人教版九年级数学上册易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围
九年级二次函数全部知识点
九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。
九年级是初中阶段的最后一年，二次函数是九年级数学的重要内容之一。
本文将介绍九年级二次函数的全部知识点，包括定义、图像、性质、解析式等，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。
二次函数中的自变量x是实数，函数值f(x)也是实数。
二次函数的定义域是所有实数集合。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，对称轴是垂直于x轴的一条直线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为（h，k），其中h是对称轴的横坐标，k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。
当a > 0时，k为函数的最小值；当a < 0时，k为函数的最大值。
四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的，即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。
这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。
五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。
六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例，当a = 0时，二次函数就变成一次函数。
因此，可以说二次函数是一次函数的推广，二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。
七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据二次函数的性质，可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。
八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现，例如改变c可以实现平移，改变a和b可以实现压缩或拉伸。
初中数学知识归纳二次函数的最值与像变化规律
初中数学知识归纳二次函数的最值与像变化规律初中数学知识归纳：二次函数的最值与像变化规律二次函数是初中数学中一个非常重要的内容，在解决实际问题时经常会遇到。
本文将归纳总结二次函数的最值和像的变化规律，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的最值二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。
在二次函数中，最值指的是二次函数的最大值或最小值。
1.1 最值与抛物线开口方向二次函数的最值与抛物线的开口方向有关。
当抛物线开口向上时，二次函数的最小值位于抛物线的顶点上；当抛物线开口向下时，二次函数的最大值位于抛物线的顶点上。
这里顺便提一下，如果函数的开口方向与y轴平行，那么函数就不存在最值。
1.2 定理：二次函数的最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，- 当a>0时，抛物线开口向上，函数的最小值为抛物线的顶点；- 当a<0时，抛物线开口向下，函数的最大值为抛物线的顶点。
2. 二次函数的像变化规律二次函数的像即函数的值域。
通过对二次函数进行分析，我们可以得到二次函数的像变化规律。
2.1 定理：二次函数的像变化规律对于二次函数y = ax^2 + bx + c，- 当a>0时，函数的值域为[最小值, +∞)；- 当a<0时，函数的值域为(-∞, 最大值]。
这个定理告诉我们，二次函数的像具有一定的变化规律，不同的a 值会影响像的范围。
3. 实例分析为了更好地理解二次函数的最值与像的变化规律，下面通过几个实例进行分析。
3.1 实例1：考虑函数y = -2x^2 + 4x - 1，可以通过求顶点的方式来找到该函数的最大值和像的范围。
首先，计算二次函数的顶点：x = -b / 2a = -4 / (-2 * 2) = -4 / -4 = 1将x = 1代入函数，得到：y = -2 * (1)^2 + 4 * 1 - 1 = 1所以，该二次函数的顶点为(1, 1)，即函数的最大值为1。
中考数学常考易错点：《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点：《二次函数》知识点梳理二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2. 的性质：上加下减。
的符号开口方向顶点坐标性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质：左加右减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.② 当时，图象与轴只有一个交点；③ 当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：。
二次函数的取值范围
二次函数的取值范围二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a 不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，其取值范围是指函数y 的所有可能取到的值的范围。
首先要了解二次函数的图像特点，对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其中a决定了抛物线的开口方向和大小，正值表示开口向上，负值表示开口向下；常数c决定了抛物线与y轴的交点，即y轴截距；常数b则影响抛物线的位置。
根据这些特点，我们可以推导出二次函数的取值范围。
1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上。
由于抛物线是向上开口的，所以函数的取值范围是y的所有实数值。
也就是说，二次函数的值可以取到任何实数。
2. 当a<0时，二次函数的图像开口向下。
对于这种情况，我们需要分情况讨论。
a) 如果抛物线的顶点在x轴上方，那么函数的取值范围是负无穷到顶点的y坐标。
这是因为抛物线向下开口，所以函数的值会越来越小，直到顶点为止。
b) 如果抛物线的顶点在x轴上，那么函数的取值范围是顶点的y坐标，也就是顶点的函数值。
c) 如果抛物线的顶点在x轴下方，那么函数的取值范围是顶点的y坐标到正无穷。
这是因为抛物线向下开口，所以函数的值会越来越小，直到正无穷为止。
二次函数的取值范围根据抛物线的开口方向和顶点位置来确定。
当抛物线开口向上时，取值范围是所有实数；当抛物线开口向下时，取值范围取决于顶点的位置。
举个例子来说明。
考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以通过求解顶点的坐标来确定取值范围。
首先，我们可以通过求解x的一阶导数等于0来找到顶点的x坐标。
对于这个函数，一阶导数为2x-4，令其等于0得到x=2。
将x=2代入函数中，得到y=3-4(2)+3=-5。
所以，这个二次函数的顶点坐标为(2,-5)。
因为抛物线开口向上，所以取值范围是所有实数。
在实际问题中，二次函数的取值范围可以用来描述一些物理现象，例如抛物线的高度、距离等。
通过分析二次函数的取值范围，我们可以更好地理解和解决实际问题。
二次函数最值题分类精选---取值范围
二次函数最值题分类精选---取值范围二次函数是中学数学中比较基础和重要的一章，对于二次函数最值问题的分类和解决具有重要的意义。
在许多情况下，我们需要讨论二次函数的取值范围来解决最值问题。
一、二次函数与取值范围对于标准的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a \neq 0, x \in R)$，其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，开口方向由系数 $a$ 的正负号决定。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，最小值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，最大值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
二、二次函数最值问题分类在讨论二次函数的最值问题时，可以把问题分为以下两类：1. 二次函数最小值问题当二次函数开口向上时，函数存在最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
2. 二次函数最大值问题当二次函数开口向下时，函数存在最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
三、应用案例1. 数列问题在一个数列中，第 $n$ 项为 $a_n=n^2-2n+3(n \in N^*)$，求该数列的最大值。
分析：将 $a_n$ 化为标准的二次函数形式，得 $a_n=(n-1)^2+2$，开口向上，最小值为 $2$，当 $n=1$ 时取到。
因此，该数列的最大值为 $a_1=2$。
2. 圆外切正方形问题已知一个半径为 $r$ 的圆，内切一个边长为 $a$ 的正方形。
现在把正方形边长加倍成 $2a$，请问圆心到正方形顶点的距离 $d$ 的最小值是多少？分析：圆心到正方形顶点的长度就是圆形半径到正方形顶点的长度，最小值即为圆心到正方形的最远距离，可以证明正方形对于圆心的影响取决于正方形对角线与圆的位置关系。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
新人教部编版初中九年级数学上册解题技巧专题：二次函数的最值及函数值的范围
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②当－b≥2时，则在x＝2时，y取最小值为－3，
此时－3＝22＋2×2b＋b＋2， 解得b＝－ 9 ，不合题意，舍去；
5
③当－2＜－b＜2时，则 4(b 2) 4b2 ＝－3， 4
化简得b2－b－5＝0，
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解得b1＝1 2 21(不合题意，舍去)，b2＝1 2 21 . 综上所述，b＝3或 1 21 .
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◆类型四 已知函数的最值，求待定系数的值
8．(2019·白水县一模)若二次函数y＝(k＋1)x2－2 2 x＋k图象的最高点在x轴上，则k的值为( D )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
9．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为4，
则a的值为( D )
A．－2
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◆类型一 没有限定自变量的范围求最值
1．(2019·哈尔滨中考)二次函数y＝－(x－6)2＋8的
最大值是 8 .
2．(2019·江阴市期末)已知二次函数y＝x2＋mx＋n
的图象经过点(－1，－3)，则代数式mn＋1有( A )
A．最小值－3
11．已知二次函数y＝x2＋2bx＋c. (1)若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？ 请说明理由；
解：(1)存在．理由如下：若b＝c，由y＝1得x2＋2bx ＋b＝1，∴x2＋2bx＋b－1＝0. ∵Δ＝4b2－4b＋4＝(2b－1)2＋3＞0， ∴存在两个实数x，使得相应的y＝1.
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B．4
C．4或3 D．－2或3
(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值
(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
自变量x 取任意实数时的最值情况（1）当0a >时，函数在2bx a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；（2）当0a <时，函数在2bx a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．（3）二次函数最大值或最小值的求法．第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a==-； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例)①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++.[2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++；②对称轴2 m nx+>，即对称轴在m x n≤≤的中点的右侧，在x m=处取最大值2maxy am bm c=++小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a<0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf f xf mbam nf nbam n()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910另法：2(0)y ax bx c a=++≠当m x n≤≤（其中m n<）的最值：求出函数的对称轴02bx xa==-，在以后的数学学习中①若m x n≤≤，则分别求出,,m x n处的函数值()f m，()f x，()f n，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；②若00x m x n<>或时，则求出,m n处的函数值()f m，()f n，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。
22.1《二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值》2023-2024学年人教版九年级数学上册
考题归纳
题型1 二次函数已知，x的取值范围确定求最值 1．二次函数y＝x2－2x＋2的图象如图．
(2)若2≤x≤3，则y随x的增大而__增__大__； 当x＝___2___时，y有最小值为__2____； 当x＝___3___时，y有最大值为__5____．
期末复习专题3
二次函数在自变量取值范围内 的增减性与最值
九年级上册
专题目录
考点解读 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量的取值范围是p≤x≤q．(以a＞0为例 )
当x＝p时，y有最大值； 当x＝q时，y有最小值， 如图．
考点解读 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量的取值范围是p≤x≤q．(以a＞0为例 )
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋ax＋6的
图象关于直线x＝－2对称．若当m≤x≤0时，y有最大值6，
最小值2，则m的取值范围是－__4_≤_m__≤_－__2_．
关于直线x＝－2对称
a＝4 y＝x2＋4x＋6
y
8 7 6 5 4 3 2 1
x –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3
A．1
B．2
C．3DBiblioteka 4y即当x=a时，y取得的最大值为15
3
2 1
∴2a2－4a－1＝15
x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5
解得a=4或a=-2(舍)
–1
–2
–3
考题归纳
y
3 2 1
–2 –1 O –1
初中二次函数取值范围问题
初中二次函数取值范围问题
对于初中二次函数取值范围问题，我们需要考虑函数的开口方向、与x轴的交点以及函数的对称轴。
首先，我们需要判断二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于0，那么函数开口向上；如果二次项系数小于0，那么函数开口向下。
其次，我们需要找出二次函数与x轴的交点。
这可以通过令y=0，然后解一元二次方程得到。
然后，我们需要找到二次函数的对称轴。
对称轴的公式是x = -b/2a。
接下来，我们可以根据这些信息来判断函数的取值范围。
如果函数开口向上，那么在对称轴的右侧，函数值会随着x的增大而增大；如果函数开口向下，那么在对称轴的右侧，函数值会随着x的增大而减小。
如果函数与x轴有两个不同的交点，那么函数值在交点之间为0，在其他地方不为0。
最后，我们可以根据题目要求的具体情况，结合以上分析，来找出函数的取值范围。
例如，考虑一个开口向上的二次函数y = 2x^2 - 4x + c。
它的对称轴是x = 1。
如果这个函数经过点A(2, m)和点B(3, n)，由于2 > 1且3 > 1，且函数开口向上，因此在A和B两点，m < n。
这就是解决初中二次函数取值范围问题的一般方法。
对于具体的问题，还需要具体分析。
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初中数学试卷
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易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围
——类比各形式，突破给定范围求最值
◆类型一没有限定自变量的范围求最值
1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为_______.
2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法11】（）A．3 B．2 C．1 D．－1
3．已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．
◆类型二限定自变量的取值范围求最值
4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（）
A．4和－3 B．－3和－4
C．5和－4 D．－1和－4
5．二次函数y＝－
1
2x
2＋3
2x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是【方法11】（）
A．3.125 B．4 C．2 D．0
6．已知0≤x≤
3
2，则函数y＝x
2＋x＋1（）
A．有最小值
3
4，但无最大值
B．有最小值
3
4，有最大值1
C．有最小值1，有最大值
19
4
D．无最小值，也无最大值
◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围
7．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（）A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤1
8．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（）
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y ＜3
9．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值C
A．y＜0
B．0＜y＜m
C ．y ＞m
D ．y ＝
m
◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．9
11．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．－1
C ．4
D ．4或－1
12．已知y ＝－x(x ＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ＝9
B ．a ＝5
C ．a ≤9
D ．a ≤5
13．在△ABC 中，∠A ，∠B 所对的边分别为a ，b ，∠C ＝70°.若二次函数y ＝(a ＋b)x 2＋(a ＋b)x －(a －b)的最小值为－a 2，则
∠A ＝_______度．
14．★已知函数y ＝－4x 2＋4ax －4a －a 2，若函数在0≤x ≤1上的最大值是－5，求a 的值．
答案：。