关于专插本高等数学知识点和例题
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
广东专插本18版—高数习题解析
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专升本高数全知识点
专升本高数全知识点一、知识概述《专升本高数全知识点》①基本定义：高等数学就是大学数学，主要研究函数、极限、导数、积分这些东西。
函数就像是一个有输入和输出的“魔法盒子”，你给它一个数，它按照一定规则给你一个结果。
极限有点像你一直朝着一个地方走，快到目的地但还没到那个确切的点时候的情况。
导数呢，就是函数在某一点变化的快慢程度，就像汽车在某个瞬间的速度。
积分和导数相反，就像是知道速度求路程这样。
②重要程度：在专升本学科里那可是相当重要的。
很多专业都要考，而且是筛选人才的重要部分。
高数好的话，在理工科专业学习起来就会很顺利。
③前置知识：你得对基本的代数知识很熟悉，像一元二次方程这些。
还有函数的概念也要清楚，比如一次函数、二次函数的图像性质等。
④应用价值：在工程领域可以用来计算结构强度，在经济领域可以做成本效益分析之类的。
比如说盖房子的时候，通过高数能算出怎么设计结构能承受更大压力。
二、知识体系①知识图谱：整个高数体系像一棵大树，函数是树根，极限是树干，导数和积分就是树枝和树叶。
导数和积分又各自有很多分支。
②关联知识：函数和极限密切相关，有函数才有极限概念。
导数是从极限发展来的，积分又和导数是逆运算关系。
③重难点分析：重难点有极限的计算（有时候要用到很多复杂技巧）、导数的复合函数求导、积分的换元积分法。
关键是要理解概念然后多做练习才能掌握。
④考点分析：在考试里每个部分都可能考。
选择题会考查基本概念，计算题就着重极限、导数、积分的计算等。
应用题可能会把高数知识用在实际场景下考查。
三、详细讲解【理论概念类- 函数】①概念辨析：函数就是一种对应关系，一个自变量x能通过某种法则找到唯一对应的因变量y。
就像每个人（x）对应着自己唯一的身份证号（y）。
②特征分析：主要特征就是有定义域（x能取的值的范围）和值域（y 能取的值的范围）。
单值性是很重要的一点，就是一个x只能对应一个y。
③分类说明：有初等函数像多项式函数（如y = x²+1）、三角函数（如y = sinx）等，还有分段函数，就是在不同区间有不同表达式的函数。
河北省专接本数学-----考点知识大全-.
1河北省专接本数学考点知识大全第一部分一、初等代数1. 一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）， ⑴ 根的判别式24b ac ∆=-当0∆>时，方程有两个相异实根；当0∆=时，方程有两个相等实根； 当0∆<时，方程有共轭复根。
⑵ 求根公式为1,22b x a-±=2⑶ 韦达定理 12b x x a +=-；12c x x a⋅=. 2. 对数运算性质（0a >，1a ≠）⑴ 若ya x =，则log a y x =；⑵ log 1a a =，log 10a =，ln 1e =，ln10=； ⑶ log ()log log a a a x y x y ⋅=+； ⑷ log log log aa a xx y y=-；⑸ log log b a a x b x =； ⑹ log a xax =，ln x e x = ⑺ log log log b a b xx a=. 3. 指数运算性质 ⑴mnm na a a+⋅=， ⑵m m n n a a a-= ⑶()n m n ma a ⋅=；⑷()n n na b a b ⋅=⋅； ⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑹mn a =⑺01a =； ⑻1mm aa-=. 4.常用不等式及其运算性质3⑴若a b >，则①a c b c ±>±， c a c b -<-； ②ac bc >（0c >）， ac bc <（0c <）； ③a b c c >（0c >）， a bc c<（0c <）； ④nna b >（0n >，0a b >>），nna b <（0n <，0a b >>）；>n 为正整数，0a b >>）. ⑵绝对值不等式设a ，b 为任意实数，则 ①||||||||||a b a b a b -≤±≤+；②||a b ≤（0b >）等价于b a b -≤≤，特别||||a a a -≤≤； ③||a b ≥（0b >）等价于a b ≥或a b ≤-； ⑶某些重要不等式①设a ，b 为任意实数，则222a b ab +≥；②设1a ，2a ，…，n a 均为正数，n 为正整数，则412na a a n+++≥5.常用二项式展开及因式分解公式⑴ ()2222a b a ab b +=++； ⑵ ()2222a b a ab b -=-+；⑶ ()3322333a b a a b ab b +=+++；⑷ ()3322333a b a a b ab b -=-+-；⑸ ()()22a b a b a b -=+-； ⑹ ()3322()a b a b a ab b -=-++；⑺ ()3322()a b a b a ab b +=+-+；⑻ ()123221()nnn n n n n a b a b aa b a b ab b ------=-+++++；5. 牛顿二项式展开公式（n 为正整数）01122211())n n n n k n k k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=+++++++.其中组合系数(1)(2)(1)!kn n n n n k C k ---+=，01n C =，1nn C =.56. 常用数列公式⑴等差数列：1a ，1a d +，1a 2d +，…，1a (1)n d +-.首项为1a ，第n 项为1(1)n a a n d =+-，公差为d ，前n 项的和为1111()(2)[(1)]n s a a d a d a n d =+++++++-1()(1)22n a a nn n na +⋅-=+=. ⑵等比数列：1a ，1a q ，21a q ，…，11n a q-.首项为1a ，公比为q ，前n 项的和为2111111(1)1n n n a q s a a q a q a qq--=++++=-.7. 一些常见数列的前n 项和⑴(1)1232n n n +++++=； ⑵2135(21)n n ++++-=；⑶2222(1)(21)1232n n n n ++++++=；6⑷23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦； ⑸111111122334(1)1n n n ++++=-⋅⋅⋅++.8.阶乘!(1)(2)21n n n n =--⋅.二、平面三角1.基本关系⑴22sin cos 1x x +=； ⑵221tan sec x x +=； ⑶221cot csc x x +=； ⑷sin tan cos x x x =； cos cot sin x x x =； 1sec cos x x =；1csc sin x x=. 2.倍角公式⑴sin 22sin cos x x x =；⑵2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x =-=-=-； ⑶22tan tan 21tan xx x=-.73.半角公式⑴21cos sin22x x-=； ⑵21cos cos 22x x +=； ⑶1cos tan 2sin x x x-=.4.和角公式⑴sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+； ⑵sin()sin cos cos sin x y x y x y -=-； ⑶cos()cos cos sin sin x y x y x y +=-； ⑷cos()cos cos sin sin x y x y x y -=-；⑸tan tan tan()1tan tan x yx y x y++=-.5.和差化积公式⑴sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=； ⑵sin sin 2cos sin 22x y x yx y +--=；8⑶cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=； ⑷cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=-. 6.积化和差公式⑴1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =++-； ⑵1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =+--；⑶1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-；⑷1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+--.9三、初等几何下面初等几何公式中，字母r 表示圆半径，h 表示高，l 表示斜高，θ表示角度。
2023年广东省专升本高等数学知识点考点大纲复习资料【超全】
第一章函数、极限、连续第一节函数考点1：判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。
1.下列函数()f x 与()g x 为同一函数的是（）.A ()f x x =，()g x x =.B ()f x x =，()g x =.C ()f x =()g x =D.()()3ln ,3ln f x x g x x==【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式一样，D 选项定义域和解析式都一样，是同一函数。
A 选项解析式不一样。
考点2：求函数定义域（1）具体函数求定义域,00log ,0arcsin ,arccos ,11a ax x x x x x x x ⎧≠⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪-≤≤⎪⎩（2）抽象函数求定义域：()(),,f g x f h x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使得()(),g x h x 值域要相同，求出x 的范围即可。
1.函数y =的定义域为.【答案】(][),43,-∞-+∞ 【考点】考察函数的定义域。
【解析】解：()()(][)2120340,,43,x x x x x +-≥-+≥∈-∞-+∞ ，2.设函数()y f x =的定义域为[]2,2-，求函数()24f x -的定义域.【答案】[]1,3x ∈【考点】考察函数的定义域。
【解析】解：[]2242,13,1,3x x x -≤-≤≤≤∈考点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法反函数：解出()x y ϕ=1.已知()11f x x =-则()f f x =⎡⎤⎣⎦（）.A 1x -.B 11x -.C 1x -.D 11x-【答案】D【考点】求函数的解析式。
【解析】解：()11111111x f f x x xx=-=-=⎡⎤⎣⎦---2.已知函数y =，求反函数()1f x -.【答案】()21211x fx x --=+【考点】求解反函数。
高等数学专转本复习资料
《高等数学基础》专转本复习资料一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.A.1B.5D.03.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B).A.0B. ПC.2ПD. П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D. y=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。
可导，则=（C）.19.若则=（B）.20. =（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.A. -1B. 0c.1 D.223. 函数在区间(2,4)内满足(B).A. 先单调下降再单调上升B.单调上升C. 先单调上升再单调下降D.单调下降24 若,则= (D).A. sinx十CB. -sinx十cC. -cosx+cD. cosx 十C25. 下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).A. 单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升29. 下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31. 函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.A .1 B.2C.-1D.33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.A. cosx +cB. - sinx十CC. sinx十CD. - cosx十C35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.37.37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.38. 设f(x)在可导，则= (C).39. =(A).40. 下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴c.y轴 D.坐标原点47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A. 先单调上升再单调下降B.单调下降C. 先单调下降再单调上升D.单调上升49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5） .2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .4.函数的单调减少区间是 .5.= 0 .6.函数的定义域是（2，6） .7.函数的间断点是 x=0 .8.函数的单调减少区间是 .9.函数的驻点是 x= - 2 .10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.11..若，则f(x)= .12.函数的间断点是 x=0 .13.已知，则= 0 .14.函数的单调减少区间是 .15.= .16.函数的定义域是 (-5,2) .17. .18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .19.函数的单调增加区间是 .20.若则f(x）= .21.若则f(x）= .22 已知当时，f(x）为无穷小量.23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .24. = .25 若,则= .26.函数的定义域.27. 函数的间断点是 x=0 .28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .29. 函数的单调增加区间是 .30.= .31. 函数，则f(x)= .32. 函数的间断点是 x=3 .33. 已知则 = 0 .34. 函数的单调减少区间 .35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .36. 若函数，则f(O)= -3 .37.若函数在x=O处连续,则k=e .38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .39.函数的单调增加区间是 .40.= .41. 函数的定义域是(-2，2) .42. 函数的间断点是 x=3 .43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .44. 函数的单调增加区间是 .45. 若,则f(x)= .46.函数的定义域是.47.若函数，在x=O处连续，则k= e .48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .49. 函数的单调增加区间是 .50. ，则= .三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限.解：14.设，求. 解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分. 解:由分部积分法得17.计算极限. 解：18.设求dy. 解：19.计算不定积分.解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求 .解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29. 计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32. 计算定积分.解：由分部积分法得33. 计算极限.34设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37. 计算极限38.设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40. 计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。
2024专插本考试高数考点
2024专插本考试高数考点
在2024年专插本考试中，高等数学科目的考点主要包括：
1. 函数的概念、性质和图像，包括单调性、奇偶性和周期性等。
2. 极限和连续性，包括极限的运算法则、无穷小和有界函数的极限、洛必达法则等。
3. 导数和微分，包括导数的定义和性质、导数的计算和应用等。
4. 一元函数积分学，包括不定积分和定积分的计算和应用等。
5. 多元函数微积分，包括多元函数的微分和积分、偏导数和全微分等。
6. 微分方程，包括一阶和高阶微分方程的解法、线性微分方程等。
7. 无穷级数，包括数列的极限、无穷级数的性质和收敛性等。
8. 线性代数，包括行列式、矩阵和向量等基本概念和性质，以及线性方程组的解法等。
9. 概率论与数理统计，包括随机事件和概率、随机变量及其分布、参数估计和假设检验等。
这些考点只是高等数学科目中的一部分内容，具体考试内容可能会根据不同省份的要求而有所不同。
因此，考生在备考时应该全面系统地复习，掌握各个考点的基本概念和解题方法，以便在考试中取得好成绩。
高等数学(专升本)考点归纳及讲解 - 副本
③复合函数（函数中套函数）求导： y = f (u ), 而 u = g ( x ), 则 ，
y / = f [ g ( x)]/ = [ f (u )]/ = f / (u )gu / （u 为内层函数） ； 解题的关键是：看函数与①中的
例题 10 ： 证明 :曲线xy = 1( x > 0, y > 0)上的任意一点(x , y )处的切线与两个坐标轴围成 0 0 的三角形面积为一个定值. 证：曲线即为y= , 则其在任意点(x0 , y0 )切线的斜率k切 = f / ( x0 ) = ( ) /
1 x
1 x
=−
x = x0
1 , x0 2
x→x0
0
x→x0
x→x0
1 x sin + b, x < 0 x f ( x ) = a, x = 0 sin x 例题 8:设函数 ,x > 0 x
问 ： （1） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处有极限存在？ （2） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处连续？
(1 − a) x2 + (a + b) x − b − 2 = 0,因为x → ∞, 且分式分子和分母为关于x的多项式, x→∞ x −1
解： 原式= lim
又因 为极限值为0且 分母 最高 次数为1次, 故 分子的 最高 次数 只能 为0次 ，
义乌工商学院 zsb 第 2 页
1-a=0 所以有 , 解得a = 1, b = −1为所求. （注意：若将=0 改成=-2 会有：a=1,b=-3） a+b=0
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第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类●连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim-++-++∞→=3 例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- 例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1（2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 2lim1))x x →+∞+ 解：因为limx →+∞0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
例1.12．22limln(1tan )cos ()x x x→+解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2(cos 2x有界，所以 原式＝0．例1.13．2006lim(sin(2006))x x →+∞解 因为 01111lim 1lim3=++=++∞→∞→xx x x xx x x ，2006sin (sin(2006))x 有界；原式＝0。
（4）题型IV 10lim(1)uu u e →+=识别此类题型尤为重要，主要特征为∞1未定式．步骤如下： 例1.14．∞→x lim 322()1x x x +-+ 解：原式＝∞→x lim (32)3(1)1x x +-++＝∞→x lim 3(32)113311x x x x -+++-⎧⎫-⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝3(32)lim91x x x ee →∞-+-+=．例1.15．∞→x lim 221251()23x x x x x +-+-+ 解：原式＝∞→x lim 2232(21)232332232123x x x x x x x x x x --+-+-+--⎧⎫--⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-+⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝2(32)(21)lim623x x x x x e e →∞--+--+=例1.16．xx x x 12)sin 1(lim +→解：原式=1)sin 1(lim 1)sin(sin 12022=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→xx x x x x x x（5）题型V 等价无穷小替换替换公式：)0(→x 221~cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan x nx n1~11-+ x x ~)1ln(+ x e x ~1-替换原则：乘除可换，加减忌换。
例1.17．30sin limxxx x -→ 错解：30lim x xx x -→=0例1.18．1)5sin()21ln(lim22--→x x ex x解：原式=252lim20x xx x ⋅-→=-20 例1.19．2320arctan 121lim x x x --→解：原式=220)2(31lim xx x -⋅→=32- 例1.20．3942lim38-+-→x x x解：令8x u -=，则8x u =+原式＝0lim →u 32742163-+-+u u ＝0lim →u 12711811343-+-+u u ＝0lim →u 27.3181.2134u u＝227例1.21．xxx x 30tan sin tan lim-→解：原式=2121lim )cos 1(tan lim 32030=⋅=-→→xx x x x x x x 例1.22. )21ln(12)(cos lim x x x -→解：原式=222011(cos 1)112ln(12)lim cos 124lim (1cos 1)x x x x x x x x e e →-----→⎧⎫+-==⎨⎬⎩⎭例1.23. 4312arctan 1arcsin lim 22+++∞→x x x xx解：原式=23)1)(12()43(lim 43121lim 2222=+++=+++∞→∞→x x x x x x x x x x 例1.24. )11sin()cos(lim3sin tan 0-+-→x x e e xx x解：原式=)11sin()cos()1(lim3sin tan sin 0-+--→x x e e x x x x =111lim3sin tan 0-+--→x e x x x =03tan sin lim112x x xx →-=（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用—连续性分析定义：00lim ()()x x f x f x →=变形：000(0)(0)()f x f x f x -=+=,其中0(0)f x ±分别表示左、右极限。
例1.26．()221ln(12)sin ,0sin 2,01()01x x ax x x x f x b x x c x x⎧-+<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪+⎩，，若()f x 在0x =处连续，求,,a b c 解：201ln(12)(00)lim(sin)sin 2x x f ax x x →---=+2001ln(12)lim sin lim 1sin 2x x x a x x x→-→--=+=-由(00)(00)(0)f f f -=+=得：41b ce -== 故41,,b c e a =-=-为任意实数三、极限应用—间断识别及分类1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。
2．分类方法： （a ）00(0)(0)f x f x +=-，0x 为可去间断；（b ）00(0)(0)f x f x +≠-，0x 为第一类间断，或称跳跃型间断； （c ）)0(0+x f 、)0(0-x f 至少有一个不存在，0x 为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为∞，则为第二类无穷间断。
例1.29．xx x x f tan )()(π-=解：间断点为πk x =，2ππ+k ，Z k ∈,对于2ππ+=k x ， Z k ∈,因为0)(lim2=+→x f k x ππ，所以2ππ+=k x 为可去间断。
对于πk x =，当0=k ，即0=x ，ππ-=-→xx x x tan )(lim0，0x =可去间断；对于πk x =，当1=k ，即π=x ，ππ=-→xx x x tan )(lim 0,π=x 可去间断；当0,1k ≠，∞=-→xx x k x tan )(lim ππ，x k π=为第Ⅱ类无穷间断。
例1.30．11sin ()x x f x e x-= 解：间断点1=x ，0 1110(10)sin(1)lim 0x x f ee -∞-→--===， 1110(10)sin(1)lim x x f ee +∞-→++===∞。
()f x 在1=x 为Ⅱ类无穷间断。
1lim ()x f x e -→=，x=0为可去间断点。
例1.31．)2)(1)(3()1ln(2)(++---=x x x x x x f解： 定义域为 1≤x 。
间断点为 2,1-=-=x x 。
因为∞=-→)(lim 1x f x ，∞=-→)(lim 2x f x所以2,1--均为)(x f 的Ⅱ类无穷间断。
例1.32．xe xx x f -+-=2122)( 解： 定义域为22<<-x ，间断点为2,2-=x对于2-=x ，∞=--→)(lim 02x f x ，2x =-为第Ⅱ类无穷间断；对于2=x ， ∞=-=--→-→x x x e x x f 212022lim 21)(lim ，2=x 为第Ⅱ类间断。
注：对2,2-=x 仅考虑了其一个单侧极限。
例1.33．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=-.0,,0,1,0,sin 1)(21x e x x x x x f x 解：间断点是：2,,=∈=-x Z k k x π，x=0是可能间断点。
对于x=0，f(0+0)=21-e ,f(0-0)=∞,x=0为第Ⅱ类间断；对于,,-∈=Z k k x ππk x x f →∞=,)(lim 为第Ⅱ类间断； 对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=∞，为第Ⅱ类间断。
注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。
四、连续函数介值定理定理：)(x f 在闭区间[]b a ,内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在[]b a ,至少有一零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f 。
应用此定理需要注意以下几点： (0) ()f x 如何定义。
)1( []b a ,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。
)2( 验证)(x f 在闭区间[]b a ,上的连续性， )3( 验证)(x f 在两端的符号。
)4( 此定理不能确定)(x f 是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(x f 在[]b a ,内的单调性（参见导数应用部分）例1.34．证明：2=xxe 在[]1,0内有一实根证：构造2)(-=xxe x f ，[]1,0∈x易知)(x f 在[]1,0上连续，且2)0(-=f ，02)1(>-=e f ，故 0)1()0(<⋅f f ， 由连续函数介值定理知，0)(=x f 在()1,0有实根，即命题得证。