编自我国古代数学专著《九章算术》的一个问题：今有良马与驽马发长安至齐. 齐去长安一千一百里. 良马初日行一百里，日增四里；驽马初日行九十里，日减二里。

良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 问几日二马相逢（*） A. 9日 B. 10日 C. 11日 D. 12日11. 函数32()422f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值,若a ∈[-1,2],则f (a )的最大值等于（*）A ．10B ．13C ．15D ．4212. 已知15922=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A(0, 32)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积为（*） A. 4321 B. 4311 C. 235 D. 233二、填空题（共4小题,每小题5分，共20分）13. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与直线BD 成角的余弦值是 △ . 14. 函数3ln )(+-=xax x f 在(2,+∞)上有极小值，则实数a 的取值范围是 △ . 15. 抛物线C 1: y 2=4mx (m <0)与椭圆C 2:116222=+b y x (0<b<4)有相同的一个焦点F 1，抛物线C 1与椭圆C 2的一个交点P 到直线x =-m 的距离是3，则点P 到椭圆C 2的另一个焦点的距离|PF 2|= △ .16. 定义“正对数”：⎩⎨⎧≥<<=+)1(,lg )10(,0lg x x x x ，现有四个命题：①1110lg+=-②若a >0，b >0，则lg (lg )ba b a ++= ③若a >0，则()lg 2 lg lg 2a a +++=+ ④若a >0，b >0，则()lg lg a a blg b +++≥- 其中的真命题有_ △ (写出所有真命题的序号) .三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、(本小题满分10分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，已知223()b c a a +=+(1)证明：a A = (2)若34,A B ππ==，求ABC ∆的面积.18、(本小题满分12分)已知函数2()ln ()f x x ax x a R =--∈(1)若曲线()y f x =在点11(,())f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； (2)当1a =-时，求()f x 的极值.19、(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*2,n S n n n N =-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22,212,2(1)(1)n a n n n n k b n ka a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .20、(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆，ACD ∆都为等腰直角三角形090ABC ACD ∠=∠=，PAC ∆是边长为2的等边三角形，2PB =，E 为PA 的中点.（1）求证： BE ⊥平面PAD ； （2）求二面角C PA D --的余弦值.21、(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，且C 过点3(1,) (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.22、(本小题满分12分)已知函数2()()xf x e x ax a R =--∈(1)证明：当222ln a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数； (2)当0x >时，1()f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：BBDC CBAD CCBA二、填空题：13、0 14、(-∞, -2) 15、5 16、②④ 三、解答题17、解：(1) 22)b c a a +=+Q222b c a ∴+-= …………2分 由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +-=2cos bc A abc ∴=a A ∴= …………4分(2) 3A π=Qa A ∴== …………5分由正弦弦定理可得：sin sin a b A B =sin 4sin sin 3a Bb A ππ∴=== …………7分又sin sin()sin cos cos sin 4C A B A B A B =+=+=…………8分11sin 22ABC S ab C ∆∴===10分18、解：(1) 函数()f x 的定义域为(0)+∞，'1()12f x ax x=-- …………1分依题意知：'(1)2=2f a =--， =1a ∴ …………2分 又(1)0f =∴切线方程为：02(1)y x -=--即220x y +-= …………5分(2)当1a =-时，2()ln f x x x x =+-2'121(21)(1)()12==(0)x x x x f x x x x x x++--+=+-> …………7分令'()0f x >得12x >，()f x 在1()2+∞，上单调递增 令'()0f x >得102x <<，()f x 在1(0)2，上单调递减 …………10分∴当12x =时，()f x 取得极小值，极小值为3ln 24+ …………12分19、解：(1)当2n ≥时，()()221222[11]22n n n a S S n n n n n -=-=--+-+=-，1n a n ∴=- …………3分当1n =时，由21211,S =-得10a =，显然当1n =时上式也成立…………4分1n a n ∴=- …………5分(2)22211(1)(1)(2)2n n a a n n n n +==---++…………7分213212420222(...)(...)111111(22 (2))()()...()2446222n n n nT b b b b b b n n ---∴=+++++++⎡⎤=++++-+-++-⎢⎥+⎣⎦…………9分 11114122214nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-+-…………10分1111163422n n -=--⋅+…………12分20、（1）证明：ABC ∆Q 与ACD ∆都是等腰直角三角形，90ABC ACD ∠=∠=︒，45ACB DAC ∴∠=∠=︒，AC =， AD BC //∴，AB BC ==E Q 为PA的中点，且AB PB ==，BE PA ∴⊥， ……2分在PBC ∆中，222PC PB BC BC PB =+∴⊥. ……3分又BC AB ⊥Q ，且PB AB B ⋂=，BC ∴⊥平面PAB …… ……4分BC ⊂Q 平面PAB ，BE BC ∴⊥ 又BC AD Q P ， BE AD ∴⊥ …… ……5分又PA AD A ⋂=Q ，BE ∴⊥平面PAD…… ……6分（2）解：由（Ⅰ）可知BC ，AB ，BP 两两垂直，以B 为原点，BC ，AB ，BP 分别为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则()A ，()0,0,0B，)C，(P ，则)AC =u u u r，(0,AP =u u u r. ……8分设平面PAC 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，则0,0,m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r0,0,x y y z -=⎧∴⎨-=⎩ ∴取()1,1,1m =u r……10分又由（Ⅰ）知BE ⊥平面PAD，故BE ⎛= ⎝u u u r 为平面PAD 的一个法向量，cos m ∴<u r，BE >==u u u r 故二面角C PA D --……12分 21、解：(1)由题意可得2222221314c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩…………3分∴椭圆的标准方程为：2214x y +=…………4分(2)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，……5分由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得：()222(14)8410k x kmx m +++-=…………6分 Q 直线l 与椭圆相交于两点()222222641614(1)16(41)0k m k m k m ∴∆=-+-=-+>…………7分设点P ，Q 的坐标分别为()1122(,),,x y x y ，则212122284(1),,1414km m x x x x k k --+==++ 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++…………9分又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++∴==，整理得212()0km x x m ++= 22228014k m m k -∴+=+即22281014k m k ⎛⎫-∴+= ⎪+⎝⎭又0m ≠Q ，2281014k k -∴+=+，解得214k = …………11分 结合图像知：12k =-，故直线l 的斜率为定值。