2021届新高考数学二轮复习易错题04 导数及其应用(原卷word版)

易错点04 导数及其应用
【典例分析】
（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．
【易错警示】
易错点1．误解导函数与单调区间的关系
【例1】()f x '是()f x 在区间[,]a b 的导函数，则“在区间(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在该区间内单调递增”的________条件．
易错点2 ．误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【例2】 函数322
()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求,a b 的值．
易错点3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【例3】 已知函数f （x ）的导函数()x f '的图像如左图所示，那么函数()x f 的图像最有可能的是
易错点4 ．遗忘复合函数求导公式
【例4】函数
1cos x y x e -=⋅ 的导数为 ．
易错点5．切线问题中忽视切点的位置致错
【例5】已知曲线x x x f 32)(3
-=，过点(0,32)M 作曲线()f x 的切线，求切线方程．
易错点6．混淆极值与最值是两个不同的概念致错
【例6】求函数x x x x f +-=2
32)(在[－3，3]上的最值．
易错点7．用错恒成立的条件
【例7】 已知函数2
()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求的取值范围．
【变式练习】
1.若函数3
()f x ax x =-在R 上为减函数，求实数的取值范围．
2.函数()y f x =的导函数()f x '的图象如右图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）
3.已知函数d ax bx x x f +++=2
3
)(的图象过点P （0，2），
且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ，求函数)(x f y =的解析式；
4.（2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知函数
()(2)x
f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
5.（2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知函数2
()e x
f x ax x =+-. （1）当a=1时，讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ≥0时，f （x ）≥1
2x3+1，求a 的取值范围.
【真题演练】
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1
(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =--
B ．21y x =-+
C ．23y x =-
D ．21y x =+
2．【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=
1
5
都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x +
12
C ．y =
12
x +1 D ．y =
12x +12
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()
f b f a b a
--
-的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期
内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在
[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2
()e x f x ax x =+-.
（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ≥0时，f （x ）≥
12
x 3
+1，求a 的取值范围. 5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2
() sin sin2f x x x =．
（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：()f x ≤
； （3）设*
n ∈N ，证明：2
2
2
2
sin sin 2sin 4sin 234
n
n n
x x x
x ≤．
6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1
2
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求B ．
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．
7．【2020年高考天津】已知函数3
()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．
（Ⅰ）当6k =时，
（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（ii ）求函数9
()()()g x f x f x x
'=-+
的单调区间和极值； （Ⅰ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有
()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-． 8．【2020年高考北京】已知函数2
()12f x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；
（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求
()S t 的最小值．
9．【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数
的底数．
（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；
（Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：
（Ⅰ）0x ≤≤；
（Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．
10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：
谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2
1140
h a =
；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3
216800
h b b =-
+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k >0)，问O E
'为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
11．【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在
区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．
（1）若()()22
2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
，求k 的取值范围；
（3）若()
422342
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，
[]
, D m n =⊆⎡
⎣，
求证：n m -
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1
()e ln ln x f x a x a -=-+．
a 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角
（1）当e
形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．。