广东省湛江市2020届高三二模考试数学(理)试题 Word版含解析
2020年湛江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1. 设集合{}2,5,6A =，{}250B x x x m =-+=，若{}2A B ⋂=，则B =（ ）A. {}2,3B. {}2C. {}3D. {}1,6-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，2是关于x 的方程250x x m -+=的根，可求得m 的值，再解方程250x x m -+=，进而可解出集合B .【详解】{}2A B =，则2B ∈，22520m ∴-⨯+=，解得6m =，{}{}25602,3B x x x ∴=-+==.故选：A. 【点睛】本题考查利用交集的结果求参数，考查计算能力，属于基础题.2. 复数()52412z i i i=++-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先对复数进行除法和乘法运算，再根据实部和虚部找出对应的点，即可得出对应的象限．【详解】解：∵()()()()5125242434121212i z i i i i i i i +=++=+-=-+--+， ∴z 在复平面内对应点的坐标为()3,4-，位于第二象限．故选：B 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．3. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=，则2sin 2cos αα+=（ ）A.32B.12C. 12-D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式结合,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭可求得tan α的值，再由二倍角公式得出22222sin cos cos sin 2cos sin cos ααααααα++=+，在分式的分子和分母中同时除以2cos α，将分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0α<∴，22tan 3tan 21tan 4ααα==-，即23tan 8tan 30αα+-=，解得tan 3α=-，因此，2222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos 2sin cos cos sin cos tan 12αααααααααααα+++=+===-++. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，涉及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.4. 高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（ ） A. 15,43 B. 15,42C. 14,43D. 14,42【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由系统抽样的方法，可求出抽到的每个同学的学号之间的间隔为：4595=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即可得分别写出5个同学的学号，即可得出剩余的两个同学的学号.【详解】解：由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：459 5=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33，第五个学号为：33+9=42，所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.故选：B.【点睛】本题考查对系统抽样的理解，属于基础题.5. 下列图象为函数ysin xx=，y3sin xx=，y2sin xx=，y2cos2xx=的部分图象，则按顺序对应关系正确的是（）A. ①②③④B. ①②④③C. ①③②④D. ②①④③【答案】B【解析】【分析】由题意对比函数的性质与函数图象的特征，逐个判断即可得解.【详解】由()()22sin sinx xxx-=--可得函数2sin xyx=为奇函数，所以函数2sin xyx=对应的图象为图④，故排除A 、C ；由2cos1422ππ⎛⎫⎪⎝⎭=<，可知函数2cos2x y x =对应的图象为图③； 由3sinsin 4444ππππ＞，可知函数sin x y x =、3sin x y x =对应的图象分别为①、②，故排除D. 故选：B ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数性质的应用，关键是找到函数的性质与图象特征的对应关系，属于基础题．6. 函数f （x ）＝ax 3﹣6x 的一个极值点为1，则f （x ）的极大值是（ ） A. ﹣4 B. 2 C. 4 D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】对()f x 进行求导，求出a ，从而求出()f x ，再求()f x 的极大值即可【详解】f （x ）＝ax 3﹣6x ，可得'()f x ＝3ax 2﹣6，f （x ）＝ax 3﹣6x 的一个极值点为1， 所以3a ﹣6＝0，解得a ＝2，因为'6(1)()1)(x f x x -+＝，所以f （x ）在(,1)-∞-和(1,)+∞上是增函数，在(1,1)-上是减函数， 所以x ＝﹣1时，函数取得极大值：f （-1）＝4． 故选：C【点睛】本题考查了导数的综合应用，属于中档题7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（ ）A.3πB.3πD. 83π【答案】A【分析】由题意可得该几何体的体积与圆锥相同，结合圆锥侧面展开图的特征可求得圆锥的母线与底面半径的长度，进而可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可得解． 【详解】由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积， ∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， ∴圆锥的底面周长为2323ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径为1，母线长为3， ∴圆锥的高为23122-=， ∴圆锥的体积V圆锥212212233ππ=⨯⨯⨯=． 从而所求几何体的体积为22V π=． 故选：A ．【点睛】本题考查了数学文化与圆锥体积的求法，考查了圆锥侧面展开图的特征，正确理解题意是解题的关键，属于基础题．8. 执行如图所示的程序框图，若输出的3y =，则输入的x 的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. 5或﹣2D. 7或﹣2【答案】D 【解析】根据输出的3y =，结合程序框图x 的值分0x <和0x ≥两种情况，分别计算即可. 【详解】由程序框图可得：由()2013x log x ≥⎧⎨+=⎩，解得7x =；由0213x x -<⎧⎨-=⎩，解得2x =-.综上，输入的x 的值为7或-2． 故选：D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,1,sin sin 3A c a C bB π===，则ABC 的面积为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】由于sin sin a C b B =，根据正弦定理角化边得出2ac b =，而1c =，则2b a =，再利用余弦定理得出1a =，即可得出21b a ==，最后根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】解：由题可知，sin sin a C b B =则22c b a b R R⋅=⋅，即：2ac b =， 又3A π=，1c =，则20b a =>，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-则21112a a =+-⨯，即：21a a =+-所以21a a -=()11a a -= 解得：1a =，则21b a ==，得：1b =或1b =-（舍去），所以ABC 的面积为：11sin 1122bc A =⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查运算能力.10. 已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A. g （x ）为偶函数B. g （x ）的一个单调递增区间为51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C. g （x ）为奇函数D. 函数g （x ）在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ），最后根据余弦函数性质得出结论．【详解】因为函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以A =3，46T π=-（12π-）4π=； 所以T ＝π 所以ω＝2；所以f （x ）＝3cos （2x +φ）； 又因为f （12π-）＝3cos[（2×（12π-）+φ]＝3，所以6π-+φ＝K π；∵0＜φ＜π； ∴φ6π=，∴f （x ）＝3cos （2x 6π+）； 因为将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 所以g （x ）＝3cos[2（x 6π-）6π+]＝3cos （2x 6π-）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x 6π-≤2k π，所以512π-+k π≤x ≤k π12+π，k ∈z ； 当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，； 令2x 6π-=k π2π+， 解得x 23k ππ=+，k ∈z ， ∴函数g （x ）在[0，2π]上只有一个零点． 故选：B ．【点睛】本题主要考查由三角函数部分图象求解析式，图象变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11. 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，E 为11A B 的中点，下列说法中正确的是（ ）A. 1ED 与1B C 所成的角大于60B. 点E 到平面11ABC D 的距离为1C. 三棱锥1E ABC -D. 直线CE 与平面1ADB 所成的角为4π 【答案】D【解析】 【分析】对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，1D F ，则1D EF ∠为1ED 与1B C 所成的角，可求得该角正切值： 1tan D EF ∠=<；对于B ， 1B 到平面11ABC D 的距离即点E 到平面11ABC D 的距离，则可得到点E 到平面11ABC D ；对于C ，三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球，可得四棱锥11E ABC D -，从而求得外接球的半径为4=R ．得外接球的表面积22542S ππ=⨯=；对于D ，连接1DC ，取1DC 的中点H ，连接1DB 交EC 于K ，连接CH ，HK ， CKH ∠是直线CE 与平面1ADB 所成的角，sin CH CKH CK ∠==【详解】解：如图，对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，1D F ，则1D EF ∠为1ED 与1B C 所成的角，∵11D F D E ==EF = 1tan D EF ∴∠=<A 错误； 对于B ，由于11A B 平面11ABC D ，故1B 到平面11ABC D 的距离即点E 到平面11ABC D 的距离， 连接1B C 交1BC 于G ，可得1B G ⊥平面11ABC D ，而1BG =，∴点E 到平面11ABC D ，故B 错误；对于C ，三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球，∵11ABC D 为矩形，且2AB =，1BC = 11EA EB EC ED ====11E ABC D -，设四棱锥11E ABC D -的外接球的半径为R ，则222)R R =+，解得=R∴三棱锥的外接球的表面积252254()2S ππ=⨯=，故C 错误； 对于D ，连接1DC ，取1DC 的中点H ，连接1DB 交EC 于K ，连接CH ，HK ， ∵1EB DC ，∴CKH ∠是直线CE 与平面1ADB 所成的角，在直角三角形CKH 中，223CK CE ==， 2CH =，∴2sin 2CH CKH CK ∠==，故D 正确． 故选：D【点睛】本题主要考查空间角：异面直线所成交和线面角；以及空间距离：点到平面的距离；几何体的外接球表面积．注意运用定义在解题中的运用，同时考查运算能力，属于一道综合题．12. 已知斜率为(0k k >的直线l 与椭圆2214x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足212k k k =，设OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，则12S S S+的最小值为（ ） A.52πB.56π C. 54πD. 58π【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为y kx m=+(0)m ≠，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()()222148410k xkmx m +++-=，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求表达式的最值即可. 【详解】设直线l 的方程为y kx m =+， 根据题意可知0m ≠，联立直线l 和椭圆方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222148410kxkmx m +++-=()()222264414410k m k m ∆=-+⋅->，可得2214m k <+ 根据韦达定理：()2121222418,1414m km x x x x k k-+=-=++ 由()()1221212kx m kx m k k k x x ++==化简可得()2120km x x m ++=，∴可得214k =，0k >，∴12k =， ∴m 2＜2，∴(m ∈⋃设O 到直线l 距离为d根据点到直线距离公式可得：d =则1211||||22S AB d x m =⋅=-=，由22221212144x x y y +=+=∴()()22222121122121235241624S S x y x y x x x x ππππ⎡⎤+=+++=+-+=⎣⎦∴12555444S S S πππ+==≥， ∴当且仅当1m =±时取等号，这时12S S S+的最小值为54π；故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知向量(4,)a m =，(,3)b m =，若()a b b +，则a = _____．【答案】 【解析】 【分析】根据两个向量共线的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．再利用向量模长公式求解..【详解】a b +=(43)m m ++，，∵()a b b +，∴(3)3(4)0m m m +-+=，解得22=1m ．∴|a |==故答案：【点睛】本题考查平面向量共线与模长计算.已知两向量共线或垂直求参数：两向量1122()()a x y b x y ＝，，＝，共线的充要条件1221x y x y －＝0，求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||2()a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．14. 若实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为____________.【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，要求2z x y =-的最大值，即求122z y x =-的y 轴上的截距2z -的最小值，由图可知，将12y x =向下平移到过点()2,1A -时，2z-取得最小值，即可求出2z x y =-的最大值.【详解】解：由题可知，实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩表示的区域如下图阴影部分：由于2z x y =-，即122zy x =-， 要求2z x y =-的最大值，即求122zy x =-的y 轴上的截距2z -的最小值， 由图可知，将12y x =向下平移到过点()2,1A -时，2z -取得最小值，即2z x y =-过点()2,1A -时，z 取得最大值， 所以z 最大值为：()2214z =-⨯-=. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用几何法求线性规划的最值，考查数形结合思想.15. 已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分別为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P ，若tan∠PF 1F 22=则该双曲线的离心率为_____． 63+【解析】 【分析】设|PF 1|＝t ，利用P ，F 1，F 2在圆x 2+y 2＝c 2上，得出PF 1⊥PF 2，然后根据勾股定理和双曲线的定义，把a ,c 的值均用t 来表示，进而可以求得该双曲线的离心率【详解】由题意可得：P ，F 1，F 2在圆x 2+y 2＝c 2上，所以PF 1⊥PF 2，设|PF 1|＝t ，因为tan∠PF 1F 22=所以|PF 2|2t =，由勾股定理可得t 2+2t 2＝4c 2，所以4c 2＝3t 2，所以2c 3=，而2a ＝|PF 2|﹣|PF 1|2t t =-=21）t ，所以双曲线的离心率e ()2363221ctat===-63【点睛】本题考查了双曲线的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力16. 若（1+x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 10x 10,则a 2+a 6+a 8＝_____；a 1+2a 2+3a 3+……+10a 10＝_____. 【答案】 (1). 300 (2). 5120 【解析】【分析】(1)根据二项展开式的公式计算248a a a ++即可. (2)对原式两边求导,再代入1x =求解即可.【详解】(1)由已知通项为：110r rr T C x +=,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a 2+a 6+a 8268101010300C C C =++=.(2)对原式两边求导数得：10（1+x ）929123102310a a x a x a x =++++.令x ＝1得a 1+2a 2+3a 3+……+10a 10＝10×29＝5120. 故答案为：300；5120【点睛】本题主要考查了根据二项展开式通项公式求解项的系数的问题,同时也考查了求导赋值法求解二项展开式系数和的问题等.属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+a n ﹣1． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝2n +1；（2）T n 69nn =+．【解析】 【分析】（1）先由21n n S n a =+-得到()21111n n S n a --=-+-，两式相减得()1211n a n -=-+，进而求得n a ；（2）利用裂项相消法求和即可．【详解】解：（1）∵21n n S n a =+-①，∴()21111n n S n a --=-+-，()2n ≥②，由①﹣②可得：()2211n n n a n n a a -=--+-，整理得：()1211n a n -=-+，()2n ≥，∴21n a n =+，当2n =时，有2221221S a a a =+-=+,所以13a =也适合，故21n a n =+； （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求前n 项和，属于中档题． 18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，12BE EB =，12A M MA=，N 是棱11C D 的中点，平面1AEC 与直线1DD 相交于点F .（1）证明：直线//MN 平面1AEC F . （2）求二面角E AC F --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】 【分析】（1）推导出1//C E AF ，12D F FD =，设点G 为1D F 的中点，连结GM ，GN ，推导出//GN 平面1AEC F ，//GM 平面1AEC F ，从而平面//MNG 平面1AEC F ，由此能证明//MN 平面1AEC F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E AC F --的正弦值． 【详解】解：（1）证明：平面11//BB C C 平面11AA D D ，平面1AEC F平面111BB C C EC =，平面1AEC F平面11AA D D AF =，1//C E AF ∴，由题意得12D F FD =，设点G 为1D F 的中点，连结GM ，GN ，N 是棱11C D 的中点，1//GN FC ∴，GN ⊂/平面1AEC F ，1FC ⊂平面1AEC F ，//GN ∴平面1AEC F ，12D F FD =，12A M MA =，//GM AF ∴，GM ⊂/平面1AEC F ，AF ⊂平面1AEC F ，//GM ∴平面1AEC F ，GNGM G =，∴平面//MNG 平面1AEC F ，MN ⊂平面MNG ，//MN ∴平面1AEC F ．（2）解：1AB =，13DD =，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0F ，0，1)，(1,E 1，2)，∴(1AC =-，1，0)，(0AE =，1，2)，(1AF =-，0，1)，设平面ACE 的法向量(m x =，y ，)z ，则·0·20m AC x y m AE y z ⎧=-+=⎨=+=⎩，取1z =，得(2m =-，2-，1)，设平面ACF 的法向量(n a =，b ，)c ，则·0·0n AC a bn AF a c⎧=-+=⎨=-+=⎩，取1a=，得(1n=，1，1)，设二面角E AC F--的平面角为θ，由||3|cos|||||33m nm nθ===⨯，236sin1()3θ∴=-=，∴二面角E AC F--的正弦值为6．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用a，b，c，d表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．（1）求该业主获得礼品的概率； （2）求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）124P =；（2）分布列见解析，()5E X =． 【解析】 【分析】（1）求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1种，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；（2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）由题意，该业主预测的结果有4424A =种可能，预测完全正确的结果只有1种，所以该业主获奖的概率为124P =． （2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，如下表所示：所以随机变量X 的所有可能的取值为0,2,4,6,8， 可得1317(0),(2),(4)2424824P X P X P X =======9341(6),(8)248246P X P X ====== 所以随机变量X 的分布列如表：所以数学期望E （X ）117310246852482486=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的个数，得出随机变量的取值情况是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 20. 已知函数2()ln12x f x ax b =++，且142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，(1)5f '=． （1）求()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）已知函数()ln ln 32xg x m x =++，若存在0(1,]x e ∈，使得不等式()()00f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）172160x y --=；（2）(2,22e ⎤-∞-⎦ 【解析】 【分析】（1）根据已知条件联立方程求得a 和b ，进而求得(2)f '和(2)f ，即可求得()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）由()()f x g x ≥，可得22ln 1ln ln 322x x x m x ++≥++，变形可得222ln x m x-≤，构造函数222()ln x h x x-=，(1,]x e ∈，根据导数求其单调性，结合条件，即可求得答案.【详解】（1）2()ln 12xf x ax b =++可得()2bf x ax x'=+，0x >，1242f a b ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭——①(1)25f a b '=+=——②由①②解得2,1a b ==，1()4f x x x'=+， 则17(2)2f '=，(2)9f =， 故()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程：179(2)2y x -=- 即：172160x y --= （2）若()()f x g x ≥， 则22ln1ln ln 322x xx m x ++≥++ 即222ln x m x -≤在(1,]e 上有解，令222()ln x h x x-=，(1,]x e ∈，∴()2242()xlnx x x h x lnx -+'=，令2()4ln 2p x x x x x=-+， ∴()2242p x lnx x'=+-， 当(1,]x e ∈时，()0p x '>，()p x 单调递增，()(1)0p x p >=，即()0h x '>，∴()h x 在(1,]e 上单调递增，故2max ()()22h x h e e ==-∴m 的范围(2,22e ⎤-∞-⎦．【点睛】本题主要考查了求函数的切线方程和根据不等式成立求参数范围问题，解题关键是掌握根据导数求切线的方法和构造函数求不等式成立的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21. 已知顶点为原点O 的抛物线C ，焦点F 在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于O 、M 两点，且线段OM 的中点为()2,2P ． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）若直线l 与抛物线C 交于异于原点的A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点D ，且有1FA FD +=，直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，请问直线AE 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）是，直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）设抛物线C 的标准方程为22y px =，求出点M 的坐标，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，由此可求得抛物线C 的标准方程；（2）设点()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠，(),E E E x y ，由条件1FA FD +=可得出03D x x =+，可求出直线AB 的斜率，由此可设直线1l 的方程为03y y x b =-+，与抛物线C 的方程联立，由0∆=可得出03b y =-，分206y ≠与206y =两种情况讨论，求出直线AE 的方程，即可得出直线AE 所过定点的坐标.【详解】（1）由题意设抛物线C 的标准方程为22y px =， 因为OM 的中点为()2,2P ，所以M 的坐标为()4,4，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，得2424p =⨯，可得2p =，因此，抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）知()1,0F ，设()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠， 因为1FA FD +=，则012D x x -=+，由0D x >，可得03D x x =+，即()03,0D x +，所以，直线AB 的斜率03AB y k =-， 因为直线1//l l ，设直线1l 的方程为03y y x b =-+， 代入抛物线C 的方程可得20012120b y y y y +-=， 因为且1l 和C 有且只有一个公共点E ，可得200144480b y y ∆=+=，解得03b y =-， 设(),E E E x y ，则06E y y =-，209E x y =，即20096,E y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当26y ≠时，0020046E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为()0002046y y y x x y -=--， 由2004y x =时，代入整理0204362y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，即直线AE 恒过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当206y =，直线AE 的方程为32x =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭， 综上，可知直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的求解，考查计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）设射线l 的极坐标方程为23πθ=，若射线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长； （2）设M ，N 是曲线C 上的两点，若∠MON 2π=，求OMN 的面积的最大值．【答案】（1；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，求出θ范围，再利用12112sin 2sin 22323OMNSπππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为221(()12x y +-=，其为过原点的圆整理得220x y y ++-=，其为过坐标原点的圆，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为2cos sin 0ρθρθ+-=，整理得2sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 射线l 的极坐标方程为23πθ=与曲线C 相交于A 和B 两点， 由于射线l ：23πθ=过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点， 所以2sin 323πρθπθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，得22sin 33AB ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于直线OC102-= 又圆C 过原点，故过原点与圆C 相切的切线的斜率为k =从而33323ππθππππθπ⎧<<+⎪⎪⎨⎪<+<+⎪⎩，得536ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 则12112sin 2sin 22323OMNSπππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 2333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即712πθ=时，OMN S △的最大值为1． 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23. 已知函数f （x ）＝|2x +4|﹣|2x ﹣2|． （1）求不等式|f （x ）|＜4的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，设a ，b ，c ＞0，且a +2b +3c ＝m ，证明：1113232a b c ++≥． 【答案】（1）31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析【解析】 【分析】（1）先将f （x ）写为分段函数的形式，然后由|f （x ）|＜4得到42421x x ⎧+⎨-⎩＜＜＜，再解不等式组即可；（2）由（1）知f （x ）的最大值为6，从而得到a +2b +3c ＝6，然后利用基本不等式求出11123a b c++的最小值，即可证明不等式1113232a b c ++≥成立． 【详解】解：（1）f （x ）＝|2x +4|﹣|2x ﹣2|62422161x x x x -≤-⎧⎪=+-⎨⎪≥⎩，，＜＜，． ∵|f （x ）|＜4，∴42421x x ⎧+⎨-⎩＜＜＜，∴3122x -＜＜， ∴不等式的解集为31,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由（1）知，当21x -＜＜时，()66f x -<<()f x ∴的最大值为6，∴a +2b +3c ＝m ＝6，∴()11111112323623a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭12332362323b a a c c b a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133262⎡+=⎢⎣， 当且仅当a ＝2b ＝3c ，即22,1,3a b c ===时等号成立， ∴1113232a b c ++≥． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈z|0≤x<3}，B={x∈R|x2≤9}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {x|0≤x<3}D. {x|0≤x≤3}2.若在复平面内，复数z所对应的点为(3,−6)，则z⋅(4−3i)=()A. 6+33iB. 6−33iC. −6+33iD. −6−33i3.已知α∈(π,2π)，cosα=−√55，tan2α=()A. 2B. −2C. 43D. −434.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A. 10B. 11C. 12D. 165.函数y=ln(1−x1+x)+sinx的图象大致为()A. B.C. D.6.函数f(x)=x3+32x2−6x+4的极值点有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为1个单位)，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A. 2π3B. 4π3C. 14π3D. 16π38.如图所示的程序框图中，若f(x)=sinx，g(x)=cosx，x∈[0,π2]，且ℎ(x)≥m恒成立，则m的最大值是()A. 1B. √22C. 12D. 09.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=4：5：6，则sin2AsinC=()A. 12B. 23C. 1D. 3210.函数的最小正周期是，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A. 关于点(π12,0)对称 B. 关于直线x=π12对称C. 关于点(π6,0)对称 D. 关于直线x=π6对称11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离为()A. √32B. √22C. 12D. √3312.过点M(−2,0)作斜率为k1(k1≠0)的直线与双曲线x2−y23=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k2，则k1k2等于()A. 13B. 3C. −13D. −3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(4,−1+y)，且a ⃗ //b⃗ ，则y =______． 14. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z =x −2y 的最小值为______．15. 如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为______．16. 已知(x +2)5(2x −5)=a 0+a 1x +⋯+a 6x 6，则a 0=______；a 5=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }(n ∈N ∗)中，其前n 项和为S n ，满足2S n =n 2−n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ={1√a +√a ,n =2k −1n+1a n+12⋅a n+32,n =2k(k 为正整数)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2AA 1=4：，E为A 1D 1的中点，N 为BC 的中点，M 为线段C 1D 1上一点，且满足MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为MC 的中点．(1)求证：EF//平面A 1DC ； (2)求二面角N −A 1C −F 的余弦值．19.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．20.已知函数f(x)=ln(x+1)+m．x+1(1)当函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线4y−x+1=0垂直时，求实数m的值；(2)若x≥0时，f(x)≥1恒成立，求实数m的取值范围．21.已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1,−2)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为2√2，求直线l的方程．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2√3，求k的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x∈z|0≤x<3}={0,1，2}，B={x∈R|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题．利用复数的四则运算即可得解．【解答】解：由题意可得z=3−6i，所以z⋅(4−3i)=(3−6i)(4−3i)=−6−33i．故选D．3.答案：D解析：解：α∈(π,2π)，cosα=−√55，sinα=−√1−cos2α=−2√55，tanα=sinαcosα=2.tan2α=2tanα1−tan2α=−43故选：D．利用同角三角函数的基本关系式求出正弦函数值，利用正切函数的二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查系统抽样的定义和方法，注意样本的编号成等差数列．根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，由条件可得此等差数列的公差为13，从而求得另一个同学的编号． 【解答】解：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，故此等差数列的公差为13， 故还有一个同学的学号是16. 故选D ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题． 先判断函数的奇偶性，再计算x =12时的函数值即可选出答案． 【解答】解：根据题意，由y =f(x)=ln(1−x 1+x )+sinx ，得{1−x1+x >01+x ≠0，解得−1<x <1，则函数的定义域关于原点对称， f(−x)=ln(1+x 1−x)+sin(−x)=−ln(1−x 1+x)−sinx =−f(x)，可得函数y =f(x)是奇函数，排除C ，D ．f (12)=ln 13+sin 12=−ln3+sin 12<−1+sin 12<0， 故选：A ．6.答案：C解析：解：∵f(x)=x 3+32x 2−6x +4，∴f′(x)=3x 2+3x −6=3(x 2+x −2)=3(x +2)(x −1)， 令f′(x)=0，解得：x =1或x =−2， 经检验x =1，x =−2是函数的极值点， 故选：C ．求出函数的导数，令导函数等于0，求出极值的个数即可． 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.答案：B。
【数学】广东省湛江市高三模拟测试(二)试题(理)(解析版)
广东省湛江市高三模拟测试（二）数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】设则即故解a=3,b=4,则复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A2.已知全集，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题=, 则集合,故其子集个数为故选：C3.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当m=0,C符合题意，当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D.4.平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题则（）（）=故选：B5.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，若四边形的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题,故渐近线方程为以为直径的圆的方程为，联立，得y=,由双曲线与圆的对称性知四边形为平行四边形，不妨设则四边形的面积S=得ac=,又，得a=1,c=故选：A6.现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下：若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共种方法；若甲班3人，乙班1人，共种方法；故甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有1+9+9=19种故选：D7.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵a cos B＝（4c﹣b）cos A．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，则故选：A．8.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存在；当m=5k+4,n不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解,k∈Z,则k=0,1,2…134,共135个故选：C.9.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，则；④，则.其中真命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对①若，则或m,n异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若，且，则，正确对③，若，则则，正确对④，设在面内任取点O,作OA OB由，得OA OB 故OA OB则又，正确综上真命题的个数是3个故选：C.10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．11.已知直线不过坐标原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，则的值是（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】由题直线斜率k不存在时，设直线x=t>0，则A(t,), B(t,),S= ,解t=则k存在时，设，与椭圆联立得,，点O到直线l的距离d=得，即①又=将①代入得故选：B12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知单调递增，，则，故为奇函数，当时，不等式恒成立等价为即恒成立，故在时恒成立当x=0时，0恒成立，a当x>0时，,设则设则单增，又，则当0<x<1,当x>1,故即，故单调递增，当x ,故，综上故选：C二、填空题13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．【答案】【解析】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+114.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______．【答案】【解析】画出可行域如图阴影部分所示：当过A 时取得最小值，联立得A ,则，解m =故答案为15.设，且，则______．【答案】【解析】故tan又=故，则16.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____． 【答案】【解析】设圆锥的母线长为l ,圆锥底面周长为=圆锥高为设正四棱柱的底面边长为2a ,高为h ,则得正四棱柱体积V =,设=令得当,故的最大值为故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.解：（1）当时，当时，满足上式，（2）由可得18.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值. （1）证明：是等腰直角三角形，为中点，平面平面平面平面（2）解：平面为二面角的平面角，为等边三角形，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则设平面的法向量，则即取设与平面所成角为，则故平面所成角的正弦值为.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：，其中，.（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望. 解：（1）所以月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）可能取值为故的分布列为：数学期望.20.已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（1）求曲线的方程；（2）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线方程为，代入抛物线方程，整理得的若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.21.已知正实数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若在内有解，求的取值范围.解：令，解得当时，即时在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时，即时，函数在定义域上单调递增；当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减. 综上所述，当时，在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；当时，函数在定义域上单调递增；当时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.（2）若在内有解，则由（1）可知，当，即时，，函数在上单调递增，，解得；当，即1<a <2时，在时，，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，令，函数在上单调递增.恒成立，当，即时，，函数在上单调递减，不成立，综上所述：.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.解：（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得恒成立23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）解不等式； （2）若对于任意恒成立，求实数最小值，并求当取最小值时的范围. 解：（1） 当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为. （2）若恒成立，则恒成立，又最小值为..的此时解得.。
广东省湛江市2020届高三二模考试数学(理)试题 Word版含解析
2020年湛江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1. 设集合{}2,5,6A =，{}250B x x x m =-+=，若{}2A B ⋂=，则B =（ ）A. {}2,3B. {}2C. {}3D. {}1,6-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，2是关于x 的方程250x x m -+=的根，可求得m 的值，再解方程250x x m -+=，进而可解出集合B .【详解】{}2A B =，则2B ∈，22520m ∴-⨯+=，解得6m =，{}{}25602,3B x x x ∴=-+==.故选：A. 【点睛】本题考查利用交集的结果求参数，考查计算能力，属于基础题.2. 复数()52412z i i i=++-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先对复数进行除法和乘法运算，再根据实部和虚部找出对应的点，即可得出对应的象限．【详解】解：∵()()()()5125242434121212i z i i i i i i i +=++=+-=-+--+， ∴z 在复平面内对应点的坐标为()3,4-，位于第二象限．故选：B 【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．3. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=，则2sin 2cos αα+=（ ）A.32B.12C. 12-D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式结合,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭可求得tan α的值，再由二倍角公式得出22222sin cos cos sin 2cos sin cos ααααααα++=+，在分式的分子和分母中同时除以2cos α，将分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0α<∴，22tan 3tan 21tan 4ααα==-，即23tan 8tan 30αα+-=，解得tan 3α=-，因此，2222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos 2sin cos cos sin cos tan 12αααααααααααα+++=+===-++. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，涉及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.4. 高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（ ） A. 15,43 B. 15,42C. 14,43D. 14,42【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由系统抽样的方法，可求出抽到的每个同学的学号之间的间隔为：4595=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即可得分别写出5个同学的学号，即可得出剩余的两个同学的学号.【详解】解：由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：459 5=，而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33，第五个学号为：33+9=42，所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.故选：B.【点睛】本题考查对系统抽样的理解，属于基础题.5. 下列图象为函数ysin xx=，y3sin xx=，y2sin xx=，y2cos2xx=的部分图象，则按顺序对应关系正确的是（）A. ①②③④B. ①②④③C. ①③②④D. ②①④③【答案】B【解析】【分析】由题意对比函数的性质与函数图象的特征，逐个判断即可得解.【详解】由()()22sin sinx xxx-=--可得函数2sin xyx=为奇函数，所以函数2sin xyx=对应的图象为图④，故排除A 、C ；由2cos1422ππ⎛⎫⎪⎝⎭=<，可知函数2cos2x y x =对应的图象为图③； 由3sinsin 4444ππππ＞，可知函数sin x y x =、3sin x y x =对应的图象分别为①、②，故排除D. 故选：B ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数性质的应用，关键是找到函数的性质与图象特征的对应关系，属于基础题．6. 函数f （x ）＝ax 3﹣6x 的一个极值点为1，则f （x ）的极大值是（ ） A. ﹣4 B. 2 C. 4 D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】对()f x 进行求导，求出a ，从而求出()f x ，再求()f x 的极大值即可【详解】f （x ）＝ax 3﹣6x ，可得'()f x ＝3ax 2﹣6，f （x ）＝ax 3﹣6x 的一个极值点为1， 所以3a ﹣6＝0，解得a ＝2，因为'6(1)()1)(x f x x -+＝，所以f （x ）在(,1)-∞-和(1,)+∞上是增函数，在(1,1)-上是减函数， 所以x ＝﹣1时，函数取得极大值：f （-1）＝4． 故选：C【点睛】本题考查了导数的综合应用，属于中档题7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（ ）A.3πB.3πD. 83π【答案】A【分析】由题意可得该几何体的体积与圆锥相同，结合圆锥侧面展开图的特征可求得圆锥的母线与底面半径的长度，进而可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可得解． 【详解】由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积， ∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， ∴圆锥的底面周长为2323ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径为1，母线长为3， ∴圆锥的高为23122-=， ∴圆锥的体积V圆锥212212233ππ=⨯⨯⨯=． 从而所求几何体的体积为22V π=． 故选：A ．【点睛】本题考查了数学文化与圆锥体积的求法，考查了圆锥侧面展开图的特征，正确理解题意是解题的关键，属于基础题．8. 执行如图所示的程序框图，若输出的3y =，则输入的x 的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. 5或﹣2D. 7或﹣2【答案】D 【解析】根据输出的3y =，结合程序框图x 的值分0x <和0x ≥两种情况，分别计算即可. 【详解】由程序框图可得：由()2013x log x ≥⎧⎨+=⎩，解得7x =；由0213x x -<⎧⎨-=⎩，解得2x =-.综上，输入的x 的值为7或-2． 故选：D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,1,sin sin 3A c a C bB π===，则ABC 的面积为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】由于sin sin a C b B =，根据正弦定理角化边得出2ac b =，而1c =，则2b a =，再利用余弦定理得出1a =，即可得出21b a ==，最后根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】解：由题可知，sin sin a C b B =则22c b a b R R⋅=⋅，即：2ac b =， 又3A π=，1c =，则20b a =>，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-则21112a a =+-⨯，即：21a a =+-所以21a a -=()11a a -= 解得：1a =，则21b a ==，得：1b =或1b =-（舍去），所以ABC 的面积为：11sin 1122bc A =⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查运算能力.10. 已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ） A. g （x ）为偶函数B. g （x ）的一个单调递增区间为51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C. g （x ）为奇函数D. 函数g （x ）在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ），最后根据余弦函数性质得出结论．【详解】因为函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象的一个最高点为（312π-，），与之相邻的一个对称中心为06π⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以A =3，46T π=-（12π-）4π=； 所以T ＝π 所以ω＝2；所以f （x ）＝3cos （2x +φ）； 又因为f （12π-）＝3cos[（2×（12π-）+φ]＝3，所以6π-+φ＝K π；∵0＜φ＜π； ∴φ6π=，∴f （x ）＝3cos （2x 6π+）； 因为将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 所以g （x ）＝3cos[2（x 6π-）6π+]＝3cos （2x 6π-）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x 6π-≤2k π，所以512π-+k π≤x ≤k π12+π，k ∈z ； 当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，； 令2x 6π-=k π2π+， 解得x 23k ππ=+，k ∈z ， ∴函数g （x ）在[0，2π]上只有一个零点． 故选：B ．【点睛】本题主要考查由三角函数部分图象求解析式，图象变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11. 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，E 为11A B 的中点，下列说法中正确的是（ ）A. 1ED 与1B C 所成的角大于60B. 点E 到平面11ABC D 的距离为1C. 三棱锥1E ABC -D. 直线CE 与平面1ADB 所成的角为4π 【答案】D【解析】 【分析】对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，1D F ，则1D EF ∠为1ED 与1B C 所成的角，可求得该角正切值： 1tan D EF ∠=<；对于B ， 1B 到平面11ABC D 的距离即点E 到平面11ABC D 的距离，则可得到点E 到平面11ABC D ；对于C ，三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球，可得四棱锥11E ABC D -，从而求得外接球的半径为4=R ．得外接球的表面积22542S ππ=⨯=；对于D ，连接1DC ，取1DC 的中点H ，连接1DB 交EC 于K ，连接CH ，HK ， CKH ∠是直线CE 与平面1ADB 所成的角，sin CH CKH CK ∠==【详解】解：如图，对于A ，取DC 的中点F ，连接EF ，1D F ，则1D EF ∠为1ED 与1B C 所成的角，∵11D F D E ==EF = 1tan D EF ∴∠=<A 错误； 对于B ，由于11A B 平面11ABC D ，故1B 到平面11ABC D 的距离即点E 到平面11ABC D 的距离， 连接1B C 交1BC 于G ，可得1B G ⊥平面11ABC D ，而1BG =，∴点E 到平面11ABC D ，故B 错误；对于C ，三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球，∵11ABC D 为矩形，且2AB =，1BC = 11EA EB EC ED ====11E ABC D -，设四棱锥11E ABC D -的外接球的半径为R ，则222)R R =+，解得=R∴三棱锥的外接球的表面积252254()2S ππ=⨯=，故C 错误； 对于D ，连接1DC ，取1DC 的中点H ，连接1DB 交EC 于K ，连接CH ，HK ， ∵1EB DC ，∴CKH ∠是直线CE 与平面1ADB 所成的角，在直角三角形CKH 中，223CK CE ==， 2CH =，∴2sin 2CH CKH CK ∠==，故D 正确． 故选：D【点睛】本题主要考查空间角：异面直线所成交和线面角；以及空间距离：点到平面的距离；几何体的外接球表面积．注意运用定义在解题中的运用，同时考查运算能力，属于一道综合题．12. 已知斜率为(0k k >的直线l 与椭圆2214x y +=交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足212k k k =，设OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，则12S S S+的最小值为（ ） A.52πB.56π C. 54πD. 58π【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为y kx m=+(0)m ≠，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()()222148410k xkmx m +++-=，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求表达式的最值即可. 【详解】设直线l 的方程为y kx m =+， 根据题意可知0m ≠，联立直线l 和椭圆方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222148410kxkmx m +++-=()()222264414410k m k m ∆=-+⋅->，可得2214m k <+ 根据韦达定理：()2121222418,1414m km x x x x k k-+=-=++ 由()()1221212kx m kx m k k k x x ++==化简可得()2120km x x m ++=，∴可得214k =，0k >，∴12k =， ∴m 2＜2，∴(m ∈⋃设O 到直线l 距离为d根据点到直线距离公式可得：d =则1211||||22S AB d x m =⋅=-=，由22221212144x x y y +=+=∴()()22222121122121235241624S S x y x y x x x x ππππ⎡⎤+=+++=+-+=⎣⎦∴12555444S S S πππ+==≥， ∴当且仅当1m =±时取等号，这时12S S S+的最小值为54π；故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知向量(4,)a m =，(,3)b m =，若()a b b +，则a = _____．【答案】 【解析】 【分析】根据两个向量共线的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．再利用向量模长公式求解..【详解】a b +=(43)m m ++，，∵()a b b +，∴(3)3(4)0m m m +-+=，解得22=1m ．∴|a |==故答案：【点睛】本题考查平面向量共线与模长计算.已知两向量共线或垂直求参数：两向量1122()()a x y b x y ＝，，＝，共线的充要条件1221x y x y －＝0，求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||2()a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．14. 若实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为____________.【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，要求2z x y =-的最大值，即求122z y x =-的y 轴上的截距2z -的最小值，由图可知，将12y x =向下平移到过点()2,1A -时，2z-取得最小值，即可求出2z x y =-的最大值.【详解】解：由题可知，实数,x y 满足约束条件304202x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩表示的区域如下图阴影部分：由于2z x y =-，即122zy x =-， 要求2z x y =-的最大值，即求122zy x =-的y 轴上的截距2z -的最小值， 由图可知，将12y x =向下平移到过点()2,1A -时，2z -取得最小值，即2z x y =-过点()2,1A -时，z 取得最大值， 所以z 最大值为：()2214z =-⨯-=. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用几何法求线性规划的最值，考查数形结合思想.15. 已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分別为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P ，若tan∠PF 1F 22=则该双曲线的离心率为_____． 63+【解析】 【分析】设|PF 1|＝t ，利用P ，F 1，F 2在圆x 2+y 2＝c 2上，得出PF 1⊥PF 2，然后根据勾股定理和双曲线的定义，把a ,c 的值均用t 来表示，进而可以求得该双曲线的离心率【详解】由题意可得：P ，F 1，F 2在圆x 2+y 2＝c 2上，所以PF 1⊥PF 2，设|PF 1|＝t ，因为tan∠PF 1F 22=所以|PF 2|2t =，由勾股定理可得t 2+2t 2＝4c 2，所以4c 2＝3t 2，所以2c 3=，而2a ＝|PF 2|﹣|PF 1|2t t =-=21）t ，所以双曲线的离心率e ()2363221ctat===-63【点睛】本题考查了双曲线的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力16. 若（1+x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 10x 10,则a 2+a 6+a 8＝_____；a 1+2a 2+3a 3+……+10a 10＝_____. 【答案】 (1). 300 (2). 5120 【解析】【分析】(1)根据二项展开式的公式计算248a a a ++即可. (2)对原式两边求导,再代入1x =求解即可.【详解】(1)由已知通项为：110r rr T C x +=,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a 2+a 6+a 8268101010300C C C =++=.(2)对原式两边求导数得：10（1+x ）929123102310a a x a x a x =++++.令x ＝1得a 1+2a 2+3a 3+……+10a 10＝10×29＝5120. 故答案为：300；5120【点睛】本题主要考查了根据二项展开式通项公式求解项的系数的问题,同时也考查了求导赋值法求解二项展开式系数和的问题等.属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+a n ﹣1． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝2n +1；（2）T n 69nn =+．【解析】 【分析】（1）先由21n n S n a =+-得到()21111n n S n a --=-+-，两式相减得()1211n a n -=-+，进而求得n a ；（2）利用裂项相消法求和即可．【详解】解：（1）∵21n n S n a =+-①，∴()21111n n S n a --=-+-，()2n ≥②，由①﹣②可得：()2211n n n a n n a a -=--+-，整理得：()1211n a n -=-+，()2n ≥，∴21n a n =+，当2n =时，有2221221S a a a =+-=+,所以13a =也适合，故21n a n =+； （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求前n 项和，属于中档题． 18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，12BE EB =，12A M MA=，N 是棱11C D 的中点，平面1AEC 与直线1DD 相交于点F .（1）证明：直线//MN 平面1AEC F . （2）求二面角E AC F --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】 【分析】（1）推导出1//C E AF ，12D F FD =，设点G 为1D F 的中点，连结GM ，GN ，推导出//GN 平面1AEC F ，//GM 平面1AEC F ，从而平面//MNG 平面1AEC F ，由此能证明//MN 平面1AEC F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E AC F --的正弦值． 【详解】解：（1）证明：平面11//BB C C 平面11AA D D ，平面1AEC F平面111BB C C EC =，平面1AEC F平面11AA D D AF =，1//C E AF ∴，由题意得12D F FD =，设点G 为1D F 的中点，连结GM ，GN ，N 是棱11C D 的中点，1//GN FC ∴，GN ⊂/平面1AEC F ，1FC ⊂平面1AEC F ，//GN ∴平面1AEC F ，12D F FD =，12A M MA =，//GM AF ∴，GM ⊂/平面1AEC F ，AF ⊂平面1AEC F ，//GM ∴平面1AEC F ，GNGM G =，∴平面//MNG 平面1AEC F ，MN ⊂平面MNG ，//MN ∴平面1AEC F ．（2）解：1AB =，13DD =，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0F ，0，1)，(1,E 1，2)，∴(1AC =-，1，0)，(0AE =，1，2)，(1AF =-，0，1)，设平面ACE 的法向量(m x =，y ，)z ，则·0·20m AC x y m AE y z ⎧=-+=⎨=+=⎩，取1z =，得(2m =-，2-，1)，设平面ACF 的法向量(n a =，b ，)c ，则·0·0n AC a bn AF a c⎧=-+=⎨=-+=⎩，取1a=，得(1n=，1，1)，设二面角E AC F--的平面角为θ，由||3|cos|||||33m nm nθ===⨯，236sin1()3θ∴=-=，∴二面角E AC F--的正弦值为6．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用a，b，c，d表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．（1）求该业主获得礼品的概率； （2）求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）124P =；（2）分布列见解析，()5E X =． 【解析】 【分析】（1）求得该业主预测的结果的总数，其中预测完全正确的结果只有1种，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；（2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）由题意，该业主预测的结果有4424A =种可能，预测完全正确的结果只有1种，所以该业主获奖的概率为124P =． （2）以（a ，b ，c ，d ）为一个基本事件，如下表所示：所以随机变量X 的所有可能的取值为0,2,4,6,8， 可得1317(0),(2),(4)2424824P X P X P X =======9341(6),(8)248246P X P X ====== 所以随机变量X 的分布列如表：所以数学期望E （X ）117310246852482486=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的个数，得出随机变量的取值情况是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 20. 已知函数2()ln12x f x ax b =++，且142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，(1)5f '=． （1）求()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）已知函数()ln ln 32xg x m x =++，若存在0(1,]x e ∈，使得不等式()()00f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）172160x y --=；（2）(2,22e ⎤-∞-⎦ 【解析】 【分析】（1）根据已知条件联立方程求得a 和b ，进而求得(2)f '和(2)f ，即可求得()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）由()()f x g x ≥，可得22ln 1ln ln 322x x x m x ++≥++，变形可得222ln x m x-≤，构造函数222()ln x h x x-=，(1,]x e ∈，根据导数求其单调性，结合条件，即可求得答案.【详解】（1）2()ln 12xf x ax b =++可得()2bf x ax x'=+，0x >，1242f a b ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭——①(1)25f a b '=+=——②由①②解得2,1a b ==，1()4f x x x'=+， 则17(2)2f '=，(2)9f =， 故()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程：179(2)2y x -=- 即：172160x y --= （2）若()()f x g x ≥， 则22ln1ln ln 322x xx m x ++≥++ 即222ln x m x -≤在(1,]e 上有解，令222()ln x h x x-=，(1,]x e ∈，∴()2242()xlnx x x h x lnx -+'=，令2()4ln 2p x x x x x=-+， ∴()2242p x lnx x'=+-， 当(1,]x e ∈时，()0p x '>，()p x 单调递增，()(1)0p x p >=，即()0h x '>，∴()h x 在(1,]e 上单调递增，故2max ()()22h x h e e ==-∴m 的范围(2,22e ⎤-∞-⎦．【点睛】本题主要考查了求函数的切线方程和根据不等式成立求参数范围问题，解题关键是掌握根据导数求切线的方法和构造函数求不等式成立的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21. 已知顶点为原点O 的抛物线C ，焦点F 在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于O 、M 两点，且线段OM 的中点为()2,2P ． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）若直线l 与抛物线C 交于异于原点的A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点D ，且有1FA FD +=，直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，请问直线AE 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）是，直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）设抛物线C 的标准方程为22y px =，求出点M 的坐标，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，由此可求得抛物线C 的标准方程；（2）设点()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠，(),E E E x y ，由条件1FA FD +=可得出03D x x =+，可求出直线AB 的斜率，由此可设直线1l 的方程为03y y x b =-+，与抛物线C 的方程联立，由0∆=可得出03b y =-，分206y ≠与206y =两种情况讨论，求出直线AE 的方程，即可得出直线AE 所过定点的坐标.【详解】（1）由题意设抛物线C 的标准方程为22y px =， 因为OM 的中点为()2,2P ，所以M 的坐标为()4,4，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，得2424p =⨯，可得2p =，因此，抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）知()1,0F ，设()()0000,0A x y x y ≠，()(),00D D D x x ≠， 因为1FA FD +=，则012D x x -=+，由0D x >，可得03D x x =+，即()03,0D x +，所以，直线AB 的斜率03AB y k =-， 因为直线1//l l ，设直线1l 的方程为03y y x b =-+， 代入抛物线C 的方程可得20012120b y y y y +-=， 因为且1l 和C 有且只有一个公共点E ，可得200144480b y y ∆=+=，解得03b y =-， 设(),E E E x y ，则06E y y =-，209E x y =，即20096,E y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当26y ≠时，0020046E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为()0002046y y y x x y -=--， 由2004y x =时，代入整理0204362y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，即直线AE 恒过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当206y =，直线AE 的方程为32x =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭， 综上，可知直线AE 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的求解，考查计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）设射线l 的极坐标方程为23πθ=，若射线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长； （2）设M ，N 是曲线C 上的两点，若∠MON 2π=，求OMN 的面积的最大值．【答案】（1；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，求出θ范围，再利用12112sin 2sin 22323OMNSπππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为221(()12x y +-=，其为过原点的圆整理得220x y y ++-=，其为过坐标原点的圆，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为2cos sin 0ρθρθ+-=，整理得2sin 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 射线l 的极坐标方程为23πθ=与曲线C 相交于A 和B 两点， 由于射线l ：23πθ=过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点， 所以2sin 323πρθπθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，得22sin 33AB ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于直线OC102-= 又圆C 过原点，故过原点与圆C 相切的切线的斜率为k =从而33323ππθππππθπ⎧<<+⎪⎪⎨⎪<+<+⎪⎩，得536ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 则12112sin 2sin 22323OMNSπππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 2333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即712πθ=时，OMN S △的最大值为1． 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23. 已知函数f （x ）＝|2x +4|﹣|2x ﹣2|． （1）求不等式|f （x ）|＜4的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，设a ，b ，c ＞0，且a +2b +3c ＝m ，证明：1113232a b c ++≥． 【答案】（1）31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析【解析】 【分析】（1）先将f （x ）写为分段函数的形式，然后由|f （x ）|＜4得到42421x x ⎧+⎨-⎩＜＜＜，再解不等式组即可；（2）由（1）知f （x ）的最大值为6，从而得到a +2b +3c ＝6，然后利用基本不等式求出11123a b c++的最小值，即可证明不等式1113232a b c ++≥成立． 【详解】解：（1）f （x ）＝|2x +4|﹣|2x ﹣2|62422161x x x x -≤-⎧⎪=+-⎨⎪≥⎩，，＜＜，． ∵|f （x ）|＜4，∴42421x x ⎧+⎨-⎩＜＜＜，∴3122x -＜＜， ∴不等式的解集为31,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由（1）知，当21x -＜＜时，()66f x -<<()f x ∴的最大值为6，∴a +2b +3c ＝m ＝6，∴()11111112323623a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭12332362323b a a c c b a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133262⎡+=⎢⎣， 当且仅当a ＝2b ＝3c ，即22,1,3a b c ===时等号成立， ∴1113232a b c ++≥． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
广东省湛江市实验中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
广东省湛江市实验中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣参考答案：D【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．2. 已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为（）A. [3,4]B.C. [1,9]D.参考答案：C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有..设，则..由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.3. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：D略4. 函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．5. 已知条件：p：，条件q：直线与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 设等差数列的前项和为，若，则( )A．27 B．36 C.45 D．54参考答案：D7. 函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象，以上三个论断中，正确论断的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C略8. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=A．B．2 C．D．3参考答案：A9. 设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: ,: x,:其中假命题的是A.，B.，C.，D.，参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .参考答案：12. 若，且，则的最大值是．参考答案：13. 等差数列中，，记，则当____时，取得最大值.参考答案：4略14. 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于. 参考答案：1715. 已知等差数列满足，，则参考答案：2016. 已知不等式的解集不是空集,则实数a的取值范围是▲；若不等式对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是▲ .参考答案：的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有化简不等式有，即而当时满足题意，解得或所以答案为17. 已知圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为．参考答案：24π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l）可得答案．【解答】解：∵圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=4，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=24π，故答案为：24π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={2,3，4，5}，N={x|x2−5x+4<0}，则M∩N为()A. {2,3，4，5}B. {2,3}C. {3,4，5}D. {2,3，4}2.若z=1+i，则|z2–2z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=5，a7=1，则a1=()A. −12B. −1 C. 12D. 144.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四个等级，其中分数在［60，70)为D等级；分数在［70，80)为C等级；分数在［80，90)为B等级；分数在［90，100］为A等级．考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是()A. 80.25B. 80.45C. 80.5D. 80.655.图中的图象所表示的函数的解析式为()A. y=32|x−1|(0≤x≤2)B. y=32−32|x−1|(0≤x≤2)C. y=32−|x−1|(0≤x≤2)D. y=1−|x−1|(0≤x≤2)6.已知向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，则m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的余弦值为A. 13B. 14C. 16D. 187.在等比数列{a n}中，若a2+a5=3，a5+a8=6，则a11=()A. 4B. 8C. 16D. 32 8. F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，过F 作直线l 与一条渐近线平行，直线l 与双曲线交于点M ，与y 轴交于点N ，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. √5 D. √109. 设a =2−5，b =log 52，c =log 32则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. c <a <b10. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与其准线交于点M ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 23B. 43C. 13D. 1 11. 已知函数的图象向左平移π6个单位后得到g(x)=cos(2x +π6)的图象，则φ的值为( ) A. −2π3 B. −π3 C. π3 D. 2π3 12. 武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查，在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p =p 0时，f(p)最大，则p 0=( )A. 1−√63 B. √63 C. 12 D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足约束条件{2x +y +2≥0x −y +1≥0−2x +y +2≥0则z =3x −2y 的最小值为__________．14. 已知函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数，则a =________．15. “宫、商、角、徽、羽”是中国古代的五声音阶，类似于简谱中的1、2、3、5、6，古人以这五音进行组合，得到不同的音律．现要用“宫、商、角、徽、羽”排列成一个音序，要求五声音阶全部用上，且每声音阶只能使用一次，则“角”不在第四位且“宫”不在头尾的音序种数为________．16.如图，在边长为6的菱形ABCD中，若∠BCD=60°，现将△ABD沿对角线BD折起，得到三棱时，三棱锥P−BCD的外接球的表面积为___．锥P−BCD，则当二面角P−BD−C的大小为2π3三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD．(1)求DC的长；(2)若AD=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p−1(0.5≤p≤1)．(1)从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数f(x)=2sinx −xcosx −x ，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≥ax ，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为{x =1+cos φy =1+sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈(0,π4]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23. 已知函数f(x)=|2x +a|+|2x −b|+2的最小值为3．(1)求a +b 的值；(2)若a >0，b >0，求证：a +b ≥3−log 3(4a +1b )．【答案与解析】1.答案：B解析：化简集合N ，根据交集的定义写出M ∩N ．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．解：集合M ={2,3，4，5}，N ={x|x 2−5x +4<0}={x|1<x <4}，则M ∩N ={2,3}．故选：B ．2.答案：D解析：本题考查复数的运算和模，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则和模长公式即可求解．解：由题意，得z 2–2z =(1+i)2−2(1+i)=−2，故|z 2–2z|=2，故选D ．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．设该等差数列的公差为d ，则根据通项公式和前n 项和公式列出关于a 1、d 的方程组，通过解方程组即可得到答案． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+6d =110a 1+10×92d =5, 解得{a 1=−1d =13． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查利用频率分布直方图估计平均数，属于基础题．取每个区间的中点作为该区间的变量，频率作为权重，加权平均即可．解：平均数为x=(65×0.015+75×0.040+85×0.020+95×0.025)×10=80.5．故选C．5.答案：B解析：特殊值代入排除法既可以提高解题速度，又可以提高解题精度，是解答选择题常用的方法．特殊值代入排除法的关键是寻找最易于运算的特殊值，如本题中的(0,0)点，求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．)在函数图象上，解：由已知函数图象易得：点(0,0)、(1,32)代入可排除D.将点(0,0)代入可排除A、C，将(1,32故选B．6.答案：B解析：本题主要考查了用向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题．由题意利用两个向量的数量积定义，求得m⃗⃗⃗ 与n⃗夹角的余弦值．解：非零向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|2=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2，即m⃗⃗⃗ 2+2m⃗⃗⃗ ·n⃗+n⃗2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ·n⃗+4n⃗2∴m⃗⃗⃗ ·n⃗=1n⃗2，2设向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为θ，|n⃗|2，则|m⃗⃗⃗ |·|n⃗|cosθ=2|n⃗|2cosθ=12∴cosθ=14， 即m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角的余弦值为14． 故选B ． 7.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和性质，属于较易题．根据已知求公比，然后利用通项求项．解：因为a 2+a 5=3，a 5+a 8=6，所以a 5+a 8a 2+a 5=a 1q 4+a 1q 7a 1q+a 1q 4=q 3=2，因为a 2+a 5=a 2(1+q 3)=3，所以a 2=1，则a 11=a 2q 9=1×23=8，故选B ．8.答案：B解析：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于中档题.如图所示，过F 作直线l 与一条渐近线平行，可得直线l 的方程为y =ba (x −c)，与双曲线方程联立解得点M 的坐标，再利用FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 解：如图所示，∵过F 作直线l 与一条渐近线平行， ∴直线l 的方程为y =ba (x −c)， 联立{y =ba (x −c)x 2a 2−y 2b 2=1，化为x =a 2+c 22c，. ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a 2+c 22c−c =−12a 2+c 22c，化为c 2=3a 2， 解得e =ca =√3． 故选B ．9.答案：A解析：本题考查利用对数函数的性质比较大小，涉及对数运算，属于基础题． 由对数函数的换底公式可知b <c ，再由a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．解：因为b =log 52=lg2lg5，c =log 32=lg2lg3， 由lg5>lg3，则b <c ，且a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，所以a <b <c ． 故选A ．10.答案：B解析：本题主要考查直线与抛物线的关系，以及抛物线的性质．利用比例关系求出PM =2PN ，进而求出直线方程，联立得到交点，即可得答案 解：如图所示：过点P 作PN 垂直于准线x =−1， 根据抛物线的定义，可知PN =PF ， 又因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PM =2PN ，所以∠PMN =30°，则∠MFO =60°， 所以直线l 的方程为y =√3(x −1)，所以{y =√3(x −1)y 2=4x，解得x P =13,x Q =3， 所以|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+1=43． 故选B ．11.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式即可求得φ的值． 解：函数的图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，又，所以，|φ|<π，则φ=π3，故选C．12.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查概率的实际应用，理解题意是解题的关键，属于中档题．由题意，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，再利用导数求f(p)最大值可得结论．解：由题意，该家庭第5个人检测为阳性的概率为(1−p)4p，该家庭第6个人检测为阳性的概率为(1−p)5p，∴该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，(0< p<1)，∴f′(p)=4(p−1)3p+(1−p)4−5(1−p)4p+(1−p)5=(p−1)3(−6p2+12p−2)，令f′(p)=0，∵0<p<1，∴−6p2+12p−2=0，即3p2−6p+1=0，解得p=1−√63或p=1+√63(舍去)易知0<p<1−√63时，f′(p)>0，f(p)单调递增，1−√63<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减，∴p=p0=1−√63时，f(p)最大．故选A．13.答案：−3解析：本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，作出可行域，由目标函数变形得y=32x−z2，根据可行域找出最优解即可，属于基础题．解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z =3x −2y 得y =32x −z2，由图象可知当直线y =32x −z2经过点A 时，截距最大，即z 最小． 解方程组{2x +y +2=0x −y +1=0得x =−1，y =0，即A(−1,0)．∴z 的最小值为−3+0=−3． 故答案为−3．14.答案：−1解析：本题考查了奇函数的性质，以及对数的运算性质的应用，考查了化简、变形能力，属于基础题． 根据奇函数的性质：f(−x)=−f(x)列出方程，利用对数的运算性质化简后求出a 的值． 解：∵函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则lg (21+x +a)=−lg (21−x +a)=lg 1−x2+a−ax ， ∴21+x+a =1−x 2+a−ax，化简得(a +1)(a −1)x 2=(a +1)(a +3)，则当a =−1时上式恒成立， 故答案为−1．15.答案：60解析：本题考查了排列组合的综合应用，分类加法计数原理的应用，属于基础题．分两种情况：若“角”在头或尾和若“角”不在头或尾，也不在第四位，并结合分类加法计数原理解答即可．解：若“角”在头或尾，则有2×3×A33=36种；若“角”不在头或尾，也不在第四位，则有2×2×A33=24，故共有36+24=60种．故答案为60．16.答案：解析：【试题解析】本题考查了球的表面积和体积，线面垂直的判定，线面垂直的性质和二面角，属于中档题．取BD的中点E，连接PE、CE，利用平面几何知识得BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=3√3，再利用二面角平面角定义得∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，从而得，设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，利用平面几何知识得EG=EH=√3，连接OP、OG、OH、OE，利用球心与小圆圆心的连线与小圆所在平面垂直得OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径，再利用线面垂直的性质得OG⊥BD，OH⊥BD，再利用线面垂直的性质得BD⊥平面POE，BD⊥平面OEC，再利用过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直得平面POE与平面OEC重合，再利用线面垂直的性质得OG⊥PE，OH⊥EC，再利用平面几何知识得，从而得和，再解得OP，最后利用球的表面积公式，计算得结论．解：如图：因为在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以△ABD和△BCD都是边长为6的正三角形，现将△ABD沿对角线BD折起得到△PBD，因此△PBD也是边长为6的正三角形．取BD的中点E，连接PE、CE，则BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=√32×6=3√3，因此∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，所以．设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，则EG=EH=13PE=√3．连接OP、OG、OH、OE，则OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径．又因为BD⊂平面PBD，BD⊂平面BCD，所以OG⊥BD，OH⊥BD．又因为OG∩PE=G，OG、PE⊂平面POE，所以BD⊥平面POE，同理可得BD⊥平面OEC，因此由过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直知：平面POE与平面OEC重合．又因为OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，PE⊂平面PBD，EC⊂平面BCD，所以OG⊥PE，OH⊥EC，因此，所以，因此．在中，PG=23PE=23×3√3=2√3，因此OP=√PG2+OG2=√21，所以三棱锥P−BCD的外接球的表面积为．故答案为．17.答案：解：(1)在ΔABD中，由正弦定理得，，在ΔADC中，由正弦定理得，，因为AB=AC，sin∠ADB=sin∠ADC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD，所以DC=3BD=3，(2)在ΔABD中，由余弦定理得，，在ΔADC 中，由余弦定理得，，因为AB =AC ，AD =2，BD =1，DC =3，cos∠ADB =−cos∠ADC ， 所以4+1+2×2×1×cos∠ADC =4+9−2×2×3×cos∠ADC ， 解得cos∠ADC =12， 所以∠ADC =60°， 所以=2√3．解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式． (1)利用正弦定理，即可得；(2)利用余弦定理，以及三角形的面积公式，即可得．18.答案：(1)证明：取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴AB =BC =2． ∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴CO ⊥AB ，OC =√3． ∵PA ⊥PB ，∴PO =12AB =1．∵PC =2，∴OP 2+OC 2=PC 2，∴CO ⊥PO ． ∵AB ∩PO =O ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．(2)∵OP 2+OA 2=12+12=(√2)2=PA 2，∴PO ⊥AO ． 由(1)知，平面PAB ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴直线OC ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，B(0,1，0)，C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，P(0,0，1)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)．设平面APC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{y 1+z 1=0,√3x 1−z 1=0,取x 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n ⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x 2−z 2=0,2y 2=0,取x 2=1，得n ⃗ =(1,0，√3)， ∴cos 〈m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |·|n ⃗⃗ |=2√77， 由图易知二面角A −PC −D 为锐二面角， ∴二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题． (1)先证明CO ⊥平面PAB ，再根据面面垂直的判定定理即可得到答案；(2)建立空间直线坐标系，求出半平面的法向量，进而求出它们的夹角的余弦值，即可得到二面角A −PC −D 的余弦值．19.答案：解：(1)记“从A 生产线上抽检到合格品”为事件A ，“从生产线B 上抽检到合格品”为事件B ，“从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ， 则P(C)=1−P(A)⋅P(B)=1−(1−p)[1−(2p −1)]=1−2(1−p)2⩾0.995， 解得p ⩾0.95 ，故p 的最小值p 0=0.95．(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1 ，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，且E(Y 1)=E(5X 1)=5E(X 1)=5×1000×0.05=250(元)， E(Y 2)=E(3X 2)=3E(X 2)=3×1000×0.1=300(元)， 故估计B 生产线挽回的平均损失较多． ②X 的取值为10，8，6， 用样本的频率分布估计总体分布， 则P(X =10)=20+35200=1140，P(X =8)=60+40200=12，P(X =6)=20+25200=940，∴X 的分布列为：∴E(X)=10×1140+8×12+6×940=8.1(元)， 设该厂产量2000件时的利润为Y ，则E(Y)=E(2000X)=2000E(X)=2000×8.1=16200(元).解析：本题考查概率的求法及应用，离散型随机变量的数学期望的求法，离散型随机变量及其分布列，考查运算求解能力，是中档题．(1)记′′从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ，则P(C)=1−(1−p)[1−(2p −1)]，再根据题意列出不等式求解即可；(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，分别求解； ②X 的取值为10，8，6，从而求得分布列，求解即可．20.答案：解：(1)由题意可知，{a 2−b 2=334a 2+1316b 2=1，解得a =2，b =1，则椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则直线A 1Q 的方程为y =t3(x +2)， 将直线方程代入椭圆方程消去y 得，(4t 2+9)x 2+16t 2x +16t 2−36=0， ∵x 1×(−2)=16t 2−364t 2+9，∴x 1=−8t 2+184t 2+9，代入直线方程解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理可得N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，k MN =4t 4t 2+1−12t4t 2+98t 2−24t 2+1−−8t 2+184t 2+9=−2t4t 2+3，直线MN 的方程为y −12t4t 2+9=−2t4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，即y =−2t4t 2+3(x −4)，故直线MN 过定点(4,0)．解析：【试题解析】本题考查直线椭圆位置关系的综合应用，属于较难题．(1)利用焦点坐标以及点的坐标满足方程得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 即可；(2)设出Q ，M ，N 坐标，写出直线A 1Q 的方程，与椭圆联立方程组，结合根与系数的关系求出M 点坐标，同理求出N 点坐标，写出直线MN 方程，即可得到定点坐标．21.答案：(1)设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx +xsinx −1，g′(x)=xcosx ．当x ∈(0, π 2)时，g′(x)>0；当x ∈( π 2,π)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0, π 2)单调递增，在( π 2,π)单调递减． 又g(0)=0，g( π 2)>0，g(π)=−2， 故g(x)在(0,π)存在唯一零点． 所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点．(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a ≤0． 由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x 0， 且当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0； 当x ∈(x 0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x 0)单调递增，(x 0,π)单调递减． 又f(0)=0，f(π)=0，所以，当x ∈[0,π]时，f(x)≥0．又当a ≤0，x ∈[0,π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax ． 因此，a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查导数与函数的零点．(1)令g(x)=f′(x)，再对g(x)求导后分类讨论；(2)根据第一问单调性求解参数a的取值范围．22.答案：解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．曲线M的普通方程为(x−1)2+(y−1)2=1，即x²+y²−2x−2y+1=0，因为，，x2+y2=ρ2，所以极坐标方程为．(2)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ=α代入，得，当α∈(0,π4]时，，所以，根据极坐标的几何意义，，分别是点A，B的极径．从而：．当α∈(0,π4]时，α+π4∈(π4,π2]，故的取值范围是(2,2√2]．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(1)消去参数φ可得曲线M的普通方程，进而求出M的极坐标方程；根据题意可得直线l的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义可得，再利用三角函数的性质即可求解．23.答案：(1)解：∵f(x)=|2x+a|+|2x−b|+2≥|2x+a−(2x−b)|+2=|a+b|+2，当且仅当(2x+a)(2x−b)≤0时，“=”成立，∴f(x)的最小值为|a+b|+2=3，∴|a+b|=1，∴a+b=±1．(2)证明：a>0，b>0，由(1)得：a+b=1，∴4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba +ab≥5+2×2=9，当且仅当4ba =ab,且a+b=1即a=23,b=13时取“=”，∴3−log3(4a +1b)≤3−log39=1=a+b，故命题得证．解析：本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明．属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值，即得a+b的值；(2)利用基本不等式证明．。
2020年广东省湛江市师范学院附属中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年广东省湛江市师范学院附属中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为() A．B．C．D．参考答案：D2. 设集合，则等于A. B. C. D.参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算．A1B 解析：,∴ ,又∵,∴.故选B.【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．3. 极坐标方程表示的曲线为（）A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线参考答案：D略4. 设函数其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数不同零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B略5. 在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是A．（1，4）B．（—1，4）C．（—∞，4）D．（4，+∞）参考答案：D试题分析：由题意，．考点：二元一次不等式表示的平面区域．6. 已知集合M={1，2，3，4}，则集合P={x|x∈M，且2x?M}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：C【考点】集合中元素个数的最值．【分析】根据题意，写出集合P即可．【解答】解：根据题意，若1∈P，则2×1=2∈M，故不满足题意；若2∈P，则2×2=4∈M，故不满足题意；若3∈P，则2×3=6?M，故满足题意；若4∈P，则2×4=8?M，故满足题意；综上，P={3，4}，所以集合P的子集有：?，{3}，{4}，{3，4}，故选：C．【点评】本题考查集合的定义及子集，属于基础题．7. 设集合，，则( )A． B. C． D.参考答案：C试题分析：，，；故选C．【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合以及集合的运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意其代表元素的意义，如表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数的图象.考点：1.集合的表示；2.集合的运算．8. 已知，且，则等于A．B．C．D．参考答案：A因为,所以,解得,因为,所以；本题选择A选项.9. 设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A．B． C. D．参考答案：A10. 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）....参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则_____________．参考答案：12. 如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，数列的前项和为，则=参考答案：13. 若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为___________.参考答案：略14. 是虚数单位，= ▲ .参考答案：15. 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为．参考答案：﹣8058【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．【解答】解：在f（x）=x+sinπx﹣3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）﹣6=2+sin（x1π）+sin（2π﹣x1π）﹣6=﹣4，∴f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（﹣4）+f（）=﹣8056+（1+sinπ﹣3）=﹣8058．故答案为：﹣8058．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．16. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于．参考答案：63略17. 设U=，A=，若，则实数m=____参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省湛江市2020届高三数学下学期模拟考试试题理含解析
广东省湛江市2020届高三数学下学期模拟考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合{}|14M x x =-<<，{}2|3100N x x x =+-≤，则MN =（ ）A. {}|15x x -<≤B. {}|12x x -<≤C. {}|11x x -<≤D. {}|54x x -≤<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ,即可根据交集的运算求出M N ⋂.【详解】∵{}{}2|310052N x x x x x =+-≤=-≤≤,而{}|14M x x =-<<,∴MN ={}|12x x -<≤.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题. 2.设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）B. 1C. 2【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ．【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A. 25B. 32C. 35D. 40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．4.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分 96 9596 89 9798嘉宾评分平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A. 122x x x +=B. 122x x x +>C.122x x x +<D.12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】 【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A. 3()3x f x x=-B. e e ()x xf x x--=C. 2()f x x x=- D.||e ()xf x x= 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C.故选：A ．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．6.若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.35B. 35±C.12D. 12±【答案】A 【解析】 【分析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件得出a b =，在等式2a b a b +=-两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，可得a b =，在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5θ=. 故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ）A. 9B. －9C.212D. 214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.8.已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2C.【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a =-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bc b a a k c a b-==-=-，222b a∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题.9.已知0.3log 0.5a =，3log 0.5b =，0.5log 0.9c =，则（ ） A. ab ac a b <<+ B. a b ab ac +<< C. ac ab a b <<+ D. ab a b ac <+<【答案】D 【解析】 【分析】先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.【详解】∵0.30.30.30log 1log 0.5log 0.31=<<=,即01a <<,33log 0.5log 10<=,即0b <,0.50.50.50log 1log 0.9log 0.51=<<=,即01c <<,∴0,01ab ac <<<,即有ab ac <. ∵0.50.50.5log 0.3log 3log 01.91c a b ++===,即01a bc ab+<=<, ∴0ab a b <+<. 综上, ab a b ac <+<. 故选：D ．【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.10.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ） A. 6 B. 9C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出1()3f x =和3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭, 再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将函数()g x 的图象向右平移34π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,3sin 2126x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令6x πθ=-,则231sin cos 212sin 3θθθ=⇒=-=,显然,13cos 2sin 3θθ=⇒=∴1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题12.如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.【答案】（1）36CD =（233【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求出sin CDA ∠,再根据正弦定理即可求出CD ；（2）分别在ADC ∆和BDC ∆中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB ，再根据余弦定理求出AB ，即可根据1sin 2S AC AB A =⋅⋅求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）由1cos 3CDB ∠=-，得1cos 3CDA ∠=，所以22sin 3CDA ∠=.由正弦定理得，sin sin CD AC A CDA =∠，即3223=，得36CD =. （2）由正弦定理，在ADC ∆中，sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，①在BDC ∆中，sin sin DB CBBCD BDC=∠∠，②又sin sin ADC BDC ∠=∠，2AD DB =，sin 7sin ACD BCD ∠=∠，由①②得7CB =， 由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅， 即2742AB AB =+-，解得3AB =， 所以ABC ∆的面积133sin 22S AC AB A =⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．13.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，11AB CB =.（1）证明：平面11BDD B ⊥平面ABCD ；（2）若60DAB ∠=︒，1DB B ∆是等边三角形，求二面角11A BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）0 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明AC ⊥平面11BDD B 即可．由ABCD 为菱形可得AC BD ⊥，连接1B 和AC 与BD 的交点O ， 由等腰三角形性质可得1B O AC ⊥，即能证得AC ⊥平面11BDD B ；（2）由题意知，1B O ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系Oxyz ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，再分别求出平面1C BD 的法向量，平面1A BD 的法向量，即可根据向量法求出二面角11A BD C --的余弦值． 【详解】（1）如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接1B O ，又ABCD 为菱形，故AC BD ⊥，O 为AC 的中点. 又11AB CB =，故1B O AC ⊥.又BD ⊂平面11BDD B ，1B O ⊂平面11BDD B ，且1BD B O O =，故AC ⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ABCD ， 所以平面11BDD B ⊥平面ABCD .（2）由1DB B ∆是等边三角形，可得1B O BD ⊥，故1B O ⊥平面ABCD ，所以1B O ，AC ，BD 两两垂直.如图以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设2AB =，则3AO =13OB ，则3,0,0)A ，(0,1,0)B ，13)B ，(0,1,0)D -，1(3,13)A -，1(3,13)C --，设()111,,n x y z =为平面1C BD的法向量，则10,0,n BD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,330,y x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩可取(1,0,1)n =， 设()222,,m x y z =为平面1A BD 的法向量，则10,0,m BD m OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,330,y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取(1,0,1)m =-，所以cos ,0n m n n mm ⋅<>==.所以二面角11A BD C --的余弦值为0.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 14.某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm ，只要误差的绝对值不超过0.03cm 就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.【答案】（1）0.01025（2）51 【解析】 【分析】（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值X 的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为x ，可根据上述方法求出21(1)P x =--，解21(1)0.8x --≥，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差绝对值X 的频率分布列为下表：所以X 的数学期望的估计为()00.40.010.30.020.20.030.0750.040.0250.01025E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B ，则2316()10.640.8525P B ⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭，故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为x ，由题意2()1(1)0.8P B x =--≥，又01x <<，解得1x ≥-所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得22222311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++，综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.16.设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.（1）若1a =，证明()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点；（2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '，再由函数()f x '的导数可知，函数()f x '在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点；（2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x ->+，构造函数sin ()2cos xF x ax x=-+，利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围． 【详解】（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-， 设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<，又函数()h x '是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>.综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递减.又2022f ππ⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点.（2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立，若()0f x >，则sin 02cos x ax x ->+，设sin ()2cos xF x ax x=-+，222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭. 故当13a ≥时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有10222F a ππ⎛⎫=⨯-< ⎪⎝⎭，与条件矛盾，舍去； 当103a <<时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-， 又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点， 设最小的零点为1x ，则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.于是，当()10,x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos xax x-<+，与条件矛盾.故a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．17.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）:20l x y +-=，()22:11C x y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得22sin ρρθ=，进而可化简得出曲线1C 的直角坐标方程；（2）根据变换得出2C 的普通方程为2214x y +=，可设点P 的坐标为()2cos ,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【详解】（1）由2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）2=-，化简得20x y +-=， 故直线l的普通方程为20x y +-=.由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.所以1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）由（1）得曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=，向下平移1个单位得到221x y +=，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线2C 的方程为2214x y +=，所以曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.故点P 到直线l的距离为d ==， 当4πθ=时，d最小为5. 【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 18.已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为12. （1）求证：21a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）最大值为9. 【解析】 【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由2a b tab +≥可得出12t a b ≤+，并将代数式12a b+与2+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得12a b+的最小值，进而可得出实数t 的最大值. 【详解】（1）()3,22,23,a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+<-⎪⎪⎪=++-=++-≤<⎨⎪+-≥⎪⎪⎩.当2a x <-时，函数()y f x =单调递减，则()2a f x f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭；当2ax b -≤≤时，函数()y f x =单调递增，则()()2a f f x f b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭； 当x b >时，函数()y f x =单调递增，则()()f x f b >. 综上所述，()1222a af x f b ⎛⎫≥-=+= ⎪⎝⎭，所以21a b +=；（2）因为2a b tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以2a bt ab +≤恒成立，即min21t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.因为()2121222559b a a b b a b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时等号成立，所以9t ≤，实数t 的最大值为9.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题一理含解析
广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题（一）理（含解析） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合1|1||M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{|lg 0}N x x =>，则()R M N =（ ） A. ∅B. (1,1)-C. (1,)+∞D. (,1)-∞- 【答案】D【解析】【分析】解出集合,M N ，再求出R N ，根据交集定义即可求得()R M N . 【详解】由11||x <，解得1x <-或1x >， {|1M x x ∴=<-或1}x >．由lg 0x >，解得1x >，{|1}N x x ∴=>．{|1}R N x x ∴=．(){|1}R M N x x ∴=<-．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题.2. 已知复数z 满足||2z i -（i 是虚数单位），则||z 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】 由复数的几何意义可知Z 对应的轨迹，从而得到||z 的最大值.【详解】由复数的模的几何意义可知，复数z 在复平面内对应的点Z 的轨迹为：以(0,1)为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）． 而||z 表示点Z 到点(0,0)的距离，所以当点Z 为()0,3时，||z 最大，故||z 的最大值是3.故选：B ．【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题.3. 已知136a =，2log b =，21.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】C【解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵32223log log 22b ===，21.2 1.44c ==，136a =， ∴331366a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=． ∵3327628⎛⎫=< ⎪⎝⎭， ∴a b c >>．故选：C ．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。
广东省湛江市美术中学2020年高二数学理模拟试卷含解析
广东省湛江市美术中学2020年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192 B．202 C．212 D．222参考答案：C【考点】归纳推理；等差数列与等比数列的综合．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212．故选C．2. 命题，命题，命题p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：命题，显然但不能推出，所以是的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件与必要条件.3. 已知，，，则，，的大小顺序为（）A．B．C．D．参考答案：D4. 设函数在区间的导函数，在区间的导函数，若在区间上的恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若当实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A． B． C．D．参考答案：D5. 已知椭圆的方程为，则该椭圆的长半轴长为（）A．3 B.2 C．6 D.4参考答案：A略6. 双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3）B．（3，0）C．（0，1）D．（1，0）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．7. b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 以下说法正确的是( )A．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B．在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D．在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件参考答案：B考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：利用综合法证题思路（执因索果）与分析法的证题思路（执果索因）及充分条件与必要条件的概念即可得到答案．解答：解：设已知条件为P，所证结论为Q，综合法的证题思路为执因索果，即P?Q1?Q2?…?Q n?Q，∴在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故A错误，B正确；分析法的证题思路是执果索因，即Q?Q n?…?Q2?Q1?P显然，在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件，故C错误；在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的充分条件．故选B．点评：本题考查分析法与综合法的应用，考查充分条件与必要条件的概念，属于中档题．9. 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线参考答案：A略10. 已知函数，若，则a=A、 B、 C、1 D、2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中,，则A=______________。
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={y|y=3x−5,x∈A}，则A∩B=()A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,4}2.复数z=51−2i+(2+4i)i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=()A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √554.高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是()A. 30B. 31C. 32D. 335.函数y=sin2x1+cosx的部分图象大致为()A. B.C. D.6.已知a为函数f(x)=x3−12x的极大值点，则a=()A. −4B. −2C. 4D. 27.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为()A. 2√23πB. 4√23πC. 4√2πD. 83π 8. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为( )A. −2B. −2或−1C. 1或−3D. −2或13 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(c +b)(c −b)=4a 2且sinB =√3sinA ，则C 等于( )A. π3B. π2C. 2π3D. 5π6 10. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )． A. 54 B. 32 C. 2 D. 311. 矩形ABCD 中，BC =2AB =2，N 为边BC 的中点，将▵ABN 沿AN 翻折成▵B 1AN(B 1∉平面ABCD)，M 为线段B 1D 的中点，则在▵ABN 翻折过程中，下列命题：①与平面B 1AN 垂直的直线必与直线CM 垂直；②线段CM 的长为√32；③异面直线CM 与NB 1所成角的正切值为√33；④当三棱锥D −ANB 1的体积最大时，三棱锥D −ANB 1外接球表面积是4π.正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 12. 已知直线y =2x +m 与椭圆C ：x 25+y 2=1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当△AOB 的面积取得最大值时，|AB|=( )A. √21021 B. 5√4221 C. 2√427 D. 3√427二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量a⃗=(x+1,2)和向量b⃗ =(1,−1)平行，则|a⃗+b⃗ |=______ ．14.设x，y满足约束条件{x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z=3x−2y的最小值为________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为____________．16.已知(1+2x)11=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10+a11x11，则a1−2a2+⋯−10a10+11a11=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正数数列{a n}满足：S n=n2+2n−2，其中S n为数列{a n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项a n；(2)令b n=1a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE ⊥平面PBD 时，求二面角P −BD −E 的余弦值．19. 为了庆祝改革开放40周年，某社区举办有奖答题知识竞赛活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，抢答一道题目，甲抢答正确的概率为23，乙抢答正确的概率为12．(1)甲抢答了4道题目，求至少有3道抢答正确的概率；(2)若甲、乙两人各抢答了2道题，记两人抢答正确题目的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．20. 已知函数f(x)=blnx +x 2，其中b 为实常数．(Ⅰ)当b =−1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若任意x ∈[1,e]，f(x)−(b +2)x ≥0恒成立，求实数b 的取值范围．21. 已知抛物线C 经过点(3,6)且焦点在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线l ：y =kx −3过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t t+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查了集合的交集，属于基础题．化简集合B，根据交集的概念直接求即可．解：集合A={1,2，3，4}，B={y|y=3x−5,x∈A}={−2,1，4，7}，则A∩B={1,4}．故选B．2.答案：B解析：解：∵z=51−2i +(2+4i)i=5(1+2i)(1−2i)(1+2i)+2i−4=−3+4i，∴z在复平面内对应点的坐标为(−3,4)，位于第二象限．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．解：由题意得sin2α=45=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1，∴tanα=2或tanα=12．由α∈(π4,π)可知tanα=2，即sinα=2cosα．结合sin2α+cos2α=1可得cosα=√55．故选D．4.答案：C解析：本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么．解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是564=14，且第一组抽出的学号为4，那么每组抽出的学号为4+14(n−1)，其中n=1、2、3、4；所以第二组抽取的学号为4+14×2=32．故选：C．5.答案：A解析：解：函数y=sin2x1+cosx 满足f(−x)=−sin2x1+cosx=−f(x)，函数的奇函数，排除D、C，因为x∈(0,π2)时，y=sin2x1+cosx>0，此时对应点在第一象限，所以排除B，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．6.答案：B解析：本题主要考查了利用导数求极值，考查计算能力，属于基础题．利用导数求函数的极值即可得结果．解：f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2，易得f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，故f(x)的极大值点为−2，即a=−2，故选B．7.答案：A。