带拖车的轮式移动机器人系统的建模与仿真
轮式移动机器人的运动控制算法研究
轮式移动机器人的运动控制算法研究一、引言随着科技的不断发展，移动机器人在工业、医疗、农业等领域的应用越来越广泛。
轮式移动机器人作为一种常见的移动机器人形式，其运动控制算法的研究对于机器人的稳定性和灵活性至关重要。
本文将分析和探讨轮式移动机器人的运动控制算法，旨在提高机器人的运动精度和效率。
二、轮式移动机器人的构成及运动模型轮式移动机器人通常由车身和多个轮子组成。
其中，车身是机器人的主要构成部分，承载着各种传感器和控制器。
轮子是机器人的运动装置，通过轮子的不同运动方式实现机器人的运动。
轮式移动机器人的运动可以通过综合考虑轮子之间的相对运动得到。
通常，可以使用正运动学和逆运动学模型来描述轮式移动机器人的运动。
正运动学模型是通过已知车体姿态和轮子转速来计算机器人的位姿。
逆运动学模型则是通过给定车体姿态和期望位姿来计算轮子转速。
根据机器人的结构和机械特性，可以选择不同的运动控制算法来实现轮式移动机器人的运动控制。
三、经典的轮式移动机器人运动控制算法1. 基于编码器的闭环控制算法基于编码器的闭环控制算法是一种常见的轮式移动机器人运动控制算法。
它通过测量轮子的转速，并结合期望速度，计算控制指令，控制轮子的转动。
该算法可以提高机器人的速度控制精度和跟踪性能。
2. PID控制算法PID控制算法是一种经典的控制算法，常用于轮式移动机器人的运动控制中。
它根据偏差信号的大小和变化率来调整控制指令，使机器人在运动过程中保持稳定。
PID控制算法具有简单、易理解和易实现等优点，但在一些复杂情况下可能需要进一步优化。
3. 最优控制算法最优控制算法是指在给定一组约束条件下，使机器人的目标函数最优化的控制算法。
在轮式移动机器人的运动控制中，最优控制算法可以通过解决优化问题，提高机器人的运动效率和能耗。
最优控制算法可以结合局部规划和全局规划来实现机器人的路径规划和运动控制。
四、轮式移动机器人运动控制算法的发展趋势随着机器人技术的不断发展和应用需求的不断提高，轮式移动机器人运动控制算法也在不断演进和改进。
机器人控制系统的建模与仿真方法研究
机器人控制系统的建模与仿真方法研究随着科技的不断进步，机器人技术的发展迅猛，机器人在各个领域的应用越来越广泛。
为了实现高效、稳定的机器人行为控制，建立准确的控制系统模型和进行仿真研究是至关重要的。
本文旨在探讨机器人控制系统的建模与仿真方法，介绍常用的建模方法，并分析仿真模型的建立及其应用。
一、机器人控制系统的建模方法1. 几何模型法几何模型法是一种常用的机器人控制系统建模方法。
该方法通过描述机器人的几何形状、关节结构和运动轨迹，建立机器人系统的几何模型。
常用的几何模型包括DH法、SDH法和Bishop法等。
其中，DH法是最经典的一种方法，通过参数化建立机器人的运动学模型，用于描述关节变量和坐标系之间的关系，从而实现机器人的运动规划和控制。
2. 动力学模型法动力学模型法是一种更加复杂而全面的机器人建模方法。
该方法基于牛顿运动定律和动力学原理，综合考虑机器人的质量、惯性、关节力矩和外力等因素，建立机器人系统的动力学模型。
动力学模型法可以更准确地描述机器人的运动和力学特性，对于复杂的机器人控制任务具有重要意义。
3. 状态空间模型法状态空间模型法是一种抽象程度较高、数学表达简洁的机器人控制系统建模方法。
该方法通过描述机器人系统的状态以及状态之间的转移规律，以矩阵的形式进行表示。
状态空间模型法适用于系统动态特性较强、多输入多输出的机器人系统，能够方便地进行控制器设计和系统分析。
二、机器人控制系统的仿真方法1. MATLAB/Simulink仿真MATLAB/Simulink是一种广泛应用于机器人控制系统仿真的工具。
Simulink提供了丰富的模块库和仿真环境，可以方便地构建机器人系统的仿真模型，并进行系统的可视化、实时仿真和参数调整。
通过Simulink，我们可以对机器人的运动学和动力学模型进行建模，并通过调整控制参数来优化机器人的控制性能。
2. 三维虚拟仿真三维虚拟仿真是一种直观、真实的机器人控制系统仿真方法。
轮式移动机器人动力学建模与运动控制技术
WMR具有结构简单、控制方便、运动灵活、维护容易等优点，但也存在一些局限性，如对环境的适应性、运动稳定性、导航精度等方面的问题。
轮式移动机器人的定义与特点特点定义军事应用用于生产线上的物料运输、仓库管理等，也可用于执行一些危险或者高强度任务，如核辐射环境下的作业。
工业应用医疗应用第一代WMR第二代WMR第三代WMRLagrange方程控制理论牛顿-Euler方程动力学建模的基本原理车轮模型机器人模型控制系统模型030201轮式移动机器人的动力学模型仿真环境模型验证性能评估动力学模型的仿真与分析开环控制开环控制是指没有反馈环节的控制，通过输入控制信号直接驱动机器人运动。
反馈控制理论反馈控制理论是运动控制的基本原理，通过比较期望输出与实际输出之间的误差，调整控制输入以减小误差。
闭环控制闭环控制是指具有反馈环节的控制，通过比较实际输出与期望输出的误差，调整控制输入以减小误差。
运动控制的基本原理PID控制算法模糊控制算法神经网络控制算法轮式移动机器人的运动控制算法1 2 3硬件实现软件实现优化算法运动控制的实现与优化路径规划的基本原理路径规划的基本概念路径规划的分类路径规划的基本步骤轮式移动机器人的路径规划方法基于规则的路径规划方法基于规则的路径规划方法是一种常见的路径规划方法，它根据预先设定的规则来寻找路径。
其中比较常用的有A*算法和Dijkstra算法等。
这些算法都具有较高的效率和可靠性，但是需要预先设定规则，对于复杂的环境适应性较差。
基于学习的路径规划方法基于学习的路径规划方法是一种通过学习来寻找最优路径的方法。
它通过对大量的数据进行学习，从中提取出有用的特征，并利用这些特征来寻找最优的路径。
其中比较常用的有强化学习、深度学习等。
这些算法具有较高的自适应性，但是对于大规模的环境和复杂的环境适应性较差。
基于决策树的路径规划方法基于强化学习的路径规划方法决策算法在轮式移动机器人中的应用03姿态与平衡控制01传感器融合技术02障碍物识别与避障地图构建与定位通过SLAM（同时定位与地图构建）技术构建环境地图，实现精准定位。
机器人控制系统中的动力学建模与仿真
机器人控制系统中的动力学建模与仿真随着科技的发展，机器人在生产、服务、医疗等领域越来越广泛地应用，其中的关键技术——机器人控制系统也得到了快速发展。
机器人控制系统的设计和开发是机器人应用的重要保障，其中的动力学建模与仿真技术尤为重要，本文将重点讨论这一技术的应用。
一、机器人动力学建模的概念及其应用动力学建模是指用数学方法描述机器人系统运动规律、力学等基础行为的过程。
通常将机器人的行为建模为刚体运动学模型和刚体动力学模型两部分。
其中，刚体运动学模型描述机器人的运动轨迹、速度、加速度，刚体动力学模型则描述机器人在运动中的重力、摩擦、碰撞、相互作用等动力学行为。
机器人动力学建模的应用范围广泛，包括制造业、军事、航空航天、医疗等领域。
在制造业中，机器人动力学建模可以帮助分析机器人的稳定性、动态响应和特定工艺条件下的效率。
在军事领域，机器人动力学建模则可以用于训练机器人的行为和响应能力。
在航空航天领域，机器人动力学建模则可以用于控制飞行器的姿态，并保证机器人的运动稳定。
而在医疗领域，机器人动力学建模则可以应用于手术机器人的控制与操作中。
二、机器人动力学仿真的原理和实现机器人动力学仿真是指将动力学模型用数值计算方法模拟机器人行为的过程。
动力学仿真可以帮助分析机器人系统在不同条件下的运动规律、稳定性及效率，是机器人控制系统的重要工具之一。
机器人动力学仿真的主要原理是利用计算机进行数值计算，并结合相关物理学知识来模拟机器人在不同情况下的行为。
具体实现方法包括使用机器学习算法、神经网络、传递函数法、有限元分析法等。
这些方法不仅可以模拟机器人的运动特性，还可以考虑到环境因素、机器人结构等各种因素对机器人行为的影响。
三、机器人动力学建模与仿真在工业控制中的应用机器人动力学建模与仿真技术在工业控制中应用广泛，主要包括以下几个方面：1. 通过动力学建模和仿真技术可以进行机器人路径规划及轨迹跟踪控制，平滑机器人运动路线，提高机器人运动精度和效率；2. 通过动力学建模和仿真技术可以进行机器人运动控制，实现机器人在复杂环境下的精准操作和自主运动；3. 通过动力学建模和仿真技术可以进行机器人逆运动学计算，实现机器人姿态控制和精确定位；4. 通过动力学建模和仿真技术可以进行机器人动态控制，解决机器人在悬空、运动中的稳定性问题；5. 通过动力学建模和仿真技术可以进行机器人动态性能评估及优化设计，从而提高机器人的运动稳定性和机械性能等。
三轮全向机器人原理及matlab仿真
计算机辅助设计报告三轮全向移动机器人运动控制仿真201103009004 余杨广201103009019 沈阳201103009031 陈斌人员分工：余杨广：总体负责，系统理解及控制器设计，PPT制作，后期报告审查及修改陈斌：PPT制作，报告撰写沈阳：资料收集，辅助其余两人完成任务目录一、实验目的 (3)二、实验原理 (3)2.1控制对象——三轮全向机器人 (3)2.2 控制系统结构 (4)三、实验内容 (5)3.1电机模型 (5)3.1.1物理建模 (5)3.1.2 Simulink模块搭建 (6)3.1.3无刷直流电机仿真模型的验证 (9)3.2运动学模型 (10)3.2.1物理建模 (10)3.2.2 Simulink模块搭建 (11)3.3 路径规划 (12)3.4. 传感器设计 (13)3.5.控制器设计 (13)3.5.1 电机控制器设计 (13)3.5.2 运动控制器设计 (15)3.6 观测器 (19)四、结果验收 (20)4.1 x轴方向的误差 (20)4.2 y轴方向的误差 (20)4.3 前进方向偏角 (21)4.4 速度误差 (22)五、致谢 (22)六、附录（路径规划函数） (23)一、实验目的（一）建立三轮全向机器人系统的数学模型，然后基于simulink建立该系统的仿真模型并设计控制器，最终满足控制要求；（二）控制的最终目的是使该机器人能够良好跟踪预期的运动轨迹；（三）通过对复杂系统的分析、建模、仿真、验证，全面提高利用计算机对复杂系统进行辅助设计的能力；（四）通过集体作业、分工完成任务的方式培养团队意识，提高团队集体攻关能力二、实验原理2.1控制对象——三轮全向机器人三轮全向移动机器人其驱动轮由三个全向轮组成，径向对称安装，各轮互成120°角，滚柱垂直于各主轮。
三个全向轮的大小和质量完全相同，而且由性能相同的电机驱动。
图 1 三轮全向移动机器人2.2 控制系统结构图 2基于运动学模型的分层控制框图-三、实验内容3.1电机模型3.1.1物理建模瑞士的MAXON公司的无刷直流电机建模如下:无刷直流电机的数学模型，其等效电路如下图所示：根据上图，建立电机数学方程如下：➢瞬态电压方程➢电压方程000000a aab a bac cu iRu R iRu i⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()111aabnbccdidt ediL M e udtedidt⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦1[()()]3n a b c a b cu u u u e e e=++-++➢ 转矩方程➢ 运动方程3.1.2 Simulink 模块搭建根据以上数学模型，我们搭建电机的Simulink 模块如下：➢ 电压方程模块➢ 转矩方程模块a ab bc cem e i e i e i T ++=Ωem L T T B Jp --Ω=Ω➢运动方程模块➢其他必要模块设计反电动势模块- 逻辑换向模块➢模块组装——电机仿真模型➢驱动电机模块封装3.1.3无刷直流电机仿真模型的验证到此电机的建模就算完成了，但其正确性还需要结果来验证，以下是仿真结果：i.绕组端电压波形：ii.反电动势波形iii.电流波形iv.转速波形根据图像可知，仿真结果跟实际是相吻合的。
《新型轮腿式机器人的设计与仿真》范文
《新型轮腿式机器人的设计与仿真》篇一一、引言随着科技的飞速发展，机器人技术已成为现代社会的重要研究方向。
其中，轮腿式机器人因其独特的移动能力和适应性，在各种复杂环境中具有广泛的应用前景。
本文将介绍一种新型轮腿式机器人的设计与仿真过程，分析其结构特点、运动原理以及性能表现。
二、机器人结构设计与原理（一）设计思路新型轮腿式机器人设计的主要思路在于结合轮式和腿式运动的优点，使其能够在平坦地面和复杂地形中自由移动。
机器人结构包括轮式和腿式两个部分，两者之间通过一种新型的耦合机构实现灵活切换。
（二）结构特点1. 轮式部分：采用高强度材料制成的轮子，具有较好的承载能力和运动速度。
2. 腿式部分：采用多关节设计，使其能够在不平坦地形中稳定行走。
3. 耦合机构：实现轮式与腿式之间的灵活切换，使机器人能够在不同地形中自由移动。
（三）运动原理新型轮腿式机器人通过电机驱动轮子和腿部关节，实现前进、后退、转弯、爬坡等动作。
在平坦地面上，机器人主要采用轮式运动；在复杂地形中，机器人切换为腿式运动。
三、仿真分析（一）仿真环境与工具采用专业的机器人仿真软件进行仿真分析，模拟机器人在不同地形中的运动情况。
仿真环境包括平坦地面、复杂地形等。
（二）仿真结果与分析1. 运动性能：机器人在平坦地面上具有较高的运动速度和稳定性；在复杂地形中，机器人能够灵活切换轮式与腿式运动，表现出良好的适应性和稳定性。
2. 承载能力：机器人具有较好的承载能力，能够携带一定重量的物品在各种地形中移动。
3. 能耗情况：机器人在运动过程中的能耗较低，具有较好的节能性能。
四、实验验证与性能评估（一）实验验证为了验证新型轮腿式机器人的实际性能，我们进行了实地实验。
实验结果表明，机器人在各种地形中均能表现出良好的运动性能和稳定性。
（二）性能评估根据实验结果和仿真分析，对新型轮腿式机器人的性能进行评估。
评估指标包括运动性能、承载能力、能耗情况等。
经过综合评估，该机器人具有较高的性能表现和良好的应用前景。
轮式移动机器人系统设计与控制分析
大连理工大学硕士学位论文目录摘要………………………………………………………………………………………………………………ＩＡｂｓｔｒａｃｔ……………．………．．．．．…．………．…．．…．…．…．…………………．．．．．．．………………………．………ＩＩ１绪论……………………………………………………………………………………ｌ１．１课题研究的背景及意义………………………………………………………１１．２移动机器人的发展历史及趋势………………………………………………ｌ１．２．１国内外移动机器人的发展历史………………………………………１１．２．２移动机器人的新发展与发展趋势……………………………………３１．３本文主要研究内容………‰…………………………………………………３２移动机器人的体系结构设计…………………………………………………………５２．１移动机器人的机械结构设计和运动学模型建立……………………………５２．１．１移动机器人的机械结构………………………………………………５２．１．２移动机器人的运动学模型……………………………………………５２．２移动机器人的控制系统设计…………………………………………………７２．２．１主控制器模块…………………………………………………………７２．２．２驱动模块………………………………………………………………９２．２．３ＰＬＣ模块……………………………………………………………．．１２２．２．４相机姿态调整模块…………………………………………………．．１９２．２．５测距模块……………………………………………………………一２０２．２．６通信模块……………………………………………………………一２２２．２．７电源模块………………………………………………………………２５３Ｂａｃｋ—Ｓｔｅｐｐｉｎｇ算法在移动机器人轨迹跟踪中的研究……………………………２６３．１移动机器人路径规划与轨迹跟踪…………………………………………．２６３．１．１路径规划………………………………………………………………２６３．１．２轨迹跟踪………………………………………………………………２７３．２Ｂａｃｋ—Ｓｔｅｐｐｉｎｇ算法…………………………………………………………２７３．２．１基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性的最优状态反馈控制器……………………．２８３．２．２Ｂａｃｋ—Ｓｔｅｐｐｉｎｇ算法的设计思想……………………………………．．２９３．３Ｂａｃｋ—Ｓｔｅｐｐｉｎｇ算法在基于运动学模型的轨迹跟踪中的实现……………３ｌ３．４实验结果及分析……………………………………………………………．３４３．５本章小结……………………………………………………………………．３６４连续曲率曲线路径在局部路径规划中的研究……………………………………．．３７轮式移动机器人系统设计及控制研究４．１局部路径规划中的连续曲率曲线的建立…………………………………．３７４．１．１直角坐标系中连续曲率曲线的建立方法……………………………３７４．１．２连续曲率曲线算法在移动机器人局部路径规划中的实现…………４１４．２实验结果及分析……………………………………………………………．４３４．３本章小结……………………………………………………………………．４５５基于模糊控制算法的移动机器人直线轨迹跟踪…………………………………．４６５．１模糊控制理论………………………………………………………………．４６５．１．１模糊控制的概念……………………………………………………一４６５．１．２模糊控制的优点……………………………………………………一４６５．２模糊控制系统………………………………………………………………．４７５．２．１模糊控制系统的组成………………………………………………．．４７５．２．２模糊控制器的设计…………………………………………………．．４８５．３模糊控制算法在移动机器人轨迹跟踪中的实现…………………………．４９５．３．１输入输出量模糊语言及其隶属度的建立…………………………一５０５．３．２模糊控制规则的设定………………………………………………。
机器人运动控制系统的建模与仿真
机器人运动控制系统的建模与仿真随着自动化技术的不断发展，机器人已经逐渐走进我们的生活中。
机器人运动控制系统是机器人的核心部件，它能够控制机器人的运动轨迹，使机器人完成各种复杂的操作任务。
本文将对机器人运动控制系统的建模与仿真进行介绍。
一、机器人运动控制系统的组成机器人运动控制系统主要由运动控制器、编码器、伺服电机、传感器等组成。
其中，运动控制器是整个系统的核心部件，它能够控制机器人的运动轨迹和速度。
编码器能够通过测量机器人关节的转动角度来确定机器人的位置和速度。
伺服电机是机器人运动的驱动力，它能够按照指令精确地控制机器人的运动。
传感器能够监测机器人的运动轨迹和力度，为机器人执行各种操作提供支持。
二、机器人运动控制系统的建模机器人运动控制系统的建模是指把机器人运动控制系统的各个部件抽象成数学模型，以便进行仿真和优化。
机器人运动控制系统的建模主要包括建立运动学模型和动力学模型两个方面。
1.运动学模型的建立机器人的运动学是指机器人在空间中的运动规律和运动轨迹，它能够描述机器人手臂的长度、位置、角度等。
机器人的运动学模型包括正运动学与逆运动学两部分。
正运动学是指已知机器人各关节的位置和角度，求出机器人在空间中的位置和方向的数学模型。
逆运动学是指已知机器人在空间中的位置和方向，求出机器人各关节的位置和角度的数学模型。
2.动力学模型的建立机器人的动力学是指机器人运动时所受到的力和动能随时间的变化规律。
机器人的动力学模型包括牛顿-欧拉动力学模型、拉格朗日动力学模型、Kane方法等。
三、机器人运动控制系统的仿真机器人运动控制系统的仿真是指利用计算机软件模拟机器人运动过程，以检验运动控制器的性能和优化机器人运动轨迹。
机器人运动控制系统的仿真主要包括仿真环境搭建和仿真过程。
1.仿真环境搭建仿真环境是机器人运动控制系统仿真的基础，它模拟了机器人在实际生产中的工作场景。
仿真环境包括机器人本体模型、机器人操作区域、仿真软件等。
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系统仿真学报JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION2000 Vol.12 No.1 P.43-46带拖车的轮式移动机器人系统的建模与仿真杨凯 黄亚楼 徐国华摘 要： 带拖车的轮式移动机器人系统是一种典型的非完整、欠驱动系统。
本文建立了带多个拖车的移动机器人系统的运动学模型，对系统的运动特性进行了分析，并在此基础上对系统的运动进行了数值仿真和图形仿真，验证了理论分析的正确性。
关键词： 移动机器人系统; 运动学模型; 龙格-库塔法; 计算机仿真中图分类号： TP242.3 文献标识码：A文章编号：1004-731X (2000) 01-0043-4Modeling and Simulation of Tractor-trailorRobot Systems' KinematicsYANG Kai, HUANG Ya-lou(Department of Computer and System Science, Nankai University, Tianjin 300071）XU Guo-hua（Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080，China) Abstract： A mobile robot with multi-trailers is a typical nonholonomic, underactuated system. This paper establishes a kinematic model for such system. Based on the kinematic model, the motion of the system is analytically studied, and the simulation of the motion for this system is conducted with the means of Runge-Kutta method and computer graphics. It proves that the theoretical analysis is right.Keywords： mobile robot; underactuated system; Runge-Kutta; computer simulation1 引言 移动机器人是机器人学中的一个重要分支，本文所讨论的是一种特殊类型的移动机器人系统——带拖车的轮式移动机器人（Tractor-trailer robot），它由一系列相互铰链在一起的多个二轮式刚体小车组成，运行在一个平面上。
带拖车的轮式移动机器人系统的一种情形是由一个卡车型的牵引车拖动着一个或多个被动的拖车组成，牵引车可以执行类似于汽车那样的运动：驱动轮向前或向后运动，转向轮向左或向右转向，拖车跟踪牵引车的运动路径。
作为典型的欠驱动、非完整系统，带拖车的移动机器人系统的运动学、规划、控制等方面的研究明显不同于其它机器人系统，由于系统运动规律、控制特性上的理论结果亟待验证，因此，带拖车的移动机器人系统的仿真是极有价值的。
本文针对一般结构形式的带拖车的移动机器人系统建立系统的运动学模型，研究模型的递推形式以解决拖车节数变化带来的模型重构问题，同时就一些问题开展理论分析与仿真验证。
2 系统的运动学模型2.1 基本假设与变量说明 为了使所建立的数学模型对各种车体链接形式均成立，这里以非标准型带拖车的轮式移动机器人系统为研究对象，所谓非标准型就是相邻两车体的链接点不在前一车体的轮轴上而是在链接轴的某点上（如图1所示），且假设：整个系统是在平面上运动；车轮是无滑动的；车体关于其纵向轴线对称；车轮与地面是点接触，且是纯滚动运动；车体是刚体； 用于车体连接的关节之间是无摩擦图1 带两节拖车的移动机器人系统 为了叙述简便起见，将整个系统看成是由N个车体所组成，分别为其建立附体坐标系｛x i，y i｝。
｛x i,y i,θi｝（i=1，2，…，N）是每个车体的位形描述，x i和y i是两轮之间的中心点在系统坐标系下的坐标，θi是x i轴与X轴之间的夹角（如图1和2所示）。
图2 第n节车体的位形及参数 为便于描述，定义如下变量： . B n，A n分别为第n节车体与第n-1节和第n+1节车体的链接点 . V An ，V Bn分别为A n和B n点的速度 . l n表示B n点到第n节车体轴心的距离 . c n表示A n点到第n节车体轴心的距离 .n表示第n节车体与第（n+1）节车体的夹角 . ωn表示第n节车体的旋转角速度 . v n表示轴心点的线速度 . 驱动轮的初始线速度为u，α为驱动轮运动方向与牵引车纵轴之间的夹角，并规定逆时针为正，顺时针为负。
（参见图1和图2）2.2 方程描述： 由图2可以得到如下关系式［2］：（1）由于A n和B n+1 是同一个点，V Bn+1 和V An描述的是同一个点的速度，只是处于不同的坐标系，因此有（2）其中，φn=θn-θn+1 比较（1 )(2)两式可推出：(3)对于v1，ω1可直接得到(4)别一方面，在全局坐标系中可求出：(5)以上几式即为系统的运动学的递推公式。
图33 系统的运动学特性 一般的路径都是一系列直线和圆弧组成的，而直线是圆弧的特例（因为其半径可视为无穷大），下面以圆为例来研究带拖车的移动机器人系统牵引车与拖车之轨迹关系，以及车体参数与运动轨迹的关系。
引理［3］：当牵引车的运动从直线过渡到圆时，拖车的运动也将过渡到圆，两车之间的夹角指数级收敛到稳定状态值（其中，为相邻两车的夹角）。
依据这一结论，当带拖车的移动机器人的运动从直线到圆转换时，牵引车、拖车的运动最终将形成半径不同的同心圆，每个车体对应的圆的半径的大小与车体参数有关，也与牵引车所跟踪的圆的半径有关，具体关系如下： 定理［3］：如果拖车与牵引车的连接点并非在牵引车轮轴的中心点上，而是处于两个轮轴之间，假设连接点距前面车体轮轴中心为C，距后面车体轮轴中心为L（如图3所示）设前面车体沿着一个半径为r的圆运动时，则后面车体的运动路线将收敛到半径为的圆上。
由定理可以看出： ① 当C > L时，后面车体的运动半径大于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体处于外圆。
② 当C < L且C2≥L2-r2时，后面车体的运动半径将大于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体处于内圆。
③ 当C = L时，后面车体的运动半径等于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体与前面车体的运动轨迹是重合的。
4 运动仿真 仿真的基本任务是：让牵引车按指定的路线运动，来观测牵引车、拖车的运行状态和轨迹，其目的有两方面：验证运动学规划与控制的一些理论结果；对理论结果有一个形象化的直观描述，并对其进行解释。
4.1 仿真研究的基本任务与思路 仿真的思路就是对已建立的运动学方程求解，并利用求解出的结果在计算机上模拟显示系统的运动过程。
由于所建立起来的运动学方程是非线性方程，且是非完整系统，很难用解析方法求出封闭解，而需采用数值计算方法来求解。
由于龙格-库塔法［3］精度较高，且计算量相对较少，故采用之。
4.2 仿真结果与分析 为验证系统的运动特性及上述的理论结果，对以Hero-1型移动机器人为牵引车，并带有两个拖车的系统进行仿真。
仿真程序的输入参数为各车体之间的距离(l1，c1，l2，c2，l3)以及牵引车的驱动角α和线速度u，并可改变运动路径的参数，由此来观测车体距离对运动轨迹的影响。
仿真过程取车体参数不同，路径参数不同以及不同路径的衔接等情形来观测结果。
仿真中，设车体的初始形态为：θ1=θ2=θ3=π/2； 图4，图5，图6描述的是牵引车沿指定的圆运动的情形，从仿真结果可以看出，当牵引车沿指定收敛，所以这一结论是极有价值的。
同时，也可定性地看出三个车体运动半径的大小关系，从而验证了定理的正确性。
图4 l1=10，c1=5，l2=24，c2=5，l3=24图5 l1=10,c1=24,l2=5,c2=24,l3=24图6 l1=10,c1=10,l2=10,c2=10,l3=10,α=π/6图7 l1=10,c1=10,l2=10,c2=10,l3=10α=-π/18→α=π/6图8 l1=10,c1=10,l2=10,c2=10,l3=10α=0→α=-π/18→α=0的直线—圆弧—直线的衔接 对于不同路段的衔接，图7和图8分别模拟了不同半径的圆的衔接、圆与直线的衔接，这两个图同样验证引理的正确性。
6 结束语 本文建立了带多节拖车的移动机器人系统的运动学递推公式，并以Hero-1移动机器人带有两个拖车的系统为例，进行了仿真研究，验证了所建立起来的运动学模型的正确性以及部分理论结果。
作者简介：杨 凯，女，23 岁，助教，研究领域：移动机器人运动规划;黄亚楼, 男, 34岁，博士、教授，研究领域：多机器人协调，机器人控制;徐国华, 男, 30 岁，博士，研究领域：多机器人协调，移动机器人控制。
杨凯(南开大学计算机与系统科学系，天津 300071）黄亚楼(南开大学计算机与系统科学系，天津 300071）徐国华（中科院自动化所，北京 100080)参考文献：［1］ Ulf Larsson, Caj Zell, etc. Navigating an Articulated Vehicle and Reversing with a Trailer ［A］. Proceedings of IEEE. International Conference on Robotics and Automation ［C］. IEEE Press, 1994. 2398-2404.［2］ Jean-Paul Laumond . Controllability of a Multibody Mobile Robot ［J］. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1993, 9(6): 755-763.［3］ 徐国华. 带拖车的轮式移动机器人系统的研究 ［D］. 天津: 南开大学，1998.收稿日期： 1998-09-28带拖车的轮式移动机器人系统的建模与仿真作者：杨凯， 黄亚楼， 徐国华， YANG Kai， HUANG Ya-lou， XU Guo-hua作者单位：杨凯,黄亚楼,YANG Kai,HUANG Ya-lou(南开大学计算机与系统科学系,天津,300071)， 徐国华,XU Guo-hua(中科院自动化所,北京,100080)刊名：系统仿真学报英文刊名：JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION年，卷(期)：2000，12(1)引用次数：11次1.Ulf Larsson.Caj Zell Navigating an Articulated Vehicle and Reversing with a Trailer 19942.Jean-Paul Laumond Controllability of a Multibody Mobile Robot 1993(6)3.徐国华带拖车的轮式移动机器人系统的研究[学位论文] 19981.学位论文沈猛轮式移动机器人导航控制与路径规划研究2006随着计算机、网络、机械电子、信息、自动化以及人工智能等技术的飞速发展，移动机器人的研究进入了一个崭新的阶段。