2017届江西省南昌市高三联考理数试题Word版含答案
江西省南昌市第二中学2017届高三上学期第四次考试数学(理)试题Word版含答案
南昌二中2016—2017学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷 命题人： 审题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内． 1．复数1+212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．-1D ．12. 函数y ＝9－x2ln （x ＋1）的定义域( )A ．(－1，3)B ．(－1，3]C ．(－1，0)∪ (0，3)D ．(－1，0)∪ (0，3] 3．下列说法错误的是（ ）A ． “p q ∧”为真命题是“p q ∨”为真命题的充分不必要条件B ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的否命题为真命题C ．命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是“2,20x R x x ∀∈-≠”D ．“1x >”是“0x >”的充分不必要条件4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则6S =（ ） A ．632B ．31C ．33D ．365．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则221x y z x ++=+的取值范围为（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,1,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 6．已知0,0a b >>，若不等式4104m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ． 4B ．16C ． 25D ．367．已知函数()()2sin sin 31f x x x ϕ=++的图像关于()0,1对称，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 21g x x ϕ=-+的图象（ ）A ．关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到 D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为（ ）A ．124π++B ．123π++C ．83π++D ．π+4 9. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量1(sin ,sin ),(cos ,sin ),222A B C A B +==⋅=a b a b ,则tan tan A B ⋅（ ）A ．43-B ．43C ．13D ．－3410. 如图，已知,B C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中30POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH B C ⊥于H ．若记AH xAB y AC =+，则xy的取值范围是 A. 1(0,]4B. 11[,]164C. 13[,]1616D. 31[,]16411. 已知两定点)0,1(-A 和)0,1(B ，动点),(y x P 在直线:24l y x =+上移动，椭圆C 以B A ,为焦点且经过点P ，记椭圆C 的离心率为)(x e ，则函数)(x e y =的大致图象是（ ）12. 已知函数x a x x f )1(ln )(+-=，若不等式1)(2-+≤b ax x f 对于任意的非负实数a 都成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[]1,2ln 2-+ B ．[)0,+∞ C ．)21,1ee ⎡-+⎣ D ．)21,e e ⎡-++∞⎣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13. <九章算术>“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为___________升.14. A B C D ，，，四点在体积为3的球面上，且5AC BD ==， AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．15. 如图,在正方形中作如下操作,先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ,记11CDE α<=,第一步,作1ADE <的平分线交AB 于2E ,记22ADE α∠=, 第二步,作2CDE <的平分线交BC 于3E ,记33CDE α<=, 第三步,作3ADE <的平分线交AB 于4E ,记44ADE α<=, 以此类推,得数列1,23,......n αααα,若15πα=,那么数列{}n a 的通项公式为.16. 函数22()14=-+++f x x x ax ，在区间（0，2）上有两个不同的零点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b ccos )sin a c B b C -=． （I ）求角C ；（II ）若ABC ∆的面积13S a b =+=，求sin sin A B 及cos cos A B 的值．18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，112a =，1()3nn na a n N a *+=∈-.(I)求证：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ； (II)设2nnnna b a =-，求证：134ni i b =<∑.19. (本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中，底面ABC 为边长为2的正三角形,平面PBC ⊥平面ABC ,2PB PC ==,D 为AP 上一点,2AD DP =,O 为底面三角形的重心.（I ）求证:BD AC ⊥；（II ）求平面PAB 与OBD 夹角的的余弦值.20. (本小题满分12分)已知函数.1,0),)(2(log 2)(),1(log )(≠>∈+=+=a a R t t x x g x x f a a 且 （Ⅰ）若3是关于x 的方程0)()(=-x g x f 的一个解，求t 的值； （Ⅱ）当011a t <<=且时，解不等式)()(x g x f ≤； （Ⅲ）若函数12)(2)(+-+=t tx a x F x f 在区间(]1,3-上有零点，求t 的取值范围．21. (本小题满分12分)已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的极值点. （I ）求a 的取值范围；（II ）记两个极值点为21,x x ，且21x x <，当1λ≥，证明：λλ+>⋅121e x x22. (本小题满分10分)已知函数()212f x m x x a =-+--.（I ）若3,a =R x ∈∃0，使得不等式0)(0≥x f 成立，求实数m 的取值范围； （II ）当m 取第（1）问的最小值时，若()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.南昌二中2016—2017学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷参考答案1.【解析】C 因为2(2)(12)1112(12)(12)i i i i i i i ++++==+--+，其共轭复数为1i -，所以得数复数212ii+-的共轭复数的虚部是1-，故选C ． 2.【解析】D由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，9－x2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，－3≤x≤3，解得－1<x<0或0<x≤3，所求函数的定义域为(－1，0)∪ (0，3]． 3.【解析】Bp q ∨ 为真命题，则p 、q 中只要有一个命题为真命题即可，p q ∧为真命题，则需两个命题都为真命题，故A 正确；由题意可知命题“若m ＞0，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题是“若方程20x x m +-=有实根，则0m ＞”，∵方程20x x m +-=有实根，∴△=1-4×1×可知C 正确；x >0，反之不成立，故D 正确．故选B 4.【解析】A设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意知42111361125224a qa q a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⨯⎪⎩，解得11216q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以616(1)6312S a q q -==-，故选A ．5.【解析】A作出不等式组不等式的平面区域，2221x y yz x x ++==++表示的几何意义为区域内的点到点(1,0)P -的斜率k 加上2．即512z ≤≤，故选A ．6.【解析】C依题意()4144417b a m a b a b a b ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝⎭，441725b a a b ++≥，故25m ≤ 7.【解析】C 依题意有3,26ππϕϕ==，()2sin cos 1sin 21f x x x x =+=+，故()c o s 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭s i n 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故由()f x 向左移6π个单位得到. 8.【解析】C根据几何体的三视图可知，原几何体表示左边一个底面边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2的直三棱柱，右边是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，所以该几何体的表面积为83π++，故选C ．9.【解析】C21cos sin sin cos 2sin sin 022C a b A B C A B =+=⇒+= 1cos cos sin sin 2sin sin 0cos cos 3sin sin tan tan 3A B A B A B A B A B A B ⇒-++=⇒=⇒=10.【解析】B 设()cos ,sin A θθ，()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,0,sin AB AC AH θθθθθ=--=---=-因为AH =+，所以，c o s c s i ns i n s i nx x y y x y θθθθθ---=⎧⎨--=-⎩（）（）由（2）得：1y x =-，代入（1）得：1cos 2xθ+= 因为263ππθ≤≤，所以，1244x +≤≤ 又因为()211121,,2444xy x x x x ⎡+⎛⎫=-=--+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以，当12x =时，xy 取得最大值14；当24x +=时，xy 取得最小值116.所以选B. 11.【解析】A由题意得，椭圆中1c =，离心率1c e a a==，因为P 在直线2:+=x y l 上移动，所以2a PA PB =+,当x →+∞时，2a →+∞，所以0→e ，排除B 选项；当x →-∞时，2a →-∞，所以0e →，排除 C.D 选项，过A 作直线2:+=x y l 的对称点C ，则此时BC PB PC PB PA a =+≤+=2,此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选A ．12.【解析】B 不等式1)(2-+≤b ax x f 对于任意的非负实数a 都成立，即1)1(ln 2++--≥x a ax x b 对于任意的非负实数a 都成立，令0,1ln )()(2≥-+++-=a x x a x x a g ，因为0)(2<+-x x ，所以)(a g 在),0[+∞上递减，所以x x g a g -+==1ln )0()(max ，所以问题转化为x x b -+≥1ln 恒成立，令,1ln )(x x x h -+=则11)('-=xx h ，所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以,0)1()(max ==h x h 所以0≥b . 选B . 13.6766【解析】根据题意,自上而下,设每一节竹子的容积为数列{a n },公差d >0,且a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,所以1397,6666a d ==,所以第5节的容积为5167466a a d =+=升. 14.20【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．15.【解析】62211-<<-a由已知得213243111,,222222πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,依次类推,则1122n n παα+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即11626n n ππαα+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 即数列6n a π⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1630ππα-=为首项,12-为公比的等比数列, 116302n n ππα-⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭,116302n n ππα-⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭故答案为116302n n ππα-⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.16.【解析】62211-<<-a 由0)(=x f 可得：04122=+++-ax x x ，参变分离得：x x x a 4122++-=-，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤<=++-=21,3210,541)(222x xx x xx x x x h . 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤<=21),23(210,5)(x x x x x x h 与直线a y -=有两个交点， 画图像可得：62211-<<-a . 17.【解析】（1]cos )sin sin()sin cos sin sin a c B b C B C C B B C -=+-=cos sin sin B C B C =，而在ABC ∆中，sin 0B ≠，∴0tan 60C C =⇒=， （2）01sin 60402S ab ab ==⇒=， 由余弦定理有：222()22cos ()349c a b ab ab C a b ab =+--=+-=， ∴7c =，由正弦定理有：20230sin sin sin 6049ab A B c ==3013011cos cos cos()sin sin cos .4924998A B A B A B C =++=-+=-+= 18.【解析】（1）由已知得：1131n n a a +=-；∴111113()22n n a a +-=-， ∴11123112n n a a +-=-，所以112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为111322a -=，公比为3的等比数列， ∴111333222n n n a --=⋅=，∴231n n a =+. (2)23n n n n na n b a ==-， 令212333n n n S =++⋅⋅⋅+，∴2311123333n n n S +=++⋅⋅⋅+， 相减得23113211111233333323n n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅+-=-， ∴136934434n n n S ++=-<⨯. 19.【解析】(1)如图所示，连接AO 交BC 于点E ,连接PE .∵O 为正三角形ABC 的重心,∴2AO OE =, 且E 为BC 中点.又2AD DP =, ∴DO ∥PE ,PB PC =,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥,又平面PBC ⊥平面ABC , ⋂=PBC ABC BC 平面平面,∴PE ⊥平面ABC , ∴DO ⊥平面ABC , ⊂AC ABC 平面，∴DO AC ⊥ 又AC BO ⊥,DO BO O =,∴AC ⊥平面DOB ,∴AC BD ⊥(2)方法一：由(1)知,,,EA EB EP 两两互相垂直,且E 为BC 中点,所以分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.(0,1,0),(0,1,0)A B P C -∴(3,1,0),(3,0,AB AP =-=-∴设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =,则3030n AB y n AP ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =,则1z =，y =所以平面PAB 的一个法向量(1,3,1)n = 由(1)知AC ⊥平面DBO ,∴()1,0AC =-为平面DBO 的法向量, ∴2cos ,52n ACn AC nAC ⋅-<>===⋅⋅. 故平面PAB 与OBD . 方法二：延长BO 交AC 于M ，过M 作MN ⊥BD 于N ，连结AN由(1)知AC ⊥平面DBO ，∴BD AM ⊥又BD MN ⊥，∴⊥BD 平面AMN ，∴BD AN ⊥ ∴ANM ∠为二面角O BD A --的平面角3=BM ，332=BO ，33232==PE DO ∴36222=+=DO BO BD 又DO BM MN BD ⋅=⋅，∴26=⋅=BD DO BM MN ∴在AMN Rt ∆中，36tan ==∠MN AM ANM∴515cos =∠ANM 故平面PAB 与OBD. 20.【解析】（Ⅰ）∵1是方程()()0f x g x -=的解，∴2log 4log (6)a a t =+,∴2(6)4t +=，又∵60t +>，∴62t += ， ∴4t =-．（Ⅱ）∵1t =时，2log (1)log (21)a a x x +≤+， 又∵01a <<， ∴ 21(21)210x x x ⎧+≥+⎨+>⎩， ∴102x -<≤ ∴解集为：1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭； （Ⅲ） 解法一：∵2()22F x tx x t =+-+由()0F x =得：22(2x t x x +=-≠-且13)x -<≤， ∴t =2)2(4)2(22++-++-x x x 设2U x =+ (15U <≤且2U ≠±，则212424U t U U U U =-=--+-+， 令)(U ϕ=UU 2+ ∵当21<<U 时，)(U ϕ是减函数，5U <<时，)(U ϕ是增函数，且27(1)3,(5)5φφφ===．∴27()5U φ≤≤且)(U ϕ 4≠． ∴75-≤ 4-U U 2+ 0<或2044U U <-+≤-t的取值范围为：5274t t ≤-≥或． 解法二：若0t =,则()2F x x =+在]3,1(-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：方程()0F x =在(1,3]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：t =422± 又1212x x t ==-(1,3]∈-， ∴t =422+； ()F x 在(1,3]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有(1)(3)0F F -<， 解得：57t <-或1t >，又经检验：57t =-或1t =时，()F x 在(1,3]-上都有零点； ∴57t ≤-或1t ≥． 方程()0F x =在(1,3]-上有两个相异实根，则有：001132(1)0(3)0t t F F >⎧⎪∆>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪->⎪>⎩ 或001132(1)0(3)0t t F F <⎧⎪∆>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<⎪<⎩解得：214t +<< 综合①②③可知：t 的取值范围为57t ≤-或t ≥ 21.【解析】（1）依题意，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，即方程0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同的解，也即xx a ln =在),0(+∞上有两个不同的解， 令x x x g ln )(=，2ln 1)(xx x g -='，所以当e x <<0时，0)(>'x g ，当e x >时，0)(<'x g ， 所以)(x g 在),0(e 上单增，在),(+∞e 上单减，所以e e g x g 1)()(max ==，又0)1(=g ， 当1>x 时0)(>x g ，10<<x 时，0)(<x g ， 所以ea 10<<. (2)证明：欲证λλ+>⋅121e x x 等价于要证：21ln ln 1x x λλ+<+，因为21,x x 为方程0ln =-ax x 的两根，11ln ax x =，22ln ax x =，所以)(ln ln 1212121x x a ax ax x x λλλλ+=+=+<+，因为120,0x x λ≥<<， 所以原式等价于要证明：211x x a λλ++>.又11ln ax x =，22ln ax x =，作差得21212121ln)(ln x x x x a x x a x x -=⇒-=， 所以原式等价于要证明：212121212121))(1(ln 1lnx x x x x x x x x x x x λλλλ+-+<⇔++>-， 令)1,0(,21∈=t x x t ，上式等价于要证：λλ+-+<t t t )1)(1(ln ，)1,0(∈t ， 令λλ+-+-=t t t t h )1)(1(ln )(，所以22)())(1()(λλ+--='t t t t t h ， 当1≥λ时，0)(>'t h ，所以)(t h 在)1,0(上单增，因此0)1()(=<h t h ， ∴λλ+-+<t t t )1)(1(ln 在)1,0(∈t 上恒成立，所以原不等式成立。
江西省南昌市2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
江西省南昌市2017届高三第一次模拟数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{lg }A x y x ==，集合{1}B y y ==，那么()U A C B =（ ）A ．φB ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞ 2.若复数321z i=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i3.已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （1,2,3,i =…，n ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为^0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(,)x yC ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg . 5.若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．136.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．2log 101-B ．22log 31-C ．92D ．6 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，若()1f α=，则3()2f πα+=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．28.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则cos AOB ∠=（ ）A ．10 B ．10- C ．910 D ．910-9.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.A ．28B ．32C ．56D ．7010.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323 B ．643C ．16D ．32 11.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[1,2]x ∈时，()ln 1f x x x =-+，若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 21ln 2(,)86--⋃ln 21ln 21(,)68-- B ．ln 21ln 21(,)68-- C ．1ln 21ln 2(,)86-- D ．1ln 2ln 21(,)86-- 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在多项式65(12)(1)x y ++的展开式中，3xy 项的系数为 ．14.已知单位向量12,e e 的夹角为3π，122a e e =-，则a 在1e 上的投影是 ．15.如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．16.已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X 元，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，PAD ∆为正三角形.（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为12,A A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，点(4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A M 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21. 已知函数2()(24)(2)x f x x e a x =-++（0,x a R >∈,e 是自然对数的底数）. （1）若()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）当1(0,)2a ∈时，证明：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈.（1）若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．120; 14. 32; 15. (3)π; 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =． ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=-- ． 18.（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为 (0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）．（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=221233141410827(20000)()()()()105105500125P X C C ==⨯⨯+⨯⨯==31132111449(30000)()10101051000P X C C ==+⨯⨯⨯⨯=222233111427(40000)()()10101051000P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=311(60000)()101000P X ===． ∴ X 的分布列为101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 9000=（元）．19.（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：有1,AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件2AD D C BC ===，则1AE DE ==，PE =BD = 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E，B，P ．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在Rt CDF ∆中，有CF =，1DF =，∴(C -．（另解:可不做辅助线，利用2AB DC =求点C 坐标）∴(1,CD =，(1,0,PD =- ，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z =则11111100n CD x n PD x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =11y =，11z =-， ∴面PDC的法向量1,1)n =-．同理有(0,0,PE =，(PB =- ，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z =则22222200n PE n PB x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE的法向量2n =．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴12cos cos ,n n θ=<>==． 即平面PEB 与平面PDC． 20.（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-= 所以椭圆C 的方程为22143y x +=． （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点N 8(5，则联立直线120A M l y -+和直线220A N l y +-可得点G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= 将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上． 方法二：设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----， 整理得：121225()80x x x x -++= 又1,,A M G112y x =+ ①又2,,A N222y x =- ② 将①与②两式相除得： 222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++， 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y . 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则212232k x x +=，21226412k x x -=，12||x x -==由1,,A M G 112yx =+ ①由2,,A N 222y x =- ② ①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+ 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上． 21.（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++， 依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(22)22x x e a x -≥-+恒成立，记(22)()2xx e g x x -=+，则22(2)(22)'()(2)x x xe x x e g x x +--==+22(222)0(2)x x x e x ++>+， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=-，所以21a -≤-，即12a ≥； （Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数， 又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t = 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2min()()(24)(2)tf x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02tt e f t a t -=⇒=-+∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-．记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t th t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --． 22.（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y xx a y ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==， 又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意． 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136a =或94． 23.（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤．而由绝对值的几何意义知||1|1|22a ax x -+-≥-，------- 2分由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤．∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a< ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．。
【全国市级联考】江西省南昌市2017届高三第二次模拟考试理数(解析版)
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
, 则错误！未找到引用源。
（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选D.2. 若错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为虚数单位，错误！未找到引用源。
），则错误！未找到引用源。
等于（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A3. 已知随机变量错误！未找到引用源。
服从正态分布错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若错误！未找到引用源。
，函数的对称轴是错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，故选B.4. 已知函数错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上可导，则“错误！未找到引用源。
”是“错误！未找到引用源。
为函数错误！未找到引用源。
的极值”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若错误！未找到引用源。
，但错误！未找到引用源。
两侧没有变号，也不是极值点，错误！未找到引用源。
也不是函数错误！未找到引用源。
的极值，反过来，若错误！未找到引用源。
是函数错误！未找到引用源。
的极值，那错误！未找到引用源。
就是函数的极值点，即错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
2017届高三联考数学理试题(含答案)word版
江西省丰、樟、高、宜四市2017届高三联考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．82．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差，则87109a a a a ++= （ ） A ．21+B ．21-C ．223+D ．223- 3．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C．D4．已知数列}{n a 的通项公式是22++=kn n a n ,若对于*N n ∈，都有n n a a >+1成立，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．0>k B ．1->k C ．2->k D ．3->k5．如图在棱长均为2的正四棱锥ABCD P -中，点E 为PC 中点，则下列命题正确的是（ ） A ．BE 平行面PAD ，且直线BE 到面PADB ．BE 平行面PAD ，且直线BE 到面PADC ．BE 不平行面PAD ，且BE 与平面PAD 所成角大于6πD ．BE 不平行面PAD ，且BE 与面PAD 所成角小于6π 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y 的图像如下图，则（ ）A ．6,21,21πϕω===kB ．3,21,21πϕω===kC ．6,2,21πϕω==-=kD ．3,2,2πϕω==-=k7．已知a =++-)12(log )122(log 27，则=-++)12(log )122(log 27（ ）A ．a +1B ．a -1C ．aD ．a -8．在ABC ∆中，3,2AB BC AC ===，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为（ ）A ．2B ．73C ．3D ．59．已知函数20114321)(2011432x x x x x x f ++-+-+= ，试问函数()f x 在其定义域内有多少个零点？（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知数列}{n a 满足:311=a ，n n n a a a +=+21，用][x 表示不超过x 的最大整数，则 ]111111[201121++++++a a a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．直线a y 2=与函数1-=xa y （0>a ，且1≠a ）的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ．12．设R a ∈，若函数R x ax e y x ∈+=,有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 ． 13．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C baa b c o s 6=+，则A C t a n t a n +BCtan tan = ． 14． 已知图中（1）、（2）、（3）分别是一个立体模型的正视图、左视图、俯视图，这个立体模型由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值为 ． （1）15．下列给出的四个命题中：①在ABC ∆中，B A ∠<∠的充要条件是B A sin sin <；②在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数2xy =的图像只有一个公共点； ③函数)1(x f y +=的图像与函数)1(x f y -=的图像关于直线1=x 对称；④在实数数列{}n a 中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121-=-=-==-n n a a a a a a a 则4321a a a a +++的最大值为2．其中为真命题的是_____________________．（写出所有真命题的序号）． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知ABC ∆的周长为)12(4+，且A C B sin 2sin sin =+．（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=∆，求A cos 的值． 17．（本题满分12分）已知函数.3cos )4cos()4sin(32sin )(22---++=x x x x x f ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数)(x f 在]3625,12[ππ-上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值．18．（本题满分12分）如图所示的几何体是由以正三角形ABC 为底面的直棱柱被平面DEF 所截而得． a AF CE BD AB ====,3,1,2，O 为AB 的中点．（1）当4=a 时，求平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值； （2）当a 为何值时，在棱DE 上存在点P ，使⊥CP 平面DEF ？19．（本题满分12分）在数列{}n a 中，10a =，13n n n a a +=-+，其中1,2,3n = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求1nn a a +的最大值．OPFEDCA20．（本小题满分13分）已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数． （1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a的取值范围．21．（本小题满分14分）函数)0(1)(>+=x xx x f ，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，)(1n n a f a =+，函数)(x f y =的图像在点)))((,(*N n n f n ∈处的切线在y 轴上的截距为n b ．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）若数列2{}n n n b a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小,求λ的取值范围； （3）若函数x x x g -=1)(，令函数,10,11)]()([)(22<<+-⋅+=x xx x g x f x h 数列{}n x 满足:10,211<<=n x x 且)(1n n x h x =+其中n N *∈． 证明:2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++…．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCADDABDBB二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．210<<a 12．1-<a 13．4 14． 6或7 15．①④ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）解 （1）根据正弦定理，A C B sin 2sin sin =+可化为a c b 2=+． ………3分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ac b c b a 2)12(4，解得4=a ． ………6分（2）A S ABC sin 3=∆ ，A A bc sin 3sin 21=∴6=∴bc ． ………9分 又由（1）可知，24=+c b ， 由余弦定理得∴3122)(2cos 22222=--+=-+=bc a bc c b bc a c b A ． ………12分 17．（本题满分12分）解：（1）3cos )4cos()4sin(32sin )(22---++=x x x x x f ππ32cos )4(sin 322--+=x x πx x 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=x …………3分所以ππ==22T …………4分 由)(2326222Z k k x k ∈+≤-≤+πππππ得 )(653Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以函数)(x f 的最小正周期为)](65,3[,Z k k k ∈++πππππ单调递减区间为………6分 （2）由（1）有).62sin(2)(π-=x x f因为],3625,12[ππ-∈x 所以]911,3[62πππ-∈-x …………8分y因为.911sin 34sin )3sin(πππ<=-所以当)(,3;3)(,12x f x x f x 函数时当取得最小值函数时ππ=--=取得最大值2…………12分18． （本题满分12分）（1）分别取AB 、DF 的中点O 、G ，连接OC 、OG ．以直线OB 、OC 、OG 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，4==a AF ，则D 、E 、F 的坐标分别为D （1，0，1）、E （0，3，3）、F （-1，0，4），∴DE =（-1，3，2），DF =（-2，0，3） 设平面DEF 的法向量),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=++-=⋅032023z x z y x 得 z y z x 63,23-==，可取)1,63,23(-= …… 3分 平面ABC 的法向量可以取)1,0,0(=m∴10301121491=++==…… 5分 ∴平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为1030． ……6分 （2）在（1）的坐标系中，a AF =，=（-1，3，2），=（-2，0，a -1）． 因P 在DE 上，设DE DP λ=，则)12,3,1()2,3,1()1,0,1(+-=-+=+=λλλλ∴)12),1(3,1()0,3,0()12,3,1(+--=-+-=-=λλλλλλOC OP CP 于是⊥CP 平面DEF 的充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=⋅=++-+-=⋅0)12)(1()1(20)12(2)1(31λλλλλa DF CP由此解得，2,41==a λ 即当a =2时，在DE 上存在靠近D 的第一个四等分点P ，使⊥CP 平面DEF ． ……12分19．（本题满分12分）解（1）11113(3)44n n n n a a ++-⋅=--⋅ ………2分从而数列1{3}4n n a -⋅是首项为13344a -=-，公比为1-的等比数列，∴133(1)44n n n a =⋅+-⋅． ………5分（2）当n 为偶数时，11111333314441333333344n n n n n n n a a ++++⋅++===+--⋅- ∴1n n a a +随n 增大而减小，即当n 为偶数时21312n n a a a a +=≤ ………8分当n 为奇数时，11111333314441333333344n n n n n n n a a ++++⋅--===-++⋅+ ∴1n n a a +随n 增大而增大，且11132n n a a +<< ………11分综上，1n n a a +最大值为12……12分 20． （本小题满分13分）解：⑴ 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2221(2)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++，…2分 ∵92a =，令'()0f x >，得2x >，或12x <， ∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2， (2,)+∞。
江西省2017届高三7月联考理数试题 Word版(含答案)
数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数212ii+-的共轭复数为( ) A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给定函数①12y x =②()12log 1y x =+③1y x =-④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．,a b 是两个向量，1,2==a b 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A ．22cmB 3C ．3D ．33cm6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且123410,26a a a a +=+=，则过点(),n P n a 和()()*21,n Q n a n N ++∈的直线的一个方向向向量是( )A ．1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,2--C ．12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．B ．0C ．D ．8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种9．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为( )A． B ． C．D．11．设,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（其中0,0a b >>）的最大值为3，则12a b+的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．点(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF = ，则双曲线的( )A．BC．D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是______．14．已知60,a x⎫>-⎪⎭展开式的常数项为15，则(2a ax x dx -+=⎰______． 15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．16．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4b c ==，求ABC ∆的外接圆的面积．18．（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090 分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095 分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将9095 分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()Eξ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且AC BD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，三棱锥E ACD -D AE C --的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点为()2,0F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且MOF ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分） 设函数()()()ln 1,2ab x f x g x x a b x ==-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()40f x x x m m m=-++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；（Ⅱ）若()25f >，求m 的取值范围．江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题参考答案1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC 13．()1,3- 14．232π+ 15．41π- 16．10,2⎛⎫⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）∵22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=，∴222sinsin sin sin B C A B C +-=由正弦定理得222bc a +-=由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==， 又∵0A π<<，∴6A π=………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵2222cos 316247a b c bc A =+-=+-=，∴a =由正弦定理得2sin 2a R A===18．解：（Ⅰ）8090 分数段的毕业生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数21600.35N == ()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，所以9095 分数段内的人数600.16n =⨯=．………………………………………………………………4分（Ⅱ）9095 分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生6x -名．设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，则()2626315xC P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人，女生4人．………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．当0ξ=时，()3436105C P C ξ===；当1ξ=时，()122436315C C P C ξ===； 当2ξ=时，()212436125C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2()P k ξ=15 35 15所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分19．解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB 平面AEC ．……………………………………………5分（Ⅱ）因为在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，所以222AP AD PD +=，所以90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在平行四边形ABCD 中，AC BD =，所以ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 设()0AB mm =>，三棱锥E ACD -的体积11132V m =⨯⨯⨯=3m AB ==．则()()()()0,0,0,,,A D E AE =，设()3,0,0B，则()()3,,3,C AC =．设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量， 则110,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111130,0,x z ⎧+=⎪+=可取1=-⎝n 又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，由题设1212121cos ,2⋅===n n n n n n ， 即二面角D AE C --的大小是60︒．…………………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由MOF ∆是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===，故椭圆方程为22184x y +=．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±． 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=． 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++．由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=．所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,,Ax y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-，此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由()ln ab xf x x=，得()()21ln ab x f x x -'=，……………………………………………1分由题意得()1f ab ae '==，……………………………………………………………………………………2分∵0a ≠，∴b e =；……………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x--'=，………………………………………………………………………………………5分 ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e <<， 此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增， ∵()()2211ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需()()22221221111ln 022e e e a a e h ae e ee e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即()221221e a e e -≤+，……………………7分 ②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x 在(),a e 上单调递减，在1,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增． 此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>；直线l 的普通方程为20x y --=．……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得(()()224840t a a -+++=*()840a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根． 则1212,,PM t PN t MN t t ===-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得(()121224840t t a t t a +=+=+>，则有()()24540a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．………………………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由0m >，有()4444f x x x m x x m m m m m ⎛⎫=-++≥--++=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当4m m=，即2m =时取“=”．所以()4f x ≥．…………………………………………………4分（Ⅱ）()4222f m m=-++．当42m <，即2m >时，()424f m m =-+，由()25f >，得m > 当42m ≥，即02m <≤时，()42f m m=+，由()25f >，得01m <<． 综上，m 的取值范围是()0,1⎫+∞⎪⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
江西省重点中学2017届高三第二次联考数学试题(理)含答案
江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数()2211i i+++的共轭复数的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．已知集合{}{}24,13M x x N x x =>=<<，则R N C M ⋂=（ ） A ．{}21x x -≤< B ．{}12x x <≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}2x x < 3．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ⋂是假命题，则q p ,都是假命题；②命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”； ③若1:1,:1p x q x≤<，则p ⌝是q 的充分不必要条件． ④设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若()()11P X C P X C >+=>-，则3=C ． A ．1B ．2C ．3D ．44．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．5πC ．10πD ．20π5．“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如下框图中若输入的a 、b 分别为198、90，则输出的i 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过D M C ,,三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()cos 3g x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只将()f x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位8．如果实数y x ,满足关系10200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，又273x y c x +-≥-恒成立，则c 的取值范围为（ ）A ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝B ．](,3-∞C ．)9,5⎡+∞⎢⎣D ．[)3,+∞9．将E D C B A ,,,,这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有（ ） A ．18B ．20C ．21D ．22 10．若非零向量,a b的夹角为锐角θ，且c o s a b θ= ，则称a 被b “同余”．已知b 被a “同余”，则a b - 在a上的投影是（ ）A ．22a ba-B ．222a ba-C ．22b aa -D ．22a b b-11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，B A ，分别为左、右顶点，过点F 做x 轴的垂线交双曲线于点Q P 、，连结PB 交y 轴于点E ，连接AE QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率（ ）A ．2B ．52C ．3D ．7212．已知函数()()()23221,2log 2log 4x x f x x g x t =+=-+-，若函数()()()1F x f g x =-在区间⎡⎣上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围（ ）A ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数()41,05log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩则()3f f -=⎡⎤⎣⎦ ．14．在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 项的系数为 ．15．已知ABC ∆中，AC AB =，120BAC ∠= ，4=BC ，若点P 是边BC 上的动点，且P到AB ，AC 距离分别为n m ,，则41m n+的最小值为 ． 16．已知数列{}n a 中，设()111,31n n a a a n N ++==+∈，若()2312n n n n nb a -=⋅-⋅，n T 是{}n b 的前n 项和，若不等式122n n n T n λ-<+对一切的n N +∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设锐角三角形ABC 的内角C B,A,的对边分别为c b,a,，222=+b a c ． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．18．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间50分钟到100钟的n 人进行统计，按照租车时间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在[)50,60，[)90,100的数据）．（1）求n 的频率分布直方图中的y x ,；（2）从租用时间在80分钟以上（含80分钟）的人数中随机抽取4人，设随机变量X 表示所抽取的4人租用时间在[)80,90内的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望． 19．如图，在正四面体ABCD 中，O 是BCD ∆的中心，F E ，分别是AC AB ，上的动点，且(),1BE BA CF CA λλ==- ．（1）若OE 平面ACD ，求实数λ的值；（2）若12λ=，正四面体ABCD 的棱长为DEF 和平面BCD 所成的角余弦值．20．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>右顶点()2,0A ，离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．21．设常数()20,0,ln x a f x a x xλλ>>=-+．（1）若()f x 在x λ=处取得极小值为0，求λ和a 的值；（2）对于任意给定的正实数λ、a ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平角直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线M 交于C B A ,,三点（异于O 点）． （1）求证：OB OC OA +；（2）当12πϕ=时，直线l 经过C B ,两点，求m 与α的值23．选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式26ax -<的解集为4833x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（1）求a 的值；（2）若1=b江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理科）试卷答案一、选择题1-5:CBCBD 6-10: DAABA 11、12：CC12.答案：C 解析 因为函数1))(()(-=x g f x F 的零点为方程1)4log 2)(log 2(222=-+-t x x f 的根，易知1)0(=f ，所以)0(4log 2)log 2(222f t x x f =-+-，故04log 2)(log 2222=-+-t x x .令t m 2log =，则]23,0[∈m ，问题转化为04222=-+-t m m 在]23,0[∈m 上有两个不同的实解，即4222++-=m m t 在]23,0[∈m 上有两个不同的实解.令4222++-=m m y )230(≤≤m ，则)230(29)21(22≤≤+--=m m y ，29max =y ，结合图像可知)29,4[∈t . 二、填空题13.23-14.120 15.2916.)1,(-∞ 三、解答题17．(1)由ac c a b 3222-+=,根据余弦定理得23cos =B . 又B 为锐角三角形ABC ∆的内角，得6π=B .(2)由（1）知)3sin(3)65sin(cos sin cos ππ+=-+=+A A A C A ， 由ABC ∆为锐角三角形且6π=B 知26ππ>+A ， 故23ππ<<A .∴65332πππ<+<A ，∴23)3sin(21<+<πA ，∴23)3sin(323<+<πA ， 故C A sin cos +的取值范围为)23,23(. 18.解：(1)由题意可知，样本容量004.010502,5010016.08=⨯==⨯=y n ,030.0040.0016.0010.0004.0100.0=----=z .(2)由题意可知，租用时间在)90,80[内的人数为5，租用时间在]100,90[内的人数为2，共7人.抽取的4人中租用时间在)90,80[内的人数X 的可能取值为4,3,2，则723510)2(472225====C C C X P ，743520)3(471235====C C C X P ，71355)4(470245====C C C X P .故720714743722)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19.解：（1）取CD 的中点G ，连接AG BG ，,∵O 是正BCD ∆的中心 ∴点O 在BG 上，且2=OGBO， ∵当AG OE ∥时，∥OE 平面ACD , ∴2==OG BO EA BE ∴BA BE 32=,即32=,∴32=λ. （2）当21=λ时，点F E ，分别是AC AB ，的中点. 建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，依题设2=OB ，则)0,1,3(),0,1,3(),22,0,0(),0,2,0(--D C A B ,)2,21,23(),2,1,0(F E -, 则)2,2,3()2,21,23(-==，, 设平面DEF 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥DEn ,∴⎩⎨⎧=+-=+0223033z y x y x ,不妨令1=z ，则)1,52,56(-=， 又平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=.设所求二面角为θ，则33335cos ==θ. 20. 解：⑴依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==,,23,2222c b a a ca 解得⎩⎨⎧==12b a ，则椭圆C 的方程为1422=+y x .⑵设)0,0)(,(0000>>y x y x P ，则442020=+y x ，)2(2:00--=x x y y PA ，令0=x 得2200--=x y y M ，则2211100---=-==x y y y -BM M M , 11:00+-=x x y y PB ，令0=y 得100--=y x x N ，则121200---=-==y x x x -AN N N , ∴BM AN OB OM AN S S PAB PMN ⋅⋅=-⋅⋅=-∆∆21)(21 222884421224844421)221)(12(21000000000000000020200000=+--+--⋅=+--+--++⋅=------=y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y y x .21.xa x x x x a x x x x x f -++=-+-+='2222)(2)()(2)(λλλλ2223222)(2)2()()()2(x x a ax x a x x x x a x x +---+=++-+=λλλλλλλ， ∵0243)(323=='λλλλa -f ，∴λ43=a . 将λ43=a 代入得 22222223)(4)394)(()(43654)(x x x x x x x x x x f +++-=+--+='λλλλλλλλλ 当),0(λ∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 递减；),(+∞∈λx 时,0)(>'x f ,)(x f 递增；故当λ=x 时,)(x f 取极小值λλλλln 4321)(-=f , 令0)(=λf ,解得323243,e a e ==λ.(Ⅱ)因为x a x x a xx x a x x x f ln ln ln )(22-->-++-=-+=λλλλλ, 记x a x x h ln )(--=λ,故只需证明:存在实数0x ,当0x x >时,0)(>x h , [方法1] )ln (ln )(x x a x a x x a x x h -+--=--=λλ, 设0,ln >-=x x x y ,则xx x xy 22121-=-='. 易知当4=x 时,02ln 22min >-=y ,故0ln >-=x x y .又由0≥--λx a x 解得:242λ++≥a a x ,即22)24(λ++≥a a x取220)24(λ++=a a x ,则当0x x >时, 恒有0)(>x h .即当0x x >时, 恒有0)(>x f 成立.[方法2] 由x a x x h ln )(--=λ,得:xa x x a x h -=-='1)(, 故)(x h 是区间),(+∞a 上的增函数.令2,,2≥∈=n N n x n ,则2ln 2)2()(an h x h n n --==λ,因为2212)1(1)11(2n n n n nn >-++≥+=, 故有λλ-->--==n a n an h x h nn )2ln (212ln 2)2()(2, 令0)2ln (212≥--λn a n ,解得: 28)4ln (2ln 22λ++≥a a n , 设0n 是满足上述条件的最小正整数,取020n x =,则当0x x >时, 恒有0)(>x h , 即0)(>x f 成立.22.（Ⅰ）由已知：ϕπϕπϕcos 4),4cos(4),4cos(4=-=+=OA OC OB ,∴OA co OC OB 24cos 8)4cos(4)4cos(4==-++=+πϕπϕπϕ.（Ⅱ）当12πϕ=时，点C B,的极角分别为64,34ππϕππϕ-=-=+，代入曲线M 的方程得点C B ，的极径分别为：32)6cos(4,23cos4=-===πρπρC B ,∴点C B ，的直角坐标为：)3,3(),3,1(-C B ，则直线l 的斜率为3-=k ， 方程为0323:=-+y x l ，与x 轴交与点)0,2(；由⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x l ：，知α为其倾斜角，直线过点)0,(m ， ∴32,2πα==m . 23. (1) 依题意知34-和38是方程62=-ax 的两个根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--62386234a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==-==23363a a a a 或或，∴3=a . （2）62)4)(11(3)4(33123=+-+≤+-=++-t t t t t t 当且仅当t t =-4，即2=t 时等号成立.。
江西省2017届高三第一次联考测试理数试题 Word版含解
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点：集合的运算.2.函数()2log 1y x =+的定义域是（ ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤，所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3. 下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定； ②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题.4. 幂函数()()226844mm f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时，函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意，故选B.考点：幂函数的定义与性质.5. 已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1.分段函数的表示；2.函数的奇偶性.6. 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈ C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈【答案】A 【解析】考点：1.正方体的性质；2.求函数解析式.7. 若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．()[),42,-∞-+∞D ．[)4,4-【答案】D 【解析】试题分析：函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数等价于2()3h x x ax a =--在区间(],2-∞-单调递减且(2)0h >，所以22(2)40ah a ⎧≥-⎪⎨⎪-=->⎩，解得44a -<≤，故选D.考点：1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性.8. 函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象；3.函数的极限.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、图象特征，属中题；在研究函数与函数图象的对应关系时，应从函数的定义域、奇偶性、单调性、最值、渐近线等性质去考查，把握函数的整体趋势，才能准确作图或找到函数对应的图象.如本题就是先考查函数的奇偶性，再研究在0x →与x →∞时趋势选出正确答案的.9. 函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(]0,1C ．(]1,0-D ．()1,-+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +等价于函数()x h x e x a =-+的最小值可以为1，()1x h x e '=-，当0x <时，()0h x '<，函数()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1h x h a ==+，所以011a <+≤，即10a -<≤，故选C.考点：1.对数函数的性质；2.导数与函数的单调性. 10. 已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b+的最小值为（ ）A ．．．92 D ．92+【答案】C【解析】考点：1.导数运算；2.定积分运算；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查导数运算、积分运算及基本不等式的应用，属中档题；导数与基本不等式是高考的重点与难点，本题将两者结全在一起，并与积分运算交汇，考查学生运算能力的同时，体现了学生综合应用数学知识的能力.11. 已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，11()()33f f -=，()1f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -+=+，即()(2)f x f x =-，所以()()(2)f x f x f x =-=-，()f x 是以2为周期的周期函数，所以51()()22f f =，又[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以11()()32f f >，即1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 考点：1.指数函数的性质；2.函数的奇偶性与周期性.【名师点睛】本题考查指数函数性质以及函数的奇偶性与周期性，属中档题；函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性是函数的五大性质，是高考考查的重点内容,在研究任意一个函数时，都要讨论这些性质，便于把握函数的整体性质.12. 如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数： ①31y x x =-++；②()32s in c o s y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【答案】A 【解析】考点：1.新定义问题；2.导数与函数的单调性.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件是____________． 【答案】3m > 【解析】试题分析：令2()1f x x mx m =-+-，则“方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2”(2)303f m m ⇔=-<⇔>，故应填3m >. 考点：函数与方程.14. 设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．【答案】10,(1,)2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【解析】考点：1.新定义问题；2.集合的运算.15. 若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】 试题分析：当12x ≤时，321()22x f x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，又因为函数的值域为R ，所以当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数，由21log log 22a a a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭得12a ≤<，所以应填⎫⎪⎪⎣⎭. 考点：1.分段函数的表示；2.指数函数与对数函数的性质.【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为R ，即12x ≤与12x >时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数转化为21log log 22a a a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，考查学生的理解能力，体现子数学的化归与转化思想.16. 给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．【答案】②④ 【解析】 试题分析：离d = 2222221121211(1)2(1)21(1)1(1)1x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+-+=-++--+ ⎪-----⎝⎭考点：1.对数函数的图象与性质；2.函数的奇偶性；3.函数图象的平移变换；4.基本不等式. 【名师点睛】本题考查参数函数的图象与性质、函数的奇偶性、图象变换、基本不等式，属难题；解决正确命题的序号问题是较难的题，学生必须对所有命题逐个甄别，才能得出正确结论，而且考查知识面大，用到的数学方法、数学思想较多，是体现学生综合素质的题型. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) ()1,3-；(2) []2log 3,2. 【解析】试题分析：(1)由()12f =可求出2a =，由对数的真数为正数，即1030x x +>⎧⎨->⎩可求函数的定义域；(2)由()()()()2222log 1log 3log 14f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦及复合函数的单调性可知，当(]1,1x ∈-时，()f x 是增函数；当()1,3x ∈时，()f x 是减函数，由单调性可求值域.考点：1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性. 18. （本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）41a a ≤-≥或；（2）31m m ≤-≥或. 【解析】试题分析：(1)先分别求命题p 真时a 的范围与命题q 真时a 的范围，又“p 或q ”为假命题等价于“,p q 均为假命题”即可求a 的取值范围；(2) ）非21q a a ⇔≤-≥或,所以“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件121m m ⇔+≤-≥或，解之即可. 试题解析：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （2）非:21q a a ≤-≥或，所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.逻辑联结词与命题；2.充分条件与必要条件.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与充分条件、必要条件，属中档题；复合命题含逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，命题真假的判定要牢固掌握，其规则为:p q ∨中，当且仅当,p q 均为假命题时为假，其余为真；p q ∧中，当且仅当,p q 均为真命题时为真，其余为假；p 与p ⌝一真一假.19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为()01f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()241f x x x =++；（2）13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题解析：（1）由题意可以设()(22f x a x x =++，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=， ∴()(22241f x x x xx =++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数与不等式. 20. （本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<．（1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点）【答案】(1)42千元；（2）当销售价格为3.3元/件时，利润最大. 【解析】()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而考点：1.函数的实际应用问题；2.导数与函数的单调性、最值. 21. （本小题满分12分）已知函数()()22x f x x x ce c R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围．【答案】(1) 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；(2) 650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数()2212xf x x ce-'=--，由()0f x '≥在R 上恒成立可得()21212x c x e ≤- ，构造函数()()21212x g x x e =-，求函数()g x 的最小值即可； (2) ()0F x =⇔2272x c x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，构造函数()2272x h x x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，研究函数()h x 的单调单调性，作出函数()h x 与函数y c =的图象，数形结合，观察两函数图象可求得c 的取值范围.试题解析： （1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120xx c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值与函数与方程，属难题；在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续． 22. （本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．（1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >． 【答案】（1）10m e<<；（2）见解析. 【解析】()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证2122111ln21x x x x x x +>-即可，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+,构造函数()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，证min ()0u t >即可.试题解析： （1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==，（2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分也就是证明：1ln 21t t t -->+，考点：1,导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程；3.函数与不等式.。
江西省2017届高三第一次联考测试数学(理)试题 含答案
理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2。
函数()229x y -=）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3- 3.下列命题中： ①“200,10xR x x ∃∈-+≤”的否定； ②“若260xx +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560xx -+=，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x mm x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为( ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 5.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为( ） A ．()[]2322,0,12f x xx x =-+∈B ．()[]2322,0,12f x xx x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈7。
若函数()()22log 3f x xax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．()[),42,-∞-+∞D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．9。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017届江西省南昌市高三联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}032|{2≤--=x x x A ，)}2ln(|{x y x B -==，则=B A （ ）A ．)3,1(B ．]3,1(C ．)2,1[-D ．)2,1(-2.已知复数z 满足i z ii 4311+=⋅-+，则=||z （ ） A ．62 B ．7 C ．25 D ．53.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，1)(2-+=x x x f ，则=-)]1([f f （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）3cmA ．π324+B ．π234+ C. π326+ D ．π236+ 5.下列命题正确的个数为（ ）①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ”； ②“3≠x ”是“3||≠x ”成立的充分条件； ③命题“若21≤m ，则方程0222=++x mx 有实数根”的否命题为真命题 A ．0 B ．1 C. 2 D ．36.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计算系统，其中开平方算法最具有代表性，程序框图如图所示，若输入ξ,,n a 的值分别为8,2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）A ．2.81B ．2.82 C.2.83 D ．2.847.随着国家二孩政策的全国放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100为育龄妇女，结果如图：附表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，616.965354258)13202245(10022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8.若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+206202x y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值是（ ）A ．2B ．2 C. 4 D ．968 9.已知)11,2(),2,1(B A ，若直线)0(1)6(≠+-=m x mm y 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),3[)0,2[+∞- B ．]6,0(]1,( --∞ C. ]6,3[]1,2[ -- D ．]6,0()0,2[ -10.已知函数)0)(sin()(πϕϕω<<+=x x f 的部分图象如下图所示，若3)(0=x f ，)65,3(0ππ∈x ，则0sin x 的值为（ ）A ．10433+B ．10433- C. 10343+ D ．10343- 11.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点为1F ，左顶点为A ，过1F 作x 轴的垂线交双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA 于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于22b a a ++，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．)2,1(B ．)2(∞+ C. )22,1( D ．),22(+∞12.若函数x e a x a x x x f --++++=]6)6(3[)(23在区间)4,2(上存在极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)32,(--∞B ．)27,(--∞ C. )27,32(-- D ．]27,32(--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.4)1)(11(x x +-的展开式中2x 项的系数为 ． 14.=-+⎰dx x x 102)12( ．15.已知半径为1的球O 内切于正四面体BCD A -，线段MN 是球O 的一条动直径（N M ,是直径的两端点），点P 是正四面体BCD A -的表面上的一个动点，则⋅的取值范围是 ．16.ABC ∆中，B C B A sin sin )sin(-=-，D 是边BC 的一个三等分点（靠近点B ），记λ=∠∠BAD ABD sin sin ，则当λ取最大值时，=∠ACD tan ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，满足31=a ，11=b ，1022=+S b ，3252a b a =-（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，设数列}{n c 的前n 项和为n T ，求n T .18. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，ABF ∠我俄日直角，BF AE //，121==BF AB ，平面⊥ABCD 平面ABFE .（1）求证：EC DB ⊥；（2）若AB AE =，求二面角B EF C --的余弦值.19. 一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1,2,3,4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次.（1）设A 为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.20. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且21F MF ∆的周长为324+.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(-D 作直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，点N 满足+=（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21.已知函数x e x f x +=)(，（R a ∈）其图象与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）证明：0)43('21<+x x f ；（)('x f 为)(x f 的导函数）； （3）设点C 在函数)(x f 的图象上，且ABC ∆为等边三角形，记t x x =12，求)3)(1(+-a t 的值.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为)2,1(，点M 的极坐标为)2,3(π，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径. （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于B A ,两点，求||||PB PA ⋅.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数)0(|1|||)(>+++=a ax a x x f . （1）当2=a 时，求不等式3)(>x f 的解集；（2）证明：4)1()(≥-+mf m f .2017届江西省南昌市高三联考理数试题答案一、选择题1-5:CDADB 6-10:DCBCA 11、12：BC二、填空题 13. 2 14. 41π+15. ]8,0[ 16.32+ 三、解答题17.解：（1）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q ，则 由⎩⎨⎧=-=+32522210a b a S b 得⎩⎨⎧+=-+=++dq d d q 23243106解得⎩⎨⎧==22q d ，所以12)1(23+=-+=n n a n ，12-=n n b . （2）由（1）可知，12)12(-⋅+=n n n c ，∴122102)12(2)12(272523--⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T …………①n n n n n T 2)12(2)12(27252321321⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………②①-②得：n n n n T 2)12(2222223221⋅+-⋅++⋅+⋅+=--12)21(2)12(122)12(222112-⋅-=⋅+--=⋅+-++++=+n n n n n n n n∴12)12(+⋅-=n n n T .18.解：（1）∵底面ABFE 为直角梯形，BF AE //，90=∠EAB ，∴AB BF AB AE ⊥⊥,，∵平面⊥ABCD 平面ABFE ，平面 ABCD 平面AB ABFE =，∴⊥AE 平面ABCD ，⊥BF 平面ABCD ，∴BC BF ⊥，设t AE =，以BC BF BA ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图坐标系，则)0,0,0(B ，)1,0,0(C ，)1,0,1(D ，)0,,1(t E ，)1,0,1(--=，)1,,1(t --=， ∵0=⋅，∴EC DB ⊥.（2）由（1）知)1,0,0(=是平面BEF 的一个法向量，设),,(z y x =是平面CEF 的法向量，∵1==AB AE ，∴)0,1,1(E ，)0,2,0(F ，∴)1,1,1(-=，)1,2,0(-，由0=⋅，得0=-+z y x ，由0=⋅，得02=-z y ，令2=z ，得1,1==y x ，故)2,1,1(=是平面CEF 的一个法向量，∴36||||,cos =>=<BC n ，即二面角B EF C --的余弦值为36. 19.解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1,3），（2,2），（3,1），163443)(=⨯=A P （2）X 的可能取值为0,1,2,3，且41444)0(=⨯==X P ，834423)1(=⨯⨯==X P ，414422)2(=⨯⨯==X P ，81442)3(=⨯==X P ，则X 的分布列为45)(=X E . 20.解：（1）∵23==a c e ，又21F MF ∆的周长为32422+=+c a ，∴32+=+c a ，∴3,2==c a ，∴1,422==b a ，∴椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）∵+=，∴四边形OANB 为平行四边形，显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为2-=kx y ，),(),,(2211y x B y x A ，把2-=kx y 代入1422=+y x 得01216)41(22=+-+kx x k ，由0)41(4816222>+-=∆k k 得432>k ，∴2214116k k x x +=+，2214112k x x +=，∵||||||212121x x x x OD S OAB -=-⋅=∆，∴2222222122121)41(34841124)4116(24)(2||22k k k k k x x x x x x S S OAB OANB +-=+-+=-+=-==∆， 令0342>-=k t ，∴342+=t k ，∴2161816818)4(82=≤++=+=tt t t S OANB ，当且仅当4=t ，即27±=k 时取等号，∴2)(max =OANB S ，此时l 的方程为227-±=x y . 21.解：（1）∵ax e x f x +=)(，∴a e x f x +=)('，若0≥a ，则0)('>x f ，则函数)(x f 在R 上单调递增，这与题设矛盾.∴0<a 易知)(x f 在))ln(,(a --∞上单调递减，在)),(ln(+∞-a 上单调递增，∴)ln())(ln()(min a a a a f x f -+-=-=，且-∞→x 时，+∞→)(x f ；-∞→x 时，+∞→)(x f ，∴0)ln()(ln <-+-=a a a a f ，两式相减得1212x x e e a x x ---=.记)0(212>=-s s x x ，则)](2[2)2('212221211221s s x x x x x x e e s se x x e e e x xf -++--=---=+，设)(2)(s s e e s sg ---=，则0)(2)('<+-=-s s e e s g ，∴)(s g 是单调减函数，则有0)0()(=<g s g ，而02221>+s e x x ， ∴0)2('21<+x x f ，又∵a e x f x +=)('是单调增函数，且2432121x x x x +<+， ∴0)2(')43('2121<+<+x x f x x f . （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002121ax e ax e x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121ax e ax e x x ，∴21221x x a e x x -=+，设),(00y x P ，在等边三角形ABC 中，易知),(221210x x x x x ∈+=，0)(00<=x f y ，由等边三角形性质知2)(3120x x y --=，∴ 02)(3120=-+x x y ，即02)(3)(21212221=-++++x x x x a e x x ， ∴02)(3)(2121221=-+++-x x x x a x x a ， ∵01>x ，∴02)1(3)1(2121212=-++++-x x x x a x x a ， ∴02)1(3)1(222=-+++-t t a at ，032)3(2=-+-+a at t a ， ∴0)1](3)3[(=--++t a t a ，又∵1>t ，∴03)3(=-++a t a ，∴33+-=a a t ，3321+-=-a t ，∴32)3)(1(-=+-a t .22.解：（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 212231（t 为参数），圆C 的极坐标方程为θρsin 6=.（2）圆C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 212231代入9)3(22=-+y x 得07)13(2=--+t t ，∴721-=t t ，又21|||,|||t PB t PA ==，∴7||||||21==t t PB PA .23.解（1）当2=a 时，|21||2|)(+++=x x x f ，原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧>-----<32122x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--+-≤≤-3212212x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++->321221x x x 解得411-<x 或∅∈x 或41>x ，所以不等式的解集为411|{-<x x 或}41>x （2）|11||1||1|||)1()(am a m a m a m m f m f +-++-++++=-+ 4|)1||(|2|1|2|11||1||1|||≥+=+≥+-++++-++=m m m m a m a m a m a m。