一高阶导数及其运算法则
17-第17讲高阶导数
C (1 x )( f ( x))
2 n 2
( n 2)
C x ( f ( x))
0 n
( n)
C ( x)( f ( x))
1 n
( n1)
0
n(n 1) (n) ( x) (2) f ( x) 2!
( n)
故
(1 x ) f
2
( n 2)
( x) n(2 x) f
n 3
... 2an 2
………………
y
( n)
a0 n!
y
( n 1)
y
( n 2)
0.
例4
y = ex 的任何阶导数仍为 ex x 的各阶导数. 求y=e
解
y e ......
x
y ( y) (e ) e
x
x
y
( n)
e
x
......
例5
100
(1) 100!( x 2)
100
101
(1) 100!( x 3)
100
101
1 1 100! 101 101 ( x 3) ( x 2)
例14
(80 )
设 y x sin x , 求 y
2
(80)
.
解 由莱布尼兹公式
y ( x sin x)
2
d ( y) dy 2 ( y)
d( y) dx dx dy y 3 2 ( y ) ( y)
1 y
例12
( x) f 2 ( x), 设 f ( x) 有任意阶导数 , 且满足 f 求 f
(n)
( x).
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
高阶导数的运算法则
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
Байду номын сангаас
1
x
(n)
(1)n
(a
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
1 y3
所以y 3y10
例2. 设
存在，求下列函数的二阶导数
（1） y f (ex ); （2） y e f (x).
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
(3)
y
x2
1 3x
2
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
1 x
解:
1 解: (x 2)(x 1)
(x 1) (x 2) (x 2)(x 1)
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 ,
分别记作
或
y(y) f (x)[f (x)]
d2y dx2
d dx
(dy) dx
一高阶导数及其运算法则
一高阶导数及其运算法则高阶导数指的是对函数进行多次求导得到的导数。
一阶导数是函数变化率的度量，而高阶导数则度量了一阶导数的变化率。
在数学中，高阶导数的运算法则是对求导过程的规律化总结，下面将详细介绍一阶导数、高阶导数的定义及其运算法则。
一、一阶导数设函数y=f(x)，如果极限$$\lim_{{\Deltax}\to{0}}{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}$$存在，且与$\Delta x$无关，那么称f(x)在点x处可导，这个极限值称为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或$\frac{{dy}}{{dx}}$，即$$f'(x)=\frac{{dy}}{{dx}}=\lim_{{\Deltax}\to{0}}{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}, \Delta y=f'(x)\Delta x$$二、高阶导数函数f的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$和它的导数$f^{(n-1)}(x)$的导数有关。
当f(x)的导数$f'(x)$存在时，可进一步求二阶导数$f''(x)$，即求$f'(x)$的导数；当$f''(x)$存在时，可求三阶导数$f'''(x)$，即求$f''(x)$的导数；以此类推，可求取任意阶数的导数$f^{(n)}(x)$，其中$n$为正整数。
如果$f^{(n)}(x)$存在，称f(x)在点$x$处$n$阶可导。
三、高阶导数的运算法则1.加法与减法法则若函数$u(x)$和$v(x)$都在$x$处n阶可导，则$[u(x)\pm{v(x)}]^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm{v^{(n)}(x)}$2.乘法法则若函数$u(x)$和$v(x)$都在$x$处n阶可导，则$[u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{C_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)}$3.链式法则设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，其中$u$是自变量，$y$是因变量，则$$y'=f'(u)g'(x)$$$$y''=f''(u)(g'(x))^2+f'(u)g''(x)$$$$y'''=f'''(u)(g'(x))^3+3f''(u)g'(x)g''(x)+f'(u)g'''(x)$$以此类推。
导数公式及运算法则有什么
导数公式及运算法则有什么导数在数学中属于比较难的知识点，那幺怎样才能学好导数呢，下面小编为大家提供导数公式以及倒数的运算法则，仅供大家参考。
什幺是导数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自f'(x)=-sinx f(x)=a f'(x)=alna(a>;0且a不等于1,x>;0) f(x)=e f'(x)=e f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>;0且a不等于1,x>;0) f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>;0) f(x)=tanx f'(x)=1/cos x f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin x 导数运算法则如下 (f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x)) 导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下： 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再。
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
常用导数求导公式
常用导数求导公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点的变化率。
求导是求解导数的过程，常用导数求导公式是求导常用的一些规则和技巧的总结。
下面是一些常用导数求导公式的介绍：一、基本初等函数的导数公式：1.常数函数的导数为0：f(x)=c，其中c为常数，f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为任意实数，f'(x) =nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，f'(x)=e^x。
4. 对数函数的导数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)。
- 反正弦函数的导数：f(x) = asin(x)，f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = acos(x)，f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = atan(x)，f'(x) = 1/(1+x^2)。
二、基本初等函数的组合求导公式：1.和、差、积的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，则有以下运算法则：-(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
2.商的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有以下运算法则：-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2三、复合函数求导：若y=f(g(x))是由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数，则求导的链式法则如下：y'=f'(g(x))*g'(x)。
导数的基本公式及运算法则
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
x 1 1 ln x x
1 ln x.
例3
设
y
x x2
-1 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x - 1
x
2
1
(x2
1)( x
- 1) (x2
- (x2 1)2
1)( x
- 1)
(x2
1)[(
x)
-
(1)] - [( x2 ( x2 1)2
(2)
1 y'
1 x2
- 2x (1 x 2 )2
y"
-
(1 (1
x2 )' x2 )2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
2.2.4 复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u) 在点u处可导，则复合函数y f (u(x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx 或记作： dy f '(u) u '(x) dx
c' 0 (c为任意常数)
(x ) = x -1 .
(ax) = ax lna . (ex) = ex.
1 (log a x) x ln a .
(ln x) 1 . x
(sin x) = cos x.
(cos x) = - sin x.
(tan x) = sec2x .
(cot x) = - csc2x .
的二阶偏导数.
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四
个：（用符号表示如下）
z x
x
x
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y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
x
y f (x)的二阶导数f (x)在x的导数称为f (x)在x的三阶
导 数， 记 为y， 或f (x)， 或 d 3 y . dx3
一般地，y f (x)的n 1阶导数f (n1) (x)在x的导数称为f (x)在
§8. 高阶导数与高阶微分
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的
n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分统称为高阶微分.
y = f (x) 的各阶微分： dy f (x)dx,
x g(t)，则dx g(t)dt是t的函数.
(3) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例9： y x2，求d 2 y. 解： 当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt2. （2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt2.
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.
P(x) na0 xn1 (n 1)a1xn2 an1, P(x) n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3 an3. P(n) (x) n(n 1)(n 2) 3 2 1a0 n!a0. P(n1) (x) P(n2) (x) 0.
例如： 自由落体运动s 1 gt2,
2
二阶导数的物理意义
v s(t) (1 gt2 ) gt，a v(t) s(t) (s(t)) g. 2
1
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§8. 高阶导数与高阶微分
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为y，或 f (x)，或 d 2 y，即 dx2
2
v x2，v 2x，v 2，v 0.
y (50)
x2
cos(x
50
2
)
C510
2x cos(x
49
2
)
C520
2 cos(x
48
2
)
x2 cosx 100x sin x 2450cosx.
8
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§8. 高阶导数与高阶微分
例6. y ax ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
(u0 v0 1)，k次幂
记忆： (u v)n
k阶导数
(u v)(n)
注2. 法则1，2成立的条件是 u(x) 与v(x) 均存在 n 阶导数.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例5. y x2 cos x，求y(50).
解： u cosx，u(n) cos(x n ).
d 2 y d (dy) d ( f (x)dx) d ( f (x))dx f (x)dx2,
d 3 y d (d 2 y) d ( f (x)dx2 ) f (x)dx3.
14
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§8. 高阶导数与高阶微分
一般地，d n y d (d n1 y) d ( f (n1) (x)dxn1) f (n) (x)dxn ,
注意:
§8. 高阶导数与高阶微分
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )，(dx)n 表示微分的幂，
简记为dxn；d(xn )指幂的微分，即d(xn ) nxn1dx；
而 d nx 是x的n阶微分.
(2) 求高阶微分时，若 x 是自变量，则由于 dx 是不依赖于 x 的任意的数，故关于 x 微分时，必须视 dx为常数因 子.若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如
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dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt. d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt2 12t 2dt2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt2 12t3dt2.
18
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§8. 高阶导数与高阶微分
dt
(t)(t) (t)(t)
( (t )) 3
.
11
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§8. 高阶导数与高阶微分
例7.
x
a
cos
t，y
b
sin
t，求
d2y dx2
.
解： dy b ctgt， dx a
d2y dx2
d ( dy) dt dx
dx
( b ctgt) a
(a cost)
b ( csc2 t) a a sin t
即：
dny dxn
f (n) ( x).
对于复合函数，上述公式不成立.
设 y f (x)，x g(t)，则对于y f (g(t))，有
dy f (x)g(t)dt f (x)dx
d 2 y d ( f (x)dx) d ( f (x))dx f (x)d (dx)
f (x)dx2 f (x)d 2 x.
2
y cos x sin(x ) cos(x 2 ),
2
2
y(n) (cosx)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2) ( (n 1))(1 x)n.
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
其中
u(0)
u，v(0)
v，Cnk
n(n 1) (n k k!
1)
n! . k!(n k)!
6
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§8. 高阶导数与高阶微分 注1. 比较二项式展开公式
(u v)n u 0vn Cn1u1vn1 u nv0 ,
b a2
csc3 t.
dt
例8.
设x
y
ey
cos
x，求
dy ，d 2 y dx dx2
.
12
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§8. 高阶导数与高阶微分
解： 对方程两端关于x求导，有
1 y e y y cos x e y sin x,
()
得
y
dy dx
1 ey 1 ey
sin x cos x
.
重复应用一阶导数的法则. 如：
9
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§8. 高阶导数与高阶微分
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
dy dy du , dx du dx
d2y dx2
d dx
( dy ) dx
d dx
( dy du
du ) dx
d ( dy ) du dy d ( du ) dx du dx du dx dx
x的n阶 导 数 ， 记 为y ( n)， 或
f (n) (x)， 或
d nx，即 dxn
y(n) f (n) (x) lim f (n1) (x x) f (n1) (x) ( f (n1) (x)).
x0
x
2
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§8. 高阶导数与高阶微分
二 阶 与 二 阶 以 上 的 导 数统 称 为 高 阶 导 数. 根 据 定 义 ， 求n阶 导 数 就 是 反 复 运 用 求一 阶 导 数 的 方 法 ， 逐 阶 进 行n次.
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§8. 高阶导数与高阶微分 高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
d n y (xn ex )(n) dxn Cnk n(n 1) (n k 1)xnkexdxn. k 0 19
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§8. 高阶导数与高阶微分
三、小结
高阶导数的定义及物理意义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);
n阶导数的求法;
1.直接法;
2.间接法.
20
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
3
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§8. 高nst).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax.
例3. y sin x, y cos x.
例10. y xn ex，求d n y.
解： (ex )(n) ex , (xn )(n) n!,
(xn )(k) n(n 1) (n k 1)xnk , (k n).
n
( xn e x )(n) Cnk (e x )(nk ) ( xn )(k ) k 0 n Cnk n(n 1) (n k 1)xnkex. k 0
对()式两端关于x求导，又有
y e y ( y)2 cos x e y ycos x ey ysin x e y ysin x e y cos x.
得
y