电磁场与微波技术复习2009

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ϕ = (A'e
kx x
+ B 'e
− kx x
)(C ' e
ky y
+ De
−ky y
)
（1） k x = k , k y = jk :
ϕ1 = ( Achkx + Bshkx)(C cos ky + D sin ky ) ϕ2 = ( A ' e + B ' e )(C cos ky + D sin ky )
2
恒定电场的边界条件
电流连续性方程： 电流连续性方程：
J 1n = J 2 n
∂φ1 ∂φ2 σ 1E1n = σ 2 E2 n , σ 1 = σ2 ∂n ∂n
∫ E ⋅dl = 0
l
E1t = E2 t
σ 2 J 1t = σ 1 J 2 t
σ1
J 1t
=
σ2
J 2t
3
恒定电场与静电场的比拟
r ∂r ϕ = C1 ln r + C2 ∂r
2 φ(r,φ)的形式：电位与坐标变量z无关。 的形式：电位与坐标变量 无关 无关。 的形式 此时电位满足二维拉普拉斯方程： 此时电位满足二维拉普拉斯方程：
∂ ∂ϕ ∂ ϕ r r + 2 =0 ∂r ∂r ∂ϕ
2
运用分离变量法解之，令
ϕ ( r ) < ∞ lim ϕ ( r ) =50 r →∞
直接积分求解一维场
简单、对称问题： 简单、对称问题：一维拉普拉斯方程 求解偏微分方程； 求解偏微分方程； 寻找边界条件，求出场的解。 寻找边界条件，求出场的解。 不同的区域，一般对应不同的解，寻找边界 不同的区域，一般对应不同的解， 区域的连接边界条件。 区域的连接边界条件。
电流连续性方程： 电流连续性方程：
∂ρ = 0 ∂t
∇⋅J = 0
∫∫ J ⋅ d S = 0
S
1
导电媒质中的恒定电场
均匀导电媒质中恒定电场的无散性
均匀媒质：
∇⋅E = 0
在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷。恒定电荷（静电荷） 在均匀导体内部虽然有恒定电流 但没有电荷。恒定电荷（静电荷） 只能分布在导体的表面上。 只能分布在导体的表面上。
令ρ2=x2+z 2, 则
qh 2 ρ s = − ( ρ + h 2 ) −3 / 2 2π
qi = ∫ ρ s ds = − q (C )
S
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球面镜像
1 点电荷位于接地导体球附近 原问题： 原问题：
− q ′ r2 = q r1
a
ε0
等效问题： 等效问题：
o
ϕ =0
q
D
R(r,θ )
1 q′ 1 + =0 4πε 0 r1 XZ 2 = 0 YZ 2 dx dy
X" Y" + =0 X Y
k x = ± jk y
X" = k x2 X Y" 2 = ky Y
X ( x) = Achk x x + Bshk x x
Y ( y ) = Cchk y y + Dshk y y
ϕ = ( Achk x x + Bshk x x)(Cchk y y + Dshk y y )
选择d值使 ∆ POB 与 ∆ AOP 相似 选择 值使
2
p
o
ε0 ε0 d
r2
Bq′
r1
D
r2′ r1′
A
r2 a d = = D a r1
r1′ =
q
a q′ =− a q d= D D
D 2 + r 2 − 2 r D c os θ
q q′ ϕ (r) = ( + ) 4 π ε 0 r1′ r2′ 1
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时变电磁场
法拉第电磁感应定律
dΦ d ε =− = − ∫ B ⋅ dS dt dt S
感应电动势
Nd Φ ε =− dt
ur r r r dΦ d u u ∫ l E ⋅ d l = − dt = − dt ∫S B ⋅ d S
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u r ur r ∂B u ∫ l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ d S
S
第三类边值问题：在部分区域给定边值， 第三类边值问题：在部分区域给定边值，在另一 部分区域给定边界上的值法线导数值。 部分区域给定边界上的值法线导数值。 — 混合问题， 混合问题，
其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件； 其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件； 自然条件——在源有限时： 在源有限时： 自然条件 在源有限时
4
电位边值问题的分类：
第一类边值问题：给定边界上的值， 第一类边值问题：给定边界上的值， 狄里赫利问题。 -- 狄里赫利问题。
ϕ(r) = u(rs )
S
第二类边值问题：给定边界上电位的法线导数值， 第二类边值问题：给定边界上电位的法线导数值， u r 聂曼问题。 -- 聂曼问题。 ∂ϕ
∂n = u(rs )
q
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根据静电场的边界条件, 可由电位分布求得导体表面(y=0)的感 根据静电场的边界条件 可由电位分布求得导体表面 的感 应面电荷密度。 应面电荷密度。
∂φ ρs = − ε0 ∂n
y =0
∂φ = − ε0 ∂y
y =0
qh =− (C / m 2 ) 2π ( x 2 + z 2 + h 2 )3/ 2
6
分离变量法
分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积， 分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积，每个函数仅
与一个坐标变量有关。 与一个坐标变量有关。把三维偏微分方程变为三个 常微分方程。 常微分方程。
使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。 使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。
如平面、球面、柱面等。 如平面、球面、柱面等。 1：直角坐标的分离变量(拉普拉斯方程 ：直角坐标的分离变量 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程) 分离变量法的求解拉普拉斯方程步骤
q 1 1 注意：导体不复存在； 注意：导体不复存在； ( − )=0 φs ( P) = 4πε0 r r′ 导体更换为q空间的空气介质 空间的空气介质。 导体更换为 空间的空气介质。 与原问题边界条件相同,可等效。 可等效 镜像法不能计算像空间的电位及场 与原问题边界条件相同 可等效。 15
r+ = x2 + ( y − h)2 + z 2
麦克斯韦第二方程
u r ur u r r ∂B u ∫S (∇ × E ) ⋅ d S = − ∫S ∂t ⋅ d S u r ur ∂B 上式对任意面积均成立，所以 ∇ × E = − ∂t ur r 静电场： ∫ E ⋅dl = 0
l
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为
7
直角坐标中的分离变量法——二维问题 直角坐标中的分离变量法 二维问题
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 + 2 =0 若位函数的拉普拉斯方程为 2 ∂x ∂y ∂z
将上述方程解写为
ϕ ( x, y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
X " Y " Z" + + =0 X Y Z
恒定电场的无旋性
∫ E ⋅dl = 0
l
∇×E = 0
恒定电场也是位场。 恒定电场也是位场。
这个特性只在电源外的导体中满足。 这个特性只在电源外的导体中满足。 在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 在电源内部 不仅有电荷产生的电场 还有其它局外电场 因此不 满足守恒定理。 满足守恒定理。
选择坐标系，写出拉斯方程的表达式； 选择坐标系，写出拉斯方程的表达式； 分离变量； 分离变量； 求解常微分方程的本征值问题； 求解常微分方程的本征值问题； 利用边值条件，确定积分常数。 利用边值条件，确定积分常数。 直角坐标中解的形式的选择
－ ＋
ja 实数
11
圆柱坐标系中的分离变量法
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 r + 2 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂z 1 一维情况： ∇ 2ϕ = 1 ∂ ( r ∂ϕ ) = 0 贝塞尔方程 一维情况：
r2′ =
d 2 + r 2 − 2 r d cos θ
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∠ ROB = θ
球面感应电荷面密度及总电荷量： 球面感应电荷面密度及总电荷量：
∂ϕ ρ s = Dn = −ε 0 ∂r 2 2 q(a − D ) = 3 2 2 4 π a ( D + a − 2 D a c os θ ) 2
q ' = ∫ ρ s ds = ∫
kx − kx
（2） k x = jk , k y = k :
ϕ3 = ( Acoskx + Bsinkx)(C c hky + D s hky )
ϕ4 = ( Acoskx + Bsinkx)(Ce + De )
ky − ky
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分离变量法的求解拉普拉斯方程步骤： 分离变量法的求解拉普拉斯方程步骤：
r− = x2 + ( y + h)2 + z 2
上半空间任一点R的电位为： 上半空间任一点 的电位为： 的电位为
1 1 φ ( R) = ( − ) 4πε0 r+ r−
在y＜0 的半空间是接地导体 没有场 并且电 ＜ 的半空间是接地导体, 没有场, 位为零, 的解仅适用于 的解仅适用于y＞ 的半空间 的半空间。 位为零 φ的解仅适用于 ＞0的半空间。