黄建全_第八章 第一节 椭圆_90257
椭圆的应用
选修2-1第一节 椭圆的定义与标准方程的应用解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。
如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。
解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。
建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，其方程为22116()241253x y ++= ①同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2214()123x y -+= ② 由①②得P 912(,)1414，Q 912(,)1414，3327r ∴=-=故所求圆的直径为67。
一、椭圆的定义：1、 第一定义：平面里到2、 第二定义3、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用例1.（2010·湖南高考文科·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。
考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10Km 的区域。
新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件新人教B版
2．(2021·八省联考)椭圆m2x＋2 1＋my22＝1(m>0)的焦点为 F1，F2，上
顶点为 A.若∠F1AF2＝π3，则 m＝(
Hale Waihona Puke )A．1B． 2
C． 3
D．2
C 解析：在椭圆m2x＋2 1＋my22＝1(m>0)中，a＝ m2＋1，b＝m，c＝ a2－b2＝1，
距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215.
又 x＞0，所以 x＝
215，所以点
P
坐标为
215，1或
215，－1.
1234 5
02
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 椭圆的定义及应用——基础性 考点2 椭圆的标准方程——综合性 考点3 椭圆的几何性质——综合性
考点1 椭圆的定义及应用——基础性
(1)(2020·东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两
点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A.x42＋y32＝1
B.x92＋y62＝1
3c.
令 y＝
3x－b＝0，则
M
b3，0，
即 M(c,0)，
所以 M 为椭圆的右焦点，所以|FM|＝2c.
由椭圆的定义可知，|NF|＋|NM|＝2a，因为△FMN 的周长为 6，所 以 2a＋2c＝6，
因为ba＝ 23，b＝ 3c，所以 a＝2c， 所以 c＝1，a＝2，b＝ 3，
所以
S△FAN＝12·|FM|·35b－－b＝c·85b＝8
第八章第五节椭圆共50页文档
顶点
(0，±b)
顶点 (±b,0)
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
| F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
离心率
e＝ c ∈ (0,1) ，其中c＝ a
a2－b2
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 . a
[究 疑 点] 1．在椭圆的定义中若|F1F2|＝2a或|F1F2|>2a，动点的轨
4．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，若直线 x＝ac2与
x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂
直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，
2 2]
B．(0，12]
C．[ 2－1,1)
D．[12，1)
解析：依题意|FA|＝|FP|. ∵|FA|＝ac2－c， |FP|≤a＋c， ∴ac2－c≤a＋c，即 a2≤ac＋2c2， ∴2e2＋e－1≥0，(2e－1)(e＋1)≥0. 又 0<e<1，∴12≤e<1.
|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是 ( )
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在
D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为
线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．
答案：C
2．已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点， uuur uuur
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
范围 对称性
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于 x轴 y轴、原点 对称
椭圆及其标准方程ppt课件
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
高考数学复习第八章解析几何第5节椭圆ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
3 A. 3
3 B. 6
C.13
D.16
28/46
[解析] A [如图，设 PF1 的中点为 M，连接 PF2.因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为△PF1F2 的中位线．所以 OM∥PF2，所以∠PF2F1 ＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|＝ |PF1|2－|PF2|2 ＝ 3|PF2|，
33/46
[子题 3] 本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为 2∶1”，则 离心率范围为_______ .
解析：设 P 到两个焦点的距离分别为 2k，k，根据椭圆定义可知： 3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的 最大值为 2c，即 k≤2c，∴2a≤6c，
－b ≤x≤ b －a ≤y≤ a
对称性
对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 质
顶点
A1 (－a,0) ，A2 (a,0) B1 (0，－b) ，B2 (0，b)
A1 (0，－a) ， A2 (0，a)
B1 (－b,0) ，B2
(b,0)
轴
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
5/46
焦距 离心率 a，b，c 的 关系
|F1F2|＝2c e＝ac∈ (0,1) a2＝ b2＋c2
6/46
椭圆的常用性质 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时， |OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a， P 点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形， 其中 a 为斜边，a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)
即 : ( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， 则椭圆方程为：
y x 2 1 2 a b
(a＞b＞0).
2
2
y
y
P( x, y)
F2
F2
P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
星系中的椭圆
——仙女座星系
M
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
x2 y 2 ∴设它的标准方程为: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
y
∵ 2a=10, 2c=8
M
F1
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
o
椭圆的标准方程及简单性质导学案
椭圆的标准方程及简单性质导学案1.1椭圆的标准方程(1)授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标经历动手、对比，掌握椭圆定义；会推导椭圆标准方程；明确标准方程中a、b、c的关系及几何意义；能通过标准方程判断椭圆焦点位置及a、b 、c大小；能画简单的椭圆图形重点难点椭圆的定义和标准方程的形式特点是重点，椭圆标准方程的推导变形过程是难点，突破难点的方法是紧紧依靠定义和准确的代数变形学习过程与方法自主学习：椭圆的定义（阅读课本一、椭圆定义）平面中圆是如何定义的？圆的标准方程是什么? 推导用到那个公式？生活中哪里有椭圆？如何理解圆和椭圆的关系？如何定义椭圆？(1) （先画再回答）在画的过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？(1)椭圆上的点满足什么条件？椭圆定义：叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距精讲互动：一、椭圆标准方程的推导（阅读二、椭圆的标准方程）设两定点，且，为椭圆上任意一点。
1.能不能依据椭圆的几何特征，建立恰当的直角坐标系？2.椭圆上任意一点M满足什么条件?3.这样的条件能否转换成具体的代数形式？4.如何消去方程中的根式？5.化简成（—）+ = （—）时，如何变形更简洁？这样，我们就得到：。
6.得到这样的方程，说明什么？这个过程共分几步？7.满足方程的解是否在椭圆上？（阅读课本62页小体字）二、椭圆标准方程（阅读63页抽象概括部分）1.焦点是，的椭圆的标准方程式是此方程满足的条件是1）2）。
2.焦点是的椭圆的标准方程式是3.如何用图形解释= + ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？4.当为定值时，椭圆形状的变化与有怎样的关系？5.下列方程是否是椭圆方程？若是，焦点在哪儿？10 +36 =360回答：（1）如何判断椭圆焦点位置？（2）椭圆方程的一般式可写成达标训练：⑴焦点在x轴，a= ,b=1,求椭圆标准方程；⑵焦点是（0，-4），（0，4）.,a=6，求椭圆标准方程作业布置学习小结/教学反思1.1椭圆及其标准方程（2）授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标能根据椭圆定义求出其标准方程，进一步明确的关系及几何意义重点难点不同情况下椭圆标准方程的求法学习过程与方法自主学习：（知识回顾）椭圆的定义是:焦点在x轴的椭圆标准方程是：焦点在y轴的椭圆标准方程是：精讲互动：1.阅读课本P64例1，回答：①顶点A满足什么条件？顶点A的轨迹是什么图形？②建立如图2-6直角坐标系，= 2c=，= =，故=，c=，b=③顶点A满足的一个轨迹方程是:（写出整个题的解题过程）④为什么要注明y≠0？当焦点在y轴时，顶点A满足的又是什么？2.阅读课本P64例2，回答：①椭圆焦点在什么轴？焦距是多少？②椭圆上一点到两焦点的距离之和是③之间的关系是？④写出解题过程达标训练：一、⑴求符合下列条件的椭圆标准方程：①两焦点是，椭圆上一点到两焦点的距离和是10②= ，b=1，焦点在x轴③焦点在x轴，焦距等于4，且过P（3，-2 ）⑵课本P65练习1、2、3.二、在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？变式：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹是什么？作业布置学习小结/教学反思1.2 椭圆的简单性质授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人解宏涛学习目标依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是。
【金教程】高考数学总复习 第8章 第5讲 椭圆课件 理 新人教A
[变式探究] [2012·上海高考]对于常数m、n，“mn>0”是 “方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：B 解析：条件是“mn>0”，结论是“方程mx2＋ny2＝1的曲线 是椭圆”，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，可以得出mn>0， 且m>0，n>0，m≠n，而由条件“mn>0”推不出“方程mx2＋ny2 ＝1的曲线是椭圆”．所以为必要不充分条件，选B.
课课精彩无限
【选题·热考秀】 [2012·重庆高考]如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴 上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的 中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点， 使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
第7步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．第 (1) 问 中 求 椭 圆 离 心 率 和 方 程 的 关 键 是 寻 求 a 、 b 、 c 的 等 式 关 系．第(2)问中巧妙设直线方程为x＝my－2，避免了讨论斜率不 存在的情况．
经典演练提能
1. 已知椭圆10x－2 m＋m－y2 2＝1，长轴在 y 轴上，若焦距
【备考·角度说】 No.1 角度关键词：审题视角 (1)由直角△AB1B2的面积求出b、c的关系，进一步确定椭 圆的离心率和标准方程．(2)设出直线方程，联立直线方程和椭 圆方程进行消元，结合韦达定理设而不求，由PB2⊥QB2可以求 出直线方程．
No.2 角度关键词：模板构建 第1步：由△AB1B2是面积为4的直角三角形，可得b、c两个 量的等式关系． 第2步：结合a2－b2＝c2，求出椭圆的离心率和标准方程． 第3步：设出直线方程，注意斜率是否存在． 第4步：联立方程，写出根与系数的关系． 第5步：建立关于所求问题的目标函数． 第6步：求出参数m的值，写出直线方程．
2025数学大一轮复习讲义人教A版 第八章 §8.5 椭 圆
知识梳理
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程 范围
ax22＋by22＝1(a>b>0) _－__a_≤__x≤__a_且__－__b_≤__y_≤__b__
ay22＋bx22＝1(a>b>0) _－__b_≤__x_≤__b_且__－__a_≤__y_≤__a_
知识梳理
则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝ 9－1＝8， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为x92＋y82＝1.
(2)(2023·眉山模拟)已知 P 是椭圆2x52 ＋y92＝1 上的点，F1，F2 分别是椭圆
—→ —→
的左、右焦点，若
PF1 ·PF2 —→ —→
＝12，则△F1PF2
的面积为__3__3__.
跟踪训练1 (1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C： 2x52 ＋1y62 ＝1的左、 右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为
A.4
B.8
C.10
√D.20
由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋ |AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20.
则22ac＝＝24，， 可得 a＝2，c＝1，则 b＝ a2－c2＝ 3， 所以曲线 C 的方程为x42＋y32＝1， 设点 M(x0，y0)，则x420＋y320＝1， 所以 y20＝3－34x20且－2≤x0≤2，
所 以 |OM| ＝ x20＋y20 ＝ x20＋3－34x20 ＝ x420＋3 ≥ 3，当且仅当 x0＝0 时，等号成立，故|OM|的 最小值为 3.
人教A版高中数学选择性必修第一册《椭圆》能力探究课件
解析 由于两个椭圆的焦点相同,所以可采用待定系数法,利用共焦点的椭圆系方程求解.
由题意可设椭圆的方程为
+
+
+
= ( > −).
又所求椭圆过点(, ),
所以将(,
)代入椭圆方程,得
+
故所求的椭圆方程为
+
= .
+
+
= ,解得 = ( = −舍去).
中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长轴长、短轴长、焦距、
离心率.对于第一类性质,只要
和纵坐标互换,就可以得出
+
+
= ( > > )的有关性质中横坐标
= ( > > )的有关性质.总结如下:
估计解释能力、分析计算能力
方程
图形
人教A版同步教材名师课件
椭圆
---能力探究
估计解释能力、分析计算能力
椭圆及其标准方程
1.判断椭圆类型的方法
中心在原点、焦点分别在轴上、轴上的椭圆标准方程的
相同点:形状相同、大小相同;都有 > > , = + .
不同点:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个∴ =Fra bibliotek=
−
+
= .∴ =
.
当 < + < 时, = , = + ,
∴ =
−
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求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有 时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方 程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是 在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
【答案】
x y ＋ ＝1 16 4
2
2
3.在ABC中， 角A, B, C所对边a, b, c成等差数列， 且点A0， 2 , C 0， ， 求点B的轨迹方程. 2
AP a → → ∵BF⊥x 轴，∴ .故选 D. 2
【答案】 D
中 点 弦 点 差 法
——
求离心率（范围）问题
【思路点拨】 设M(x，y)，由题意将x表示为关于e的 不等式，根据椭圆上的点的取值范围得到关于e的不等 式，即可得解；设出椭圆的方程得到N点到椭圆上的点 的距离公式，然后研究最值问题．
【答案】
A
【解析】 如图， 由题意知： F(－c,0)， A(a,0)．
【答案】
D
【答案】
C
【解析】 ＝3.
5－m 10 若5＞m，则 ＝ ，∴m 5 5
m－5 10 25 若5＜m，则 ＝ ，∴m＝ . 5 3 m
解：
y
d
由椭圆的第二定义得：
| MF | c 1 e d a 2
.
O
F
.
x
y
F1 O
.
F
.
x
答案：M (2,3)
椭圆的几何性质
(1)求椭圆的离心率e； (2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦 点，求∠F1QF2的取值范围．
定 义
到两个定点F1、F2距离之和等于常数的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判 定
a 2 b 2 c 2 , a b 0 c a 2 b 2
根据椭圆方程中x2与y2的分母大小来确定。
椭圆的标准方程的统一式：
Ax By 1( A, B 0, A B)
2 2
3 2 , B 2 , 的椭圆的标准方程. 求经过两点A1, 2 2
2、椭圆的几何性质
A．4a C．2(a＋c)
B．2(a－c) D．以上结果均有可能
【解析】 假设球由点F1处击出， ①经P、Q点后返回F1，则 路程为4a， ②球由点F1击出经B点后返 回F1，则路程为2(a+c)． ③球由点F1击出，经A点返 回F1，则路程为2(a-c)． 【答案】 D
【自主解答】
(1)设 F1(－c,0)， 2 b 则 xM＝－c，yM＝ a ， b2 ∴kOM＝－ac. b → → ∵kAB＝－a，OM与AB是共线向量， 2 b 2 b ∴－ac＝－a，∴b＝c，故 e＝ . 2
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形 进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到 图形．当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴 等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖 掘出它们之间的内在联系．
热 点 提 示
一、知识要点 1．对椭圆定义的理解 平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数2a， 2a＞|F1F2| 当___________时，动点P的轨迹是椭圆； 当____________时，轨迹为线段F1F2； 2a＝|F1F2| 当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在． 椭圆的第二定义：
直线与椭圆的位置关系
(1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M， 交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称， 求直线l的方程．
【思路点拨】
(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程； (2)方法一：设斜率为k，表示出直线方程，然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出A、B两点坐标，代入椭圆方程， 作差变形，利用中点坐标公式及斜率求解(即点 差法)．
x＝acos θ y＝bsin θ
x b sin y a cos
椭圆的第二定义的再认识：
c e (0 e 1) a
定点F
定直线l
焦点
离心率
准线
a x c
2
F1 (c，) 0
y
a2 x c
.
F1O
.
.
M F2
.
x
3、
椭圆上 椭圆外 椭圆内
8.1节
椭
圆
高三第一轮复习
考 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭 纲 圆的简单几何性质. 点 2.了解椭圆的参数方程. 击 1.以选择题、填空题的形式考查椭圆的 定义、焦点坐标、离心率、标准方程等 问题. 2.以椭圆为主考查与向量等其他知识的 交汇问题. 3.以解答题的形式考查椭圆与直线的位 置关系，求椭圆的方程等问题.
椭圆的定义及标准方程 天府数学例1及随堂训练习1
已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到 两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直
线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
x y y x 答案：椭圆的方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 16 12 16 12
2
2
2
2
x 2 y2 (2)设方程：根据上述判断设方程 2＋ 2＝1(a＞b a b 2 2 x y ＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． b a (3)找关系：根据已知条件，建立关于 a、b、c 或 m、n 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为 所求．
定点F
c e (0 e 1) a
定直线l
2、椭圆的标准方程的认识
标准方程 图
x y 2 2 a b
2
2
y 2 x2 1(a b 0) 2 2 1a b 0 a b
y M o o
y
F2
形 焦点坐标
x
F1
x
F1 c,0, F2 c,0
F1 0,c , F2 0, c