高数2005-2016专插本试题及答案
2016年河南专升本高数真题+答案解析
2016年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数()f x 的定义域是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需10x ->，即1x <2．函数3()2f x x x =-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】A【解析】33()2()2()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以是奇函数．3．已知1()1f x x=-，则[]()f f x =（ ） A ．1x - B ．11x - C ．1x - D ．11x- 【答案】D【解析】[]111()11111f f x f x x x ⎛⎫=-=-=⎪-⎝⎭-．4．下列极限不存在的是（ ）A ．20lim1x xx →+ B ．2lim1x xx →∞+C ．lim 2x x →-∞D ．lim 2x x →+∞【答案】D 【解析】20lim 01x x x →=+，2lim 01x x x →∞=+，lim 20x x →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞．5．极限2212lim x x x x →∞--的值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】2212lim1x x x x →∞--=-，故选C ．6．已知极限0lim 2sin x xax→=，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】D 【解析】0001lim lim lim 2sin x x x x x ax ax a →→→===，故12a =．7．已知当0x →时，222cos ~x ax -，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-【答案】A【解析】()222200001221cos 22cos 12lim lim lim lim 1x x x x xx x ax ax ax a →→→→⋅--====，故1a =．8．已知函数21,1()12,1x ax x f x x x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处，下列结论正确的是（ ）A ．2a =时，()f x 必连续B ．2a =时，()f x 不连续C ．1a =-时，()f x 连续D ．1a =时，()f x 必连续【答案】B【解析】要使函数()f x 在1x =处连续，则有1lim ()(1)x f x f →=，即211lim21x x ax x →-+=-，而当2a =时，2211121(1)limlim lim(1)0211x x x x x x x x x →→→-+-==-=≠--，故当2a =时，()f x 不连续．9．已知函数()x ϕ在点0x =处可导，函数()(1)(1)f x x x ϕ=--，则(1)f '=（ ）A ．(0)ϕ'B ．(1)ϕ'C ．(0)ϕD ．(1)ϕ【答案】C【解析】由()x ϕ在点0x =处可导，可知()x ϕ在点0x =处连续，111()(1)(1)(1)0(1)limlim lim (1)(0)11x x x f x f x x f x x x ϕϕϕ→→→----'===-=--．10．函数()11f x x =--在点1x =处（ ）A ．不连续B ．连续且可导C ．既不连续也不可导D ．连续但不可导【答案】D【解析】2,1()11,1x x f x x x x ->⎧=--=⎨≤⎩，显然()f x 在1x =处连续，而11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---，11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x -+-→→--'===--，由于(1)(1)f f -+''≠，故在1x =处不可导．11．若曲线3()1f x x =-与曲线()ln g x x =在自变量0x x =时的切线相互垂直，则0x 应为（ ）AB．C ．13D ．13-【答案】C【解析】200()3f x x '=-，001()g x x '=，由于切线相互垂直，则2003x x -=-，即013x =．12．已知4()1f x x =-在闭区间[]1,1-上满足罗尔中值定理，则在开区间(1,1)-内使()0f ξ'=成立的ξ=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】A【解析】3()4f x x '=-，3()40f ξξ'=-=，则0ξ=．13．设函数()f x 在区间(1,1)-内连续，若(1,0)x ∈-时，()0f x '<，(0,1)x ∈时，()0f x '>，则在区间(1,1)-内（ ） A ．(0)f 是函数()f x 的极小值 B ．(0)f 是函数()f x 的极大值C ．(0)f 不是函数()f x 的极值D ．(0)f 不一定是函数()f x 的极值【答案】A【解析】由极值第一判定定理，可知(0)f 应为函数()f x 的极小值．14．设函数()y f x =在区间(0,2)内具有二阶导数，若(0,1)x ∈时，()0f x ''<，(1,2)x ∈时，()0f x ''>，则（ ）A ．(1)f 是函数()f x 的极大值B ．点()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点C ．(1)f 是函数()f x 的极小值D ．点()1,(1)f 不是曲线()y f x =的拐点【答案】B【解析】函数()f x 在(0,1)上为凸，在(1,2)上为凹，故()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点．15．已知曲线4()f x x =，则（ ） A ．在(,0)-∞内4y x =单调递减且形状为凸 B ．在(,0)-∞内4y x =单调递增且形状为凹 C ．在(0,)+∞内4y x =单调递减且形状为凸D ．在(0,)+∞内4y x =单调递增且形状为凹【答案】D【解析】34y x '=，当0x >时，0y '>；当0x <时，0y '<；212y x ''=，在(,)-∞+∞上有0y ''≥．16．已知()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(1)f x dx -=⎰（ ）A ．(1)F x C -+B ．()F xC +C ．(1)F x C --+D ．()F x C -+【答案】A【解析】由题可知()()f x dx F x C =+⎰，(1)(1)(1)(1)f x dx f x d x F x C -=--=-+⎰⎰．17．设函数20()()xt f x e t dt -=+⎰，则()f x '=（ ）A ．313x e x --+B ．2x e x --+C ．2x e x -+D ．2x e x -+【答案】C【解析】()()220()x tx f x et dt e x --''=+=+⎰．18．定积分2ax axe dx --=⎰（ ）A ．22a ae -B ．2a ae -C ．0D ．2a【答案】C【解析】令2()x f x xe -=，2()()x f x xe f x --=-=-，可知()f x 为奇函数，故20ax axe dx --=⎰．19．由曲线x y e -=与直线0x =，1x =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）A ．1e -B ．1C ．11e --D ．11e -+【答案】C【解析】由题可知所求面积1101x A e dx e --==-⎰．20．设定积分2211I x dx =⎰，221I xdx =⎰，则（ ）A ．12I I =B ．12I I >C ．12I I <D ．不能确定【答案】B【解析】当(1,2)x ∈时，2x x >，由定积分保序性可知22211x dx xdx >⎰⎰，即12I I >．21．向量=+a j k 的方向角是（ ）A ．4π，4π，2π B ．4π，2π，2πC ．4π，2π，4πD ．2π，4π，4π 【答案】D【解析】向量a 的坐标表示应为(0,1,1)，故方向余弦为cos 0α=，cosβ=，cos γ则应为α，β，γ应为2π，4π，4π．22．已知x e -是微分方程320y ay y '''++=的一个解，则常数a =（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．13-【答案】A【解析】令x y e -=，x y e -'=-，x y e -''=，代入有320x x x e ae e ----+=，由0x e -≠，则有1320a -+=，1a =．23．下列微分方程中可进行分离变量的是（ ）A ．()x y y x y e +'=+B ．x y y xye +'=C ．xy y xye '=D ．()xy y x y e '=+【答案】B【解析】对于B 项，x y y xye e '=⋅，分离变量得x y dyxe dx ye=．24．设二元函数323z x xy y =++，则2zx y∂=∂∂（ ） A ．23y B ．23x C ．2y D ．2x【答案】C【解析】223z x y x∂=+∂，22z y x y ∂=∂∂．25．用钢板做成一个表面积为254m 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为（ ）A ．318mB ．327mC ．36mD ．39m【答案】B【解析】设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则有22254xy yz xz ++=，即27xy yz xz ++=，体积V xyz =，令()(,,)27F x y z xyz xy yz xz λ=+++-，令()()()000270xyz F yz y z F xz x z F xy x y F xy yz xz λλλλ⎧=++=⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩，解得333x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由于驻点(3,3,3)唯一，实际中确有最大值，故当3x =，3y =，3z =时长方体体积最大，最大值27V =．26．设{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，则二重积分4Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．16πB ．8πC ．4πD ．3π【答案】D【解析】由二重积分的性质可知444D DDdxdy dxdy S ==⎰⎰⎰⎰，D S 为D 的面积，()2132144D S πππ=⋅-⋅=，故34434Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)xD f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，则变换积分次序后(,)Df x y d σ=⎰⎰（ ）A ．110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．10(,)ydy f x y dx ⎰⎰C ．1(,)xdy f x y dx ⎰⎰D ．10(,)xdy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】积分区域为D ：01x ≤≤，0y x ≤≤，也可表示为：01y ≤≤，1y x ≤≤，故交换积分次序后11(,)(,)yDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．设L 为连接点(0,0)与点的直线段，则曲线积分2L y ds =⎰（ ）A ．1B ．2C ．3 D【答案】B【解析】L可表示为y =，01x ≤≤，则)21122322Ly ds xdx ==⋅=⎰⎰⎰．29．下列级数发散的是（ ）A ．11n n∞=∑B ．21(1)n n ∞=-∑C ．211n n∞=∑D ．221(1)n n∞=-∑【答案】A【解析】选项A 为调和级数，可知其发散．30．已知级数1n n u ∞=∑，则下列结论正确的是（ ）A ．若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛 B ．若部分和数列{}n S 有界，则1n n u ∞=∑收敛C ．若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞= D ．若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】C【解析】lim 0n n u →∞=是1n n u ∞=∑收敛的必要条件，故应选C ，选项B 中，需要求1n n u ∞=∑为正项级数；选项D 应改为若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数3()f x x =的反函数是y =________．【解析】令3()y f x x ==，x =，故()f x 的反函数y ．32．极限1lim 21n n n →∞-=+________．【答案】12【解析】11lim 212n n n →∞-=+．33．已知函数2,0()1,0x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则点0x =是()f x 的________的间断点．【答案】可去【解析】00lim ()lim(2)2x x f x x →→=-=，(0)1f =，故0x =是()f x 的可去间断点．34．函数1()x f x e -=在点0.99x =处的近似值为________．【答案】1.01【解析】取01x =，0.01x ∆=-，有000()(0.99)()()11(0.01) 1.01f x x f f x f x x '+∆=≈+∆=-⋅-=．35．不定积分sin(1)x dx +=⎰________． 【答案】cos(1)x C -++【解析】sin(1)sin(1)(1)cos(1)x dx x d x x C +==++=-++⎰⎰．36．定积分1011dx x =+⎰________． 【答案】ln2 【解析】原式1110011(1)ln 1ln 211dx d x x x x =+=+=++⎰⎰．37．函数23z xy x y =--在点(0,1)处的全微分(0,1)dz =________．【答案】2dx dy - 【解析】2zy x x∂=-∂，2z x y y ∂=-∂，故(0,1)(0,1)(0,1)2zz dz dx dy dx dy xy∂∂=+=-∂∂．38．与向量(2,1,2)同向平行的单位向量是________． 【答案】212,,333⎛⎫⎪⎝⎭3，故与(2,1,2)同向平行的单位向量为212,,333⎛⎫⎪⎝⎭．39．微分方程20y xy '+=的通解是________． 【答案】22y x C=+或0y = 【解析】方程分离变量的2dy xdx y =-，两边积分得2112x C y =+，整理得22y x C=+，其中C 为任意常数，当0y =时，可知也为方程的解．40．幂级数13nn n x ∞=∑的收敛半径为________．【答案】3【解析】11131lim lim 313n n n n n na a ρ++→∞→∞==⋅=，故13R ρ==．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．计算极限20lim(1)xx x →-．【答案】2e -【解析】21(2)200lim(1)lim(1)xxx x x x e ⋅---→→-=-=．42．求函数y =的导数．【解析】令2cos u x =-，y ''=．43．计算不定积分2ln 1x dx x -⎰． 【答案】()22ln 14x C -+【解析】()()()()22ln 12ln 112ln 1ln 2ln 12ln 124x x dx x d x x d x C x --=-=--=+⎰⎰⎰．44．计算定积分2sin x xdx π⎰．【答案】1【解析】22220sin cos cos cos 1x xdx xd x x x xdx ππππ=-=-+=⎰⎰⎰．45．设直线230:3571x y z l x y z ++=⎧⎨++=⎩，求过点(0,1,2)A 且平行于直线l 的直线方程． 【答案】12121x y z --==- 【解析】设已知直线l 的方向向量为s ，则123(1,2,1)357==--i j ks ．由于所求直线与l 平行，故其方向向量可取(1,2,1)-，又直线过点(0,1,2)A ，故所求直线方程为12121x y z --==-．46．已知函数(,)z f x y =由方程0xz yz x y --+=所确定，求全微分dz ． 【答案】11z z dx dy x y x y--+-- 【解析】令(,,)F x y z xz yz x y =--+，则1x F z =-，1y F z =-+，z F x y =-，故1x z F z zx F x y∂-=-=∂-，1y z F z z y F x y∂-=-=∂-，因此11z z dz dx dy x y x y --=+--．47．已知{}22(,)04D x y x y =≤+≤，计算二重积分D．【答案】163π【解析】20163Dd rdr ππθ==⎰⎰．48．求全微分方程0xy y x '+-=的通解． 【答案】2x C y x=+ 【解析】方程化简为11y y x'+=，为一阶线性微分方程，由通解公式得 ()11112dx dxx x x C y e e dx C xdx C xx-⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰．49．求幂级数1(1)(1)1nnn x n ∞=--+∑的收敛区间．【答案】(0,2)【解析】令1t x =-，则级数1(1)1n nn t n ∞=-+∑为不缺项的幂级数，11lim lim 12n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，则11t -<<，即111x -<-<，02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n x n+∞=∑的和函数．【答案】()ln(1)S x x x =--【解析】1lim 11n n n ρ→∞=⋅=+，收敛半径1R =，令1111()()n nn n x x S x x xS x n n+∞∞=====∑∑，111101()1n n n n n n x S x x x n x ∞∞∞-==='⎛⎫'====⎪-⎝⎭∑∑∑，(1,1)x ∈-，所以()11()()()x S x xS x x S t dt '==⎰01ln(1)1x x dt x x t ⎛⎫==-- ⎪-⎝⎭⎰．四、应用题(每小题7分，共14分)51．求由直线1x =，x e =，0y =及曲线1y x=所围成平面图形的面积． 【答案】1 【解析】111e S dx x==⎰．52．某工厂生产计算器，若日产量为x 台的成本函数为2()7500500.02C x x x =+-，收入函数为2()800.03R x x x =-，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大？ 【答案】1500【解析】利润=收入-成本，故利润2()()()300.017500L x R x C x x x =-=--，令()0L x '=，1500x =，且(1500)0.020L ''=-<，故1500x =为()L x 的极大值，又由实际问题知，极值唯一，故1500x =为()L x 的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．五、证明题(6分)53．已知方程35430x x x +-=有一负根2x =-，证明方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．【证明】令35()43f x x x x =+-，由题可知(2)0f -=，又有(0)0f =，()f x 在[]2,0-上连续，在()2,0-上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点()2,0ξ∈-，使得24()4950f ξξξ'=+-=， 即方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．。
2016年江苏“专转本”高等数学试题及参考答案
江苏省2016年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置。
3.考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1.函数()f x 在0x x =处有定义是极限0lim ()x x f x →存在的（）A.充分条件B.必要条件C.充分析要条件D.无关条件2.设()sin f x x =，当0x +→时，下列函数中是()f x 的高阶无穷小的是（）A.tan x B.11x -- C.21sin x x D.1x e -3.设函数()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数是（）A.sin x B.sin x - C.cos x D.cos x-4.二阶常系数非齐次线性微分方程"'22x y y y xe ---=的特解*y 的正确假设形式为（）A.x Axe - B.2x Ax e- C.()x Ax B x -+ D.()x x Ax B e -+5.函数2()z x y =-，则1,0|x y dz ===（）A.22dx dy+ B.22dx dy - C.22dx dy -+ D.22dx dy --6.幂级数212n nn x n∞=∑的收敛域为（）A.11[,]22- B.11[,)22- C.11(,]22- D.11(,)22-二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.极限x x x 10)21(lim -→▲.8.已知向量(1,0,2),(4,3,2)a b ==-- ，则(2)(2)a b a b -⋅+=▲.9.函数()x f x xe =的n 阶导数()()n f x =▲.10.函数211()sin 2x f x x x+=，则()f x 的图像的水平渐近线方程为▲.11.函数2()ln x x F x d ιι=⎰，则'()F x =▲.12.无穷级数11(1)2n n n ∞=+-∑▲.（请填写收敛或发散）三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13.求极限201cos lim sin x x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.设函数()y y x =由方程xy ex y =+所确定，求dy dx .15.计算定积分51⎰.16.求不定积分2ln (1)x dx x +⎰.17.求微分方程2'2sin x y xy x +=满足条件()0y π=的解.18.求曲直线1111:131x y z l ---==和直线21:1213x l y z ιιι=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩所确定的平面方程.19.设22(,)z f x y y x =--，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.20.计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2y x =+，x轴及曲线y =所围绕成的平面闭区域.四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.证明：函数()f x x =在0x =处连续但不可导.22.证明：当12x ≥-时，不等式32213x x +≥成立.3五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23.平面区域D 由曲线y y x 222=+，x y =及y 轴所围成。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
2005年河南省专升本高等数学真题答案及解析
1河南省2005年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 1.答案：C【解析】：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.答案：D【解析】：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3.答案：B【解析】： ⇒-x e x~12~12x e x -,应选B.4.答案：B【解析】：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.答案：C【解析】：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.答案：D 【解析】：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.答案：A【解析】：对方程yx exy +=两边微分得)(dy dx eydx xdy yx +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.答案：B 【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='=''⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.答案：B【解析】：在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.211.答案：C 【解析】：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.答案：B【解析】：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.答案：B【解析】：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=,应选B. 14.答案：A【解析】：⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.答案：C 【解析】：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.答案：A【解析】：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.答案：D 【解析】：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.答案：B 【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.答案：A 【解析】：⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.答案：D【解析】：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D. 21.答案：B 【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 22.答案：C 【解析】：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.答案：B【解析】：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.答案：A325.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.答案：B【解析】：L ：,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.答案：B【解析】：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的，但∑∞=1321n n是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛，应选B. 28. 答案：C 【解析】：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n nv u+∑∞=收敛 ，应选C.29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为222C y xy x =+-，应选D. 30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为0βλ22=+，有两个复特征根i βλ±=，所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=，应选A.二、填空题（每小题2分，共30分） 1.答案：116)2(2+-=-x x x f【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f116)2(2+-=-x x x f .2.答案：1=a【解析】：因10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x .3.答案：02π12=+--y x 【解析】：2111121=+='===x x x y k ，则切线方程为)1(214π-=-x y ， 即02π12=+--y x 02π12=+--y x .44.答案：dx x xe x dy xx]1ln 1[21+-= 【解析】：dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++ .5.答案：),21(∞+ 或),21[∞+【解析】：⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.答案：),1(e【解析】：104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x,得拐点为),1(e .7.答案：271【解析】：等式x dt t f x ⎰=3)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有271)27(=f . 8.答案：45 【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f . 9.答案：0 【解析】：0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x.10.答案：C x x ++|cos |ln【解析】：⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1.11. 答案：6【解析】： 6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a ρρρρρρρρρρ .12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令y z z xy z z x F ln ln ln +-=-= ,则221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='='.)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂ ,所以)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂ .513.答案：821π- 【解析】：积分区域在极坐标系下表示为}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d .14.答案：)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n .15.答案：xe B Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为 xe B Ax x 22)(+.三、计算题（每小题5分，共40分）1．xx x x x cos sin 1lim2-+→.【解析】：x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→ xx x xx x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim 20020+=-+=→→34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x .2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求0=x dx dy . 【解析】：令u x x =+-2523,则)(u f y = , 22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy ,3.求不定积分⎰+dx xx 231.【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰C x x x ++-+=23222)1(321.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .【解析】：令t x =-1 ,则⎰⎰-=-112)()1(dt t f dx x f⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dt tt t t t⎰+--+=10)111(2ln 2ln dt t12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t .5.设),sin (22y x y e f z x += ，其中),(v u f 可微，求yz x z ∂∂∂∂,. 【解析】：令v y x u y e x=+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,x vv z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=,yvv z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=.6．求⎰⎰D dxdy y x 22，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域.【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xx ≤≤≤≤1,21.则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D z vu x xy y 图05-1xx 图05-27⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dx x x dx x x x49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . 7．求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域（考虑区间端点）.【解析】： 这是缺项的标准的幂级数，因为 221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→， 当1ρ<，即11<<-x 时，幂级数绝对收敛； 当1ρ>，即1>x 或1-<x 时，幂级数发散； 当1ρ=，即1±=x 时，若1=x 时，幂级数化为∑∞=+-012)1(n nn 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若1-=x 时，幂级数化为∑∞=++-0112)1(n n n 也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 【解析】：微分方程可化为 1cos 1222+=++'x xy x x y ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为12+=x Cy . 设非齐次线性微分方程的通解为1)(2+=x x C y ，则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ，代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.故原微分方程的通解为1sin 2++=x Cx y (C 为任意常数).四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? 【解析】：设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元,则 )2000(),200](100200050[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y )72002(1001+-='x y 均有意义,8令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时0501<-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y (元).故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.【解析】：平面图形如图05-3所示,切点)1,21(A 处的切线斜率为21='=x y k ,由x y 22=得yy 1=',故A 点处的切线斜率 1121='='===y x y y k ,从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为023=-+y x . 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy 得另一交点)3,29(-B(1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S ;(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=292329233229022290)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V xπ445]9481[π=-=. 五、证明题（6分）试证：当0>x 时，有xx x x 11ln 11<+<+. 【证明】：构造函数x x f ln )(=，它在)0(∞+，内连续， 当0>x 时，函数在区间]1,[x x +上连续，且xx f 1)(='. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+，)1ξ(+<<x x .x图05-3023=-y9而x f x 1ξ1)ξ(11<='<+,故有xx x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,xx x x 11ln 11<+<+成立.。
2016年河北省专接本高等数学(二)真题试卷(题后含答案及解析)
2016年河北省专接本高等数学（二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数的定义域为( )A．(一2，+∞)B．(4，+∞)C．(-2，4)D．(-4，4)正确答案：B解析：考查函数的定义域．解方程组即得．2．设函数可导，且，则= ( )A．1B．2C．3D．5正确答案：D解析：考查导数的定义式．3．己知，则( )A．16B．8C．4D．2正确答案：A解析：考查方阵行列式的性质．4．已知函数，则=( )A．27B．28C．D．正确答案：D解析：考查函数的高阶导数．5．一阶微分方程2xydx+x2dy=0的通解为( )A．B．C．x2y=CD．xy2=C正确答案：C解析：考查一阶线性微分方程的通解．6．曲线y=x4?5x3+18x2+2x+1的凸区间是( )A．(2，3)B．(一3，一2)C．(一∞，一2)D．(3，+∞)正确答案：A解析：考查函数曲线的凹凸性．令yn=6x2—30x+36=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：考查无穷区间上的广义积分．8．已知的一个原函数为sinx，则=( )A．xsinx+cosx+CB．xcosx+sinx+CC．xcosx?sinx+CD．xsinx?cosx+C正确答案：C解析：考查不定积分的分部积分法．9．定积分=( )A．2e2+2B．2e2—2C．6e2+2D．6e2—2正确答案：A解析：考查定积分的还原积分法及分部积分法．10．下列无穷级数中，条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：考查常数项级数的敛散性．填空题11．己知函数z=x2ey，则dz=________．正确答案：dz=2xeydx+x2eydy．解析：考查多元函数的全微分．12．极限= ________．正确答案：解析：考查洛必达法则．13．向量组α1=(1，2，0，1)，α2=(1，3，0，一1)，α3=(一1，一1，1，0)的秩为________．正确答案：3解析：考查向量组的秩．14．已知函数在定义域内连续，则a=________，b= ________．正确答案：a=3，解析：考查函数的连续性．令即得．15．级数的收敛域为________．正确答案：[—3,7）解析：考查幂级数的收敛域．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
ex 因为 y (1) = e ， e = e + C ，所以 C = 0 ，故特解为 y = . x
21 、 证 明 ： 令 f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ， x ∈ [− 1,1] ， 且 f ( −1) = 3 > 0 ， f (1) = −1 < 0 ，
f (−1) ⋅ f (1) < 0 ，
∫∫ f ( x)dσ = ∫ dx ∫
1 D
u
x
1
f ( x)dy = ∫ ( x − 1) f ( x)dx ；
1
u
（2） F ' (u ) = (u − 1) f (u ) ， F ' (2) = ( 2 − 1) f (2) = f ( 2) = 1 .
所求函数为： y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2 . 23、 （1） S =
∫
1 2 0
1 2 1 y dy = y 3 0 2 6
1
1 0
=
1 6
（2） V x = π
∫
1 π (12 − 2 x)dx = π ( x − x 2 ) 2 = 0 4
24、解：积分区域 D 为： 1 ≤ y ≤ u ， y ≤ x ≤ u （1） F (u ) =
1
=
π π
1 − ln(1 + x 2 ) 1 0 4 2 1 − ln 2 4 2
=
17、
∂z ∂2z '' '' = cos x ⋅ f 1' ， = cos x( f 12 ⋅ 2 y ) = 2 y cos xf12 ∂x ∂x∂y
1 18、 l = {5,2,1} ， B = {4,−3,0} ， AB = { ,−4,2}
2005年普通专升本高等数学真题
2005年普通高等学校选拔 优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题不得分。
1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（ ）。
A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（ ）。
A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是 （ ）。
A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。
A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（ ）。
A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （ ）。
A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（ ）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（ ）。
A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）。
A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（ ）。
05年《高等数学》试题及答案
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x解： ⇒-x e x~12~12x ex -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 得分 评卷人6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.t a b 2sin B.ta b32sin -C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2 C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaa aa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰ba dx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln-=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ） A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dyC.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θc o s 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1 解：L ：,2⎩⎨⎧==xy x x x 从0变到1 ,14222104131332===+=+⎰⎰⎰xdx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n n v都收敛解：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
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高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。
7、定积分211sin x exdx --⎰= 。
8、设函数xxx f +-=22ln )(，则(1)f ''= 。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x→+⎰。
13、已知1ln 1arctan22---=x x x y ，求'y 。
14、设函数)(x y y =是由方程22ln arctan y x xy+=所确定的隐函数，求dxdy 。
15、计算不定积分⎰++-dx x x x x)sin 1311(23。
16、计算定积分2ln 2ln 2dt ⎰。
17、求由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6,0π==x x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
18、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22,其中积分区域{}41),(22≤+≤=y xy x D 。
19、求微分方程03'4''=++y y y 满足初始条件6)0(',2)0(==y y 的特解。
20、已知xy xe xy z-+=)sin(，求全微分dz 。
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分） 21、设221)(x xex f -=，（1）求)(x f 的单调区间及极值；（2）求)(x f 的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。
22、证明：当t 0>时，111ln(1)1t t t<+<+。
23、已知2)(=πf ，且⎰=+π5sin )]('')([xdx x f x f ，求f(0)。
2005年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、D2、B3、C4、C5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6、1；7、0；8、98-9、2e 10、)(22c x e x +- 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11、解：1(22lim+-+∞→n n n n2111111111222limlim=+++-=+++-=∞→∞→nn n n n n n n n 12、解：202)1(ln limx dt t xx ⎰+→()'2'020)1(ln lim x dt t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰→ ()()021)1ln(22)1(ln 2)1(ln lim lim lim''22=++=+=+=→→→x x x x x x x x x13、解： ()'2'21ln 1(arctan '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x y ()()()232222222'22'221ln 1ln 122111221ln 1111111-=--+---=-------+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x 14、解法一：设22ln arctan),(y x xyy x F +-=，则 2222'22111),(y x xx y x y y x F x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x ++-= 2分5分5分2分2分5分2分222'221111),(yx yx x y y x F y +-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x y x +-= 故 ()(),,,''yx y x y x F y x F dx dyy x -+=-= （x ≠y ）。
解法二：方程22ln arctany x x y +=可写为 )ln(21arctan 22y x x y += 视)(x y y =，上式两边对x 求导得2222'2221'11yx yy x x y xy x y ++⋅=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+， 即2222''y x yy x y x y xy ++=+-，所以y x y x y +=-)('，推出yx y x y dx dy -+==' （x ≠y ） 15、解：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx x xx x23sin 1311c x x x x +-+-=cot 3ln 3ln 2332（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）16、解：令u e =-1'，则2212,1'uududt u e +=+=⎰-2ln 22ln 1'1dt e ⎰+=312)1(2u u u6432arctan 211231312πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=⎰u du u6分 17、解：由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6,0π==x x 所围成的平面图形如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为()⎰-=622sin cosπππdx x x Vπππππ432sin 22cos 66===⎰x xdx 5分 18、解：采用极坐标变换θθsin ,cos ==y r x ，则5分4分3分4分5分1分 3分6分 3分()⎰⎰+Ddxdy y x22ln ⎰⎰=πθ2021ln 2rdr r d()32ln 82ln 2212212-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ππr r r 19、解：方程03'4''=++y y y 的特征方程为 0342=++λλ 解出1,321-=-=λλ可知方程的通解为 x xe c e c y --+=231由上式可得 x xe c ec y ----=2313'用初始条件6)0(',2)0(==y y 代入上面两式得 ⎩⎨⎧=--=+63,22121c c c c解出6,421=-=c c 故所求的特解为x xe e y --+-=64320、解：xy xy xye e xy y xz---+=∂∂)cos( xy e x xy x yz--=∂∂2)cos( 故 dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=()⎣⎦⎣⎦dy e x xy x dx xy e xy y xy xy---+-+=2)cos(1)cos(四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）21、解：221)(x xex f -=的定义域为),(+∞-∞，2212)1()('x ex x f --=令0)('=x f ，解出驻点（即稳定点）1,121=-=x x 列表可知极小值ef 1)1(-=- 3分 5分2分 3分5分2分 4分5分2分4分极大值ef 1)1(=（2）因)(x f 在[0，2]上连续，由（1）知)(x f 在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点1=x （极大值点），因()222,61)1(,0)0(e f f f ===，且22(0)0(2)(1)f f f e =<=<= 故221)(x xe x f =在闭区间[0，2]上的最大值为ef 1)1(=，最小值为0)0(=f 22、证明：设ln,)(=x f 则[]1,,1)('+∈=t t x xx f 由拉格朗日中值定理知，存在一点()1,+∈t t ς，使)(')()1(ςf t f t f =-+，即 ς111ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛+t ，又因1111t t ς<<+，故111ln 11t t t⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ 23、解：应用分部积分法⎰+πsin ))('')((xdx x f x f ⎰⎰-+=πππcos )('sin )('sin )(xdx x f xx f xdx x f),0()(sin )(cos )(sin )(0f f xdx x f xx f xdx x f +=--=⎰⎰ππππ由题意有3)0(,2)(,5)0()(===+f f f f 所以ππ 6分5分8分 1分4分6分2分4分2006年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1、函数1)(3+=x x f 在x = 0处A. 无定义B. 不连续C. 可导D. 连续但不可导 2、设函数)(x f 在点x 0处连续，且.4)(0lim 0=-→x x x f x x 则)(0x f = A. -4 B. 0 C.41D. 4 3、设函数1(1),0,()11sin ,0,2xa x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+<⎩若)(lim 0x f x x →存在，则a =A. 23B. 121-eC. 123-e D. 214、设ln()z xy =，则dz =A.dy y dx x 11+ B. dy x dx y 11+ C. xydy dx + D. ydx xdy + 5、积分x e dx +∞-⎰A. 收敛且等于-1B. 收敛且等于0C. 收敛且等于1D. 发散 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、若直线4y =是曲线123-+=x ax y 的水平渐近线，则a = 。