线性代数练习册-答案
第一章 行列式习题答案
二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案
1.计算下列二阶行列式 （1）
23112
=； （2）
cos sin 1sin cos θθθ
θ
-=；
（3）
111112122121
2222
a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221
12211221
1221a a a b b a b b （4）
11121112
21222122
a a
b b a a b b +
11221122
1221
1221a a b b a a b b
2.计算下列三阶行列式
（1）103
12
126231-=--；
(2)11
1213222332
33
a a a a a a a 112233
112332
a a a a a a 1122332332a a a a a
（3）a c b
b
a c
c b a
3
3
3
3a b c abc
3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.
123t 112217t
（3）()
()()
123225
24212n n n n ---
当n 为偶数时，2n
k ，排列为
143425
2122
21
223
412
k k k k k k
k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2
2
(1)
1
3
1
31
42
n k
k
k
k
k k
n
其中11(1)(1)k k 为143425
2122k k k k --+的逆序
数；k 为21k
与它前面数构成的逆序数；(1)
(2)
21k k
为
23,25,
,2(21)k k k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；
113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k
与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n
k ，排列为
142345
2122
23
225
412
k k k k k k
k k ++++++1122t k k
(1)21k k 2
2
1
3
32
3432n k
k
k
k
k k
n
其中1122k k 为142345
2122k k k k +++的逆序数；
(1)21k k 为23,25,
,2(21)k k
k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,
,2k k
与它们前面数构成的逆序数的
和.
4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i
j
，()()23162431655t i j t ==为奇排列.
5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -
6.按定义计算下列行列式：
（1）
0001
002003004000(4321)
(1)
2424
（2）
00
000000000
a c d
b (1342)
(1)
abcd abcd
7. 求123
0312()123
1
22x
x f x x x
x
-=
的展开式中4x 和3
x 的系数. 4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为
(4231)(1)3(3)11
9t
行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：
（1）200819861964
200919871965201019881966
；
解：32
21
20081986196411101
11
r r r r D
(2)
1
231231
2
3
111a a a a a a a a a +++；
解：231
2
3232
3
1
(1
)111
1
a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式
2131
2
31
2
331(1)0
10
1r r r r a a a a a a 123(1)a a a
（3）41
23
201320111601160
111
01110310
2
3
500
r r D
213
31
4
116
116(1)11102
7
3
50
818
r r r 20
（4）21
1
201110111611261112112211
10
1
00
c c D
31
4
1
10
1100(1)2612611622
1
223c c .
（5）0
010
010
1
D αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβ
++=
++.
()
40
1
100
101D αβ
αβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
+=++-+++ 3
2
2
12
D D D D D 4
3
2
2
3
4
2.证明：
（1）011=++++=
c
b a
d
b a d
c d
a c
b d
c b a
D １１； 证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有
1111(1)
01111
a b c d a b b c a d b c D
a
b
c
d c d a b c d d
a
b
c
d
a １１１１
（2）33()ax by ay bz
az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y ++++++=++++. 证明：左式12ax
ay
az
by
bz
bx
ay bz
az bx ax by ay bz
az bx ax by D D az bx ax by ay bz az bx ax by ay bz
=+++++++=+++++++
31
1r br x
y z
x y z D a ay bz
az bx ax by a ay bz az bx ax by
az bx ax by ay bz
az
ax
ay
-=+++=++++++23
223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a y
z x z
x
y
z
x
y
z
x
y
-=+++== 类似有1323
3
22(1)r r r r y
z x x y z D b z
x y y
z x x
y
z
z
x y ←?→←?→==-,
所以33()ax by ay bz
az bx
x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y
++++++=++++ 3.计算n 阶行列式
（1）n D =a
b b b b a b b
b
b a b
b b b a ...........................； 各行加到第一行后提取公因式有：
1
11...1...(1).....................n
b
a b b D a
n b b
b
a b
b b b a
211
1
11 (10)
0...0(1)0
0...
0
...n r br r br a
b a
n b a
b a b
1
(1)n a
n b a
b
（2）1
212121
2n n
a n a n D n a ++=
+12(0)n a a a ≠.
21
121
21
1121
21
2121
1
210012000
n
n n
r r n r r r n
r r a a n
n
a na a a n a a a
a a a a a a a -----++
++
+--=
=
--
11122
21211n n n n i i a na i
a a a a a a a a =????
=+++
+=+ ? ???
??
∑ 4.利用德猛行列式计算：
1111123414916182764D =
.
22223
3
3
3
11111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=
克拉默法则部分习题答案
1.用克拉默法则解线性方程组
（1）
1
22313223(0)0
bx ax ab
cx bx bc abc cx ax ；
解：0
02350b
a D c
b ab
c c
a
，21
20
23500ab a D bc c b
a bc a
22
200350
b ab D b
c b ab c c a ，220250
b
a a
b D
c bc abc c
1
2
3
,,x a x b x c
（2）12341234
1234123432125323348246642
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+-+=??-++-=??--+=?.
解：1
32
1
2532173
4
826
164
D --=
=----,11
32
1
3
532
344
4
82
216
4
D --=
=----
211212332034826
26
4
D --=
=---,313112
5321734
426
124
D =
=---,13212
533
853
4
84
6
162
D --==--- 12342,0,1,5x x x x =-===
2.当λ为何值时，齐次线性方程组
??
?
??=+=+-=++0 0
433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：34
10(1)(3)0
1
D
，
（1）
1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。
（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则
1或3时。经验证，1时方程组有非
零解，1231,1x x x ===-就是一组非零解.
3时方程组有非零解，
1233,1,3x x x ===-就是一组非零解.
第一章自测题与答案 第一章自测题
一.判断题（每题3分，共15分）
1.
14
23142332413241
00000
0000
a a a a a a a a =-. ( 错 ) 2.在四阶行列式4ij D a = 中，23a 的余子式23M 与代数余子式23A 互为相反数. ( 对 )
3.11
121311121321
222321222331323331
32331,1,a a a b b b a a a b b b a a a b b b ==-则111112121313
2121
222223233131
3232
3333
0a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=+++.（错） 4.11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则132333
12223211
21
31
1a a a a a a a a a =. （ 错）