内积空间.ppt
(1) V 交基；
(3) T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
证明：证明路径为： T是正交变换 (2) (3) (1) T是正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(a) T是正交变换 (2)：
变换？
16/43
g(， )
?
高等工程数学
理学院 杨文强
第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
首先求向量在向量上的投影 因为与线性相关，故可设 k，其中
k为待求系数
Q ，即 k 0 k， ， k ， k ，
即 ，
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
y
l
15/43
x
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
当“镜子”和“入射光线”给定后，“反射 光线” 就唯一确定了.
问题：
(1) 给定单位向量 和原像向量后，如何求解 向量的像？即 f () ?
(2) 给定原像向量和其像后，如何求解
单位向量，使得 是 关于法向量的镜像
第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
Q T1，T2，L ，Tn仍是V n的一个标准正交基.
n
n
Ti，T j
aki
，
k
alj l
k 1
l 1
n
n
n
aki alj k，l akiakj
k 1 l 1
k 1
即有
n
aki akj
k 1
Ti，T j
1，若i j； 0，若i j.
(1)常用正交变换之一L L 初等旋转变换：
设 B {1，2，L ，n}是Rn的一个标准正交基，
若线性变换T在基B下的矩阵为：
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第一章线性空间与线性变换
1
O
Tij
(
)
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§3 内积空间
1
cos
sin
1 O
sin
1
cos
• • • •• • •
i
• • • • • • •
在平面上给定一单位向量 ，以及一与它正交 且过原点的直线l，把任一向量映射为与l对称 向量的变换称为关于l的镜像变换.
关于镜像变换的注：
单位向量 相当于镜子，直线l相当于镜子的
法向量，向量可看成入射的光线，向量可
看成入射光线经镜子反射后的射出光线.
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第一章线性空间与线性变换
()
i 1
() n
n
T，T
yi
，
i
y j j
i 1
j 1
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
nn
n
() n
yi y j i， j yi2
xi2
i1 j1
j 1
i 1
n
T，T ， xi2 i 1
即 (1)成立.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间 四、正交变换：
定义8：设T是欧氏空间V 上的线性变换，若
、 V，有 T，T ， (保持内积不变)
则称T为V 上的正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
定理7：设T是欧氏空间V n上的线性变换，则 T是正交变换 下列条件之一成立：
所以AT A I.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(c) (3) (1)：
假设B {1，2，L ，n}是V n的一个标准正交基 设 TB BA，由题设知有 AT A I.
n
V n，设 xk k Bx k 1
n
n
则有 ，
xk
，
k
xl l
假设1，2，L ，n是V n的一个标准正交基，
下证T1，T2，L ，Tn仍是V n的一个标准正交基
Q T是正交变换
Ti，T
j
i，
j
ij
1，i 0，i
j； j.
T1，T2，L ，Tn是V n的一个标准正交基.
即(2)成立.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(b) (2) (3)：
假设B {1，2，L ，n}是V n的一个标准正交基 设 TB BA，即T在基B的矩阵为A.
n
Ti aki k，i 1，2，L ，n. k 1
下证 A是正交矩阵，即证 AT A I
n
或
aki
akj
，
ij
i，j 1，2，L ，n.
k 1
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， 2 T，T ，
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
另外 ，
， 2 ， ， 所以有 T，T ，
即T是正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
欧氏空间Rn中两个常用的正交变换
j
1
O
1
nn
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
即 TB BTij ( )，则称T为初等旋转变换，称 矩阵Tij ( )为初等旋转矩阵.
易验证该变换是正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(2)常用正交变换之二L L 镜像变换：
第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(d) (1) T是正交变换：
若 V n，有 T，T ，
下证 ， V n，有 T，T ，
因为有 T ( )，T ( ) ，
且 T ( )，T ( ) T T ，T T
T，T 2 T，T T ，T
k 1
l 1
nn
n
xk xl k，l xk2
k 1 l 1
k 1
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
Q T TBx BAx
记 y Ax ( y1，y2，L ，yn )
则有 yy (Ax)Ax xAAx xxL L ()
n
T yii
LL
§3 内积空间
又Q 2
2 2 ， 2
由此得 2 (I 2)
记 H I 2
对给定的单位向量，定义线性变换H如下：
H (I 2)
称线性变换H为镜像变换或Householder变换，
矩阵H 18/43
称为Householder矩阵.
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第一章线性空间与线性变换
(3) T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
证明：证明路径为： T是正交变换 (2) (3) (1) T是正交变换.
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§3 内积空间
(a) T是正交变换 (2)：
变换？
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
首先求向量在向量上的投影 因为与线性相关，故可设 k，其中
k为待求系数
Q ，即 k 0 k， ， k ， k ，
即 ，
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§3 内积空间
y
l
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x
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
当“镜子”和“入射光线”给定后，“反射 光线” 就唯一确定了.
问题：
(1) 给定单位向量 和原像向量后，如何求解 向量的像？即 f () ?
(2) 给定原像向量和其像后，如何求解
单位向量，使得 是 关于法向量的镜像
第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
Q T1，T2，L ，Tn仍是V n的一个标准正交基.
n
n
Ti，T j
aki
，
k
alj l
k 1
l 1
n
n
n
aki alj k，l akiakj
k 1 l 1
k 1
即有
n
aki akj
k 1
Ti，T j
1，若i j； 0，若i j.
(1)常用正交变换之一L L 初等旋转变换：
设 B {1，2，L ，n}是Rn的一个标准正交基，
若线性变换T在基B下的矩阵为：
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1
O
Tij
(
)
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§3 内积空间
1
cos
sin
1 O
sin
1
cos
• • • •• • •
i
• • • • • • •
在平面上给定一单位向量 ，以及一与它正交 且过原点的直线l，把任一向量映射为与l对称 向量的变换称为关于l的镜像变换.
关于镜像变换的注：
单位向量 相当于镜子，直线l相当于镜子的
法向量，向量可看成入射的光线，向量可
看成入射光线经镜子反射后的射出光线.
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i 1
() n
n
T，T
yi
，
i
y j j
i 1
j 1
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§3 内积空间
nn
n
() n
yi y j i， j yi2
xi2
i1 j1
j 1
i 1
n
T，T ， xi2 i 1
即 (1)成立.
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§3 内积空间 四、正交变换：
定义8：设T是欧氏空间V 上的线性变换，若
、 V，有 T，T ， (保持内积不变)
则称T为V 上的正交变换.
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§3 内积空间
定理7：设T是欧氏空间V n上的线性变换，则 T是正交变换 下列条件之一成立：
所以AT A I.
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§3 内积空间
(c) (3) (1)：
假设B {1，2，L ，n}是V n的一个标准正交基 设 TB BA，由题设知有 AT A I.
n
V n，设 xk k Bx k 1
n
n
则有 ，
xk
，
k
xl l
假设1，2，L ，n是V n的一个标准正交基，
下证T1，T2，L ，Tn仍是V n的一个标准正交基
Q T是正交变换
Ti，T
j
i，
j
ij
1，i 0，i
j； j.
T1，T2，L ，Tn是V n的一个标准正交基.
即(2)成立.
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§3 内积空间
(b) (2) (3)：
假设B {1，2，L ，n}是V n的一个标准正交基 设 TB BA，即T在基B的矩阵为A.
n
Ti aki k，i 1，2，L ，n. k 1
下证 A是正交矩阵，即证 AT A I
n
或
aki
akj
，
ij
i，j 1，2，L ，n.
k 1
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， 2 T，T ，
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§3 内积空间
另外 ，
， 2 ， ， 所以有 T，T ，
即T是正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
欧氏空间Rn中两个常用的正交变换
j
1
O
1
nn
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§3 内积空间
即 TB BTij ( )，则称T为初等旋转变换，称 矩阵Tij ( )为初等旋转矩阵.
易验证该变换是正交变换.
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(2)常用正交变换之二L L 镜像变换：
第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
(d) (1) T是正交变换：
若 V n，有 T，T ，
下证 ， V n，有 T，T ，
因为有 T ( )，T ( ) ，
且 T ( )，T ( ) T T ，T T
T，T 2 T，T T ，T
k 1
l 1
nn
n
xk xl k，l xk2
k 1 l 1
k 1
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第一章线性空间与线性变换
§3 内积空间
Q T TBx BAx
记 y Ax ( y1，y2，L ，yn )
则有 yy (Ax)Ax xAAx xxL L ()
n
T yii
LL
§3 内积空间
又Q 2
2 2 ， 2
由此得 2 (I 2)
记 H I 2
对给定的单位向量，定义线性变换H如下：
H (I 2)
称线性变换H为镜像变换或Householder变换，
矩阵H 18/43
称为Householder矩阵.
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第二章 内积空间PPT课件
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n .
联想到二次型 x T A x ，我们可得到下面的双线性型。
例 3 在向量空间 R n 中，对任意 x、yRn 和
A 实对称矩阵 ，定义实双线性型（Bilinear Form ）
[x ,y ] (A x ,y ) y T A x , A R n n
当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间 就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义 和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧 氏空间和酉空间统称为内积空间。
§1、欧氏空间的基本概念
向量空间中向量的长度与夹角是用内积 定义的，因此要在线性空间中引入相关 概念，自然要对内积的概念进行推广。
由于向量的内积与向量的线性运算无关， 所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间， 即定义了内积的线性空间。
( 2 )|| || |||| ||;( R )
（ 3 ） || || || || ||||。
范数还具有下列平行四边形法则、极化恒等式和勾股 定理。 定理10 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中
的任意向量 α、β V ，有：
( 1 ) | | α β | | 2| | α β | | 22 ( | | α | | 2| | β | | 2 ) ;
ti ( 2 , i )
i1
s1
( s , r 1 )
ti ( s , i )
i1
(由 内 积 的 双 线 性 性 )
(1,1)
s1
ti
(2,1)
i 1
(s,1)
(1,s1) (1,i) (2,s1) (2,i) 0,
(s,s1) (s,i)
这与 G 非奇异矛盾，所以 1,2, ,s 线性无关。
数值分析(03)内积空间与内积空间中的正交系72页PPT
数值分析(03)内积空间与பைடு நூலகம்积空间中的
正交系
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
正交系
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
矩阵理论-第二章内积空间
2
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
n, 1 n, 2 … n, n yn
… …
… …
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
例2 在 n中定义X, Y = YHX, 则 n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 n 中的内积均指标准内积.
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
则 n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
… …
… …
…
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
…
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
内积空间和希尔伯特空间 ppt课件
内积空间和希尔伯特空间
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个
向量的内积的运算,即若 a (1 ,2 ,n )b , (1 ,2 ,．n )
则a与b的内积定义为:
a ,b 1 1 22 nn , ． (1)
其中 i 表示 i 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a a,a
b
x,y ax(t)y(t)d.t
(6)
易知L2 [a, b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数
x
(
b
1
内x(积t空)2间d和)希t2尔,伯特空间
a
即为第七章第８节例４中当p 2时所定义的范数,因此由第七章
第８节定理２知,L2[a,b]成为Hilbert空间. 例２ l 2.设 x (1 ,2 ,3 ,)y , (1 ,2 ,3 ,．)
反之,若(4)式中等号成立,假定 y 0 ,则 x与 y自然线性相关,
若y 0,令
x ,y /y ,y ,
由Schwarz不等式推导过程,易知 xy 2 0,即xy.所以x
与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上
xy2 xy,xyx, xy,xx,yy,y
定义1设X是复线性空间,如果对X中任何在两个向量x, y有 一复数x,y与之对应,并且满足下列条件:
1. x ,x 0 , 且 x ,x 0 等 x 价 0 ,x X 于 ;
2. xy ,z x ,z y ,z ,其 x ,y ,中 z X , ,为;复数
3.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x,y y,x,x,yX.
由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于a,b0.显然,在 有限维复欧氏空间E n中,由(1)定义的内积具有下述性质:
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个
向量的内积的运算,即若 a (1 ,2 ,n )b , (1 ,2 ,．n )
则a与b的内积定义为:
a ,b 1 1 22 nn , ． (1)
其中 i 表示 i 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a a,a
b
x,y ax(t)y(t)d.t
(6)
易知L2 [a, b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数
x
(
b
1
内x(积t空)2间d和)希t2尔,伯特空间
a
即为第七章第８节例４中当p 2时所定义的范数,因此由第七章
第８节定理２知,L2[a,b]成为Hilbert空间. 例２ l 2.设 x (1 ,2 ,3 ,)y , (1 ,2 ,3 ,．)
反之,若(4)式中等号成立,假定 y 0 ,则 x与 y自然线性相关,
若y 0,令
x ,y /y ,y ,
由Schwarz不等式推导过程,易知 xy 2 0,即xy.所以x
与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上
xy2 xy,xyx, xy,xx,yy,y
定义1设X是复线性空间,如果对X中任何在两个向量x, y有 一复数x,y与之对应,并且满足下列条件:
1. x ,x 0 , 且 x ,x 0 等 x 价 0 ,x X 于 ;
2. xy ,z x ,z y ,z ,其 x ,y ,中 z X , ,为;复数
3.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x,y y,x,x,yX.
由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于a,b0.显然,在 有限维复欧氏空间E n中,由(1)定义的内积具有下述性质:
第五章内积空间
5 - 11
定理 5.3：向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量， 則以下的性質成立
(1) u v v u (2) u (v w) u v u w (3) c(u v) (cu) v u (cv)
(4) v v || v||2 (5) v v 0 ， 此外 v v 0 若且唯若 v 0
第五章 內積空間
5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析
5.1 Rn上之長度與點積
長度 (length) 在Rn上向量 v (v1, v2 ,, vn ) 的長度可能表示為 ||v|| v12 v22 vn2
|| v|| 02 (2)2 12 42 (2)2 25 5
(b)在R3上， v ( 2 , 2 , 3 )的長度 17 17 17
|| v||
2
2
2
2
3
2
17 1
17 17 17 17
(因為長度為1，所以v是單位向量)
u (v 2w) (2)(13) (2)(2) 26 4 22
5 - 14
範例 6：使用點積的性質 已知 u u 39 u v 3
求解 (u 2v) (3u v)
v v 79
解：
(u 2v) (3u v) u (3u v) 2v (3u v) u (3u) u v (2v) (3u) (2v) v 3(u u) u v 6(v u) 2(v v) 3(u u) 7(u v) 2(v v) 3(39) 7(3) 2(79) 254
定理 5.3：向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量， 則以下的性質成立
(1) u v v u (2) u (v w) u v u w (3) c(u v) (cu) v u (cv)
(4) v v || v||2 (5) v v 0 ， 此外 v v 0 若且唯若 v 0
第五章 內積空間
5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析
5.1 Rn上之長度與點積
長度 (length) 在Rn上向量 v (v1, v2 ,, vn ) 的長度可能表示為 ||v|| v12 v22 vn2
|| v|| 02 (2)2 12 42 (2)2 25 5
(b)在R3上， v ( 2 , 2 , 3 )的長度 17 17 17
|| v||
2
2
2
2
3
2
17 1
17 17 17 17
(因為長度為1，所以v是單位向量)
u (v 2w) (2)(13) (2)(2) 26 4 22
5 - 14
範例 6：使用點積的性質 已知 u u 39 u v 3
求解 (u 2v) (3u v)
v v 79
解：
(u 2v) (3u v) u (3u v) 2v (3u v) u (3u) u v (2v) (3u) (2v) v 3(u u) u v 6(v u) 2(v v) 3(u u) 7(u v) 2(v v) 3(39) 7(3) 2(79) 254
最新第二章内积空间(精品ppt课件
（2） A1AT(A1AH)
（3）正交矩阵（酉矩阵）的逆、乘积仍是正交矩阵（酉矩阵）。
定义2 欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，
若对任意,V, 均有(T,T )=(,)
定理2 设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题
等价：
(1)T 是正交变换；
自学：P31定理2.3.4
(2)T 保持向量的长度不变，即对于任意的 V,
x 11 x 22 x rr 0
用 与i 上式两端做内积得： x 1 ( 1 ,i ) x i ( i ,i ) x r ( r ,i ) 0 从而 xi(i,i)0 又 (i,i)0 则 xi 0 故 1,2, ,r线性无关
说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.
解 设
x 11x22x33
x1 ,1
1 2
x2 ,2
2 3
x3
,3
1 6
在基底下坐标为
1, 2
2 , 3
1 6
1
1
1
1
2
0
1
2
1
1
3 1
1
3
1
1
6 2
121 232 163
2、施密特正交化方法
设 1,2, ,m 是内积空间V中的一个线性无关向量组。令
1 1
f (x),g(x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1 , 1 ,1 )T, (1 , 4 , 5 )T,
则
2 0 2
3 1
(f,g)TA(1,1,1) 0
2 3
0 4 0
2
3
0
2 5
5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 ,
（3）正交矩阵（酉矩阵）的逆、乘积仍是正交矩阵（酉矩阵）。
定义2 欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，
若对任意,V, 均有(T,T )=(,)
定理2 设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题
等价：
(1)T 是正交变换；
自学：P31定理2.3.4
(2)T 保持向量的长度不变，即对于任意的 V,
x 11 x 22 x rr 0
用 与i 上式两端做内积得： x 1 ( 1 ,i ) x i ( i ,i ) x r ( r ,i ) 0 从而 xi(i,i)0 又 (i,i)0 则 xi 0 故 1,2, ,r线性无关
说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.
解 设
x 11x22x33
x1 ,1
1 2
x2 ,2
2 3
x3
,3
1 6
在基底下坐标为
1, 2
2 , 3
1 6
1
1
1
1
2
0
1
2
1
1
3 1
1
3
1
1
6 2
121 232 163
2、施密特正交化方法
设 1,2, ,m 是内积空间V中的一个线性无关向量组。令
1 1
f (x),g(x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1 , 1 ,1 )T, (1 , 4 , 5 )T,
则
2 0 2
3 1
(f,g)TA(1,1,1) 0
2 3
0 4 0
2
3
0
2 5
5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 ,
《内积空间》课件
混合积
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三 个向量的共面情况：若混合积为零， 则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何 意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的 映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即 对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射 的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性 、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域 都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中 的特征，通过计算特征向量之间的内积，可 以得出特征之间的相似性和关联性，从而实 现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到 内积空间中的向量表示，通过计算样本向量 与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三 个向量的共面情况：若混合积为零， 则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何 意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的 映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即 对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射 的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性 、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域 都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中 的特征，通过计算特征向量之间的内积，可 以得出特征之间的相似性和关联性，从而实 现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到 内积空间中的向量表示，通过计算样本向量 与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法
第4讲内积空间
§3 内积空间
一、内积空间的概念 二、 内积空间的性质 三、 标准正交基 四、 正交变换与对称变换 五、Schur定理与正规矩阵
一、内积空间的定义
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n维线性空 间，对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某 一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ，并且要 求内积满足下列运算条件：
例
⎡3 0 8⎤ ⎢ 3 −1 6 ⎥ A= ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 −5⎥ ⎣ ⎦
H
试求酉矩阵 U 使得 U
AU 为上三角矩阵.
定义: 设
A∈C
n ×n
, 如果
H
AA = A A
H
A 满足
那么称矩阵 设
A 为一个正规矩阵.
, 如果同样满足
A∈ R
n ×n
AA = A A
H H
那么称矩阵
A 为一个实正规矩阵.
α α
总是单位向量，称此过程为单位化。
三、标准正交基
n
{ 定义：设 V 是 n 维酉空间， α i } 为其一组 基，对于 V 中的任意两个向量
α = ∑ xiαi , β = ∑ y jα j
那么 α 与 β 的内积
n n i =1 j =1 i =1 j =1 n
(α , β ) = ( ∑ xiαi , ∑ yiα i ) =
+ nxn yn
( , ) 2 也是 R n 上的一个内积 容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例 在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定
( A, B ) := Tr( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 在线性空间 C[a , b] 中，规定
一、内积空间的概念 二、 内积空间的性质 三、 标准正交基 四、 正交变换与对称变换 五、Schur定理与正规矩阵
一、内积空间的定义
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n维线性空 间，对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某 一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ，并且要 求内积满足下列运算条件：
例
⎡3 0 8⎤ ⎢ 3 −1 6 ⎥ A= ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 −5⎥ ⎣ ⎦
H
试求酉矩阵 U 使得 U
AU 为上三角矩阵.
定义: 设
A∈C
n ×n
, 如果
H
AA = A A
H
A 满足
那么称矩阵 设
A 为一个正规矩阵.
, 如果同样满足
A∈ R
n ×n
AA = A A
H H
那么称矩阵
A 为一个实正规矩阵.
α α
总是单位向量，称此过程为单位化。
三、标准正交基
n
{ 定义：设 V 是 n 维酉空间， α i } 为其一组 基，对于 V 中的任意两个向量
α = ∑ xiαi , β = ∑ y jα j
那么 α 与 β 的内积
n n i =1 j =1 i =1 j =1 n
(α , β ) = ( ∑ xiαi , ∑ yiα i ) =
+ nxn yn
( , ) 2 也是 R n 上的一个内积 容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例 在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定
( A, B ) := Tr( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 在线性空间 C[a , b] 中，规定
第1章 线性空间与内积空间
1.1.1 线性空间的概念 定义 1.1.1 设 V 是一个非空集合， P 为数域．如果对 于 V 中任意两个元素 ， ，在 V 中总有唯一的元素 与 它们对应，称为 与 之和，记作 ．对 P 中任一 数 a 与 V 中任一元素 ，在 V 中总有唯一的元素 与它们 对应，称为 a 与 的数乘，记作 a ．如果加法与数乘 两种运算满足下面八条运算规律（设 , , V , a, b P ） ：
例 1.1.9(加) 问当 0 时，相容的线性方程组 Ax 的解的 全体 S x Ax , x C 解
n
是否构成线性空间？
对于任意的 x1 , x2 S ，有 Ax1 ， Ax2 ． 但是
A( x1 x2 ) Ax1 Ax2 2 ，
的一个线性组合．
定义 1.1.3
设 1 , 2 ,, m 及 1 , 2 ,, s 是数域 P 上的线性
空间 V 中两个向量组，如果 1 , 2 ,, m 中的每个向量都能由向量组
1, 2 ,, s 线 性 表 示 ， 则 称 向 量 组 1 , 2 ,,m 可 由 向 量 组 1, 2 ,, s 线 性 表 示 ； 如 果 向 量 组 1 , 2 ,,m 与 向 量 组 1, 2 ,, s 可 以 相 互 线 性 表 示 ， 则 称 向 量 组 1 , 2 ,,m 与 1, 2 ,, s 是等价的
满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间．事实上，我
们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩 阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律．这 里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共 同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两