重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟精彩试题

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2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案

2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案

2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案一、单项选择题(共28小题 ,每小题3分,共84分)从每个小题的三个备选项中,选出一个最符合题目要求的答案。

1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={0,1,2},B={5},那么(∁UA )∪B=( )A.{0,1,2}B.{3,4,5}C.{1,4,5}2.对于实数a ,b ,c ,“ac2>bc2”是“a >b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件3.已知实数x ,y 满足xy-2=x+y ,且x >1,则y (x+11)的最小值为A.21B.24C.274.不等式-x2+2x-4>0的解集为( )A.RB.∅C.{x|x >0,x ∈R )5.已知实数a 满足:a2-1≤0.命题P :函数y=x2-4ax-1在[-1,1]上单调递减.则命题P 为真命题的概率为( )A. 14B. 13C. 12 6.已知三个函数y=x3,y=3x ,y=log3x ,则A.定义域都为RB.值域都为RC.在其定义域上都是增函数 7.已知函数f (x )=2x cosx 4x +a 是偶函数,则函数f (x )的最大值为) A.1B.2C. 12 8.函数f (x )=cos x 2-√3sin x 2,若要得到奇函数的图象,可以将函数f (x )的图象A.向左平移π3个单位B.向左平移2π3个单位C.向右平移π3个单位 9.已知sinβ+cosβ=−√2,β∈(0,2π),则tan β=( )A.1B.-1C.±110.化简AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 11.已知数列{an}的前n 项和Sn=n2,则数列{1an a n+1}的前2020项和为( ) A. 20194039 B. 40384039 C. 2020404112.将一个球的半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的( )A.2倍B.4倍C.8倍13.已知正方体的体积是8,则这个正方体的外接球的体积是( )A. 2√3πB. 4√3πC. 4√3π314.已知直线l1:3x+(a-2)y+a=0与直线l2:ax+y+3=0平行,则实数a=( )A.-1或3B.3C.-115.如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (-5,1),则直线l 的方程是( )A. x-3y+8=0B.3x+y+4=0C.x+3y-4=016.两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R如下,其中拟合效果最好的模型是( )A.模型1的相关指数R=0.2B.模型2的相关指数R=0.8C.模型3的相关指数R=0.917.某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包,活动规定:每人可以获得4个红包,若集齐至少三个相同的红包(如:“aaab”),或者集齐两组两个相同的红包(如:“aabb”),即可获奖.已知小赵收集了4个红包,则他能够获奖的不同情形数为( )A.9B.10C.1218.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为( )A.378B.306C.19819.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|a<x<a+3}.若A∩B={x|0<x<2),则A∪B=( )A.{x|-2<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|0<x<3}20.下列选项中,说法正确的是( )A.“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∃x0∈R,x02-x>0”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的必要条件21.已知函数f(x)=e x−1e x+1,a=f(20.3),b=f(0.20.3),c=f(log0.32),则a,b,c的大小关系为( ) A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a22.设f(x)={elnxx,x>02020x,x≤0(其中e为自然对数的底数),g(x)=f2(x)-(2m-1)f(x)-2,若函数g(x)恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围为( )A.m<0B.m<1C.m>223.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )A.y=cosxB.y=ln(x+1)C.y=cos(π2+x)24.已知向量=(-2,3),=(3,m),且⊥,则m =( )A. 92B.-2C.225.数列{an}中,若a1=2,a n+1=2a na n+2,则a7=( )A. 18B.17C.2726.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=a2+2a3,S2是S1与mS3的等比中项,则m的值为A.1B.17C.6727.在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为( )A.6B.7C.828.若a 和b 是异面直线,b 和c 是异面直线,则a 和c 的位置关系是( )A.异面或平行B.异面或相交C.相交、平行或异面二、判断题(本大题共 8小题,每小题 2 分,共 16分)判断下列各小题的正误,正确的填涂“√”,错误的填涂“×”。

2020年重庆市中考数学模拟测试题(含答案)

2020年重庆市中考数学模拟测试题(含答案)

2020年重庆市中考数学模拟试题含答案(时间:120分钟 ;分数:150分)一.选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)1.下列各数中,比1小的是( )A .B .2C .D .π2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )A .B .C .D .3.下列计算结果正确的是( )A .a 3+a 3=a 6B .x 2•x 3=x 6C .(﹣a )2÷2a=2aD .(﹣2xy 2)3=﹣8x 3y 64.一个多边形的内角和是900°,则它是( )边形.A .八B .七C .六D .五5.如图,AB ∥CD ,AD 平分∠BAC ,若∠BAD=70°,那么∠ACD 的度数为( )A .40°B .35°C .50°D .45°6.函数的自变量的取值范围是( )A .x ≥2B .x ≥2且x ≠4C .x >2且x ≠4D .x ≠47.下列说法正确的是( )A .调查重庆市空气质量情况应该采用普查的方式B .A 组数据方差,B 组数据方差,则B 组数据比A 组数据稳定C .重庆八中明年开运动会一定不会下雨D .2,3,6,9,5这组数据的中位数是58.如图,AB 是⊙O 的直径,∠ADC=30°,OA=2,则AC 的长为( )A .2B .4C .D .9.如图,在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则DE :EC=( ).A .2:5B .2:3C .3:5D .3:2 9题图10.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为( )A .50B .64C .68D .7211.如图,某天然气公司的主输气管道从A 市的北偏东60°方向直线延伸,测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市的北偏东30°方向,测绘员沿主输气道步行1000米到达点C 处,测得M 小区位于点C 的北偏西75°方向,试在主输气管道AC 上寻找支管道连接点N ,使其到该小区铺设的管道最短,此时AN 的长约是(参考:≈1.414,≈1.732)( ) A .366 B .634 C .650 D .70012.使得关于x 的不等式组有解,且使分式方程有非负整数解的所有的m 的和是( )A .﹣1B .2C .﹣7D .0二.填空题(本大题6分,每小题4分,共24分)13.在网络上搜索“奔跑吧,兄弟”,能搜索到与之相关的结果为35 800 000个,将35 800 000用科学记数法表示为 .14.2017311623||+÷⨯=﹣(﹣)﹣ ________________15.如图是某公园的一角,∠AOB=90°,弧AB 的半径OA 长是6米,C 是OA 的中点,点D 在弧AB 上,CD ∥OB ,则图中休闲区(阴影部分)的面积是 .16.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发,匀速相向而行,两车在途中相遇后都停留一段时间,然后分别按原速一同驶往甲地后停车.设慢车行驶的时间为x小时,两车之间的距离为y千米,图中折线表示y与x之间的函数图象.当快车到达甲地时,慢车离甲地的距离为千米.17.从﹣3,﹣1,0,1,3这五个数中随机抽取一个数记为a,再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b,恰好使关于x,y的二元一次方程组有整数解,且点(a,b)落在双曲线上的概率是.18、已知如图,正方形ABCD的对角线AC、BD交于O,点E、F分别是AD、AB边的中点,连接DF、CE交于点G,连接AG、OG.若AD=4,则OG为__________.三.解答题.(本大题2个小题,每小题7分,共14分)19.已知:如图,∠B=∠D,∠DAB=∠EAC,AB=AD.求证:BC=DE.20.某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况,随机抽取部分学生家长进行问卷调查,发出问卷140份,每位学生家长1份,每份问卷仅表明一种态度,将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效),并绘制了如图两幅不完整的统计图.根据以上信息解答下列问题:(1)回收的问卷数为份,“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为.(2)把条形统计图补充完整(3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”,已知全校共1500名学生,请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人?四.解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)21.计算:(1)2(x+y)2﹣(2x+y)(x﹣2y)(2).22.如图,在一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(﹣4,﹣2),B(m,4),与y轴相交于点C.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积.23.一玩具城今年8月底购进了一批玩具1240件,在9月份进行试销.购进价格为每件20元.试销发现售价为24元/件,则可全部售出.若每涨价0.5元.销售量就减少4件.(1)求该文具店在9月份销售量不低于1200件,则销售单价应最高为多少元?(2)由于该玩具畅销,10月份该玩具进价比8月底的进价每件增加15%,该店主增加了进货量,并加强了宣传力度,结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了a%,但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少a%.结果10月份利润达到6720元,求a的值.24.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,点D为AC延长线上一点,连接BD,过A作AM⊥BD,垂足为M,交BC于点N.(1)如图1,若∠ADB=30°,BC=2,求AM的长;(2)如图2,点E在CA的延长线上,且AE=CD,连接EN并延长交BD于点F,求证:EF=FD;五.解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)25.如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如:16=52﹣32,16就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索:小明的方法是一个一个找出来的:0=02﹣02,1=12﹣02,3=22﹣12,4=22﹣02,5=32﹣22,7=42﹣32,8=32﹣12,9=52﹣42,11=62﹣52,…小王认为小明的方法太麻烦,他想到:设k是自然数,由于(k+1)2﹣k2=(k+1+k)(k+1﹣k)=2k+1.所以,自然数中所有奇数都是智慧数.问题:(1)根据上述方法,自然数中第12个智慧数是(2)他们发现0,4,8是智慧数,由此猜测4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数,请你参考小王的办法证明4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.(3)他们还发现2,6,10都不是智慧数,由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数,请利用所学的知识判断26是否是智慧数,并说明理由.26.已知抛物线y=﹣x2﹣x+a(a≠0)的顶点为M,与y轴交于点A,直线y=x ﹣a分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线MA相交于N点.(1)用a表示点A,M,N的坐标.(2)若将△ANC沿着y轴翻折,点N对称点Q恰好落在抛物线上,AQ与抛物线的对称轴交于点P,连结CP,求a的值及△PQC的面积.(3)当a=4时,抛物线如图2所示,设D为抛物线第二象限上一点,E为x轴上的点,且∠OED=120°,DE=8,F为OE的中点,连结DF,将直线BC沿着x轴向左平移,记平移的过程中的直线为B′C′,直线B′C′交x轴与点K,交DF于H点,当△KEH为等腰三角形时,求平移后B的对应点K的坐标.答案一.选择题CDDBA BDA BD BC二.填空题13.3.58×107 14.﹣7 15.16. 60 17. 18. 210 5三.解答题.(本大题2个小题,每小题7分,共14分)19.【解答】证明:∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE,即∠DAE=∠BAC,(1分)在△DAE和△BAC中,(4分)∴△DAE≌△BAC(ASA)∴BC=DE.(5分)20.【解答】解:(1)回收的问卷数为:30÷25%=120(份),“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为:×360°=30°.故答案为:120,30°;(2)“稍加询问”的问卷数为:120﹣(30+10)=80(份),补全条形统计图,如图所示:(3)根据题意得:1500×=1375(人),则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人.四.解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)21.(每题5分,共10分)【解答】解:(1)原式=2x2+4xy+2y2﹣2x2+3xy+2y2=7xy+4y2;(2)原式=•=a﹣1.22.【解答】解:(1)∵点A(﹣4,﹣2)在反比例函数y=的图象上,∴k=﹣4×(﹣2)=8,∴反比例函数的表达式为y=;∵点B(m,4)在反比例函数y=的图象上,∴4m=8,解得:m=2,∴点B(2,4).将点A(﹣4,﹣2)、B(2,4)代入y=ax+b中,得:,解得:,∴一次函数的表达式为y=x+2;(2)令y=x+2中x=0,则y=2,∴点C的坐标为(0,2).∴S△AOB=OC×(x B﹣x A)=×2×[2﹣(﹣4)]=6.23.【解答】解:(1)设售价应为x元,依题意有1240﹣×4≥1200,解得:x≤29.答:售价应不高于29元;(2)10月份的进价:20(1+15%)=23(元),由题意得:1200(1+a%)[29(1﹣a%)﹣23]=6720,设a%=t,化简得25t2﹣5t﹣2=0,解得:t1=0.4,t2=﹣0.1(不合题意舍去),所以a=40.答:a的值为40.24.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,A B=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵BC=2,∴AB=2,∵∠ADB=30°,∴BD=4,AD=2,根据等面积法可得,AB•AD=AM•BD,∴2×2=4•AM,∴AM=,(2)如图1,作AH⊥B C,AH延长线与BD交于P,连接CP,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AH=BH=CH,BP=CP,∠PBC=∠PCB,∵AM⊥BD,AH⊥BC,∴∠BMN=∠AHN=90°,∠BNM=∠ANH,∴∠NBM=∠NAH=∠PCB,在△BHP和△AHN中,,∴△BHP≌△AHN,∴BP=AN,∴CP=AN,∵∠PCB=∠PAM,∴∠MAD=∠PAM+45°=∠PCB+45°=∠PCA,∴∠EAN=∠PCD,在△AEN和△CDP中,,∴△AEN≌△CDP,∴∠E=∠D,∴EF=DF,五.解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)25. (每小题4分,共12分)【解答】解:(1)继续小明的方法,12=42﹣22,13=72﹣62,15=82﹣72,即第12个智慧数是15.故答案为:15;(2)设k是自然数,由于(k+2)2﹣k2=(k+2+k)(k+2﹣k)=4k+4=4(k+1).所以,4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.(3)令4k+2=26,解得:k=6,故26不是智慧数.26.【解答】解:(1)∵y=﹣x2﹣x+a=(x+6)2+a+4,∴顶点M(﹣6,a+4)令x=0,得:y=a,∴A(0,a),∴直线AM解析式为y=﹣x+a,∵,∴,∴N(a,﹣a)(2)由(1)知,Q(﹣a,﹣a),∴﹣a=﹣×(﹣a)2﹣×(﹣a)+a,∴a=9,或a=0(舍),∴A(0,9),C(0,﹣9),N(﹣6,13),∴x Q=﹣18,x P=﹣6,AC=18,∴S△PQC=S△AQC﹣S△APC=AC×|x Q|﹣AC×|x P|=×18(18﹣6)=108.(3)如图,当a=4时,抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4,直线BC解析式为y=x﹣4,设直线BC平移后的直线B'C'的解析式为y=(x+b)﹣4①,∴K(12﹣b,0),作DG⊥x轴,∴∠DEG=60°,∴DG=DEsin60=4,EG=DEcos60°=4,∵y=4,∴4=﹣x2﹣x+4,∴x=﹣12,或x=0(舍)∴D(﹣12,4),∴OG=12,∴OE=OG﹣EG=8,∴E(﹣8,0),∵F(﹣4,0),∴直线DF的解析式为y=﹣x﹣8②,联立①②得,x=﹣(3+b),y=(b﹣20),∴H(﹣(3+b),(b﹣20)),∵E(﹣8,0),K(12﹣b,0),∴EK2=(20﹣b)2,EH2=(5﹣b)2+[(b﹣20)]2=(b﹣20)2,HK2=(12﹣b)2+(b﹣20)2,∵△KEH为等腰三角形,①当EH=KH时,∴EH2=KH2,∴(b﹣20)2=(12﹣b)2+(b﹣20)2,∴b=或b=,∴K(,0)或(,0)②当EH=EK时,∴EH2=EK2,∴(b﹣20)2=(20﹣b)2,此方程无解;③当KH=EK时,∴KH2=EK2,∴(12﹣b)2+(b﹣20)2=(20﹣b)2,∴b=或b=4﹣84∴K(,0)或(96﹣4,0)∴满足条件的K的坐标为K(,0)或(,0)或(,0)或(96﹣4,0).。

重庆市渝北区2020年中考数学学业质量监测试题

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2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是()A.2332π-B.233π-C.32π-D.3π-2.已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC,按如图所示方式放置,其中A、B两点分别落在直线m、n上,若∠1=25°,则∠2的度数是()A.25°B.30°C.35°D.55°3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D、E,F分别是CD,AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF的度数为()A.62°B.38°C.28°D.26°4.在△ABC中,∠C=90°,sinA=45,则tanB等于()A.43B.34C.35D.455.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABCC .AB 2=AD•ACD . AD AB AB BC = 6.4的平方根是( )A .2B .2C .±2D .±2 7.若x ,y 的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是( )A .2x x y +-B .22y xC .3223y xD .222()y x y - 8.如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 交于点O ,AC 8=,BD 6=,DH AB ⊥于点H ,且DH 与AC 交于G ,则OG 长度为( )A .92B .94C .35D .35 9.如图,AB 为⊙O 的直径,C ,D 为⊙O 上的两点,若AB =14,BC =1.则∠BDC 的度数是( )A .15°B .30°C .45°D .60°10.如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形,它的主视图是( )A .B .C .D .二、填空题(本题包括8个小题)11.观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°,已知楼房高AB 约是45 m ,根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是______m.12.如图,在平面直角坐标系中,点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点,点B 是这条抛物线上的另一点,且AB ∥x 轴,则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 13.若正六边形的边长为2,则此正六边形的边心距为______.14.已知:如图,△ABC 的面积为12,点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,则四边形BCED 的面积为_____.15.如图,ΔABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,以点C 为旋转中心顺时针旋转后得到ΔA′B′C′,且点A 在A′B′上,则旋转角为________________°.16.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,BF 平分∠ABC ,交DE 的延长线于点F ,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=________.17.如图所示,在长为10m 、宽为8m 的长方形空地上,沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是______m.18.如图,⊙O的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分面积为_____cm1.(结果保留π)三、解答题(本题包括8个小题)19.(6分)为响应国家的“一带一路”经济发展战略,树立品牌意识,我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测,通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.抽查D厂家的零件为件,扇形统计图中D厂家对应的圆心角为;抽查C厂家的合格零件为件,并将图1补充完整;通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家;若要从A、B、C、D四个厂家中,随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概率.20.(6分)如图,热气球探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD为100米,试求这栋楼的高度BC.21.(6分)如图,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=mx(m≠0)交于点A(﹣12,2),B(n,﹣1).求直线与双曲线的解析式.点P在x轴上,如果S△ABP=3,求点P的坐标.22.(8分)如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,以AD为斜边作△ADC,使∠C=90°,∠CAD=∠DAB 求证:DC是⊙O的切线;若AB=9,AD=6,求DC的长.23.(8分)如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:AC=3:5,求ADAB的值.24.(10分)如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,已知点A,B,C,D均为网格线的交点在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A1B1C1;在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF,使A与D为对应点.25.(10分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F.求证:OE=OF.26.(12分)在平面直角坐标系中,一次函数34y x b=-+的图象与反比例函数kyx=(k≠0)图象交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为(﹣2,3).求一次函数和反比例函数解析式.若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、BF,求△ABF的面积.根据图象,直接写出不等式34kx bx-+>的解集.参考答案一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.B【解析】【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形,进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH,得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积,进而求出即可.【详解】连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴∠ADC=120°,∴∠1=∠2=60°,∴△DAB是等边三角形,∵AB=2,∴△ABD的高为3,∵扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,∴∠4+∠5=60°,∠3+∠5=60°,∴∠3=∠4,设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,在△ABG和△DBH中,2{34AAB BD∠=∠=∠=∠,∴△ABG≌△DBH(ASA),∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积,∴图中阴影部分的面积是:S扇形EBF-S△ABD=26021233602π⨯-⨯⨯=233π-.故选B.2.C【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠3的度数,再根据三角形内角和定理,即可得到结论.【详解】解:∵直线m∥n,∴∠3=∠1=25°,又∵三角板中,∠ABC=60°,∴∠2=60°﹣25°=35°,故选C.【点睛】本题考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.3.C【解析】分析:主要考查:等腰三角形的三线合一,直角三角形的性质.注意:根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE.详解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.又∵∠BAC=90°,∴BD=AD=CD.又∵CE=AF,∴DF=DE,∴Rt△BDF≌Rt△ADE(SAS),∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°.故选C.点睛:熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.4.B【解析】法一,依题意△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=45,∵22cos sin1B B+=,∴sinB=35,∵tanB=sincosBB=34故选B法2,依题意可设a=4,b=3,则c=5,∵tanb=34ba故选B5.D【解析】【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,分别判断得出即可.【详解】解:A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;B、∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;C、∵AB2=AD•AC,∴AC ABAB AD=,∠A=∠A,△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.【点睛】点评:本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.6.D【解析】【分析】,然后再根据平方根的定义求解即可.【详解】 ∵,2的平方根是, ∴故选D .【点睛】正确化简是解题的关键,本题比较容易出错. 7.D【解析】【分析】根据分式的基本性质,x ,y 的值均扩大为原来的3倍,求出每个式子的结果,看结果等于原式的即是答案.【详解】根据分式的基本性质,可知若x ,y 的值均扩大为原来的3倍,A 、23233x x x y x y++≠--,错误; B 、22629y y x x ≠,错误; C 、3322542273y y x x ≠,错误; D 、()()22221829y y x y x y --=,正确;故选D .【点睛】本题考查的是分式的基本性质,即分子分母同乘以一个不为0的数,分式的值不变.此题比较简单,但计算时一定要细心.8.B试题解析:在菱形ABCD中,6AC=,8BD=,所以4OA=,3OD=,在Rt AOD△中,5AD=,因为11641222ABDS BD OA=⋅⋅=⨯⨯=,所以1122ABDS AB DH=⋅⋅=,则245DH=,在Rt BHD中,由勾股定理得,22222418655BH BD DH⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭,由DOG DHB∽可得,OG ODBH DH=,即3182455OG=,所以94OG=.故选B.9.B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形,可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图,连接OC,∵AB=14,BC=1,∴OB=OC=BC=1,∴△OCB是等边三角形,∴∠COB=60°,∴∠CDB=12∠COB=30°,故选B.【点睛】本题考查圆周角定理,等边三角形的判定等知识,解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题,属于中考常考题型.10.A【解析】 由三视图的定义可知,A 是该几何体的三视图,B 、C 、D 不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图,从上面看到的图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图,能看到的线画实线,看不到的线画虚线.本题从左面看有两列,左侧一列有两层,右侧一列有一层.二、填空题(本题包括8个小题)11.135【解析】试题分析:根据题意可得:∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt △ABD 中,因为AB=45m ,所以AD=453m ,所以在Rt △ACD 中,CD=3AD=453×3=135m .考点:解直角三角形的应用.12.18。

重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学实战模拟测试五(原卷版)

重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学实战模拟测试五(原卷版)

重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题五(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.试题的答案书写在答题卡...上,不得在试题卷上直接作答;2.作答前认真阅读答题卡...上的注意事项;3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色..签字笔完成;4.考试结束,由监考人员将试题卷和答题卡...一并收回。

参考公式:抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的定点坐标为24(,)24b ac ba a--,对称轴为2bxa=-一.选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡...上的题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1.在﹣4,2,﹣1,3这四个数中,比﹣2小的数是()A.﹣4B.2C.﹣1D.32.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()A.B.C.D.3.已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A、C重合),以BD为边作正△BDE,边DE与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有()对.A.6B.5C.4D.34.如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于()A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°5.下列命题是真命题的是()A.中位数就是一组数据中最中间的一个数B.一组数据的众数可以不唯一C.一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根D.已知a、b、c是Rt△ABC的三条边,则a2+b2=c26.若x=√37−4,则x的取值范围是()A.2<x<3B.3<x<4C.4<x<5D.5<x<67.将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置,再按图2的方式放置,测得的数据如图(单位:cm)所示.则桌子的高度h=()A.30cm B.35cm C.40cm D.45cm8.按下面的程序计算,若开始输入的值x为正整数,输出结果86,那么满足条件的x的值有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD ,点D 在双曲线y =k x(k ≠0)上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后,点C 恰好落在该双曲线上,则a 的值是( )A .1B .2C .3D .410.某车库出口安装的栏杆如图所示,点A 是栏杆转动的支点,点E 是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB ⊥BC ,EF ∥BC ,∠AEF =143°,AB =1.18米,AE =1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)A .B .C .D .11.如果关于x 的不等式组{x −m ≤34x−76>x −32的解集为x <1,且关于x 的分式方程21−x +mx x−1=3有非负数解,则所有符合条件的整数m 的值之和是( ) A .﹣2B .﹣1C .0D .212.如图,△ABC 周长为30cm ,把△ABC 的边AC 对折,使顶点C 和点A 重合,折痕交BC 边于点D ,交AC 边于点E ,连接AD ,若AE =6cm ,则△ABD 的周长是( )A .22cmB .18cmC .20cmD .15cm二、填空题:( 本大题6小题,每小题4分,共24分 ) 请将每小题的答案直接填在答题卡...中对应的横线上13.√9−3﹣1= .14.有一种球状细菌,直径约为0.0000015cm ,那么0.0000015用科学记数法表示为 . 15.如图,4×2的正方形网格中,在A 、B 、C 、D 四个点中任选三个点,能够组成等腰三角形的概率为 .16.如图,在矩形ABCD 中,AD =12,以点C 为圆心,以CB 的长为半径画弧交AD 于E ,点E 恰好是AD 中点,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)17.已知A 、B 、C 三地顺次在同一直线上,甲、乙两人均骑车从A 地出发,向C 地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟,甲到达B 地并休息了2分钟后,乙追上了甲.甲、乙同时从B 地以各自原速继续向C 地行驶.当乙到达C 地后,乙立即掉头并提速为原速的54倍按原路返回A 地,而甲也立即提速为原速的43倍继续向C 地行驶,到达C 地就停止.若甲、乙间的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的函数关系如图所示,则当甲到达C 地时,乙距A 地 米.18.“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出,在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.如图1,计算47×51,将乘数47计入上行,乘数51计入右行,然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后按斜行加起来,得2397.(1)如图2,用“格子乘法”表示25×81,则m的值为.(2)如图3,用“格子乘法”表示两个两位数相乘,则a的值为.三.解答题:(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡...中对应的位置上。

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-文科数学(含答案、评分细则)

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-文科数学(含答案、评分细则)

2020年重庆市高三学业抽测(第二次)文科数学一、选择题:1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>,则=B A YA .(2)+∞,B .]3,2(C .]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指 数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数理论里 非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3. 在停课不停学期间,某学校组织高三年级学生参加网络数学测试,测试成绩的频率分布直方图如下图,测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人,则该校高三年级的学生人数是A .350B .500C .600D .10004.已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上,设3()3a f =,(ln π)b f =,2()2c f =, 则a ,b ,c 的大小关系为A .b a c <<B .a b c <<C .b c a <<D .a c b <<5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上,且02θπ∈(,),则θ的值为 A .3π B .23π C .53π D .116π6. 已知:p x k ≥,2:11q x <+,若p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .(,1]-∞-D .(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人,其中1人来自社区A ,2人来自社区B ,2人来自社区C .现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动,则这2人来自不同社区的概率为频率 组距0.005 0.01 分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025(第3题图)A .35B .34C .710 D .458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位,所得图象关于原点对 称,则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A .12- B .2- C .12 D .210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与抛物线C 交于M ,N 两点,若4PF MF =u u u r u u u r,则||MN =A .32B .3C .92D .911. 已知(34)2,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ,2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x ->-,那么实数a 的取值范围是A .(1,)+∞B .(0,1)C .4(,2]3D .4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部,且互相外切,若球1O 与过点A的正方体的三个面相切,球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切,则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A.3(2π B.4(2π C.6(2π D.12(2π 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡相应的位置上.13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ,且||2||b a =r r,则向量a r 与b r 的夹角为________. 14. 在高台跳水运动中,某运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++,则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s .15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos sin cos sin a B C b A C c +=,则ABC △外接圆的面积是 .16. 已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,一条渐近线为l ,过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 . 三、解答题:共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(本小题满分为12分)一奶茶店制作了一款新奶茶,为了进行合理定价先进行试销售,其单价(元)与销量(杯)的相关数据如下表:(Ⅰ)已知销量与单价具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(Ⅱ)若该款新奶茶每杯的成本为元,试销售结束后,请利用(Ⅰ)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果保留到整数)参考公式:线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式: ,,参考数据:514195i ii x y ==∑,.18.(本小题满分为12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n a S +=+. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设31log ()n n n b a a +=⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:12111...2nT T T +++<.x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑19.(本小题满分为12分)如图,平面平面,其中为矩形,为直角梯形,,,.(Ⅰ)求证:FD ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)若三棱锥B ADF -的体积为13, 求点A 到面BDF 的距离.(第19题图)20.(本小题满分为12分)已知函数,.(为自然对数的底数)(Ⅰ)若对于任意实数,恒成立,试确定的取值范围;(Ⅱ)当时,函数在上是否存在极值?若存在,请求出这个极值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ,动圆I 过M 点且与圆C 相切,记动圆圆心I 的轨迹为曲线E . (Ⅰ)求曲线E 的方程;(Ⅱ)斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点,P 为直线3x =上的一点,若ABP∆为等边三角形,求直线l 的方程.ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做,则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)已知点的直角坐标为(2,0),直线和曲线交于、两点,求的值.23.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)已知2()2f x x a =+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()15f x x +-≥的解集;(Ⅱ)若对于任意实数x ,不等式23()2x f x a +-<成立,求实数a 的取值范围.xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +文科数学参考答案及评分意见一、选择题:15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::.二、填空题:13. 14.13.1- 15.π416三、解答题:17.解:(Ⅰ)由表中数据,计算,1(120110907060)905y =++++=, (2)分则5152221419559.59032453.7559.5i ii ii x y nx ybxnx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$,$90329.5394a y bx =-=+⨯=$, 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+........................................6分(Ⅱ)设定价为元,则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-,其中,..............8分 则232640.43033.8y x x =-+-,所以640.4102(32)x =-≈⨯-(元),........................11分为使得销售的利润最大,确定单价应该定为元........................................12分 18.解:(Ⅰ)因为121n n a S +=+,所以2n ≥,121n n a S -=+,..........................2分 两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥,...................................................4分 又11a =,所以23a =,213a a =符合上式,所以{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列,所以13n n a -=.........................6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-,所以2(121)2n n n T n +-==,.....8分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥10所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-....................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-.........................................12分19.解:(Ⅰ)证明:作DHAF ⊥于H ,∵,, ∴,∴,...............2分∵,∴,∴,∴,即,................4分∵面面,为两个面的交线,∴面......................6分 (Ⅱ)因为平面平面,,所以平面,,所以,又AD DF ==.............9分∴,2BDF S =V ,设点A 到面BDF 的距离为h ,则11332h =⨯,3h =...12分 20.解:(Ⅰ)∵对于任意实数,恒成立, ∴若,则为任意实数时,恒成立;....................................1分若,恒成立,即在上恒成立,......................2分设,则,.....................................3分 当时,,则在上单调递增; 当时,,则在上单调递减; 所以当时,取得最大值,,所以的取值范围为,综上,对于任意实数,恒成立的实数的取值范围为................5分AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH==45HDF ∠=︒2AF =1AH=45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DFAD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEFAB AD⊥AB ⊥ADEF111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =()0xf x e=>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞(Ⅱ)依题意,,所以,....................................6分设,则,.......................................8分 当,,故在上单调增函数, 因此在上的最小值为,即,.................10分 又,所以在上,,所以在上是增函数,即在上不存在极值..............12分 21.解:(Ⅰ)设圆的半径为,题意可知,点满足:,,所以,,由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆,.................................3分 所以故轨迹方程为:. .................................................5分(Ⅱ)直线的方程为,联立 消去得. 直线恒过定点,在椭圆内部,所以恒成立,设,,则有, ..................7分 ()ln xx M x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e()h x [1,]e (1)0h=1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM+=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+设的中点为,则,,直线的斜率为(由题意知0k ≠),又P 为直线上的一点,所以 ,......................................9分 当为等边三角形时,,解得,即直线的方程为或........................12分22.解:(Ⅰ)将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=,............................2分 将代入2sin 8cos ρθθ=,得28y x =,∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =.........................5分 (ii )将直线的参数方程代入曲线的普通方程,得2320t --=, 设、两点对应的参数为、,则,,且12t t +=1232t t =-,∴16,.............................. ..........8分 ∴12=...............................10分 23.解:(Ⅰ)当时,()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥,则得; .................................................2分AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||2PQ AB =223(1)31k k +=+1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-得; ..................................................3分 得, ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分(Ⅱ)对于任意实数,不等式成立,即恒成立,又因为,................................7分 要使原不等式恒成立,则只需, 由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷(理科)(5月份)一、选择题(共12个小题)1.已知集合A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0},B ={x |log 2x >1},则A ∪B =( ) A .(2,+∞)B .(2,3]C .[﹣1,3]D .[﹣1,+∞)2.已知复数z 在复平面内对应点的坐标是(﹣3,4),i 为虚数单位,则z1−i =( )A .−12+12i B .−12+72i C .−72+12i D .72+12i3.某公司生产了一批新产品,这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N (100,σ2)且P (x <80)=0.2.现从中随机抽取该产品1000件,估计其综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为( ) A .200B .300C .400D .6004.已知sin(α2−π4)=√33,则cos2α=( )A .79B .−79C .2√23D .−2√235.已知p :﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2,q :x 2+y 2≤2,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.已知函数f (x )的定义域为R 且满足f (﹣x )=﹣f (x ),f (x )=f (2﹣x ),若f (1)=4,则f (6)+f (7)=( ) A .﹣8B .﹣4C .0D .47.已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0),f (x 1)=2,f (x 2)=﹣2,且|x 1﹣x 2|最小值为π2,若将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于原点对称,则实数φ的最小值为( )A .π12B .π6C .π3D .7π128.2020年2月,在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为( )A .81256B .2764C .964D .9169.已知f(x)={(3a −4)x −2a ,x <1log a x ,x ≥1对任意x 1,x 2∈(﹣∞,+∞)且x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0,那么实数a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(0,1)C .(43,2] D .(43,4]10.在三棱锥P ﹣ABC 中,∠BAC =60°,∠PBA =∠PCA =90°,PB =PC =√6,点P 到底面ABC 的距离为2,则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为( ) A .4πB .3√3πC .4√3πD .36π11.已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线为l ,过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若|MF 1|=2|MF 2|,则双曲线C 的离心率为( ) A .√2B .√3C .√5D .√612.已知函数f (x )=(lnx +1﹣ax )(e x ﹣2m ﹣ax ),若存在实数a 使得f (x )<0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(12,+∞) B .(−∞,12)C .(12,1)D .(−1,12)二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的位置上.13.设非零向量a →,b →满足a →⊥(a →−b →),且|b →|=2|a →|,则向量a →与b →的夹角为 .14.过抛物线y 2=8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ,B 两点,点P (4,y 0)是AB 的中点,则|AB |的值为 .15.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的外接圆面积为16π,且cos 2C ﹣cos 2B =sin 2A +sin A sin C ,则a +c 的最大值为 .16.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AC ∩BD =O ,E 是B 1C (不含端点)上一动点,则下列正确结论的序号是 . ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ; ②OE ∥平面A 1C 1D ;③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值; ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66.三、解答题:共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 3(a n •a n +1),数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:1T 1+1T 2+⋯+1T n<2.18.某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率,现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本,得到如表的2×2列联表:改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200(Ⅰ)是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”?(Ⅱ)该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产,每天各生产50件产品,如果每生产1件合格品可获利30元,生产1件次品损失50元.甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表:甲一天生产的次品数(件)01234对应的天数(天)281073乙一天生产的次品数(件)01234对应的天数(天)369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率,记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和,求随机变量X的分布列和数学期望.附:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.19.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M,N分别是AB,CC1的中点,D为AB1与A1B的交点.(Ⅰ)求证:CM∥平面AB1N;(Ⅱ)已知AB=2,AA1=4,求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值.20.已知圆C:(x+2)2+y2=24与定点M(2,0),动圆I过M点且与圆C相切,记动圆圆心I的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)斜率为k的直线l过点M,且与曲线E交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.21.设函数f(x)=e xx,g(x)=lnx+1x.(Ⅰ)若直线x=m(m>0)与曲线f(x)和g(x)分别交于点P和Q,求|PQ|的最小值;(Ⅱ)设函数F(x)=xf(x)[a+g(x)],当a∈(0,ln2)时,证明:F(x)存在极小值点x0,且e x0(a+lnx0)<0.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)已知点M的直角坐标为(2,0),直线l和曲线C交于A、B两点,求1|MA|+1 |MB|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|2x+a2|.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)+|x﹣1|≥5的解集;(Ⅱ)若对于任意实数x,不等式|2x+3|﹣f(x)<2a成立,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|log2x>1},则A∪B=()A.(2,+∞)B.(2,3]C.[﹣1,3]D.[﹣1,+∞)【分析】求出A,B中不等式的解集确定出A,B,找出A与B的并集即可.解:由A中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≤0,解得:﹣1≤x≤3,即A=[﹣1,3],∵B={x|log2x>1}=[2,+∞),∴A∪B=[﹣1,+∞),故选:D.【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2.已知复数z在复平面内对应点的坐标是(﹣3,4),i为虚数单位,则z1−i=()A.−12+12i B.−12+72i C.−72+12i D.72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是(﹣3,4),可得z=﹣3+4i,代入再利用复数运算法则即可得出.解:复数z在复平面内对应点的坐标是(﹣3,4),∴z=﹣3+4i,则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i,故选:C.【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.某公司生产了一批新产品,这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N(100,σ2)且P(x<80)=0.2.现从中随机抽取该产品1000件,估计其综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为()A.200B.300C.400D.600【分析】先根据正态曲线的对称性性质,算出P(100≤x≤120),然后用该值乘以1000即可.解:因为综合质量指标值x服从正态分布N(100,σ2)且P(x<80)=0.2.∴P(x<80)=P(x>120)=0.2,P(x≤100)=P(x≥100)=0.5.∴P(100≤x≤120)=P(x≥100)﹣P(x>120)=0.3.故综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为1000×0.3=300.故选:B.【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用,要注意利用正态曲线的对称性求解概率,同时考查学生利用转化思想解决问题的能力,属于中档题.4.已知sin(α2−π4)=√33,则cos2α=()A.79B.−79C.2√23D.−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos(α−π2),利用诱导公式可求sinα,再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解.解:∵sin(α2−π4)=√33,∴cos(α−π2)=1﹣2sin2(α2−π4)=1﹣2×(√33)2=13,即sinα=13,∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×(13)2=79.故选:A.【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.5.已知p:﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2,q:x2+y2≤2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】p:﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2,可得:﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2.q:x2+y2≤2,可得:−√2≤x≤√2,−√2≤y≤√2.即可判断出关系.解:p:﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2,可得:﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2.q:x2+y2≤2,可得:−√2≤x≤√2,−√2≤y≤√2.∴由q⇒p,由p无法得出q.∴p是q的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x)=f(2﹣x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=()A.﹣8B.﹣4C.0D.4【分析】推导出f(x+4)=f(2﹣x﹣4)=﹣f(x+2)=﹣f(2﹣x﹣2)=f(x),f(0)=0,由此根据f(1)=4,能求出f(6)+f(7)的值.解:∵函数f(x)的定义域为R且满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x)=f(2﹣x),∴f(x+4)=f(2﹣x﹣4)=﹣f(x+2)=﹣f(2﹣x﹣2)=f(x),f(0)=0,∵f (1)=4,∴f (6)=f (2)=f (0)=0,f (7)=f (3)=f (﹣1)=﹣f (1)=﹣4, 则f (6)+f (7)=0﹣4=﹣4. 故选:B .【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0),f (x 1)=2,f (x 2)=﹣2,且|x 1﹣x 2|最小值为π2,若将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于原点对称,则实数φ的最小值为( )A .π12B .π6C .π3D .7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质的应用求出结果.解:函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0)=2sin (ωx −π6),由于函数满足f (x 1)=2,f (x 2)=﹣2,且|x 1﹣x 2|最小值为π2,所以T =π,解得ω=2.故f (x )=2sin (2x −π6).将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移φ(φ>0)个单位,所得函数g (x )=2sin (2x +2φ−π6)图象,由于函数g (x )关于原点对称,所以2φ−π6=k π(k ∈Z ),解得φ=kπ2+π12(k ∈Z ),当k =0时,φ=π12, 即实数φ的最小值为π12.故选:A .【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,函数的图象的平移变换的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.8.2020年2月,在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为( )A .81256B .2764C .964D .916【分析】基本事件总数n =44,恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33,由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率.解:某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作, 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作, 基本事件总数n =44,恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916.故选:D .【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9.已知f(x)={(3a −4)x −2a ,x <1log a x ,x ≥1对任意x 1,x 2∈(﹣∞,+∞)且x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0,那么实数a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(0,1)C .(43,2] D .(43,4]【分析】根据题意,由函数单调性的定义分析可得函数f (x )在R 上是增函数,结合函数的解析式可得{3a −4>0a >1(3a −4)−2a ≤log a 1,解可得a 的取值范围,即可得答案.解:根据题意,f (x )满足对任意x 1,x 2∈(﹣∞,+∞)且x 1≠x 2,都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0,则函数f (x )在R 上是增函数,又由f(x)={(3a −4)x −2a ,x <1log a x ,x ≥1,则有{3a −4>0a >1(3a −4)−2a ≤log a 1,解可得:43<a <4,即a 的取值范围为(43,4).故选:D .【点评】本题考查分段函数的单调性,注意函数单调性的定义,属于基础题. 10.在三棱锥P ﹣ABC 中,∠BAC =60°,∠PBA =∠PCA =90°,PB =PC =√6,点P 到底面ABC 的距离为2,则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为( ) A .4πB .3√3πC .4√3πD .36π【分析】先由题设条件找到球心的位置,再利用∠BAC =60°,∠PBA =∠PCA =90°,PB =PC =√6⇒△ABC 为等边三角形,进一步找出球的半径,计算出体积. 解:如图,记PA 的中点为O ,连OB ,OC .∵∠PBA =∠PCA =90°, ∴OA =OP =OB =OC ,因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心. 又∵PB =PC =√6,∴△PAB ≌△PAC ,∴AB =AC .又∠BAC =60°, ∴△ABC 为等边三角形.记点O 在底面ABC 内的射影为O 1,则O 1为△ABC 的中心.连接OO 1,O 1A ,点P 到底面ABC 的距离为2,∴OO 1=1.设AB =a ,则O 1A =√33a .在直角三角形PBA 中,PA =√6+a 2.在直角三角形OO 1A 中,OA 2=1+(√3a 3)2=1+a 23=|PA|24=6+a 24,解得:a =√6, ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R =OA =√3.所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π(√3)3=4√3π. 故选:C .【点评】本题主要考查多面体的外接球问题,属于基础题.11.已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线为l ,过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若|MF 1|=2|MF 2|,则双曲线C 的离心率为( ) A .√2B .√3C .√5D .√6【分析】利用已知条件,结合双曲线定义,通过余弦定理以及渐近线的斜率,列出关系式求解双曲线的离心率即可. 解:由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|=2a ,所以|MF 2|=2a ,|MF 1|=4a ,所以16a 2=4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1,tan∠MF2F1=ba,所以cos∠MF2F1=ac,所以:16a2=4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac,可得5a2=4c2.所以双曲线的离心率为:e=√5.故选:C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.12.已知函数f(x)=(lnx+1﹣ax)(e x﹣2m﹣ax),若存在实数a使得f(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(12,+∞)B.(−∞,12)C.(12,1)D.(−1,12)【分析】分析题意可知,存在实数a,使得直线y=ax始终在函数g(x)=lnx+1与函数h(x)=e x﹣2m之间,作出函数g(x)与函数h(x)的图象,只需分析出极限情况即可得解.解:依题意,存在实数a,使得直线y=ax始终在函数g(x)=lnx+1与函数h(x)=e x﹣2m之间,考虑直线y=ax与函数g(x),函数h(x)均相切于同一点的情况,设切点为(x0,y0),由g′(x)=1x,h′(x)=ex−2m可知,{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1,解得{x0=1y0=1m=12,作出图象如下,由图象观察可知,当m <12时,函数h (x )越偏离函数g (x ),符合题意,即实数m 的取值范围为(−∞,12). 故选:B .【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题,涉及了导数的几何意义的运用,考查等价转化思想,推理能力与计算能力,理解题意是关键,属于较难难题.二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的位置上.13.设非零向量a →,b →满足a →⊥(a →−b →),且|b →|=2|a →|,则向量a →与b →的夹角为 π3 .【分析】根据题意,设向量a →与b →的夹角为θ,设|a →|=t ,则|b →|=2t ,由向量垂直与数量积的关系可得a →•(a →−b →)=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ=0,变形可得cos θ的值,结合θ的范围分析可得答案.解:根据题意,设向量a →与b →的夹角为θ,又由|b →|=2|a →|,设|a →|=t ≠0,则|b →|=2t ,又由a →⊥(a →−b →),则a →•(a →−b →)=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ=0,变形可得:cos θ=12;又由0≤θ≤π,则θ=π3; 故答案为:π3.【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量垂直的性质以及应用,属于基础题. 14.过抛物线y 2=8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ,B 两点,点P (4,y 0)是AB 的中点,则|AB |的值为 12 .【分析】通过抛物线的方程可知p =4,利用中点坐标公式可知x A +x B =2×4=8,最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度.解:∵抛物线y2=8x,∴p=4,又点P(4,y0)是AB的中点,∴x A+x B=2×4=8,由抛物线的定义可知,|AB|=x A+x B+p=x A+x B+4=8+4=12.故答案为:12.【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.15.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的外接圆面积为16π,且cos2C﹣cos2B=sin2A+sin A sin C,则a+c的最大值为8.【分析】设△ABC的外接圆的半径为R.根据△ABC的外接圆面积为16π,利用正弦定理可得R.由cos2C﹣cos2B=sin2A+sin A sin C,化为:1﹣sin2C﹣(1﹣sin2B)=sin2A+sin A sin C,利用正弦定理及其余弦定理可得B,进而得出b.利用基本不等式的性质即可得出.解:设△ABC的外接圆的半径为R.∵△ABC的外接圆面积为16π,∴16π=πR2,解得R=4.∵cos2C﹣cos2B=sin2A+sin A sin C,∴1﹣sin2C﹣(1﹣sin2B)=sin2A+sin A sin C,∴b2﹣c2=a2+ac,即c2+a2﹣b2=﹣ac,∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12,B∈(0,π),解得B=2π3.∴b=2R sin B=8×√32=4√3.∴(c+a)2=ac+(4√3)2≤(a+c)24+48,∴c+a≤8.当且仅当a=c=4时取等号.故答案为:8.【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC∩BD=O,E是B1C(不含端点)上一动点,则下列正确结论的序号是②③.①D1O⊥平面A1C1D;②OE∥平面A1C1D;③三棱锥A1﹣BDE体积为定值;④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6.6【分析】根据正方体的几何特征,即可判断各命题的真假.解:如图所示,取AD中点F,连接OF,D1F,因为OF⊥平面ADD1A1,所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影,显然,D1F不垂直于A1D,故OD1不垂直于A1D,D1O不垂直于平面A1C1D,①错误;因为AC∥A1C1,B1C∥A1D,所以平面ACB1∥平面A1C1D,而OE⊂平面ACB1,根据线面平行的定义可知,OE∥平面A1C1D,所以②正确;因为B1C∥A1D,所以B1C∥平面A1BD,故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离,所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值,③正确;因为B 1B ⊥平面ABC ,AC ⊥BD ,所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角,在△B 1BO 中,tan ∠B 1OB =22=√2,sin ∠B 1OB =√23=√63,④错误.故答案为:②③.【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理,线面平行的定义,线面垂直的判定定理判断命题真假,以及三棱锥体积的求法,二面角的求法的应用, 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.三、解答题:共70分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上.第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =log 3(a n •a n +1),数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:1T 1+1T 2+⋯+1T n<2.【分析】本题第(Ⅰ)题根据题干a n +1=2S n +1,可得当n ≥2时有a n =2S n ﹣1+1成立,两式相减后再运用公式a n =S n ﹣S n ﹣1(n ≥2),进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项,以3为公比的等比数列,即可得到数列{a n }的通项公式;第(Ⅱ)题先由第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项,2为公差的等差数列,再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式,再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2<1n−1−1n(n≥2)进行放缩即可证明不等式成立.【解答】(Ⅰ)解:依题意,由a n+1=2S n+1,可得当n≥2时,a n=2S n﹣1+1,两式相减,得a n+1﹣a n=2S n+1﹣2S n﹣1﹣1=3a n(n≥2),又∵a1=1,a2=2S1+1=2×1+1=3,∴a2=3a1符合上式,∴数列{a n}是以1为首项,以3为公比的等比数列,故a n=3n−1,n∈N*.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,b n=log3(a n•a n+1)=log3(3n﹣1•3n)=log332n﹣1=2n﹣1,则b n=2n﹣1=1+(n﹣1)•2,故数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴T n=n(1+2n−1)2=n2,∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2<1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1 n<2,∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n<2成立.【点评】本题主要考查数列求通项公式,数列求和与不等式的综合问题.考查了转化与化归思想,放缩法,定义法,指、对数的运算,以及逻辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.18.某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率,现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本,得到如表的2×2列联表:改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200(Ⅰ)是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”?(Ⅱ)该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产,每天各生产50件产品,如果每生产1件合格品可获利30元,生产1件次品损失50元.甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表:甲一天生产的次品数(件)01234对应的天数(天)281073乙一天生产的次品数(件)01234对应的天数(天)369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率,记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和,求随机变量X的分布列和数学期望.附:P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n =a +b +c +d .【分析】(Ⅰ)求出K 2,即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”.(Ⅱ)每天生产的次品数为x ,X 的可能值为0,1,2,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可.解:(Ⅰ)K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556<6.635.∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”. (Ⅱ)∵每天生产的次品数为x ,日利润y =30(50﹣x )﹣50x =1500﹣80x ,其中0≤x ≤4,x ∈N . 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2.∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和, ∴X 的可能值为0,1,2,又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23,乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35,∴P(X =0)=13×25=215,P(X =1)=23×25+13×35=715,P(X =2)=23×35=615, ∴随机变量X 的分布列为:X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.19.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M,N分别是AB,CC1的中点,D为AB1与A1B的交点.(Ⅰ)求证:CM∥平面AB1N;(Ⅱ)已知AB=2,AA1=4,求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)连接DM,DN.由已知可得BB1∥CC1,BB1=CC1,且四边形AA1B1B 是矩形,结合D为AB1的中点.即可证明四边形CMDN是平行四边形,得CM∥DN,再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N;(Ⅱ)取BC的中点为O,B1C1的中点为E,连接AO,OE,证得AO⊥平面BB1C1C.以OB,OE,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值.【解答】(Ⅰ)证明:连接DM,DN.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1∥CC1,BB1=CC1,且四边形AA1B1B是矩形,∴D为AB1的中点.又∵M为AB的中点,∴DM∥BB1,且DM=12BB1.∵N 为CC 1 的中点,∴CN =12CC 1, ∴DM =CN ,且DM ∥CN ,∴四边形CMDN 是平行四边形,得CM ∥DN , 又DN ⊂平面AB 1N ,CM ⊄平面AB 1N , ∴CM ∥平面AB 1N ;(Ⅱ)解:取BC 的中点为O ,B 1C 1 的中点为E ,连接AO ,OE , ∵△ABC 为正三角形,∴AO ⊥BC ,又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ,∴AO ⊥平面BB 1C 1C .以OB ,OE ,OA 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 则A (0,0,√3),A 1(0,4,√3),B 1(1,4,0),N (﹣1,2,0), A 1B 1→=(1,0,−√3),AB 1→=(1,4,−√3),B 1N →=(−2,−2,0). 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ,y ,z),则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0,令x =1,得n →=(1,−1,−√3). 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ,则sin θ=|cos <A 1B 1→,n →>|=|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55. ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.20.已知圆C :(x +2)2+y 2=24与定点M (2,0),动圆I 过M 点且与圆C 相切, 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E . (Ⅰ)求曲线E 的方程;(Ⅱ)斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于A ,B 两点,P 为直线x =3上的一点,若△ABP 为等边三角形,求直线l 的方程.【分析】(Ⅰ)设圆I 的半径为r ,由题意可得|IC |+|IM |=2√6>4为定值,由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆,且可知a ,c 的值,再由a ,b ,c 之间的关系求出椭圆的方程; (Ⅱ)设直线l 的方程,与椭圆联立求出两根之和及两根之积,求出AB 的中点D 的坐标,进而求出弦长|AB |,可得直线PQ 的斜率,再由P 在直线x =3上,可得|PQ |的长,由△ABP 为等边三角形时,|PQ |=√32|AB |,进而求出k 的值.解:(Ⅰ)设圆I 的半径为r ,题意可知,点I 满足: |IC |=2√6−r ,|IM |=r , 所以,|IC |+|IM |=2√6,由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ,M 为焦点的椭圆, 所以a =√6,c =2,b =√2, 故轨迹E 方程为:x 26+y 22=1;(Ⅱ)直线l 的方程为y =k (x ﹣2),联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得(1+3k 2)x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0.直线y =k (x ﹣2)恒过定点(2,0),在椭圆内部,所以△>0恒成立,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有x 1+x 2=12k21+3k2,x 1x 2=12k 2−61+3k2,所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2,设AB 的中点为Q (x 0,y 0),则x 0=6k21+3k2,y 0=−2k 1+3k2,直线PQ 的斜率为−1k(由题意知k ≠0),又P 为直线x =3上的一点,所以x P =3,|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2, 当△ABP 为等边三角形时,|PQ |=√32|AB |,即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2,解得k =±1,即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2=0,或x +y ﹣2=0.【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合,及等边三角形的性质,属于中档题.21.设函数f (x )=e xx,g (x )=lnx +1x .(Ⅰ)若直线x =m (m >0)与曲线f (x )和g (x )分别交于点P 和Q ,求|PQ |的最小值;(Ⅱ)设函数F (x )=xf (x )[a +g (x )],当a ∈(0,ln 2)时,证明:F (x )存在极小值点x 0,且e x 0(a +lnx 0)<0.【分析】(Ⅰ)设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x>0),利用导数求出函数h(x)在定义域上的最小值,即为|PQ|的最小值;(Ⅱ)对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx),分析可知当x∈(12,x0),F(x)单调递减;当x∈(x0,1),F(x)单调递增,进而得证x0是F(x)的极小值点,且x0∈(12,1),a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02,由此可证ex0(a+lnx0)<0.解:(Ⅰ)设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x>0),则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2,当x∈(0,+∞)时,e x﹣1>0,故当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)在(0,+∞)上有最小值h(1)=e﹣1,∴当m=1时,|PQ|的最小值为e﹣1;(Ⅱ)证明:F(x)=e x(a+1x+lnx),则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx),因为e x>0,所以F′(x)与a+2x−1x2+lnx同号.设t(x)=a+2x−1x2+lnx,则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3>0,故t(x)在(0,+∞)单调递增,因a∈(0,ln2),t(1)=a+1>0,t(12)=a+ln12<0,所以存在x0∈(12,1),使得t(x0)=0,当x∈(12,x0),F′(x)<0,F(x)单调递减;当x ∈(x 0,1),F ′(x )>0,F (x )单调递增;所以若a ∈(0,ln 2),存在x 0∈(12,1),使得x 0是F (x )的极小值点,由t (x 0)=0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0,即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02, 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02<0. 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查转化思想及推理论证能力,属于中档题. 一、选择题22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ. (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)已知点M 的直角坐标为(2,0),直线l 和曲线C 交于A 、B 两点,求1|MA|+1|MB|的值.【分析】(Ⅰ)直接将直线的参数方程中的参数t 消去,可得直线的普通方程,利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,化为关于t 的一元二次方程,由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解.解:(Ⅰ)将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2=0, 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ=8cos θ,得y 2=8x , ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2=0和y 2=8x ;(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,得t 2−8√2t −32=0,设A 、B 两点对应的参数为t 1,t 2,则|MA |=|t 1|,|MB |=|t 2|,且t 1+t 2=8√2,t 1t 2=﹣32,∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16, ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12.【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用,是中档题. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知f (x )=|2x +a 2|.(Ⅰ)当a =2时,求不等式f (x )+|x ﹣1|≥5的解集;(Ⅱ)若对于任意实数x ,不等式|2x +3|﹣f (x )<2a 成立,求实数a 的取值范围. 【分析】(Ⅰ)由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5,由零点分区间法,绝对值的定义,去绝对值,解不等式,求并集,即可得到所求解集;(Ⅱ)由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|<2a 恒成立,运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值,再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围. 解:(Ⅰ)当a =2时,f (x )+|x ﹣1|=|2x +4|+|x ﹣1|≥5,则{x <−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x >12x +4+x −1≥5, 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x >1,所以原不等式的解集为(﹣∞,−83]∪[0,+∞); (Ⅱ)对于任意实数x ,不等式|2x +3|﹣f (x )<2a 成立, 即|2x +3|﹣|2x +a 2|<2a 恒成立,又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|=|a 2﹣3|,要使原不等式恒成立,则只需|a 2﹣3|<2a , 由﹣2a <a 2﹣3<2a ,即{a 2+2a −3>0a 2−2a −3<0,即为{a >1或a <−3−1<a <3, 可得1<a <3,所以实数a 的取值范围是(1,3).【点评】本题考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论思想,考查不等式恒成立问题解法,注意运用绝对值不等式的性质,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.。

重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟试题

重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟试题
2
a
b
4.
函数f x
_sin(x)的一条对称轴为()
(A )
x._
(B)x…(C)
x __
(D):
x __
4
4
2
4
2
(
)
枚骰子,掷出的点数恰好是
3的倍数的概率为
5.随机投掷1
(A)1
2
、,if八
8.函数y =sin2x+—
V6丿
I
L.
J
1
」」
I
1F i
L
1^.
n
F*—1
15.以下命题(表示m,I直线,表示平面)正确的个数有()
①若I //m, m;=氐,则III.;②若I //-, m:则I//m
③若l,m|翌匕曙,则I m④若I」二,mj_I,则mII。
A、0个B、1个C、2个D、3个
二、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)
16•cos75°cos15°sin2550sin1650的值是
rrr r
17.若向量a =(1, x), b =(2,1), ab,则x的值为
18.函数f(X)1的定义域为
log」(2x七1)
2
0
20.若非负数x, y满足约束条件则xy的最大值为
&子2y兰4
三、解答题(共5小题,共40分)
21.(本小题满分10分)已知直线I过点(1,2)且与直线m:x 2y1£平行。
(1)求直线I的方程;(2)求圆C:(x1)2•(y1)2-2的圆心C到直线I的距离
(1)设bn=an1一2an,求证{ bn}是等比数列
a
(2)设Cn__nn,求证{ Cn}是等差数列

重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题一(重庆卷)(解析版)

重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题一(重庆卷)(解析版)

1 / 22重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试题一(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.试题的答案书写在答题卡...上,不得在试题卷上直接作答;2.作答前认真阅读答题卡...上的注意事项;3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色..签字笔完成;4.考试结束,由监考人员将试题卷和答题卡...一并收回。

参考公式:抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的定点坐标为24(,)24b ac b a a --,对称轴为2bx a=- 一.选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡...上的题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1.下列各数中,最大的数是( )A .−12B .14C .0D .﹣2【解答】﹣2<−12<0<14,最大的数是14, 故选:B .2.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体,其俯视图为( )A .B .C .D .【解答】从上面看第一排是三个小正方形,第二排右边是一个小正方形,故选:B.3.如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,直线l平行于BC.现将直线l绕点A逆时针旋转,所得直线分别交边AB和AC于点M、N,若△AMN与△ABC相似,则旋转角为()A.20°B.40°C.60°D.80°【解答】如图,直线l绕点A逆时针旋转,所得直线分别交边AB和AC于点M、N,若△AMN∽△ACB,则∠AMN=∠C=40°,又∵直线l平行于BC,∴∠ADE=∠B=80°,∴∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°,即直线l旋转前后的夹角为40°,∴旋转角为40°,故选:B.4.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且∠D=40°,则∠PCA等于()A.50°B.60°C.65°D.75°【解答】∵PD切⊙O于点C,2/ 22∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=40°,∴∠DOC=90°﹣40°=50°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠COD=∠A+∠ACO,∴∠A=12∠COD=25°,∴∠PCA=∠A+∠D=25°+40°=65°.故选:C.5.下面命题正确的是()A.矩形对角线互相垂直B.方程x2=14x的解为x=14C.六边形内角和为540°D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【解答】A.矩形对角线互相垂直,不正确;B.方程x2=14x的解为x=14,不正确;C.六边形内角和为540°,不正确;D.一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,正确;故选:D.3/ 224 / 226.估计(√3+3√5)×√13( ) A .3和4之间B .4和5之间C .5和6之间D .6和7之间【解答】(√3+3√5)×√13=1+√15, ∵3<√15<4, ∴4<√15+1<5,. 故选:B .7.学校八年级师生共468人准备到飞翔教育实践基地参加研学旅行,现已预备了49座和37座两种客车共10辆,刚好坐满,设49座客车x 辆,37座客车y 辆,根据题意可列出方程组( ) A .{x +y =1037x +49y =468B .{x +y =1049x +37y =468C .{x +y =46849x +3y =10D .{x +y =46837x +49y =10【解答】设49座客车x 辆,37座客车y 辆,根据题意可列出方程组{x +y =1049x +37y =468.故选:B .8.按下面的程序计算,若开始输入的值x 为正整数,输出结果86,那么满足条件的x 的值有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【解答】设输入x ,则直接输出4x ﹣2,且4x ﹣2>0,那么就有 (1)4x ﹣2=86,解得:x =22. 若不是直接输出4x ﹣2>0,5 / 22那么就有:①4x ﹣2=22,解得:x =6; (2)4x ﹣2=6,解得:x =2; (3)4x ﹣2=2,解得:x =1. (4)4x ﹣2=1,解得:x =34(舍去)∵x 为正整数,因此符合条件的一共有4个数,分别是22,6,2,1 故选:C .9.矩形ABCO 如图摆放,点B 在y 轴上,点C 在反比例函数y =k x(x >0)上,OA =2,AB =4,则k 的值为( )9题图A .4B .6C .325D .425【解答】∵四边形ABCO 是矩形, ∴∠A =∠AOC =90°,OC =AB , ∵OA =2,AB =4, ∴OB =√OA 2+AB 2=2√5, 过C 作CD ⊥x 轴于D ,∴∠CDO =∠A =90°,∠COD +∠COB =∠COB +∠AOB =90°, ∴∠COD =∠AOB ,∴△AOB∽△DOC,∴OBOC=ABCD=OAOD,∴2√54=4CD=2OD,∴CD=8√55,OD=4√55,∴C(4√55,8√55),∴k=325,故选:C.10.为了方便学生在上下学期间安全过马路,南岸区政府决定在南开(融侨)中学校门口修建人行天桥(如图1),其平面图如图2所示,初三(8)班的学生小刘想利用所学知识测量天桥顶棚距地面的高度.天桥入口A点有一台阶AB=2m,其坡角为30°,在AB上方有两段平层BC=DE=1.5m,且BC,DE与地面平行,BC,DE上方又紧接台阶CD,EF,其长度相等且坡度均为i=4:3,顶棚距天桥距离FG=2m,且小刘从入口A点测得顶棚顶端G的仰角为37°,请根据以上数据,帮小刘计算出顶端G点距地面高度为()m.(结果保留一位小数,参考数据:√3≈1.73,sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈34)A.5.8B.5.0C.4.3D.3.9【解答】如图,延长GF交过点A的水平线于J,作BH⊥AJ于H,CK⊥GJ于N,EM⊥GJ于M,DN⊥CK于K.6/ 227 / 22设CD =EF =5k ,则FM =DN =4k ,EM =CN =3k ,BH =12AB =1,AH =√3BH =√3, ∴AJ =√3+1.5+1.5+6k =√3+3+6k ,GJ =2+8k +1=3+8k , ∵tan37°=GJAJ =34, ∴√3+3+6k=34,∴k ≈0.156,∴GJ =3+8×0.156≈4.3(m ), 故选:C .11.如果关于x 的分式方程2+ax 3−x+2=4x−3有正整数解,且关于y 的不等式组{3(y −3)>4yy ≥a无解,那么符合条件的所有整数a 的和是( ) A .﹣16B .﹣15C .﹣6D .﹣4【解答】分式方程去分母得:2+ax ﹣2x +6=﹣4, 整理得:(a ﹣2)x =﹣12(a ﹣2≠0),解得:x =−12a−2,由分式方程有正整数解,得到a =1,0,﹣1,﹣2,﹣4,﹣10, 当a =﹣2时,x =3,原分式方程无解, 所以a =1,0,﹣1,﹣4,﹣10, 不等式组整理得:{y <−9y ≥a ,解得:a ≤y <﹣9,由不等式组无解,即a ≥﹣9,∴a=1,0,﹣1,﹣4,之和为﹣4,故选:D.12.如图,在△ABC中,AB=11,AC=10,BC=3√5,点D是AB边上一点,连接CD,将△BCD 沿着CD翻折得△B1CD,DB1⊥AC且交于点E,则CD的值为()12题图A.3B.6C.3√5D.3√10【解答】如图,作CH⊥AB于H.设BH=x,则AH=11﹣x.∵CH2=BC2﹣BH2=AC2﹣AH2,∴(3√5)2﹣x2=102﹣(11﹣x)2,解得x=3,∴AH=11﹣3=8,∴CH=√102−82=6,∵∠CDH=∠CDE,∠CHD=∠CED=90°,CD=CD,∴△CDH≌△CDE(AAS),∴CH=CE=6,∴AE=10﹣6=4,∵∠A=∠A,∠AED=∠AHC=90°,8/ 22∴△AED∽△AHC,∴DECH=AEAH,∴DE6=48,∴DE=3,∴CD=2+EC2=3√5,故选:C.二、填空题:( 本大题6小题,每小题4分,共24分) 请将每小题的答案直接填在答题卡...中对应的横线上13.计算:(π﹣1)0=1,(−13)﹣2=9.【解答】(π﹣1)0=1、(−13)﹣2=1(−13)2=119=9,故答案为:1、9.14.港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一,它是世界总体跨度最长的跨海大桥,全长55000米,数字55000用科学记数法表示为 5.5×104.【解答】数字55000用科学记数法表示为5.5×104.故答案为:5.5×104.15.一个不透明布袋里共有5个球(只有颜色不同),其中3个是黑球,2个是白球,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回、搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球是一黑一白的概率是1225.【解答】设黑球为A、B、C;白球为1,2,列树状图为:9/ 2210 / 22所有可能情况有25种,其中两次摸出的球是一黑一白的结果有12,两次摸出的球是一黑一白的概率为=1225, 故答案为:1225.16.如图,菱形ACBD 中,AB 与CD 相交于点O ,∠ACB =120°,以C 为圆心,CA 为半径作弧AB ,再以C 为圆心,CO 为半径作弧EF ,分别交CA 、CB 于点F 、E ,若CB =2,则图中阴影部分的面积是2π3−√32. 【解答】∵四边形ACBD 是菱形,∠ACB =120°, ∴DB =DA ,∠BCO =60°,∴OC =BC ×cos60°=1,OB =BC ×sin60°=√3,∴图中阴影部分的面积=60π×22360−12×1×√3=2π3−√32,故答案为:2π3−√32. 17.已知A 、B 两地之间的路程为3000米,甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,甲到B 地停止,乙到A 地停止,出发10分钟后,甲原路原速返回A 地取重要物品,取到该物品后立即原路原速前往B 地(取物品的时间忽略不计),结果到达B 地的时向比乙到达A 地的时间晚,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y (m )与甲运动的时间x (min )之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与B 地相距的路程是 250 米. 【解答】设甲的速度为am /min ,乙的速度为bm /min ,11 / 22{10(a +b)=3000−2100(4009−20)×(a +b)=3000−20b , 解得,{a =50b =40,则乙到达A 地时用的时间为:3000÷40=75min ,∴乙到达A 地时,甲与B 地相距的路程是:3000﹣50×(75﹣20)=250m , 故答案为:250.18.某公司推出一款新产品,通过市场调研后,按三种颜色受欢迎的程度分别对A 颜色、B 颜色、C 颜色的产品在成本的基础上分别加价40%,50%,60%出售(三种颜色产品的成本一样),经过一个季度的经营后,发现C 颜色产品的销量占总销量的40%,三种颜色产品的总利润率为51.5%,第二个季度,公司决定对A 产品进行升级,升级后A 产品的成本提高了25%,其销量提高了60%,利润率为原来的两倍;B 产品的销量提高到与升级后的A 产品的销量一样,C 产品的销量比第一季度提高了50%,则第二个季度的总利润率为 64% . 【解答】依题意得:三种产品原利润率分别为40%,50%,60%设三种颜色产品原来的成本为a ,A 产品原销量为x ,B 产品原销量为y ,C 产品原销量为z ,得: {40%ax +50%ay +60%az =51.5%a(x +y +z)①40%(x +y +z)=z② 由②得:x +y =32z ③把③代入①整理得:x =58z ,y =78z第二季度时,A 产品成本为:(1+25%)a =54a ,B 、C 产品成本仍为aA 、B 产品销售量为:(1+60%)x =85x ,C 产品销售量为:(1+50%)z =32z A 产品利润率变为80%,B 、C 产品利润率不变12 / 22∴总利润为:54a ⋅85x ⋅80%+a ⋅85x ⋅50%+a ⋅32z ⋅60%=125ax +910az总成本为:54a ⋅85x +a ⋅85x +a ⋅32z =185ax +32az∴总利润率为:125ax+910az 185ax+32az =125⋅58z+910z 185⋅58z+32z =1625=64%故答案为:64%三.解答题:(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡...中对应的位置上。

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市普通高中2020级学生学业水平考试数 学 模 拟 试 题(总分:100分 时间120分钟)一、选择题(共15个小题,每小题3分,共45分)1.若集合{}13A x x =≤≤,集合{}2B x x =<,则A B = ( ) (A ){}12x x ≤< (B ){}12x x << (C ){}3x x ≤ (D ){}23x x <≤2.tan330︒=( ) (A(B(C) (D) 3.已知lg2=a ,lg3=b ,则3lg 2=( )(A )a -b (B )b -a (C )b a (D )ab4.函数()sin()4f x x π=-的一条对称轴为( )(A )4x π= (B )2x π= (C )4x π=- (D )2x π=- 5.随机投掷1枚骰子,掷出的点数恰好是3的倍数的概率为 ( ) (A )12 (B )13 (C )15(D )16 6.在等比数列{}n a 中,若32a =,则12345a a a a a =( ) (A )8 (B )16 (C )32 (D )7.如果直线ax +2y +1=0与直线x +3y -2=0互相垂直,那么a 的值等于( ) (A )6 (B )-32(C )-5 (D )-68.函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是( )(A )(,0)12π-(B )(,0)6π- (C )(,0)6π(D )(,0)3π9. 过P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有 )(A )1条(B )2条 (C )3条 (D )4条 10.为了得到函数x y 2sin 3=,R x ∈的图象,只需将函数)32sin(3π-=x y ,R x ∈的图象上所有的点( )(A ) 向左平行移动3π个单位长度 (B ) 向右平行移动3π个单位长度 (C )向左平行移动6π个单位长度 (D ) 向右平行移动6π个单位长度11.若f (x )是以4为周期的奇函数,且f (-1)=a (a ≠0),则f (5)的值等于( ).(A )5a (B )-a (C ) a (D )1-a 12.如图,D 是△ABC 的边AB 的三等分点,则向量CD 等于( )(A )23CA AB + (B )13CA AB + (C )23CB AB + (D )13CB AB +13.如果执行右面的程序框图,那么输出的S 等于 ( )(A )45 (B )55 (C )90 (D )11014.若221xy+=,则x y +的取值围是( ).CADB15.以下命题(表示,m l 直线,α表示平面)正确的个数有( ) ①若//,l m m α⊂,则//l α ;②若//,l m αα⊂,则//l m ③若,l m αα⊥⊂,则l m ⊥④若,l m l α⊥⊥,则//m α。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)16.0cos75cos15sin 255sin165-的值是 . 17.若向量(1,),(2,1),a x b a b ==-⊥,则x 的值为 18.函数121()log (21)f x x =+的定义域为19. 一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 20.若非负数,x y 满足约束条件024x y x y -≥⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为三、解答题(共5小题,共40分)21.(本小题满分10分)已知直线l 过点(1,2)且与直线:210m x y -+=平行。

(1)求直线l 的方程;(2)求圆22:(1)(1)2C x y -++=的圆心C 到直线l 的距离。

22.(本小题满分8分)已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =- (1)求函数()f x 的最小正周期及单调减区间;(2)在ABC 中,若()1f C =-,sin ,sin ,sin A C B 成等比数列,且()18CA AB AC ⋅-=,求c 的值。

23.(本小题满分8分)已知数列}{n a 中,n S 是它的前n 项和,并且241+=+n n a S ,11=a 。

(1)设n n n a a b 21-=+,求证}{n b 是等比数列 (2)设nnn a C 2=,求证}{n C 是等差数列 (3)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式24.(本小题满分8分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B B C ⊥,E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点. 求证:(1)EF ∥平面ABC ;(2)平面11A FB ⊥平面11BB C C .ABC1B 1C 1A FE25.(本小题满分6分)已知点()0,1A ,,B C 是x 轴上两点,且6BC =(B 在C 的左侧).设ABC ∆的外接圆的圆心为M .(1)已知4AB AC ⋅=-,试求直线AB 的方程. (2)当圆M 与直线9y =相切时,求圆M 的方程. (3)设12,AB l AC l ==,1221l l s l l =+,试求s 的最大值.市普通高中2020级学生学业水平考试数学模拟试题(总分:100分 时间120分钟)一、选择题(共15个小题,每小题3分,共45分)1.若集合{}13A x x =≤≤,集合{}2B x x =<,则A B = ( A )(A ){}12x x ≤< (B ){}12x x << (C ){}3x x ≤ (D ){}23x x <≤2.tan330︒=( D ) (A(B(C) (D) 3.已知lg2=a ,lg3=b ,则3lg 2=(B )(A )a -b (B )b -a (C )b a (D )ab4.函数()sin()4f x x π=-的一条对称轴为( )(A )4x π= (B )2x π= (C )4x π=- (D )2x π=- 5.随机投掷1枚骰子,掷出的点数恰好是3的倍数的概率为 ( B )(A )12 (B )13(C )15(D )166.在等比数列{}n a 中,若32a =,则12345a a a a a =( C ) (A )8 (B )16 (C )32 (D )7.如果直线ax +2y +1=0与直线x +3y -2=0互相垂直,那么a 的值等于( D )(A )6 (B )-32(C )-5 (D )-68.函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一个对称中心是( A )(A )(,0)12π-(B )(,0)6π- (C )(,0)6π(D )(,0)3π9. 过P(4,-3)且在坐标轴上截距项等的直线有( )(A )1条(B )2条(C )3条 (D )4条 10.为了得到函数x y 2sin 3=,R x ∈的图象,只需将函数)32sin(3π-=x y ,R x ∈的图象上所有的点( )(A ) 向左平行移动3π个单位长度 (B ) 向右平行移动3π个单位长度 (C )向左平行移动6π个单位长度 (D ) 向右平行移动6π个单位长度11.若f (x )是以4为周期的奇函数,且f (-1)=a (a ≠0),则f (5)的值等于( ).(A )5a (B )-a (C ) a (D )1-a 12.如图,D 是△ABC 的边AB 的三等分点,则向量CD 等于( B )(A )23CA AB +(B )13CA AB + (C )23CB AB + (D )13CB AB + 13.如果执行右面的程序框图,那么输出的S 等于 ( B )(A )45 (B )55 (C )90 (D )11014.若221xy+=,则x y +的取值围是( ).A. []0,2B. []2,0-C. [2,)+∞D. (],2-∞- CADB①若//,l m m α⊂,则//l α ;②若//,l m αα⊂,则//l m ③若,l m αα⊥⊂,则l m ⊥④若,l m l α⊥⊥,则//m α。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题(共4道小题,每小题3分,共12分)16.0cos75cos15sin 255sin165-的值是 . 17.若向量(1,),(2,1),a x b a b ==-⊥,则x 的值为 18.函数121()log (21)f x x =+的定义域为19. 一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为解析:该几何体是三棱柱中截去一个棱锥,三棱柱的底面边长为2,高是2,截去的三棱锥底面边长是2,高是1,所以该几何体的体积是V =12×2×3×2-13×12×2×3×1=53320.若非负数,x y 满足约束条件024x y x y -≥⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为三、解答题(共5小题,共40分)21.(本小题满分10分)已知直线l 过点(1,2)且与直线:210m x y -+=平行。

(1)求直线l 的方程;(2)求圆22:(1)(1)2C x y -++=的圆心C 到直线l 的距离。

22.(本小题满分8分)已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =- (1)求函数()f x 的最小正周期及单调减区间;(2)在ABC 中,若()1f C =-,sin ,sin ,sin A C B 成等比数列,且()18CA AB AC ⋅-=,求c 的值。

23.(本小题满分8分)已知数列}{n a 中,n S 是它的前n 项和,并且241+=+n n a S ,11=a 。

(1)设n n n a a b 21-=+,求证}{n b 是等比数列 (2)设n nn a C 2=,求证}{n C 是等差数列 (3)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式解:(1)111124+-++++=+=n n n n n a a a S S ∴ 112424+-++=+n n n a a a ∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a 即:)2(222111≥=--=-+-n a a a a b b n n nn n n 且32121=-=a a b ∴ }{b 是等比数列(2)}{n b 的通项11123--⋅=⋅=n n n qb b ∴ )(4322222*111111N n b a a a a C C n n n n n n n n n n n ∈==-=-=-++++++ 又21211==a C ∴ }{n C 为等差数列 (3)∵ d n C C n ⋅-+=)1(1 ∴43)1(212⋅-+=n a n n ∴ )(2)13(*2N n n a n n ∈⋅-=-22)13(22)13(42421+⋅-=+⋅-⋅=+⋅=-+n n n n n n a S ∴ )(22)43(*1N n n S n n ∈+-=-24.(本小题满分8分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B B C ⊥,E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点. 求证:(1)EF ∥平面ABC ;(2)平面11A FB ⊥平面11BB C C .证明:∵ E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点,∴ //EF BC .又 EF ⊄平面ABC , AB ⊂平面ABC , ∴ EF ∥平面ABC .(2)在直三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面111A B C ,∵ 11A B ⊂平面111A B C , ∴ 111A B BB ⊥. 又 1111A B B C ⊥,1111,BB B C B =111,BB B C ⊂平面11BB C C .∴ 11A B ⊥平面11BB C C .又11A B ⊂平面11A FB ,∴ 平面11A FB ⊥平面11BB C C .25.(本小题满分6分)已知点()0,1A ,,B C 是x 轴上两点,且6BC =(B 在C 的左侧).设ABC ∆的外接圆的圆心为M .(1)已知4AB AC ⋅=-,试求直线AB 的方程. (2)当圆M 与直线9y =相切时,求圆M 的方程. (3)设12,AB l AC l ==,1221l l s l l =+,试求s 的最大值. 解:(1)设(),0B a ,则()6,0C a +. (),1AB a =-,()6,1AC a =+-,由4AB AC ⋅=-得()614a a ++=-,解得:15a =--或,ABC1B 1C 1A FEyCBA M(2)设圆心为(),a b ,半径为r ,则,,9,r r b r ==-=⎪⎩解之得:4,4,5a b r =±==,所以,圆M 的方程为()()224425x y ±+-=. (3)设()()3,0,3,0B m C m -+,则12l l ==所以,22212122112210m l l l l s l l l l ++=+==≤,等号当且仅当m =时取得.。

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