大一高等数学复习题(含答案)
大一高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上（）A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内（）A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续，且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L，则f(x)在x=a处（）A.可导，f'(a)=LB.可导，f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上一定大于0。
（）3.若函数f(x)在区间I上有极值点，则f'(x)在I上一定存在零点。
（）4.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定可积。
（）5.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上一定连续。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。
2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。
3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。
4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。
5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述导数的定义。
2.简述连续与可导的关系。
3.简述罗尔定理。
4.简述拉格朗日中值定理。
大一期中高数复习题
大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。
2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。
3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。
4. 函数h(x)=e^x的导数是________。
5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。
三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。
五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。
求该公司生产100件产品时的平均成本。
六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。
大一高数期末考试复习题及标准答案
大一高数期末考试复习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2230x x e dx-⎰.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .本页满分36分 本页得分本页满分 12分 本页得分3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()x x x e x →-=21e .2．()()1200511xxx xe e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：本页满分 12分 本页得分本页满分15分 本页得分本页满分18分 本页得分本页满分7分 本页得分1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---. 5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求nn x ∞→lim .解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(101-=+-+⎰dx x xx x ------------2 故 n n x∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3法二：V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a>atatf t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a问a为何值时)(at最小? 并求最小值.解:.lnlnln1)(ln)(aaataaatf t-==-='得由--------------- 3)(ln1lnln)(2eeaaaaat==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaatea eee=<'<>'>-----2 故.11ln1)(,)(eeeetatea ee-=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理， 根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
大一第一学期期末高数试卷复习及答案(常见与经典)
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷参考答案及评分标准高等数学（上）一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．（3分）2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 0 4 ．（3分） 3．已知22lim e x x kx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=k 1 ．（3分）4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．（3分）5．函数653)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．（3分）6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1ln(0,0,sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．（3分）7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：（3分）)10()!1(2!2221)(112<<++++++=++θθn xn n nx n e x n x x x f ． 8．函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满足拉格朗日中值公式的ξ=2ba +．（3分）9．定积分()dx x x x 1011sin ⎰-+的值为61．（3分）10．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．（3分）二．计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分） 11．求极限113lim 21-+--→x x x x ．（5分） 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------（3分）42)13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------（5分）12.求极限 n n n 2sin 2lim π∞→．（5分） 解：πππππ=⋅=∞→∞→nn n n n n 22sin lim 2sin 2lim ----------------------------（5分）13．求极限4020sin 1lim 2x tdt t x x ⎰+→（5分）解：21s i n 21lim 42sin 1lim sin 1lim 2240324040202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）14．设x ey arctan =，求dy ．（5分） 解：)(arctan arctan arctan x d e de dy x x ==-----------------------------------（2分）dx x x e x d x ex x )1(211arctan arctan +=+=----------------------------------（5分）15．求由方程y x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy．（5分）解：方程两边求关于x 的导数)()(dx dy x y xy dxd +=； )1(dx dye e x d y x y x +=++-------------（3分） 所以有 )(dx dy x y +=)1(dx dy e y x ++解得 )1()1(y x x y xy x y xy ex y e dx dy y x y x --=--=--=++------------------------（5分） 16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx y d ．（5分）解：t t t t t dxdt dy e e e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------（2分）t t t t t e e e e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------（5分）17．求不定积分⎰++dx x x x 2321)(arctan ．（5分）解：⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 23222321)(arctan 11)(arctan ----------------（1分） =x d x dx x arctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------（3分） =C x x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------（5分）18．求定积分dx e x ⎰+101．（5分）解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----（1分）⎰⎰⎰==+212110122dt te tdt e dx e t t x --------------------------------------（2分）22122121)12(2)|2(2)|(2e e e e dt e te t t t -=--=-=⎰--------（5分）20．求函数x x y 12+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．（10分） 解：函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞ 令01212232'=-=-=x x x x y ，得驻点3121=x -------------------------（1分） 当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321<x 时，0'<y ，函数单调减少，所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和]21,0(3-----（4分）3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------（5分）令0)1(222333''=+=+=x x x y ，得12-=x -------------------------------------（6分） 当0>x 或1-<x 时，0''>y ，曲线x x y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0''<y曲线x x y 12+=为凸的， 所以曲线x x y 12+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------（8分）曲线的拐点为（-1，0）--------------------------------------------------------------（10分）四、证明题（6分）21．证明当0>>b a 时，b b a b a ab a -<<-ln ． 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------（2分） 因为x x f 1)('=，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------（3分） 因为a b <<<ξ0，所以b a 111<<ξ， -------------------------------------------（4分） 又0>-b a ，所以b b a b a ab a )()(1-<-<-ξ 即：b b a b a ab a -<<-ln -------------------------------------------------------（6分） 五．应用题（8分）22．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分，取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dx e e S x x )(10--=⎰--------------------------------------------------------（2分）2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）-------------------------------------------------（4分）所求旋转体体积为))210102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ-----------------------------------------------（6分） 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-------------------------------------（8分）。
大一高数基础复习题
大一高数基础复习题一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在点x=-1处的导数是：A. 1B. -1B. 2D. 32. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 23. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)是：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)4. 曲线y=x^2与直线y=4x-5平行的切点坐标是：A. (1, -3)B. (2, 3)C. (5, 15)D. (5, 20)5. 函数f(x)=ln(x)在区间[1,e]上的最大值是：A. 0B. 1C. ln(e)D. ln(1)二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，则f'(x)=______。
7. 若y=x^2-4x+3，则y的极小值点是______。
8. 函数f(x)=x^2-2x+3在区间[0,3]上的平均变化率是______。
9. 若曲线y=x^2+1在点(1,2)处的切线方程是y=2x，则该切线的斜率是______。
10. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的单调递增区间是______。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 求函数f(x)=2x^3-6x^2+5x-7在点x=1处的导数，并说明该点是函数的极大值点还是极小值点。
12. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间，并求出f(x)的极值。
四、证明题（每题10分，共20分）13. 证明：对于任意实数x，函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数f'(x)恒大于0。
14. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调递增。
五、应用题（每题15分，共30分）15. 某工厂生产一种产品，其生产成本函数为C(x)=x^2+100x+1000，其中x表示产品数量。
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大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数 的定义域为______________________。
22111arcsin xx y -+-= ２．函数上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
2e x y += ３．设ｆ（X ）在可导,且，则0x A (x)f'=hh x f h x f h )3()2(lim000--+→＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是____________。
５．_____________。
=-⎰dx xx41 ６．__________。
=∞→xx x 1sinlim ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。
９．微分方程的阶数为____________。
22233)(3dx y d x dxy d + ∞ ∞１０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题。
(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） x x g xx f -==1)(,1)( ① ② ③ ④xx 11-x 11-x -11２．是 （ ）11sin +xx ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是 （ ）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有，则在0)(",0)('><x f x f （ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧５．设，则 （ ）)(')('x G x F = ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ④⎰⎰=dx x G dxddx x F dxd )()( 1 6.( )=⎰-dx x 11-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３ ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ） ①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线８．设，则f(tx,ty)yx y x y x y x f tan),(233++==（ ）① ②),(y x tf),(2y x f t ③ ④ ),(3y x f t ),(12y x tａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1 ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 （二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X ）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X ）在 X ＝Xo 可导的 （ ）①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ3 0１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数 ∑ ａn ｘn 在ｘo （ｘo ≠０）收敛， 则 ∑ ａn ｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn 有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ） D ｘ 1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ 0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 y ｘ __1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ 0 x ｘ __1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ 0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）１．设求 ｙ’ 。
大一高等数学试题及答案
大一高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是（）。
A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数（）。
A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式（）。
A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件（）。
A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案：1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6，则f'(x) = __________。
大学大一高数试题及答案
大学大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）。
A. 1B. 3C. -1D. 2答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 若函数f(x)在点x=a处可导，则（）。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A4. 设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，n∈N*，则a_3的值为（）。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。
答案：1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\]，则A 的行列式det(A)为______。
答案：-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，f'(x)=3x^2-12x+11，则f'(1)的值为______。
答案：24. 函数y=ln(x)的反函数为______。
答案：e^y三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。
答案：首先计算f'(x)=3x^2-6x+4，代入x=2得到f'(2)=6，然后计算f(2)=0，所以切线方程为y-0=6(x-2)，即y=6x-12。
2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。
答案：该级数为π^2/6。
3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。
答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=0和x=2，得到f''(0)<0，f''(2)>0，所以x=0是极大值点，x=2是极小值点。
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大一高等数学复习题(含答案)复习题一、 单项选择题：1、5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞- B 、()),6(6,+∞∞- C 、()),4(4,+∞∞- D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D )A 、是奇函数，非偶函数B 、是偶函数，非奇函数C 、既非奇函数，又非偶函数D 、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2)=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ） A 、21x - B 、21x --C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1+-=+n nn f n B 、⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(C 、⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f n nnn,221,221)(解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为06、设1111.0个n ny =，则当∞→n 时，该数列（ C ）A 、收敛于0.1B 、收敛于0.2C 、收敛于91 D 、发散解：)1011(91101101101111.02n n ny-=+++==7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件8、下列极限存在的是（ A ） A 、2)1(lim x x x x +∞→ B 、121lim -∞→xxC 、xx e 10lim → D 、xx x 1lim2++∞→解：A 中原式1)11(lim =+=∞→xx 9、xx x x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）A 、21B 、2C 、0D 、不存在解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得 10、=--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）A 、1B 、2C 、21D 、0 解：原式=21)1sin()1(lim 221=--⋅+→x x x x11、下列极限中结果等于e 的是（ B ） A 、xxx x x sin 0)sin 1(lim +→ B 、xxx xx sin )sin 1(lim +∞→C 、xx x xx sin )sin 1(lim -∞→- D 、xxx xxsin 0)sin 1(lim +→解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1 13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B ）A 、x x f 11)(+=B 、x xx f sin 1)(=C 、xe xf 1)9= D 、⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0,)(1x e x e x f x x解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点 B 中极限为1，所以为可去间断点C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点14、下列结论错误的是（ A ）A 、如果函数f(x)在点x=x 0处连续，则f(x)在点x=x 0处可导B 、如果函数f(x)在点x=x 0处不连续，则f(x)在点x=x 0处不可导C 、如果函数f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续D 、如果函数f(x)在点x=x 0处不可导，则f(x)在点x=x 0处也可能连续15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ’(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0 16、设f(x)=cosx ，则=∆∆--→∆xx a f a f x )()(lim（ B ）A 、a sinB 、a sin -C 、a cosD 、a cos -解：因为原式=)()()(lim 0a f xx a f a f x '=∆-∆--→∆17、xy 2cos 2=，则=dy （ D ） A 、dx x x )2()2(cos2'' B 、xd x 2cos )2(cos2'C 、xdx x 2sin 2cos 2-D 、x xd 2cos 2cos 218、f(x)在点x=x 0处可微，是f(x)在点x=x 0处连续的（ C ）A 、充分且必要条件B 、必要非充分条件C 、充分非必要条件D 、既非充分也非必要条件 19、设xne xy 2-+=，则=)0()(n y（ A ）A 、nn )2(!-+ B 、n! C 、1)2(!--+n n D 、n!-2 20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）A 、y=x 2-5x+6 [2，3]B 、2)1(1-=x y[0，2]C 、xxe y -= [0，1] D 、⎩⎨⎧≥<+=5,15,1x x x y [0，5]21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）A 、x x x sin lim ∞→ B 、xxx sin lim 0→ C 、x x x 3sin 5tan lim 2π→D 、xxx x sin 1sin lim20→22、设232)(-+=x xx f ，则当x 趋于0时（ B ）A 、f(x)与x 是等价无穷小量B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量 解：利用洛必达法则13ln 2ln 13ln 32ln 2lim 232lim )(lim 00000≠+=+-+=→→→x x x x x x x x x x f23、函数xxe e xf -+=)(在区间（-1，1）内（ D ）A 、单调增加B 、单调减少C 、不增不减D 、有增有减24、函数21x x y -=在（-1，1）内（ A ）A 、单调增加B 、单调减少C 、有极大值D 、有极小值25、函数y=f(x)在x=x 0处取得极大值，则必有（ D ）A 、f ’(x 0)=0B 、f ”(x 0)<0C 、f ‘(x 0)=0且f “(x 0)<0D 、f ‘(x 0)=0或f ‘(x 0)不存在26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ）A 、必要充分条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非必要也非充分条件27、函数y=x 3+12x+1在定义域内（ A ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、图形上凹 D 、图形下凹28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a ，b)内（ C ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调增加，图形下凹C 、单调减少，图形上凹D 、单调减少，图形下凹29、对曲线y=x 5+x 3，下列结论正确的是（ D ） A 、有4个极值点 B 、有3个拐点 C 、有2个极值点 D 、有1个拐点 30、若⎰+=Cex dx x f x22)(，则f(x)=（ D ）A 、ze x 22 B 、zxe 24 C 、xe x 222 D 、)1(22x xex+31、已知x y 2='，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、=⎰x d arcsin（ B ）A 、x arcsinB 、x arcsin +C C 、x arccosD 、xarccos +C33、设)(x f '存在，则[]='⎰)(x df （ B ）A 、f(x)B 、)(x f 'C 、f(x)+CD 、)(x f '+C 34、若⎰+=Cx dx x f 2)(，则=-⎰dx xxf )1(2（ D ）A 、Cx+-22)1(2 B 、Cx+--22)1(2 C 、Cx+-22)1(21 D 、Cx+--22)1(21 解：C x x d x f dx xxf +--=---=-⎰⎰22222)1(21)1()1(21)1(35、设⎰+=C x dx x f sin )(，则=-⎰dx x x f 21)(arcsin （ D ）A 、arcsinx+CB 、Cx +-21sin C 、Cx +2)(arcsin 21D 、x+C解：原式=⎰+=+=C x c x x d x f )sin(arcsin arcsin )(arcsin36、设xe xf -=)(，则='⎰dx xx f )(ln （ C ） A 、C x +-1 B 、C x +-ln C 、C x+1 D 、lnx+C 解：原式=C xC eC x f x d x f x+=+=+='⎰-1)(ln ln )(ln ln37、设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ） A 、Cx +--32)1(43B 、Cx +--32)1(31C 、Cx +-322)1(43D 、Cx +-322)1(32解：对⎰+=C x dx x xf arcsin )(两端关于x 求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=，所以C x x d x dx x x dx x f +--=---=-=⎰⎰⎰22222)1(31)1(1211)(138、若sinx 是f(x)的一个原函数，则⎰='dx x f x )(（ A ）A 、xcosx-sinx+CB 、xsinx+cosx+C C 、xcosx+sinx+CD 、xsinx-cosx+C 解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx ，则使用分部积分公式得 39、设xef x+='1)(，则f(x)=（ B ）A 、1+lnx+CB 、xlnx+C C 、Cx x ++22D 、xlnx-x+C40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、dx x x ⎰+5231B 、dxxdx ⎰--1121 C 、⎰-4223)5(x xdx D 、⎰11ln exx xdx解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、≠⎰-22|sin |ππdx x （ A ）A 、0B 、⎰2|sin |2πdxx C 、⎰--02)sin (2πdxx D 、⎰2sin 2πxdx42、使积分⎰=+-22232)1(dx xkx 的常数k=（ C ）A 、40B 、-40C 、80D 、-80解：原式=325202)11(2)1()1(2220222==+-=++⎰-k x k x d x k43、设⎩⎨⎧≤≤-<≤-+=10,101,12)(x x x x f x ，则 =⎰-11)(dx x f （ B ）A 、312ln 21+B 、352ln 21+C 、312ln 21-D 、352ln 21- 解：352ln 2101)1(3210)22ln 1(1)12()(2312111+=---+=-++=⎰⎰⎰--x x dx x dx dx x f x x44、⎰+-=xdtt t y 02)2()1(，则==0x dxdy（ B ）A 、-2B 、2C 、-1D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、⎰10xdx B 、⎰1xdx C 、⎰1xx dx D 、⎰103xdx 解：四个选项均属于⎰10px dx，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散二、填空题 1、⎰=+dx exe x （ ）解：原式=xx x ex e e xe de e dx e e==⋅⎰⎰+C2、已知一函数的导数为211)(xx f -=，且当x=1时，函数值为π23， 则此函数F(x)=( π+x arcsin ) 解：ππ=∴=+=+=-=∴='⎰C C F Cx dx xx F x f x F ,231arcsin )1(arcsin 11)()()(23、曲线2x e y -=的上凸区间是（ （22,22-） ）解：22,)12(2,2222±=∴-=''-='--x e x y xe y x x4、=+⎰-xdx x x 322cos )sin (22ππ（ 8π ） 解：⎰⎰⎰⎰--=-===∴222020222222323824cos 1212sin 412cos sin 0cos cos πππππππdx x xdx xdx x xdx x ，x 为奇函数5、若f(x)的一个原函数是sinx ，则⎰=''dx x f )(（ -sinx+C ）解：x x f x x f x x x f cos )(,sin )(,cos )(sin )(-=''-='='= 6、设2222)ln()(a x a x x x x f +-++=，其中0≠a ，则='')0(f （ a1 ）解：222222222222222221)0(1)2211(1)()ln(221)2211()ln()(a f a x a x xa x x x f a x x a x x a x x a x x x a x x x f =''+=+⋅+++=''++=+⋅-+⋅++++++='7、曲线⎰+=+=ty t t x sin 1cos cos 2上对应于4π=t 的点外的法线斜率为（ 21+ ） 8、设)2(2x f y =，而xx f tan )(='，则==8πx dy （π2 ）解：)2tan(4)2()2(222x x x xf dxdy ='⋅'=9、=++++++∞→)2211(lim 222n n n n n n （ 21 ） 10、设1)1(lim)(2+-=∞→nx xn x f n ，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）解：x 不等于0时，xn x n n x x f n 1111lim)(2=-+-=∞→X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1/x 连续，又)0()(lim 0f x f x ≠∞=→三、计算题 1、求极限22220sin 112lim x x x x x +-+→参考答案： 原式=81)(81lim )](81211[12lim 4440444220=-=+-+-+→→x x o x x x o x x x x x2、求极限)1ln()13()1(11320limx e x x x x x +----+→参考答案：利用等价无穷小：xx x x a x a x e x xαα~1)1(,~)1ln(,ln ~1,~1-++--原式=3ln 32lim 31lim 3ln 1)1(lim 11lim 3ln 1)3(ln )1(11lim 202202023202320-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⋅---+→→→→→x x x x x x e x x x x e x x x x xx x xx 3、设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求22dx y d参考答案：)cos 1(sin t a t a x y dx dy t t -=''=23222)cos 1(1)cos 1(1cos )cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos )(t a t a t t a t t t t t dx dt dx dy dt d dx dx dy d dx y d --=--=-⋅-⋅--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==4、求由方程yxe y +=1所确定隐函数的二阶导数22dx y d参考答案：把原方程两边对自变量x 求导，得 dxdy xe e dxdyy y⋅+=解得ye xe e dx dy yy y -=-=21则32222)2()3()2()()2()2(y ey y dx dye y dx dy e y e dx d dxy dy y yy-⋅-=----⋅=-=5、近似计算数e 的值，使误差不超过10-2参考答案：n x x n x x e !1!2112++++≈令x=1)!1(!1!2111++++++=⇒n e n e θ要使误差310-<nR，只需210)!1(3-<+≤n Rn经计算，只需取n=5,所以72.27167.20083.00417.01667.05.2!51!2111≈=+++=++++≈ e6、讨论函数)1()(3x x x f -=的凸性与相应曲线拐点 参考答案： 函数的定义为R 3243)(x x x f -=')21(6126)(2x x x x x f -=-=''由0)(=''x f 可得x=0,1/2 列表如下： x(-∞，0)（0，1/2）1/2（1/2，+∞）)(x f ''- 0 + 0 - )(x f凹拐点凸拐点凹所以凹区间为),21()0,(+∞⋃-∞ 凸区间为)21,0( 拐点为（0，0）和)161,21( 7、 求函数22y x x=+的单调区间、极值点参考答案：定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 由3222122x yx x x-'=-=，令0y '=得驻点1x =，列表给出单调区间及极值点： x (,0)-∞(0,1) １ (1,)+∞y '－ — ０ ＋ ()f x极小值3所以，函数的单调递减区间为(,0)-∞，(0,1]，单调递增区间为[1,)+∞，极小值点为(1,3) 8、 求由,,2yx y x x 所围图形的面积参考答案：120174()d (d )233Axx xxx x9、设210()0xx x f x ex -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)d f x x-⎰．参考答案：方法一：先作变量代换 23112111(2)d ()d (1)d d x tt f x x f t t t t e t-=----==++⎰⎰⎰⎰301111147[]1333tt t e e e ----=+-=-+=-． 方法二：先给出2(2)1(2)2(2)2x x x f x ex --⎧+-≤-=⎨>⎩，于是3232(2)11127(2)d [1(2)]d d 3x f x x x x e x e ----=+-+=-⎰⎰⎰10、求曲线33)1(xx y -+=在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程参考答案：323323)3(1313)1()3(31)1(3x x x x x x y -+--=-⋅-⋅++-='-在A （-1，0）点处，34)1(=-'=y k所以在A 点处的切线方程为)1(43+=x y而在B （2，3）点处，0)2(='=y k 所以在B 点处的切线方程为y-3=0又在C （3，0）点处，)3(y k '=不存在，即切线与x 轴垂直所以C 点处的切线方程为x=311、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上，曲线x y sin =与直线0,2==y x π所围成的图形分别绕x 轴和y 轴所产生的放置体的体积。