广东专插本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
广东专插本(高等数学)-试卷44
广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东专插本(高等数学)模拟试卷40(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函数f(χ)=则= ( )A．1B．0C．2D．不存在正确答案：D2．设函数f(χ)在χ=1可导，则= ( )A．f?(1)B．2f?(1)C．3f?(1)D．-f?(1)正确答案：C3．设函数y=2cosχ，则y?= ( )A．2cosχln2B．-2cosχsin2C．-ln2.2cosχ.sinχD．-2cosχsinχ正确答案：C4．设2f(χ)cosχ=[f(χ)]2，f(0)=1，则f(χ)= ( ) A．cosχB．2-cosχC．1+sinχD．1-sinχ正确答案：C5．设函数z=eχy，则dz= ( )A．eχydχB．(χdy+ydχ)eχyC．χdy+ydχD．(χ+y)eχy正确答案：B填空题6．=_____。
正确答案：7．曲线处的切线方程为_____。
正确答案：8．函数y=f(χ)由参数方程，所确定，则_____。
正确答案：9．已知，则a=_______，b_______。
正确答案：-1，210．微分方程y?-2y?+y=0的通解为______。
正确答案：y=C1e2+C2χeχ(C1，C2为任意常数)解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．求极限。
正确答案：12．设是连续函数，求a，b的值。
正确答案：由于当χ＜0，χ＞0时，f(χ)为初等函数，则连续，现只需使f(χ)在χ=0连续即可，由连续定义，得即b=1，a为任意实数。
13．已知函数z=χ2eχy，求。
正确答案：14．求微分方程y?+2y?+y=0满足初始条件y(0)=0，y?(0)=1的特解。
正确答案：微分方程的特征方程为r2+2r+1=0，得特征根为r=-1，且为二重根，故方程通解为y=(C1+C2χ)e-χ，又由初始条件y(0)=0，y?(0)=1，得C1=0，C2=1，故原微分方程的特解为y=χe-χ。
2020年广东专插本全真模拟大联考-高等数学【试卷】
B． lim x2 +1 x→0 x
D． lim x sin 1
x→0
x
A． (1,1)
B． (1, −3)
C． (0, 0)
D． (2,8)
∫ 3. 已知 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (e−x )e−xdx =
A． F (ex ) + C
B． F (e−x ) + C
C． −F (ex ) + C
6.
已知
lim
x→∞
x+a x − 2a
x
=
8 ，则 a
=
.
7. 曲线 y = xe−x 的拐点是
.
x3
∫ 8. 设 f (x) 连续，且 f (t)dt = x ，则 f (27) = 0
.
1
9. 已知 y = e2x 是微分方程 y′′ + ay′ + 2 y = 0 的一个解，则 a =
0
y
2
1− y2
∫ ∫ C． 2 dy
f (x, y)dx
0
0
∞
n
∑ ∑ 5. 若级数 un 收敛，记 Sn = ui ，则
n=1
i =1
A．
lim
n→∞
Sn
存在
C．
lim
n→∞
Sn
可能不存在
2
1− x2
∫ ∫ D． 2 dx
f (x, y)dy
0
x
B．
lim
n→∞
Sn
=
0
D．{Sn} 题，每小题 3 分，共 15 分）
广东省 2020 年普通高等学校本科插班生招生考试
广东专插本(高等数学)模拟试卷54(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函f(χ)＝( ) A．－1B．0C．1D．不存在正确答案：D解析：极限不存在，本题应选D．2．设函数f(χ)＝lnsinχ，则df(χ)＝( )A．B．－cotχdχC．cotχdχD．tanχdχ正确答案：C解析：d(lnsinχ)＝cosχdχ＝cotχdχ，故应选C．3．f′(χ2)＝(χ＞0)，则f(χ)＝( )A．2χ＋CB．2＋CC．χ2＋CD．＋C正确答案：B解析：令t＝χ2则χ＝，f′(χ)＝(χ＞0)，f(χ)＝∫f′(χ)dχ＝＋C，故应选B．4．如果使函数f(χ)＝在点χ＝0处连续，应将其在点χ＝0处的函数值补充定义为( )A．0B．2C．－1D．1正确答案：D解析：若f(χ)在χ＝0处连续需补充定义f(0)＝1，故本题选D．5．设pn＝，qn＝，n＝1，2，…，则下列命题中正确的是( )A．若an条件收敛，则Pn与qn都收敛B．若an绝对收敛，则Pn与qn都收敛C．若an条件收敛，则Pn与qn的敛散性都不定D．若an绝对收敛，则Pn与qn的敛散性都不定正确答案：B解析：an绝对收敛都收敛，an条件收敛都发散，一个收敛，一个发散an发散，故本题选B．填空题6．设＝6，则a＝_______．正确答案：－1解析：＝6，则(1＋0)(1＋2.0)(1＋3.0)＋a＝0，a＝－1．7．已知曲线y＝χ2＋χ－2上点M处的切线平行于直线y－5χ－1，则点M的坐标为_______．正确答案：(2，4)解析：y′＝2χ＋1＝5，则χ＝2，故M点坐标为(2，4)．8．已知f(χ)＝χ2＋cosχ＋∫01f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．正确答案：χ＋cosχ＋＋sin1解析：令f(χ)＝χ2＋cosχ＋C，则f(χ)＝χ2＋cosχ＋(χ2＋cosχ＋C)dχ，f(χ)＝即C＝，C＝＋sin1，故f(χ)＝χ＋cosχ＋＋sin1．9．微分方程y?－y′＝0的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2eχ解析：微分方程的特征方程为λ2－λ＝0，则特征根为λ1＝0，λ2＝1，故微分方程的通解为y＝C1＋C2eχ(C1，C2为任意常数)．10．若函数f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：6解析：即＝3，故a＝6．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。
考试时间120一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个符合题目要求)1.设lim x→0[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（ ）A.lim x→0f(x)=1 B.lim x→0f(x)cos x =1C.lim x→0f(x)=−1 D.lim x→0[f(x)+cos x ]=12.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（ ） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =23.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.3x B.3x ln 3 C.x3xD.3x ln 34.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD（ ） A.π10 B.π9 C.π5 D.2π95.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤15n ，则下列级数发散的是（ ）A.∑3a n ∞n=1B. ∑a n ∞n=1+3C.∑(a n ∞n=1+√n23) D.∑(a n ∞n=1−√n3) 二、填空题。
6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 22+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，f(x,0)−f(0,0)x=3x +2，则f ’x (0,0)= 。
10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)e xdx =81−1,则m=____________。
三、计算题。
11.求极限limx→0∫tarctantdtx0x 312.已知y 是x的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求d 2y dx 2|x =e13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx14.设函数f(x)={x 31+x 2, x ≤1x, x >1，求定积分∫f(x +2)dx 0−315.求二元函数z =3xy 2+x 2y的全微分dz ，并求ð2zðxðy16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。
广东省2017年普通高等学校本科插班生招生考试试题与详细解答
题号
一
二
三
四
总分
题分
15
15
48
22
得分
总分合计人（签名） 复查总分
总分复核人（签名） 复核人（签名）
得分 评卷人 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15
分.每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求的）
n
选项 C
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
x 1
1x 1
lim
x1
x
1 1
1 2
选项 D 为第二重要极限的应用
lim1
n
1 n
e
n0
故选 C.
2.
已知函数参数方程为 x t arctan t ， y ln 1 t 2
，则 dy dx
8
5. 已知 1 dx 1x2 f x, y dy ，转换成极坐标的形式（ ）
1
0
A.
2
d
1 f r cos , r sin dr
0
0
B.
0
d
1 0
f
r
cos
,
r
sin
rdr
C.
2
d
1 f r cos , r sin rdr
1. 下列哪个式子是不正确的（ ）
A. lim en 0 n
1
B. lim e n 1 n
C.
lim
x1
x 1 x2 1
广东专插本(高等数学)模拟试卷42(题后含答案及解析)
广东专插本（高等数学）模拟试卷42(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设f(χ)为奇函数，则F(χ)＝f(χ)(2χ＋2－χ)为( )A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．无法判定奇偶性正确答案：B解析：F(－χ)＝f(－χ)(2－χ＋2χ)＝－f(χ)(2χ＋2－χ)＝－F(χ)，奇函数，故选B．2．函数y＝｜sinχ｜在χ＝0处的导数为( )A．－1B．0C．1D．不存在正确答案：D解析：显然左右导数不相等，故χ＝0处的导数不存在．3．设f(χ)＝e－χ，则＝( )A．e－χ＋CB．＋CC．－e－χ＋CD．－＋C正确答案：B解析：f′(χ)＝－e－χ，故选B．4．下列函数在给定区间内满足拉格朗日中值定理条件的是( )A．y＝｜χ｜，[－1，1]B．y＝，[1，2]C．y＝，[－1，1]D．y＝，[－2，2]正确答案：B解析：A项，y在χ＝0处不可导；C项，y在χ＝0处不可导；D项，y在χ＝±1处不连续，故选B．5．若级数均发散，则必有( )A．(an＋bn)发散B．(｜an｜＋｜bn｜)发散C．(an2＋bn2)发散D．anbn发散正确答案：B解析：假设级数(｜an｜＋｜bn｜)收敛，又有｜an｜≤｜an｜＋｜bn｜，｜bn｜≤｜an｜＋｜bn｜，故可得级数｜an｜与｜bn｜收敛，与题设矛盾，故假设不成立，即(｜an｜＋｜bn｜)发散．填空题6．设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：一1解析：连续的充要条件为f(χ)＝f(0)，则＝1＋2a＝a，故a＝－1．7．设f(χ)＝e2χ，则f(2016)(0)＝_______．正确答案：22016解析：f′(χ)＝e2χ.2＝2e2χ，f?(χ)＝2e2χ.2＝22e2χ，…，f(n)(χ)＝2ne2χ，f(2016)(0)＝22016e2．0＝22016．8．曲线y＝的水平渐近线是_______．正确答案：y＝0解析：＝0，故水平渐近线为y ＝0．9．已知当χ→0时，1－cos2χ与∫0sinχln(1＋at)dt为等价无穷小，则a ＝_______．正确答案：4解析：故a＝4．10．已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为r1＝1，r2＝2，则该方程为_______．正确答案：y?－3y′＋2y＝0解析：根据题意可知特征方程为(r－1)(r－2)一0，即r2－3r＋2＝0，故所求方程为y?－3y′＋2y＝0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试真题、详细答案及考点详解
广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学真题、详细答案及考点详解一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.设()[]1cos lim 0=-→x f x x ，则下列等式正确的是间断点是（）A.()1lim 0=→x f x B.()1cos lim 0=→x x f x C.()1lim 0-=→x f x D.()[]1cos lim 0=+→x x f x 解答：根据初等函数的连续性，可得()[]()()()0lim 1lim 0cos lim cos lim cos lim 0=⇒=-=-=-→→→→→x f x f x f x x f x x x x x x 因此()()1cos lim ,0cos lim 0=+=→→x x f x x f x x 故选D.本题考试内容：初等函数的连续性；考试要求：会利用函数的连续性求极限.2.函数()2332x x x f -=的极小值是（）A.1-=xB.0=xC.1=x D.2=x 解答：对函数进行一阶导数求导，可得()()16662-=-='x x x x x f 令()()⇒=-=-='016662x x x x x f 10==x x 或而()612-=''x x f 因此()060<-=''f ，即x =0为极大值点()066121>=-=''f ，即x =1为极小值点从而极小值为()1321-=-=f ，故选A.本题考试内容：函数极值与极值点；考试要求：理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最值的方法，并会应用函数极值的方法求解应用题.3.已知x 3是函数()x f 的一个原函数，则()=x f （）A.x 3B.3ln 3xC.13-x x D.3ln 3x 解答：根据原函数的定义，可知()()()3ln 33x x x f x f =⇒='故选B.本题考试内容：原函数与不定积分的定义；考试要求：理解原函数与不定积分的概念及其关系.4.设平面区域(){}0,1|,22≥≤+=y y x y x D ，则()=+⎰⎰σd y x D422（）A.10π B.9πC.5πD.92π解答：使用极坐标计算二重积分，由于平面区域如下图所示令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ010r ，因此()()10sin cos 1904222210422ππθθθσπ==⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰dr r d r r r dr d y xD故选A.本题考试内容：极坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算.5.设级数∑∞=1n n a 满足nn a 510≤≤，则下列级数发散的是（）A.∑∞=13n naB.∑∞=+13n n aC.∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a D.∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-131n n n a 解答：根据正项级数的比较审敛法，由于n n a 510≤≤，由于∑∞=151n n 收敛，因此∑∞=1n na 收敛，再根据级数的性质，可以对下列选项进行判断A 选项：∑∑∞=∞==1133n n n n a a ，因此根据级数的性质可知，∑∞=13n n a 收敛；B 选项：321113a a a a a n n n n ---=∑∑∞=∞=+，因此，级数增加（减去）有限项，不改变敛散性，因此∑∞=+13n n a 收敛；C 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+13211321132111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1321n n 为p -级数（132<=p ），故∑∞=1321n n 发散，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 发散；D 选项：∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+123113113111n n n n n n n n n a n a n a ，其中∑∞=1231n n 为p -级数（123>=p ），故∑∞=1231n n 收敛，而∑∞=1n n a 收敛，因此根据级数收敛的性质可知∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1321n n n a 收敛，故选D.本题考试内容：收敛级数的基本性质；考试要求：掌握几何级数（等比级数）、调和级数、p -级数的敛散性；理解收敛级数的基本性质.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=1,321,132x x a x x a x f 在1=x 处连续，则常数=a .解答：根据函数极限的充分必要条件可知，()()()Ax f x f A x f x x x ==⇔=+→-→→111lim lim lim 而()()a x a x f x x +=+=-→-→11lim lim 211，()()332lim lim 311+-=+-=+→+→a x a x f x x 因此()().131lim lim 11=⇒+-=+⇒=+→-→a a a x f x f x x 本题考试内容：函数在一点连续的充分必要条件；考试要求：掌握判断函数（分段函数）在一点处连续的方法.7.曲线3222=+y x 在()1,2-点处的切线方程为=y .解答：隐函数求导，因此()122|20212=--='⇒-='⇒='⋅+-，y y x y y y x 从而切线方法为()().3211-=⇒-⋅=--x y x y 本题考试内容：求导方法：函数的四则运算求导方法、隐函数的求导法；考试要求：熟练掌握隐函数的求导方法.8.微分方程043=-'+''y y y 的通解为=y .解答：特征方程为()()0140432=-+⇒=-+r r r r 故1,421=-=r r 故通解为.241x x e C e C y +=-本题考试内容：二阶常系数线性齐次微分方程；考试要求：会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解.9.设二元函数()y x f ,在点()0,0的某个领域有定义，且当0≠x 时，()()230,00,+=-x xf x f ，则()='0,0x f .解答：根据偏导数的定义，()()()230,00,0,+=-='x x f x f x f x 因此().20,0='x f 本题考试内容：多元函数的定义；考试要求：理解一阶偏导数和全微分的概念.10.设函数()x f 在()+∞∞-,内可导且满足()()x f x f '=，()m f =0，如果()811=⎰-dx e x f x ，则=m .解答：使用分离变量法，可得：()()()()()()()()⎰⎰=⇒=⇒=⇒'=dx x df x f dx x f x df x f dx x df x f x f 1因此()()Cx e x f C x x f +=⇒+=ln 由于()m f =0，因此()m C m e f C ln 0=⇒==从而()xmx me ex f ==+ln ，将此式子代入()811=⎰-dx e x f x，可得().482888111111=⇒=⇒=⇒=⇒=⎰⎰⎰---m m dx m dx e me dx e x f x xx本题考试内容：可分离变量的微分方程；考试要求：会求可分离变量的微分方程.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.求极限xdt t t xx ⎰→0arctan lim.解：使用洛必达法则00arctan 01arctan limarctan lim=⋅==→→⎰xx xdt t t x xx 本题考试内容：洛必达法则和变上限的定积分；考试要求：熟练掌握应用洛必达法则求未定式极限的方法以及掌握变上限定积分求导数的方法.12.已知y 是x 的函数，且2ln 2ln ln ++='x x y ，求.|22e x dxyd =解：使用复合函数求导法，可得x x x xx x x y ln 212101ln 21211+=+⋅+⋅=''则.1ln 2121|22ee e e dx y d e x =+==本题考试内容：求导方法——复合函数的求导法；考试要求：熟练掌握复合函数求导方法.13.求不定积分().sin 2cos 2⎰-dx x x x 解：根据不定积分的性质，可得()dxx x dx x dx x x x ⎰⎰⎰-=-22sin 2cos sin 2cos 其中12sin 2122cos 212cos C x x xd xdx +==⎰⎰22222cos 21sin 21sin C x dx x dx x x +-==⎰⎰因此()C x x dx x x x +-=-⎰22cos 212sin 21sin 2cos （其中21C C C +=）.本题考试内容：基本积分公式、换元积分法——第一换元法（凑微分法）；考试要求：熟练掌握不定积分的基本积分公式、熟练掌握不定积分的第一换元法.14.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,1,123x x x x x x f ，求定积分().203dx x f ⎰-+解：令2+=x t ，从而2-=t x ，dt dx =，当3-=x 时，1-=t ；当0=x 时，2=t ，从而原式可变为()().23|210122122111232103=+=++==+⎰⎰⎰⎰---t dt t dt t t dt t f dx x f 本题考试内容：定积分的性质、定积分的计算——换元积分法；考试要求：掌握定积分的基本性质以及掌握定积分的换元法.15.求二元函数y x xy z 223+=的全微分dz ，并求.2yx z∂∂∂解：y x y x z 232+=∂∂，226yx xy y z -=∂∂，因此dyy x xy dx y x y dz ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222623.2662222yxy y x xy x y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂本题考试内容：全微分以及高阶偏导数；考试要求：掌握二元函数一阶偏导数与二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法.16.计算σd y D⎰⎰，其中D 是由直线x y =，2-=x y 与0=y ，2=y 围成的有界区域.解：x则有界区域可写为Y-型区域⎩⎨⎧+≤≤≤≤220y x y y 因此原二重积分可变为().4|2|202222220=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰++y ydy dy x y dx y dy d y y yy yDσ本题考试内容：直角坐标系下二重积分的计算；考试要求：掌握直角坐标系下二重积分的计算方法.17.求微分方程22sec yxdx dy =，满足初始条件1|0==x y 的特解.解：使用分离变量法，可得⎰⎰=⇒=⇒=xdx dy y xdx dy y yx dx dy 222222sec sec sec 因此C x y +=tan 313将1|0==x y 代入上式，可得310tan 131=⇒+=⨯C C 从而可得微分方程特解为.1tan 331tan 3133+=⇒+=x y x y 本题考试内容：可分离变量方程；考试要求：会求分离变量微分方程的通解和特解.18.判断级数∑∞=12!2n n n n 的收敛性.解：由于∑∞=12!2n n n n 为正项级数，()()()()()1021lim !2!121lim !2!121lim lim 22122121<=+=++=++=∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n a a n n n n n n n nn n 因此根据比值判别法可知：∑∞=12!2n n n n 收敛.本题考试内容：常数项级数审敛法；考试要求：掌握正项级数的比值审敛法.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.设有界平面图形G 由曲线ax e y =和直线0==x e y ，围成，其中a ＞0，若G 的面积等于1（1）求a 的值；（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积V .解：（1）由题设可得平面图形G ，如下图所示因此aa a e a e e e a a e e a ex dx e e S a a a ax a ax1111|1011010=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅⎰又因为平面G 的面积为1，因此.111=⇒==a aS ye1/ax（2）要求G 绕y 轴旋转一周，因此根据公式可得()()().2|21|ln 2ln 21ln 2|ln ln 11111121212-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅===⎰⎰⎰⎰⎰e y e e dy y y y y e dy y e dy y y y y y dy y dy x V ee eee ee ey πππππππ本题考试内容：定积分的应用——平面图形的面积、旋转体的体积；考试要求：掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生的旋转体体积的方法.20.设函数()bxeax f +=1，其中b a ,为常数，且0≠ab （1）判别()x f 在区间()+∞∞-,内单调性；（2）求曲线()x f y =的拐点；（3）求曲线()x f y =的水平渐近线方程.解：（1）函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,，而()()211bxbx bx e abe e a x f +-='⎪⎭⎫⎝⎛+='因此，当0>ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递减；当0<ab 时，函数()bxeax f +=1定义域为()+∞∞-,单调递增.（2）由于()()()()()()()324222*********bx bx bx bx bx bx bx bx bx bx e e e ab e e e ab e e ab e abe x f +--=++++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''令()()()01132=+--=''bx bxbx e e e ab x f ，且0≠ab ，可得0010=⇒=⇒=-x e e ebx bx显然()x f ''在x =0左右两端异号，因此把x =0代入原式，可得()2100ae af =+=因此，拐点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0a .（3）当0>b 时，()01limlim =+=+∞→+∞→bx x x e a x f ，()a e ax f bx x x =+=-∞→-∞→1lim lim ；当0<b 时，()a e a x f bx x x =+=+∞→+∞→1lim lim ，()01lim lim =+=-∞→-∞→bx x x e ax f ，因此水平渐近线为0==y a y 和.本题考试内容：函数单调性的判定法、曲线的凹凸性、拐点以及函数曲线的水平渐近线：掌握利用导数判定函数单调性的方法，会判定曲线的凹凸性、会求曲线的拐点以及会求曲线的水平渐近线.。
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广东专插本（高等数学）模拟试卷43(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列四组函数字f(χ)与g(χ)表示同一函数的是( )
A．f(χ)＝tanχ，g(χ)＝
B．f(χ)＝lnχ3，g(χ)＝3lnχ
C．f(χ)＝，g(χ)＝χ
D．f(χ)＝ln(χ2－1)，g(χ)＝ln(χ－1)＋ln(χ＋1)
正确答案：B
解析：A、D选项中，两函数的定义域不同；C选项中，当χ＞0时，f(χ)≠g(χ)；B选项中，f(χ)＝lnχ3＝3lnχ＝g(χ)，定义域均为χ＞0，故本题选B．
2．当χ→0时，χ3＋sinχ是χ的( )
A．高阶无穷小
B．等价无穷小
C．同阶但不等价无穷
D．低阶无旁小
正确答案：B
解析：＝1，故χ3＋sinχ是χ的等价无穷小．
3．设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则曲线y＝f(χ)在(a，b)内平行于χ轴的切线( )
A．仅有一条
B．至少有一条
C．有两条
D．不存在
正确答案：B
解析：f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)，则f(χ)满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0，则f(χ)在(a，b)内至少有一条平行于χ轴的切线，故选
B．
4．定积分dχ＝( )
A．0
B．2
C．
D．π
正确答案：C
解析：考察定积分在对称区间上积分的性质．
5．级数(c≠0，b≠0)收敛的条件是( )
A．a＜b
B．｜a｜＞｜b｜
C．｜a｜＜｜c｜
D．｜a｜＜｜b｜
正确答案：D
解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当＜1时，级数
收敛，即｜a｜＜｜b｜，故选
D．
填空题
6．已知χ→0时，无穷小1－cosχ与asin2χ等价，则a＝_______．
正确答案：
解析：当χ→0时，(1－cosχ)～χ2，asin2χ～aχ2，由1－cosχ与asin2
χ等价知＝1，于是a＝．7．函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则_______．正确答案：
解析：
8．＝_______．
正确答案：
解析：
9．设f(χ，y)＝，则f(1，)＝_______．
正确答案：
解析：
10．微分方程y?－4y′＋13＝0的通解为_______．
正确答案：y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)
解析：对应的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得r＝2±3i，故通解为y＝e2χ(C1cos3χ＋C2sin3χ)，其中C1，C2为任意常数．
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11．设f(χ)＝作f(χ)的图形，并讨论当χ→3时，f(χ)的左右极限及(χ)的存在性．
正确答案：函数f(χ)的图形如图，从几何图形上可判断出：(1)＝3；(2)(2χ＋1)＝7；由(1)、
(2)知，f(χ)不存在．
12．求极限
正确答案：
13．求曲线y＝的凹凸区间与拐点．
正确答案：函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因为y′＝，y?＝．所以y?＝0，得χ＝e2．曲线的凸凹性列表讨论如下：
所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e2，＋∞)，凹区间为(1，e2)；拐点为(e2，)．
14．求不定积分∫ln(χ＋)dχ．
正确答案：
15．过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作切线，若过点A作的切线，与曲线
y＝χ2及χ轴围成的图形面积为，求该图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V．
正确答案：如图，设A点坐标(χ0，χ02)．由y′＝2χ，得切线方程为y －χ02＝2χ0(χ－χ0)或χ＝，由已知得：
所以χ0＝1，A(1，1)，切线方程为2χ－y－1＝0，切线与χ轴交点为(，0)．于是
16．计算二重积dχdy，其中。
是由直线χ＝2，y＝χ与双曲线χy
＝1所围成的区域．
正确答案：先沿y方向积分，区域D可表示成：则
17．求微分方程y?＋2y′＋y＝0满足初始条件y(0)＝4和y′(0)＝－2的特解．
正确答案：特征方程为r2＋2r＋1＝0，特征根为r1＝r2－1，因此所给方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－χ，求导，得y′＝(C2－C1－C2χ)e-χ．将
初始条件代入上面两式，得解方程组，得C1＝4，C2＝2．于是所求特解为y＝(4＋2χ)e－χ．
18．判断级数的敛散性．
正确答案：因为un＝＝un(n＝1，2，…)，
而等比级数是收敛的，由比较审敛法知级数也收敛．综合题
19．设χ＝±1是f(χ)的两个极值点，且f(－1)＝2，又知f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，求函数f(χ)．
正确答案：由f′(χ)＝3χ2＋aχ＋b，积分得∫f′(χ)dχ＝∫(3χ2＋aχ＋b)dχ＝χ3＋χ2＋bχ＋C＝f(χ)，χ＝±1是f(χ)的极值点，f′
(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝0，b＝－3，故f(χ)＝χ3－3χ＋C，又有f(－1)＝2，代入得C＝0，所以f(χ)＝χ3－3χ．
20．设F(χ)＝S表示夹在χ轴与曲线y＝F(χ)之间的
面积，对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤χ≤t，0≤y≤F(t)的面积，求：(1)S(t)＝S－S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值．
正确答案：(1)画出F(χ)和S1(t)的图形(如
图)．则S＝2∫0＋∞edχ＝－e-2χ｜0＋∞＝1，S1(t)＝2te-2t，因此S(t)＝S－S1(t)＝1－2te-2t，t∈(0，
＋∞)．(2)今S′(t)＝－2(1－2t)e-2t＝0．得唯一驻点t＝．又＞0，所以为极小值，即最小值．。