2021中考相似三角形讲义
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形知识点讲义
相似三角形知识点讲义知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，或者说是相似形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点2 比例线段的相关概念两条线段长度的比叫做这两条线段的比。
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm ba =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad cb =．例题⒈若AB =1m ，CD =25cm ，则AB ∶CD = ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= . ⒉若MN ∶PQ =4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ， PQ= MN 。
知识点3 比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::； (2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 例1若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a =5㎝，b =7㎝，c =4㎝，则,d = ． 例2若a·b=c·d 则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 例3已知4x －5y =0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．例4若x ∶y ∶z =2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ； 例5设x 3 =y 5 =z 7 ，则x+y y =__ _，y+3z 3y-2z =__ __.；其中032≠+-f d b ．例6若kba c ca b cb a =+=+=+，求k 的值。
2021九年级中考数学总复习相似三角形课件
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4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD 于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ B ） A．4 B．7 C．3 D．12 5．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形 ，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0）， 则点C的坐标为（ B ） A．（1，2） B．（1，1） C．（ ， ） D．（2，2 12）
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【变式4】如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城 墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么 该古城墙的高度CD是 8 米．
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所 得的对应线段成比例.
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知识点四 相似三角形的判定
判定1
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似.
判定2 三边成比例的两个三角形相似.
判定3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定4 两角分别相等的两个三角形相似.
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解：由题意可得：△DEF∽△DCA，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴ 0.5 0.25 ， 20 AC
解得：AC=10， 故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）， 答：旗杆的高度为11.5m．
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【变式3】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个 目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC， 点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得 BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ B ） A．60m B．40m C．30m D．20m
初三相似三角形讲义
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似ABC⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
第17讲 相似三角形-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)
第17讲相似三角形知识梳理1 线段的比与成比例线段2 比例的性质3平行线分线段成比例定理4相似三角形的判定5相似三角形的性质6位似图形5年真题命题点1 相似三角形的性质1．（3分）（2018•广东）在△AB C中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC 的面积之比为（C）A．12B．13C．14D．163年模拟1．（2020•顺德区模拟）如图，在△AB C中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（C）A．1B．2C．3D．42．（2020•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（B）A．1：4B．1：2C．2：1D．1：168．（2019•罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为12把△ABC缩小，则点B的对应点B′的坐标是（D）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）或（1，﹣2）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）4．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（D）A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米5．（2020•高州市模拟）如图，在菱形ABC D中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD 于点E、F，CE＝2，连结CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E 到AB 的距离是√3； ③△ADF 与△EBF 的面积比为3：2； ④△ABF 的面积为18√35，其中一定成立的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．4B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝6，∴BC ＝AB ＝6， ∵∠DAB ＝60°，∴AB ＝AD ＝DB ＝6，∠ABD ＝∠DBC ＝60°，在△ABF 与△CBF 中，{AB =BC∠ABF =∠FBC BF =BF ，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），故①成立；如图，过点E 作EG ⊥AB 延长线于点G ；过点F 作MH ⊥AB 交AB ，CD 于点H ，M ， 则由菱形的对边平行可得MH ⊥CD ，∵CE ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝120°， ∴BE ＝6﹣2＝4，∠EBG ＝60°∵EG ⊥AB ， ∴EG ＝4sin60°＝4×√32=2√3，故②不成立；∵AD ∥BE ，∴△ADF ∽△EBF ， ∴S △ADF S △EBF=(AD BE)2=(64)2=94，故③不成立；∵△ADF ∽△EBF ，∴DFFB =ADEB =32， ∵DB ＝6，∴BF =125，∴FH ＝BF •sin ∠FBH =125×sin60°=6√35， ∴S △ABF =12AB •FH =18√35，故④成立．综上一定成立的有①和④．故选：B ． 6．（2020•潮南区模拟）△ABC 与△DEF 相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为 1：2 ． 7．（2020•梅州模拟）如图，距离不远的两条电线杆高度均为3.2m ．在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长AB ＝4.8m ，第二条电线杆离墙的距离CD ＝3m ，且第二条电线杆的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE 长度为 1.2 m ．8．（2020•海珠区一模）如图，已知△AB C中，AB＝BC＝10，tan∠ABC=34．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线EF与边AB、BC的交点分别为E，F，求AEBE的值．解：（1）作A作AE⊥BC，如图1，在Rt△AB D中，tan∠ABC=ADBD =34，AB＝10，∴AD＝6，BD＝8，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣8＝2，在Rt△AC D中，根据勾股定理得：AC=√22+62=2√10；（2）如图2，连接CE，∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF＝5，∵tan∠EBF=EFBF =34，∴EF=154，在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE=√BF2+EF2=254，∴AE＝10−254=154，则AEBE=35．9．（2020•三明模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒l cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP 、FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒． （1）求t ＝9时，△PEF 的面积；（2）直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得△PEF 的面积等于40cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，△EOP 与△BOA 相似．解：（1）∵EF ∥OA ，∴∠BEF ＝∠BOA 又∵∠B ＝∠B ，∴△BEF ∽△BOA ， ∴EF OA=BE BO，当t ＝9时，OE ＝9，OA ＝20，OB ＝15，∴EF =20×615=8，∴S △PEF =12EF •OE =12×8×9＝36（cm 2）；（2）∵△BEF ∽△BOA ， ∴EF =BE⋅OA BO=(15−t)⋅2015=43（15﹣t ），∴12×43（15﹣t ）×t ＝40， 整理，得t 2﹣15t +60＝0， ∵△＝152﹣4×1×60＜0， ∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF 的面积等于40cm 2的t 值； （3）当∠EPO ＝∠BAO 时，△EOP ∽△BOA ， ∴OP OA=OE OB，即20−2t 20=t15，解得t ＝6；当∠EPO ＝∠ABO 时，△EOP ∽△AOB ， ∴OPOB =OEOA ，即20−2t 15=t20，解得t =8011．∴当t ＝6或t =8011时，△EOP 与△BOA 相似．。
2021年中考数学复习第27讲 相似三角形(精讲课件)
2．性质
(1)相似多边形对应角⑯ 相等 ，对应边⑰ 成比例 .
(2)相似多边形的周长比等于⑱ 相似比 ，面积比等于
⑲ 相似比的平方 .
考点Байду номын сангаас讲
对对应应训训练练
5．(2020·江西模拟)下列各组图形一定相似的是( D ) A．任意两个平行四边形 B．任意两个矩形 C．任意两个菱形 D．任意两个正方形
考考点点精精讲讲
对应训练
考 点 五 位似图形
1．定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线 都经过同一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫 作位似中心．
考考点点精精讲讲
对应训练
2．性质 (1)两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质． (2)对应点的连线都经过同一点． (3)对应边互相⑳ 平行 或在同一条直线上． (4)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k， 那么位似图形上的对应点的坐标比等于k或－k.
对应训练
3．平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线)，所 得的对应线段成比例
考点精讲
对对应应训训练练
1．(2020·江西上饶模拟)已知 2x＝3y，则下列各式错误的
是( C )
A．x3 ＝2y
B．xy ＝32
C．x2 ＝3y
a＋c＋…＋m b＋d＋…＋n
＝ab
考考点点精精讲讲
对应训练
2．黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，
且②
AC AB
＝ABCC
，那么就说线段 AB 被点 C 黄金分割，点
C 叫做线段 AB 的③黄金分割点，AC 与 AB 的比叫黄金比，即
初三相似三角形讲义
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
2021年中考专题复习-相似三角形 讲义
相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）；如果::a b c d =（或a c bd=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例．二、比例的性质（1） 基本性质： 如果a c bd=，那么ad bc =；如果a c bd=，那么b d ac=，a b cd=，c d ab=．（2） 合比性质：如果a c bd=，那么a b c d bd++=；如果a c bd=，那么a b c d bd--=．（3） 等比性质：如果a c k bd==，那么a c a c k b dbd+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c bd=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB-=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDBEC=．六、三角形一边的平行线性质定理推论APBlAB CDEABC D EAB CDE ll平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE // BC ，那么DE AD AEBCAB AC==．七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．ABCDE如图，在ABC∆中，直线l与AB、AC所在直线交于点D和点E，如果AD AEDB EC=，那么l//BC．十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线1l//2l//3l，直线m与直线n被直线1l、2l、3l所截，那么DF EGFB GC=．AB CD EAB CD E AB CDEB CD EF GABCDE十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ）A ．BE BC BDBA=B ．CE AD BEBD=C ．BD DE BAAC=D ．BC CE ABAD=【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B 两地的实际距离是______km ．例题解析E【例3】 （2015学年·普陀区二模·第5题）如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ．【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，FEDAB CCE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ． 求证：CG 是EG 与FG 的比例中项．【例6】 已知线段AB=10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP=______．【例7】 已知23a c e bdf ===，18a c e =--，0b d f ++≠，求b d f ++的值．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到A BCDEF A B CDEFG直角顶点的距离为______．【例9】 如图，已知AD// EF//BC ，AE=3BE ，AD=2，EF=5，那么BC=______．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．MAFBECD【例11】 如图，BD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在BC 、AB 上，且DE//AB ，DEF A ∠=∠． （1）求证：BE=AF ；（2）设BD 与EF 交于点M ，联结AE ，交BD 于点N ，求证：BN MD BD ND =．ABCD EFM【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长．知识精讲模块二：相似三角形一、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE∆与ABC ∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三DABCE角形也相似． 二、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．A B CDEAB CDEAB CDEABCA 1B 1C 1三、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCA 1B 1C 1四、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 1五、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平AB C A 1B 1C 1方．【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．例题解析图1ABCDABCDEF【例14】 已知ABC ∆∽DEF ∆，且相似比为3 : 4，2ABC S ∆=cm2，则DEF S ∆=______ cm2．【例15】 如图，已知点D 是ABC ∆中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于点E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．BAC ∆∽BDA ∆B ．BFA ∆∽BEC ∆ C ．BDF ∆∽BEC ∆D ．BDF ∆∽BAE ∆【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值．A BCD EF ABCDE【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE//BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ） A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3ABCDMGABCDEF【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．CD【例21】 已知：如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且BAC BDC DAE ∠=∠=∠． （1）求证：ABE ∆∽ACD ∆； （2）求证：BC AD DE AC =．【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA的延长线上，CE 交AD 于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆；E DCBAABCDEFGH（2）若DF = AF ，求AC: BC 的值．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD=BH ；（2）AB 是AG 和HE 的比例中项．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB=AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E. （1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB =AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点CB AD EFA DABCD E F GF ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB=AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD//BC ，BC=2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠． 求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值．ABCPQ 【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______．随堂检测AEF P ABCMN【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMN ABCS S ∆∆的值为（ ）A ．23B ．13C ．14D ．49【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点ABC DF ECDP ，求证：AB = 3AP ．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM//FN ．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF. （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；ABCDEF（2）联结DE ，当BD=2CD 时，求证：DE=AF.【习题7】 已知正方形ABCD 的对角线相交于点O ，CAB ∠的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，作BH AF ⊥，垂足为H ，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G 、P ． （1）求证：AE = BG ； （2）求证：GO AG CG AO =．A BCDP G OFH EABCDEF【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB=4，11A B =6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE =3 cm ．求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．【作业3】 已知：如图，线段AB//CD ，AC CD ⊥，AC 、BD 相交于点P ，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点． （1）求证：AE // CF ；（2）如果AE 和DC 的延长线相交于点Q ，M 、N 分别是线段课后作业A BCD EFPAP 和DQ 的中点， 求证：MN = CE ．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形ABFD 是菱形； （2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =．【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF= DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ．（1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥,分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ．（1）求证：BE=BF ；EDCG FAB（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：AEB DEO∠=∠．。
中考数学专题复习讲座-相似三角形(学生版)
相似三角形第一部分 讲解部分 (一）课标要求1．理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用. 2．经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。
掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质;知道三角形的重心。
会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。
（二）知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比. 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS")③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS"）④两角对应相等（AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”)。
相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角)相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等.3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方.4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（三）考点精讲 考点一：平行线分线段成比例 例1、（2011广东肇庆）如图,已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ) A ． 7 B ． 7.5 C ． 8 D ． 8。
5例2（2012•福州） 如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 ．（结果保留根号）a b cA B C D E F m n练习： 1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10,AE ＝3，则CE 的值为( ) A ．9 B ．6 C ．3 D ．4ECDB A2．(2011山东泰安，15 ，3分)如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点,直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BCBE AE=3．（2012•孝感）如图，在△ABC 中,AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ） A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+考点二：相似三角形的判定例3、(2011湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E,∠CPD ＝∠A ＝∠B,BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有( ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）A 。
第21讲 相似三角形-2021年中考数学一轮复习知识考点精讲课件(黄石专版)
3.判定： (1)两角分别对应⑫___相__等_____的两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且⑬___夹__角_____相等的两个三角形相似；
(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(4)三边对应⑭__成__比__例____的两个三角形相似；
(5)如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边对应成比例，则这两个
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判定三角形相似的思路
1.有平行截线——用平行线的性质，找等角.
2.有一对等角，找
另一对等角； 该角的两边对应成比例
3.有两边对应成比例，找
夹角相等； 第三边也对应成比例； 斜边、直角边对应成比例
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4.等腰三角形，找
顶角相等； 一对底角相等； 底和腰对应成比例
三角形相似的分类讨论
AB 4
S ABC
【思路分析】(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点
N，连接MN，由重心的性质知S△ABM＝S△ACM，AAMG
＝2 .设
3
AF AC
＝a，利用
(2)中结论知 S AEG AE AG 1 , S AFG AG AF 2a，从而得
S ABM AB AM 2 S ACM AM AC 3
2 3
a，
则 S AEF S AEG S AFG S ABG S AFG 1 1 a .
S ABC
2S ACM
2S ABM 2S ACM 4 3
∵ S AEF AE AF 3 a ，
S ABC AB AC 4
∴ 1 1 a 3 a ，解得a＝ 3 ，
43 4
5
∴ S AEF 3 3 9 . S ABC 4 5 20