培优专题：二次根式
二次根式培优专题
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移与内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数与的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A ．45B ．3π-C ．14D ．122、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+2)2(-a = 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。
7、化简：=--xx 1 ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试4. . ab 、1 . a 3b'次根式•…（3 xF b简二次根式后再判断.［答案】".= _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性12a 3质的运用.8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是(a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a +9 .当 1<x < 4 时，|x — 4|+ ; X 2 —2X 1 【提示】x 2— 2x + 1=( ) 2，x — 1 .当 x — 4是负数，x — 1是正数.【答案】3 . .【提示】(a — fa 2—1 )( a 2 -1 ._________ AAA【答案】< .【点评】先比较.28，■. 48的大小，再比较， 的大小，最后比较—V28 J48J281与 ------- 的大小.4813.化简：(7 —2 ) 2000 • — 7 — 5、2 ) 2001= ___________ .［提示】(—7 — 5 恋 2)2°01= ( — 7— 5j2)2°°°( _____________ ) ［ — 7 — 5应.］(7 —5 2 ) •(— 7— 5、2 )=? ［1.］［答案】—7— 5 2 .［点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.14•若.x 1 + , y 一3 = 0,则(x — 1)2 + (y + 3)2 = ________________ •［答案】40. ［点评】、兴 1 > o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0.1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数?（一）判断题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X .= 73 + 2 =.3-2 3 - 4.(x-1)2 = ("-1)2.-( )【提示】(x-1)2 = x — 1|，.3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提示】 (y ［3 + 2).【答案】X.3. 式相等，必须x > 1•但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (• x -1)2 =x — 1 (x > 1).两5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x.6.当x 不等于零. 2分，共20分）时，式子——1 有意义.【提示】•、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3【答案】x > 0且X K 9 .J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 .ab -c 2d 2a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 -----------------J0E&c 2d 2_【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= (、. ab cd ) ( , ab - cd ).——尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 .4”310•方程 是多少？ 11.已知112.比较大小：— -------2J7.【提示】c2d 2 = |cd|=— cd .）【提示】 —v a 3b 、— — f a化成最3 x '\ b7•化简一)=a 215. _________________________________________________________________ x , y 分别为8— •. 11的整数部分和小数部分，则 2xy — y 2= _______________________________________ -【提示】； 3v V 4,二 ___________ V 8—卯 V ____________ . ［4, 5］.由于8—介于4与5之间，则其整数部分 x =?小数部分y =? ［x = 4, y = 4—、. 11 ］【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算•在明确了二次根式的取值范围 后，其整数部分和小数部分就不难确定了.（三）选择题：（每小题3分，共15分）3216. 已知 x 3x =— x . x 3，则 ..................... （）（A ） x <0 （B ） x < — 3 （ C ） x >— 3 （ D ）— 3< x < 0【答案】D . 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件， （A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平 方根的意义.仃.若 x v y v 0,贝寸.x 2_2xy y 2+x 2 2xy - y 2= ................. ( )(A ) 2x ( B ) 2y ( C )— 2x( D )— 2y【提示】T x v y v 0,「. x — y v 0, x + y v 0.'一 x2-2xy y 2 = . (x -y)2 = |x — y|=y —x .x 2 2xy y 2 = . （x y ）2 = |x + y|= — x —y .［答案】C .【点评】本题考查二次根式的性质 ..a 2 =|a|.1 1 ••• x +>0, x — v 0 .［答案】D .xx 【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. （A ）不正确是因为用性质时没有注意当0v x v 1时,1 x — v 0.x:3a19•化简(a v 0)得 ................................................ ()a(A ). - a( B ) —、.a( C )— ：, - a( D )■■. a［提示】 -a 3 =-a a 2 =V — a • a 2 = |a| U — a = — a 、； 一 a .［答案】C .20. ........................................................................................................................................... 当 a v 0, b v 0 时，一a + 2 ab — b 可变形为 ............................................................ ()—2［答案】C .［点评】本题考查逆向运用公式 （Ja ） = a （a > 0）和完全平方公式.注意（A ）、（B ）不 正确是因为a v 0, b v 0时，..a 、b 都没有意义.（四） 在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21.9x 2— 5y 2;［提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2= （ . 5y ）2 .［答案】（3x + ■■ 5 y ） （3x —-.5y ）._x )2422(A )(B )-(C )— 2x(D ) 2xx x【提示】（x1 2——)2+ 4 = (x +丄)2,1 2(x +)2 — 4= (x 丄）2.又Tx xx x0v x v 1,(A )(：.a ■ ： br (B ) — (：：：a - i br 【提示】T a v 0, b v 0,— a > 0, — b >0.并且—a = (•一 ~ a) (C ) (.-a . -b)2 (D ) C - a -.-b)2—b = C 、- b)2, .. ab = ：a)(~b).-4等于 ..................18 .若 O v x v 1则22. 4x4—4x2+ 1 .［提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解. ［答案】（,2 x+ 1）2（2 x—1）2. （五）计算题：（每小题6分，共24分）23. （5 - 3 ■ 2 ）（ ■■- 5 —73 - ' 2 ）；［提示】将•.一5 - .3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式.【解】原式=(..,5 _ .、3)2— ( .、2)2= 5— 2、、15 + 3— 2 = 6— 2、. 15 .5 4 224. ________ — __________ —;【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式. 4 - . 11. 11 -「73、75(4⑴—4( 117)—2(3「7)= 4「11「11 「7 — 3 + 7 = 1.【解】原式=16—1111-125. (a 2n ab —— mn m m9-7n m 2 2 n + ― a b 、j — m b nV m【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式.【解】原式=2 n ab —— n ma— —mn +.— m mm n mab26.( a +=丄 1 =J b - ab ) ab1+ ----2^2a bm ■ mnna 2 -ab 1b 2ab b . ab - aa b —、ab )(a z b ).【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分.【解】原式=a+Jab +b-了乔 亠 a 扁(掐-裕)-bJb(Ua + Vb) - (a + b)(a- b) va +屈2亠a,ab(、. a 、b)(. a -、b)- a ab - b ab - b 2 - a 2 b 2 .ab(、. a " b)(. a - i. b)J ab(.. a - b)C. a -： b)-.ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (六)求值：(每小题7分，共14分) ■-■■3 - < 2 七 y= 3-2，求 3x -xy 3 2 【提示】先将已知条件化简， 3 2【解】丁 x= ---------------占-、，;2「2 (，- ..2)2= 5-2*6 . 27.已知x4, 3 2 23 的值.x y 2x y x y再将分式化简最后将已知条件代入求值.y = .3 .2x + y = 10，x — y = 4 6， xy =5 2— (^.. 6 ) 2= 1.3 2x _xy x(x y)(x- y)4、6 x 4y+2x 3y 2+x 2y 3 x 2y(x + y)2xy(x + y) 1X 10【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x + y ”、“x —y ”、程更简捷.二〈6 .5 “xy ”.从而使求值的过28.当 x = 1 —— x■■- 2 时，求 -------------------- +2 4 2 I 2 4 2 x a 一 x 、x a2x -； x 2 a 2 ------------------------------------------------------2 2 2 x 一 x • x a1------- 的值.2 . 2x a【提示】注意:x 2+ a 2 — xx 2 + a 2= C- x 2a 2 )2，J x 2 +a 2 = J x 2 +a 2(J x 2 +a 2 — x )，x 2-x *；x 2+a 2 = —x ( J x 2 + a 2 — x ).原式=21=屁•【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求岀y 的值.2 2【解】原式= ____________________________ __ _2x …x . a_ + ______ 1_ A /X 2+a 2 (Jx 2+a 2 _x) x(Jx 2 +a 2 _x) w'x 2+a 2 x 2_ x 2 a 2 (2x _ . x 2 a 2) x( . x 2 a 2 - x) x . x 2 a 2 C x 2 a 2"x)2 - a 2 ■ ( ,x 2 a 2 )2 x . x 2 a 2-x =(x 2-.-a 2)2 —x x^.-a 2 = x 2C x ' a -'X )xjx 2 +a 2 (Jx 2 十 a 2 -x)x 2 —2x x x J x 2 +a 2 (Jx 2 +a 2 _x) x = 1- 2时，原式=一1=- 1- . 2 •【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分1 -V2 1 .当 x式”之差, 那么化简会更简便•即原式= •、x 2vx 2 +a 七、解答题：(每小题8分，共16分) — 1 29 •计算(2 5 + 1) ( ---------- +1+V2 x x 2 a 2( i x 2 a 2 _x) 1 1 2 a -x x. x 2 a 2 J 2 + J 3【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. — ，2 — 1 【解】原式=(2 ,5 + 1)( 2x —：：x 2 -a 2 +x(・ x 亠a —x)1 .x2 a 2V99、 2 -1 3-2 4 -3 100 -99 )[(-1)+( V3 - J2) +(- J3) +…+( J100 )]=(2 “七 + 1 =(2 ,5 + 1) ( .100 -1) =9 (2 •：”； 5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分•这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消•这种方法也叫做裂项相消法. 30.若 x ，y 为实数，且 y = .. 1- 4x + 4x -1 + — •求2【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件?14^0］你能求出x ，y 的值吗? 4X — 1 -0.13]1 2.【解】要使y 有意义，必须［ 1 一 4x -4x -1 一 0又；x2 y - x _2 ■ yy x y x原式=X . y - J y Y x 耳xJ4x 一丄4 x = 1 .当 x41时, 1 y =2yy1 x =—4/ x -y 1 y =，-22 .x 当■ yx=— 4y = x<y 1时，2。
培优专题10二次根式化简求值的五种方法-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁
培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。
本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。
三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。
四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。
五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。
对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。
所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。
.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
二次根式培优试卷
第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是 ．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为 ． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝ ．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是 ．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值 （1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
中考培优专题之二次根式
备战中考之二次根式习题一、单选题（共15题；）1.对于任意的正数m 、n 定义运算※为：m ※n={√m −√n (m ≥n )√m +√n (m <n )),计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）A. 2﹣4√6B. 2C. 2√5D. 20 2.要使二次根式√3−2x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A. x ⩾32 B. x ⩽32 C. x ⩾23 D. x ⩽23 3.下列各实数中最大的一个是（ ） A. 5× √0.039 B.3.141πC.√14+√7D. √0.3 + √0.24.已知x 为实数，化简√−x 3−x√−1x的结果为（ ）A. (x −1)√−xB. (−1−x )√−xC. (1−x )√−xD. (1+x )√−x 5.若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为： （ ）A. 0B. 1C. -1D. 26.等式√xx−3=√x√x−3成立的条件是（ ） A. x≠3 B. x≥0 C. x≥0且x≠3 D. x>3 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ).A. B.C.D.8.已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A. 12B. 11C. 8D. 39.如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式,那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A. x≤10 B. x≥10 C. x ＜10 D. x ＞10 10.已知 y =√4−x +√x −4+3 ，则 yx 的值为（ ）A. 43 B. −43 C. 34 D. −34 11.若x +y ＝3+2 √2 ，x ﹣y ＝3﹣2 √2 ，则 √x 2−y 2 的值为（ ） A. 4 √2 B. 1 C. 6 D. 3﹣2 √2 12.函数 y =1x+1−√2−3x 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x ≤23 B. x ≥23 C. x <23 且 x ≠−1 D. x ≤23 且 x ≠−113.利用计算器计算时，依次按键下： ，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.914.把代数式(a－1) √11−a的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －√1−aB. √a−1C. √1−aD. －√a−115.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－√k2−12k+36的结果是( )A. 3k－11B. k＋1C. 1D. 11－3k二、填空题（共15题；）16.若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=________．17.观察下列运算过程：1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2(√2)2−12=√2−1√2+√3=√3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3√2(√3)2−(√2)2=√3−√2……请运用上面的运算方法计算：1+√3+√3+√5√5+√7⋯+√2015+√2017√2017+√2019=________．18.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=________19.√12与最简二次根式5 √a+1是同类二次根式，则a=________．20.读取表格中的信息，解决问题．满足n n n√3+√2≥2014×(√3−√2+1)的n可以取得的最小整数是________．21.已知|6﹣3m|+（n﹣5）2=3m﹣6﹣√(m−3)n2，则m﹣n=________22.若m=√2012−1，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是________．23.若√20n是整数，则正整数n的最小值为________．24.已知√a（a﹣√3）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是________．25.如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．26.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=________.27.若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为________．28.若x、y都为实数，且y=2008√x−5+2007√5−x+1，则x2+y=________。
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
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二次根式培优一、知识的拓广延伸1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如a a()≥0的式子叫做二次根式，其中0a≥。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件：1(1;2(4);1x++-++2、教科书中给出：(0)a a=≥，在此我们可将其拓展为：a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()（1）、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简2a②化简求值：1a a=15③已知，132m-<<，化简2m④______=；⑤若为a,b,c________=;___________=.（2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。
①若1m=,求m的取值范围。
4x=-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．③若a=④3,2xy已知求的值。
二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0≥a②二次根式a 是非负数，即0≥a例1. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3例2（1）化简x x -+-11＝_______．(2)x ＋y )2，则x －y 的值为( )(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不是(2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。
三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。
如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。
（1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。
(2)2-—3四，拓展性问题1、 整数部分与小数部分要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。
例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。
（2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。
（3a ，小数部分为b ，求a 2+b 2的值。
（4）若________aa b a b ==是的小数部分，则。
5aa b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。
2、巧变已知，求多项式的值。
32351x x x x =+-+（1）、若的值。
222+yx y x z xy xz yz-=+---（2）、若的值。
3_________m=５４（3）、若m－２ｍ－2011m的值为。
3、用归纳法化简求值+++五．其他例11.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6……那么第10个数据应是。
例12.（1）已知n是一个正整数，n135是整数，则n的最小值是（）。
A．3B．5C．15 D．25（2）．已知n-12是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．326．有这样一类题目：将如果你能找到两个数m、n，使22m n a+=并且mn=则将a±变成()2222m n mn m n+±=±开方，例如：(22232212111+=++=++=+==仿照上例化简下列各式：（6分）（1（2（二）勾股定理提高题一、选择题1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A、4 cmB、8 cmC、10 cmD、12 cm2、如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A、 25B、 12.5C、 9D、 8.53、△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）.A 、50a 元B 、600a 元C 、1200a 元D 、1500a 元4、如图②是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、945、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或256、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、647、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5B 、25C 、7D 、158、△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或339、如图③，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( ) A 、521 B 、25 C 、105+5 D 、3510、如图④，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.A 、12B 、7C 、5D 、13 二、填空题1、在Rt ∆ABC 中，∠C=900，∠A,∠B,∠C 所对应的边分别是a,b,c.(1)若a=3cm,b=4cm,则c=；(2)若a=8cm,c=17cm,则b=； (3)若b=24cm,c=25cm,则a=；(4)若a:b=3:4,c=10cm,则a=,b=. 2、在Rt ∆ABC 中，∠A=900，a=13cm,b=5cm,则第三边c=. 3、已知直角三角形的两边长为5,12，则第三边的长为. 4、在RtABC 中，斜边AB=2，则AB 2+AC 2+BC 2=______.EAB CD 图④DCA图①图②图③52015 10CA BCABD图⑧CA BS 1S 2 CA 1B 1A B5、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.6、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为cm.7、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑的高度是m. 8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________. 9、在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13:5，则这个三角形的斜边长是.10、已知∆ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高，DC=2，则BD=. 11、在∆ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为.12、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边长是两个连续的正整数，那么它的周长是. 13、直角三角形有一条直角边长为11，另外两边的长也是正整数，那么它的周长是. 14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.15、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为. 16、如图⑤，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A,C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是.图⑤ 图⑦17、若正方形的面积为18cm ²，则正方形对角线长为 cm 。
18、如图⑦，长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E,AD=8，AB=4，则DE 的长为.19、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为；20、如图⑧，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于． 三、解答题1、如图，在△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.求BD 和AD 的长.2、如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？3、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•CBAD EF5、在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，.点D 为BC 边上一点，且BD=AD, ∠ADC=60°.求∆ABC的周长。
（结果保留根号）6、如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在沿着长方体的表面从点A 爬到点M,7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D,E 是AD 上任一点.求证:2222AB AC EB EC -=-.B。