高二数学第一章章导数及其应用末综合检测
高中数学导数及其应用综合检测试题及答案
高中数学导数及其应用综合检测试题及答案第一章导数及其应用综合检测时间 120 分钟，满分150 分。
一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．(2019 全国Ⅱ文， 7)若曲线 y＝ x2 ＋ax＋ b 在点 (0， b)处的切线方程是 x－ y＋ 1＝0，则 ()A．a＝ 1，b＝ 1B．a＝－ 1， b＝ 1C．a＝ 1，b＝－ 1D ．a＝－ 1， b＝－ 1[答案]A[ 分析 ]y＝2x＋ a，y|x＝ 0＝ (2x＋ a)|x＝ 0＝ a＝1，将(0， b)代入切线方程得b＝ 1.2．一物体的运动方程为s＝ 2tsint＋ t，则它的速度方程为()A．v＝ 2sint＋2tcost＋ 1B．v ＝2sint＋ 2tcostC．v ＝2sintD ．v＝ 2sint＋2cost＋1[答案]A[ 分析 ]由于变速运动在t0 的刹时速度就是行程函数y＝s(t)在 t0 的导数， S＝2sint＋ 2tcost＋ 1，应选 A.3．曲线 y＝x2 ＋ 3x 在点 A(2,10) 处的切线的斜率是()A ．4B．5C．6D ．7[答案] D[ 分析 ]由导数的几何意义知，曲线y＝ x2＋ 3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝ x2＋3x 在 x＝ 2 时的导数， y|x ＝2＝7，应选 D.4．函数 y＝x|x(x － 3)|＋1()A ．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(0)＝ 1B．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(3)＝1C．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(0)＝f(3) ＝ 1D ．极大值为 f(2) ＝ 5，极小值为f(3)＝ 1， f( － 1)＝－ 3[答案 ]B[分析 ]y＝x|x(x － 3)|＋ 1＝x3 － 3x2＋ 1 (x0 或 x3)－ x3＋ 3x2＋1 (03)y＝ 3x2 －6x (x0 或 x3)－ 3x2＋ 6x (03)x变化时， f(x) ，f(x) 变化状况以下表：x (－， 0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3 ，＋ )f(x)＋0＋0－0＋f(x) ? 无极值? 极大值 5 ? 极小值 1 ?f(x) 极大＝ f(2) ＝5， f(x) 极小＝ f(3) ＝1故应选 B.5．(2009 安徽理， 9)已知函数 f(x) 在 R 上知足 f(x) ＝ 2f(2 － x)－x2 ＋ 8x－ 8，则曲线 y＝ f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程是 ()A．y＝ 2x－1B．y＝ xC．y＝ 3x－2D ．y＝－ 2x＋ 3[答案]A[ 分析 ]此题考察函数分析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x) ＝2f(2 － x) －x2 ＋ 8x－8，f(2 － x) ＝2f(x) － x2－ 4x＋ 4，f(x) ＝x2， f(x) ＝ 2x，曲线 y＝ f(x) 在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x －1)， y＝ 2x－ 1.6．函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋ 3x－ 9，已知 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则 a 等于 ()A．2B．3C．4D ．5[答案] D[ 分析 ]f(x) ＝ 3x2 ＋2ax＋ 3，∵ f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，x＝－ 3 是方程 3x2＋ 2ax＋3＝ 0 的根，a＝ 5，应选 D.7．设 f(x) ，g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x0时， f(x)g(x) ＋ f(x)g(x)0 ，且 g(－ 3)＝ 0，则不等式 f(x)g(x)0的解集是 ()A．(－ 3,0)(3，＋ )B．(－3,0)(0,3)C．(－，－ 3)(3，＋ )D ．(－，－ 3)(0,3)[答案] D[ 分析 ]令F(x)＝f(x)g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x0 时，f(x)g(x) ＋ f(x)g(x)0 ，即 F(x)0 ，知 F(x) 在(－， 0)内单一递加，又 F(x) 为奇函数，所以 F(x) 在 (0，＋ )内也单一递加，且由奇函数知 f(0) ＝0， F(0)＝ 0.又由 g(－3)＝ 0，知 g(3)＝ 0F(－ 3)＝ 0，从而 F(3)＝ 0于是 F(x) ＝ f(x)g(x) 的大概图象以下图F(x) ＝ f(x)g(x)0 的解集为 (－，－ 3)(0,3) ，故应选 D.8．下边四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，此中必定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案]B[ 分析 ]③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝ 0 不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选 B.9． (2019 湖南理， 5)241xdx 等于 ()A ．－ 2ln2B．2ln2C．－ ln2D ．ln2[答案] D[ 分析 ]由于(lnx)＝1x，所以 241xdx ＝lnx|42 ＝ln4 －ln2＝ ln2.10．已知三次函数f(x) ＝ 13x3 － (4m－ 1)x2＋ (15m2 －2m－7)x ＋2 在 x( －，＋ )是增函数，则m 的取值范围是 ()A ．m2 或 m4B．－ 4－ 2C．24D．以上皆不正确[答案] D[ 分析 ]f(x) ＝ x2－ 2(4m－ 1)x＋ 15m2－ 2m－ 7，由题意得 x2 －2(4m－ 1)x＋ 15m2－2m－70 恒建立，＝ 4(4m －1)2－4(15m2 －2m－7)＝64m2－ 32m＋ 4－60m2＋ 8m＋ 28＝4(m2 －6m＋8)0，24，应选 D.11．已知 f(x) ＝x3 ＋ bx2＋ cx＋d 在区间 [－ 1,2] 上是减函数，那么 b＋ c()A ．有最大值152B．有最大值－ 152C．有最小值152D ．有最小值－ 152[答案]B[ 分析 ]由题意f(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f(x)0恒建立．所以 f( － 1)0f(2)0即 2b－c－304b＋ c＋120令 b＋ c＝ z， b＝－ c＋ z，如图过 A －6，－ 32 得 z 最大，最大值为 b＋c＝－ 6－ 32＝－ 152.故应选 B.12．设 f(x) 、g(x) 是定义域为R 的恒大于 0 的可导函数，且f(x)g(x) － f(x)g(x)0 ，则当 ab 时有 ()A．f(x)g(x)f(b)g(b)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)D ．f(x)g(x)f(a)g(x)[答案] C[ 分析 ]令F(x)＝f(x)g(x)则 F(x) ＝ f(x)g(x) － f(x)g(x)g2(x)0f(x) 、g(x) 是定义域为R 恒大于零的实数F(x) 在 R 上为递减函数，当 x(a，b)时， f(x)g(x)f(b)g(b)f(x)g(b)f(b)g(x) ．故应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分．将正确答案填在题中横线上)13.－2－ 1dx(11＋ 5x)3＝________.[答案 ]772[ 分析 ]取F(x)＝－110(5x＋11)2，从而 F(x) ＝ 1(11＋ 5x)3则－ 2－1dx(11 ＋ 5x)3＝ F(－1)－F(－ 2)＝－ 11062＋ 11012＝ 110－ 1360＝772.14．若函数 f(x) ＝ ax2－1x 的单一增区间为(0，＋)，则实数 a的取范是 ________．[ 答案 ] a0[ 分析 ] f(x) ＝ ax－1x＝ a＋1x2，由意得， a＋ 1x20， x(0，＋ )恒建立，a－ 1x2， x(0 ，＋ )恒建立， a0.15． (2009 西理， 16) 曲 y＝ xn ＋1(nN*) 在点 (1,1)的切与 x 的交点的横坐xn ，令 an＝ lgxn ， a1＋ a2＋⋯＋a99 的 ________．[答案 ]－2[ 分析 ]本小主要考数的几何意和数函数的相关性．k＝ y|x＝ 1＝n＋ 1，切 l ：y－ 1＝ (n＋ 1)(x － 1)，令 y＝ 0， x＝nn＋ 1，an＝ lgnn ＋ 1，原式＝ lg12 ＋lg23 ＋⋯＋ lg99100＝l g1223 ⋯99100＝ lg1100＝－ 2.16．如暗影部分是由曲y＝1x ， y2＝x 与直 x＝ 2， y ＝0 成，其面________．[ 答案 ]23＋ ln2[ 分析 ]由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1)由 x＝ 2y＝ 1x 得交点 B2， 12.故所求面S＝ 01xdx ＋121xdx＝23x3210 ＋ lnx21 ＝ 23＋ ln2.三、解答题 (本大题共 6 个小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(此题满分 12 分 )(2019 江西理，19)设函数 f(x) ＝ lnx ＋ ln(2－x)＋ ax(a0)．(1)当 a＝ 1 时，求 f(x) 的单一区间；(2)若 f(x) 在 (0,1] 上的最大值为12，求 a 的值．[ 分析 ]函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x) ＝1x－ 12－ x＋a，(1)当 a＝ 1 时， f(x) ＝－ x2＋2x(2 －x) ，所以 f(x) 的单一递加区间为 (0， 2)，单一递减区间为 (2 ，2)；(2)当 x(0,1] 时， f(x) ＝2－2xx(2 － x) ＋a0，即 f(x) 在 (0,1] 上单一递加，故f(x) 在 (0,1] 上的最大值为f(1) ＝a，所以 a＝12.18．(此题满分12 分 )求曲线 y＝2x－ x2，y＝ 2x2 －4x 所围成图形的面积．[ 分析 ]由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝ 02(2x － x2)dx ＋ |02(2x2－4x)dx| ＝02(2x －x2)dx － 02(2x2 － 4x)dx.由于 x2－ 13x3＝ 2x－x2，23x3－ 2x2＝ 2x2－4x ，所以 S＝ x2－13x320 －23x3－ 2x220＝ 4.19． (此题满分 12 分 )设函数 f(x) ＝x3 － 3ax＋ b(a0)．(1)若曲线 y＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处与直线y＝ 8 相切，求a，b 的值；(2)求函数 f(x) 的单一区间与极值点．[ 剖析 ]考察利用导数研究函数的单一性，极值点的性质，以及分类议论思想．[ 分析 ](1)f(x) ＝ 3x2－ 3a.由于曲线 y＝f(x) 在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝8 相切，所以 f(2) ＝ 0， f(2) ＝8.即 3(4－a)＝ 0， 8－6a＋ b＝ 8.解得 a＝ 4，b＝ 24.(2)f(x) ＝ 3(x2－ a)(a0)．当 a0 时， f(x)0 ，函数 f(x) 在 (－，＋ )上单一递加，此时函数f(x) 没有极值点．当 a0 时，由 f(x) ＝ 0 得 x＝ a.当 x( －，－ a)时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递加；当 x( － a， a)时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递减；当 x(a，＋ )时， f(x)0 ，函数 f(x) 单一递加．此时 x＝－ a 是 f(x) 的极大值点， x＝ a 是 f(x) 的极小值点．20． (此题满分 12 分 )已知函数f(x) ＝ 12x2 ＋lnx.(1)求函数 f(x) 的单一区间；(2)求证：当x1 时， 12x2 ＋ lnx23x3.[ 分析 ] (1)依题意知函数的定义域为{x|x0} ，∵f(x) ＝x＋ 1x，故 f(x)0 ，f(x) 的单一增区间为(0，＋ )．(2)设 g(x) ＝ 23x3－12x2 － lnx ，g(x) ＝ 2x2 －x－ 1x，∵当 x1 时， g(x) ＝ (x－ 1)(2x2 ＋ x＋ 1)x0，g(x) 在 (1，＋ )上为增函数，g(x)g(1) ＝ 160，当 x1 时， 12x2 ＋lnx23x3.21． (此题满分 12 分 )设函数 f(x) ＝x3 － 92x2＋ 6x－ a.(1)关于随意实数x,f(x)m 恒建立，求m 的最大值；(2)若方程 f(x) ＝0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围．[ 剖析 ]此题主要考察导数的应用及转变思想，以及求参数的范围问题．[ 分析 ](1)f(x) ＝ 3x2－ 9x＋ 6＝ 3(x－ 1)(x －2)．由于 x( －，＋ )． f(x)m ，即 3x2－ 9x＋ (6－ m)0 恒建立．所以＝ 81－ 12(6－ m)0，得 m－ 34，即 m 的最大值为－ 34. (2)由于当 x1 时， f(x)0 ；当 12 时， f(x)0 ；当 x2 时 f(x)0.所以当 x＝ 1 时， f(x) 取极大值 f(1) ＝ 52－a，当 x＝ 2 时， f(x) 取极小值 f(2) ＝2－ a.故当 f(2)0 或 f(1)0 时，方程 f(x) ＝ 0 仅有一个实根，解得a2或 a52.22． (此题满分 14 分 )已知函数f(x) ＝－ x3＋ax2＋ 1(aR)．(1)若函数 y＝ f(x) 在区间 0， 23 上递加，在区间23，＋上递减，求 a 的值；(2)当 x[0,1] 时，设函数 y＝f(x) 图象上随意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a32，＋，求的取值范围；(3)在 (1)的条件下，能否存在实数m，使得函数 g(x) ＝ x4－ 5x3＋(2－ m)x2 ＋ 1(mR) 的图象与函数 y＝ f(x) 的图象恰有三个交点．若存在，恳求出实数 m 的值；若不存在，试说明原因．[ 分析 ] (1)依题意 f23 ＝ 0，由 f(x) ＝－ 3x2＋ 2ax，得－ 3232＋ 2a23＝ 0，即 a＝1.(2)当 x[0,1] 时， tan＝ f(x) ＝－ 3x2＋ 2ax＝－ 3x－ a32＋a23.由 a32，＋，得 a312，＋ .①当 a312，1，即 a32，3 时， f(x)max ＝ a23，f(x)min ＝f(0) ＝ 0.此时 0tana23.②当 a3(1，＋)，即 a(3，＋)时，f(x)max ＝f(1) ＝ 2a－ 3，f(x)min ＝f(0) ＝0，此时， 0tan2a－ 3.又∵ [0， )，当 323 时， 0，arctana23，当 a3 时， [0 ，arctan(2a－3)] ．(3)函数 y＝ f(x) 与 g(x) ＝x4 －5x3＋ (2－m)x2 ＋ 1(mR) 的图象恰有 3 个交点，等价于方程－x3＋x2 ＋1＝x4－ 5x3＋ (2－m)x2 ＋ 1 恰有 3 个不等实根，x4－ 4x3＋ (1－m)x2 ＝ 0，明显 x＝ 0 是此中一个根 (二重根 )，方程 x2－ 4x ＋(1－ m)＝ 0 有两个非零不等实根，则＝16－ 4(1－ m)01－ m0“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_4
学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝－2e x sin x 的导数y ′＝________.【解析】 y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．【答案】 －2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )＝x e －x 的导数f ′(x )＝________.【解析】 f ′(x )＝x ′·e －x ＋x (e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .【答案】 (1－x )e －x3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，则f ′(3π)＝________. 【解析】 因为f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4′ ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 所以f ′(3π)＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－12sin 5π4＝24. 【答案】 244．曲线C ：f (x )＝e x ＋sin x ＋1在x ＝0处的切线方程是________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ＋cos x ，∴k ＝f ′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y ＝2x ＋2.【答案】 y ＝2x ＋25．(2016·东营高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.【答案】 －46．(2016·佛山高二检测)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.【解析】 y ′＝k ＋1x ，则曲线在点(1，k )处的切线的斜率为k ＋1，∴k ＋1＝0，∴k ＝－1.【答案】 －17．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【解析】 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝(x ＋a )′x ＋a ＝1x ＋a 及导数的几何意义， ∴1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1.因此，y 0＝ln(x 0＋a )＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． 【解】 (1)设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2) (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程． 【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升]1．若f (x )＝sin x sin x ＋cos x，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________． 【解析】∵f ′(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋sin π2＝12. 【答案】 122．(2014·江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．【答案】 (e ，e)3．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在(2，g (2))处的切线方程为________．【解析】 由题意知，f (2)＝3，f ′(2)＝2，则g (2)＝4＋f (2)＝7.∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，∴g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6.∴函数g (x )在(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6×(x －2)，即6x －y －5＝0.【答案】 6x －y －5＝04．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－ae x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.。
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
高二数学选修2-2--第一章测试题
高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题一选择题1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52C ．51D ．533．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 得值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处得切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(得图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅得值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上得可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 得取值范围就是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x+=在区间]2,0[π得值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成得图形得面积就是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．169．设底面为等边三角形得直棱柱得体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．某人要剪一个如图所示得实心纸花瓣，纸花瓣得边界 由六段全等得正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线得六个交点正好就是一个正六边形得六个顶点，则这个 纸花瓣得面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+C ．26π+D ．22336π+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)
阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解， 即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2， 令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)， 即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数， 知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2， 都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高二数学月考-----第一章导数及其应用
高二数学月考 第一章导数及其应用一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数y=f(x)在(a,b)上可导,则f(x)在(a,b)上为增函数是f ′(x)>0的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程是2x+y-1=0,则( )A.f ′(x0)>0B.f ′(x0)<0C.f ′(x0)=0D.f ′(x0)不存在3. 曲线f(x)=x 3+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1,则切点P 0的坐标为( )A.(0,-1)或(1,0)B.(1,0)或(-1,-4)C.(-1,-4)或(0,-2)D.(1,0)或(2,8)4. 下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=sin2xB.y=x 3-xC.y=xe XD.y=-x+ln(1+x)7.设f ′(x)是函数f(x)的导数,y=f ′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )8..(2009·湖南高考)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )9. 设a ∈R,若函数y=e aX +3x,x ∈R 有大于零的极值点,则( )A.a>-3B.a<-3C.a>-31D.a<-31 10.函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围是( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<411.函数y=x-sinx,x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2的最大值是（ ） A.1-π B. 12-π C. π D.1+π 12.由抛物线y=x 2-x,直线x= -1及x 轴围成的图形的面积为( )二､填空题(本大题共4小题,每小题dx5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13. .(2009·辽宁卷)曲线 y=2-x x 在点(1,-1)处的切线方程为 15.若函数f(x)=x 3-f ′(1)·x 2+2x+5,则f ′(2)=________.16. 求过点(1,-1)的曲线y=x 3-2x 的切线方程 .17.利用定积分求曲线围城的面积：y=x-2, x=y 2则面积S= 182224x -⎰-dx=三､解答题(本大题共3个小题,共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)19.(20分)已知函数f(x)=ax 3+bx 2的图象经过点M(1,4),曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b 的值;(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m 的取值范围.20. （20分）若()R a x x ax x f ∈++=,3123 Ⅰ若ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，求ａ的范围 Ⅱ当()∞∈,0x 时，若()23x x f ≥恒成立，求ａ的范围Ⅲ若ｆ（ｘ）在()0,∞-上至少有一个极值，求ａ的范围21.(20分)设函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(a ∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)为R 上的单调递增函数;(2)当x ∈[1,3]时,若f(x)的最小值为4,求实数a 的值.20解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4).∴a+b=4.①又f ′(x)=3ax2+2bx,则f ′(1)=3a+2b,由条件f ′(1)(-)=-1,得3a+2b=9②由①､②解得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,f ′(x)=3x2+6x,令f ′(x)=3x2+6x ≥0得x ≥0或x ≤-2,若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),∴m ≥0或m+1≤-2,即m ≥0或m ≤-3.∴m 的取值范围是(-∞,-3]∪[0,+∞)21解:(1)证明:当a=1时,f(x)=2x3-6x2+6x,则f ′(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2≥0,∴f(x)为R 上的单调增函数.(2)f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)①当a ≤1时,f(x)在区间[1,3]上是单调增函数,此时在[1,3]上的最小值为f(1)=3a-1,②当1<a<3时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在[1,3]上的最小值为f(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4.化简得(a+1)(a-2)2=0,∴a=-1<1(舍去)或a=2;③当a ≥3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故f(3)为最小值,∴54-27(a+1)+18a=4, 223,a ()9.,a 2.==<解得舍去综上可知。
高二数学第一章导数及其应用单元试卷含答案详解
.
15. 已知 y x
sin x ，x 1 cos x
．
( π， π) ，当 y
2 时，
14. 在曲线
的切线斜率中斜
率最小的切线方程是 _________.
三、解答题 （本题共 5 小题，共 74 分） 17. （本小题满分 14 分）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3) y=(1- )
.
19.（ 本小题满分 14 分）已知 f ( x) ax4 bx2 c 的图象经过点 (0,1) ，且在 x 1 处的切线方程是 y x 2. （ 1）求 y f ( x) 的解析式；
D． ( －∞，－ 3) ∪ (0 ， 3)
二、 填空题 （本题共 4 小题， 每小题 4 分， 共 16 分）
13. 已知直线 x y 1 0 与抛物线 y ax2 相切，
则 a ______.
14．若 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 在 R 上是
增函数，则 a,b,c 的关系式为
第一章 导数及其应用 本章练测
建议用时 120 分钟
实际用时
满分 ห้องสมุดไป่ตู้50 分
实际得分
一、 选 择题 （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
分）
1. 若 f ' ( x0 )
3 ，则 lim f ( x0 h) f ( x0 3h)
h0
h
=（ ）
A． 3
B． 6
C． 9 D． 12
2． 函 数
在开区间 (a,b) 内的极小值点有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
y
y f ( x)
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8． 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
()
A ． 10 B． 15 C． 25 解析： 选 C．设内接矩形的长为 x，
D． 45
则宽为
25－ x2， 4
∴
S2＝
x2·(25
－
x2 4 )＝
y，
∴ y′ ＝ 50x－ x3.
令 y′ ＝0，得 x2＝ 50， x＝ 0(舍去 )，
解析： 停车时 v(t)＝ 0，则 27－ 0.9t＝ 0，∴ t＝ 30 s，
s＝ ∫ 300v(t) dt＝ ∫ 300(27－ 0.9t)dt ＝ (27t－ 0.45t2)300＝ 405(m)． 答案： 405 m
13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是
27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
解析： ∵ f ′(x)＝3x2＋2ax＋ b，
－ 2＋ 4＝－ 2a 3
∴ － 2× 4＝ b 3
a＝－ 3， ?
b＝－ 24.
∴ a－ b＝－ 3＋ 24＝ 21. 答案： 21
12．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度
v(t)＝ 27－0.9t( v 单位： m/s， t 单位： s)，则列
车刹车后至停车时的位移为 ________．
成立，函数 f (x)不存在极值点．
7. 已知 f(x) 的导函数 f′ (x)的图象如图所示，那么 f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
解析： 选 A. ∵ x∈ (－ ∞ ，－ 2)时， f′ (x)＜ 0，
∴ f(x)为减函数；
同理 f(x)在 (－ 2,0)上为增函数， (0，＋ ∞ )上为减函数．
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 )
1．函数 f(x)＝(2 πx) 2的导数是 ( ) A ． f′ (x)＝ 4πx B． f′ (x)＝ 4π2x C．f ′ (x)＝ 8π2x D ． f′ (x)＝ 16πx
C． x＝ 2 为 f( x)的极大值点
D． x＝ 2 为 f(x)的极小值点
解析： 选 D ．∵ f(x)＝2x＋ ln x，
∴ f′ (x)＝－ x22＋ 1x，令 f′ (x)＝ 0，
即－
x22＋
1 x
＝
x－ x2
2 ＝
0，
解得 x＝2.
当 x＜ 2 时Байду номын сангаас f′ (x) ＜0；
当 x＞ 2 时， f′ (x) ＞0，
∴ x0＝ 1， y0＝－ 1.
故 P 点坐标为 (1，－ 1)．
4． 下列积分等于 2 的是 ( )
A. 22xdx
0
B.
2
1 (2
x＋
1)dx
0
C． 21dx
0
解析： 选 C．
21dx＝x|20＝ 2.
D．
2
1 2xdx
1
0
5． 设函数
f(x)＝
2＋ x
ln
x，则
(
)
A ． x＝12为 f( x)的极大值点 B ． x＝12为 f( x)的极小值点
3 3 )，(
3，＋ ∞ )， 3
故 a＞0.
10． 若函数 f (x)在 (0，＋∞ ) 上可导，且满足 f( x)＞－ xf′ (x)，则一定有 ( )
A ．函数
f F (x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为增函数
B．函数
f F(x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为减函数
C．函数 G(x)＝ xf(x)在 (0，＋∞ )上为增函数
D．函数 G(x)＝ xf(x)在(0 ，＋∞ )上为减函数 解析： 选 C．设 y＝ xf(x)，则 y′ ＝ xf′ (x)＋ f(x)＞ 0，故 y＝ xf( x)在 (0，＋ ∞ )上递增，故选 C．
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 ) 11．设 x＝－ 2 与 x＝ 4 是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx 的两个极值点， 则常数 a－ b 的值为 ________．
∴ S2max＝625，即 Smax＝ 25.
9． 若函数 y＝ a(x3－ x)的递增区间是 (－∞，－
3 3 )，(
33，＋∞
) ，则
a
的取值范围是
(
)
A ． a＞0 B．－ 1＜a＜ 0 C． a＞ 1
D． 0＜ a＜ 1
解析： 选 A. 依题意
y′＝ a(3x2－ 1)＞ 0 的解集为 (－ ∞ ，－
D ．2 秒或 6 秒
3． 若曲线 f(x)＝ x4－ 2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ＋2y＋ 1＝ 0，则点 P 的坐标为 ( )
A ． (1,1) B． (1，－ 1) C． (－ 1,1)
D． (－ 1，－ 1)
解析： 选 B. ∵f′( x)＝ 4x3－ 2，设 P(x0， y0)， 由题意得 f′ (x0)＝ 4x30－ 2＝ 2，
解析： 选 C．f (x)＝ (2 πx)2＝ 4π2x2 ， ∴ f′ (x)＝ 8π2x.
2． 已知物体的运动方程是
s＝
1 3
t3－
4t
2＋
12t
(t
表示时间，
s 表示位移
)，则瞬时速度为
0 的时
刻是 ( )
A ． 0 秒、 2 秒或 6 秒 B． 2 秒或 16 秒 C． 2 秒、 8 秒或 16 秒 解析： 选 D ．s′ ＝ t2－8t＋ 12＝ 0? t＝ 2 或 t＝ 6.
所以 x＝2 为 f(x) 的极小值点．
6． 对任意的 x∈ R，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 7ax 不存在极值点的充要条件是 (
)
A ． 0≤a≤ 21 B． a＝0 或 a＝ 7 C． a＜ 0 或 a＞21
D． a＝ 0 或 a＝ 21
解析： 选 A. f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋7a，当 Δ＝ 4a2－84a≤ 0，即 0≤ a≤21 时， f′ (x)≥ 0 恒
14．已知函数 g(x) ＝ x 3－ x2(x>0) ，h(x) ＝ex－ x ，p(x) ＝ cos 2x(0<x< π)的导函数分别为 g′ (x) ，
h′ (x) ，p′ (x) ，其零点依次为 x 1，x 2，x 3，则将 x 1， x 2， x3 按从小到大的顺序用 “ <连”接起
________ ．
解析： 设圆柱的底面半径为
R，母线长为
L ，则 V ＝ πR2L ＝ 27π，所以
27 L＝ R2.要使用料
最省，只需使圆柱表面积最小．
S
表＝ πR2＋ 2πRL ＝ πR2＋ 2π·27，令 R
S′表 ＝2πR－5R42π＝ 0，得
R＝ 3，即当 R＝ 3 时， S 表最小．
答案： 3