2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章第五节椭圆Word版含解析.doc

则此椭圆方程为( )2 2x y_ / A — +」=1 A. 4 十 32尙 + y 2= 12 2B &+y = 1 B. 8 + 6 = 1 2 D .^+y 2= 142 2 歩+ya b课时规范练A 组基础对点练 2 21已知椭圆2X5+和=1(m>0)的左焦点为F 1(— 4,0)，则m =( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 9 解析：由 4= .25 — m 2(m>0)? m = 3，故选 B. 答案：B 2.方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )A . k>4B . k = 4C . k<4D . 0<k<4 解析：方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程 1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k<4，故选D.答案：D 3.已知椭圆的中心在原点，离心率1e =1，且它的一个焦点与抛物线y 2=— 4x 的焦点重合,c 1 所以c = 1又离心率e =a = 1，解得a = 2, 2 b 2=a2-c 2 = 3，所以椭圆方程为:+2y3=1,故选A. 答案：A 2 2 4•椭圆字+律=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A , B ,左、右焦点分别为 F 1, F 2，若|AF 1|,|F 1F 2|, |F 1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为 A.1 C.1c 1 解析：由题意可得 2|F 1F 2|= |AF 1|+ |F 1B|,即卩 4c = a — c + a + c = 2a ,故= &.a 2答案：A解析：依题意，可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(一1,0),C. 双曲线的一部分D •抛物线的一部分解析：由题意可得-|FA ^| + 2舉 =10,则|PA|+ |FB|= 40>|AB|= 6,又因为F , A , B 三点不共线，AD1 |BC故点F 的轨迹是以A , B 为焦点的椭圆的一部分. 答案：B6.若x 2 + ky 2= 2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _____________ .2 2解析：将椭圆的方程化为标准形式得+乡=1,因为X 2+ ky 2= 2表示焦点在y 轴上的椭圆， k2 所以k>2，解得0<k<1. 答案：(0,1)2 27•若椭圆的方程为 + -^; = 1,且此椭圆的焦距为 4,则实数a= ______________ . 10 — a a - 2解析：由题可知c = 2•①当焦点在x 轴上时，10— a — (a — 2)= 22,解得a = 4•②当焦点在y 轴 上时，a — 2— (10 — a) = 22,解得a = 8.故实数a = 4或8. 答案：4或82 2&已知椭圆字+ b ^= 1(a>b>0)的离心率等于1，其焦点分别为 A , B.C 为椭圆上异于长轴端 点的任意一点，则在△ ABC 中, Sn 義严的值等于 ——圆定义知 |CA|+ |CB|= 2a ,而 |AB|= 2c ,所以 Sin A +丁 B = 2a =1 = 3. sin C 2c e 答案：32 29•已知椭圆C :+ y 2= 1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F 1( — c,0), F 2(c,0)，过F 2作垂直于x a b轴的直线l 交椭圆C 于A , B 两点，满足|AF 2=~63c. (1)求椭圆C 的离心率；⑵M , N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点F 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MF ,NF 分别和x 轴相交于R , Q 两点，O 为坐标原点.若|OR||OQ|= 4,求椭圆C 的方程. 解析：(1) ：•点A 的横坐标为c ,5. (2018郑州模拟)如图，△ FAB 所在的平面a 和四边形ABCD 所在的平面B 互相垂直，且 AD 丄 a, BC 丄 a, AD = 4, BC = 8, AB = 6,若 2tan / BCF = 10,则点F 在平面 a 内的轨迹是()A •圆的一部分B •椭圆的一部分 解析：在厶ABC 中，由正弦定理得 sin A + sin B _ sin C = |CB|+ |CA | |AB|因为点C 在椭圆上，所以由椭2 2代入椭圆，得C2+岂=1.a b 解得M =牛=AF 2|,即ba =隹，.22\''3…a — c = ac.6•-e 2 + fe — 1 = 0，解得 e =-^. (2)设 M(0, b), N(0, — b), P(X 0, y °), V 。

— b 则直线MP 的方程为y = V- X + b.X 0令y = 0，得点R 的横坐标为-bx ^.b — y o 直线NP 的方程为y = yo -x — b. x o 令y = 0，得点Q 的横坐标为-bx ^.b + y o=a 2= 4,•椭圆C 的方程为x +y 2=1.22i^2+占=l(a>b>0)，其中e = j 焦距为2,过点M(4,0)的直线a b 2l 与椭圆C 交于点A , B ,点B 在A , M 之间•又线段AB 的中点的横坐标为号，且AM = ^IB. (1) 求椭圆C 的标准方程. (2) 求实数入的值.2 2 解析：⑴由条件可知，c = 1, a = 2，故b 2= a 2— c 2= 3，椭圆的标准方程为 X + y = 1. 4 3(2)由题意可知 A , B , M 三点共线， 设点 A(X 1, y”，点 B(x 2, y 2).若直线AB 丄x 轴，则X 1 = X 2= 4，不合题意. 则AB 所在直线I 的斜率存在，设为k , 则直线I 的方程为y = k(x — 4).y =kx —4 , 由 X 2 y^-+ r= 1, 4 3消去 y 得(3 + 4k 2)x 2— 32k 2x + 64k 2— 12= 0•①10. (2018沈阳模拟)椭圆C : •••|0R| Q Q| =2 2 2 2 a b —a y ob 2—y 222 0 X 2 b由①的判别式 A= 32节一4(4k 2+ 3) (64k 2—12) = 144(1 — 4k 2)>0 ,『丄 32 k 2 2 1 x1+x2= 4k +3， 解得k <-，且 2 4 ' 64k 2—12 .X 1X2= 4k 2+ 3 .4' , 2 X 1+ x 2 16k 4 2 1 由丁=R=4,可得 k = 1， 1 将k 2 = 代入方程①，得7x 2— 8x — 8= 0. 8 则X 1 =千，X 2=半 又因为 AM = (4 — X 1，— %)，MB = (X 2 — 4，y ?)， f f AM =涮B ,所以匸三，所以冶二^4也 X 2— 4 7B 组能力提升练 2 2 1.若对任意k € R ，直线y — kx — 1 = 0与椭圆为+和=1恒有公共点，则实数 m 的取值范围 A • (1,2] B • [1,2)C . [1,2) U (2,+^ )D • [1 ,+s ) 解析：联立直线与椭圆的方程， 消去y 得(2k 2+ m)x 2+ 4kx + 2— 2m = 0,因为直线与椭圆恒有公共点，所以 A= 16k 2— 4(2k 2+ m)(2 — 2m)> 0，即2k 2+ m — 1 > 0恒成立，因为 k € R ,所以 k 2> 0，则m — 1 > 0，所以m 》1，又m ^ 2，所以实数 m 的取值范围是[1,2) U (2，+ ). 答案：C 2 •已知椭圆E : 2 2予+ b = 1(a>b>0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为 M ，直线l : 3x — 4y = 0 交椭圆E 于A , B 两点.若|AF|+ |BF|= 4，点M 到直线l 的距离不小于£，则椭圆E 的离心 率的取值范围是 B. 0，3C. 解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A,B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a = 2(|AF|+阳)=8，所以a =2.又d =黑苧畧4，所以11 b <2，所以e =a 1— 2 =a-,1 — %因为1 < b<2，所以0<ew#答案：A2 23. 已知P (I ,I )为椭圆X4+乡=i 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所 在的直线方程为 __________ .解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为2 2 则¥+分1，①2 2乎+齐1,® ①—②得-x 11 x 2= 2, y l + y 2= 2 ,•••此弦所在的直线方程为 y — 1 = — 2(x — 1), 即 x + 2y — 3= 0. 答案：x + 2y — 3= 02 24. 已知椭圆C : X9 +1 = 1,点M 与C 的焦点不重合•若 M 关于C 的焦点的对称点分别为 A , B ，线段 MN 的中点在 C 上，贝U |AN|+ |BN|= ______________. 解析：根据已知条件画出图形，如图.设MN 的中点为P , F 1、F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1、PF 2.显然PF 1是厶MAN 的中位线，PF 2是厶MBN 的中位线，• |AN|+ |BN|= 2|PF 1|+ 2|PF 2|= 2(|PF 1|+ |PF 2|)= 2X 6 = 12.答案：12x 2 y 2435. 已知点A(0,— 2)，椭圆E :『+器=1(a>b>0)的离心率为一2，F 是椭圆E 的右焦点，直 线AF 的斜率为 竽，O 为坐标原点. (1)求E 的方程.⑵设过点A 的动直线l 与E 相交于P , Q 两点，当△ POQ 的面积最大时，求I 的方程.k ,弦的端点坐标为(捲,y i ) , (X 2, y 2),X i —x 22+ y 1 — y 2= 0,k =g=X 1 — X 2N解析：⑴设F(c,O)，由条件知，C = 1 233，得c = J 3.C 3 又C —3，所以 a = 2, b 2= a 2-c 2= 1. a 22故E 的方程为牛+ y 2= 1.42X 2⑵当I 丄x 轴时不合题意，故设 I ： y = kx - 2, P(x i , y i ), Q(X 2, 丫2).将y = kx - 2代入—+ y=1,得(1 + 4k 2)x 2— 16kx + 12= 0. 当△= 16(4k 2— 3)>0 ,即即 k 2>3时,从而 |PQ|= k 2+ 1凶一X 2|= 4「k J) ：k - 3.2 又点O 到直线PQ 的距离d = j-2—-, 14气丿4『一3所以△ OPQ 的面积 S A OPQ = 2d |PQ|= 4k 2+ 1 . 设/4k 2— 3 =匚贝卩 t>0, S A OPQ = t 2)4 = -^4.t + 44因为t + 4- > 4，当且仅当t = 2, 即k = ±27时等号成立，且满足A >0.所以，当△ OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y nj x — 2 或 y =— ~27x - 2.226. (2018保定模拟)椭圆C : ?+活=1(a>b>0)的离心率1 求椭圆C 的方程.2 如图，A , B , D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交x 轴 于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k , MN 的斜率为m.证明：2m - k 为定值.e = 2 ， a + b = 3.解析：⑴因为r=a ，故椭圆C 的方程为X + y 2 = 1.4直线AD 的方程为y = |x + 1.②4k 门 —0 2k — 14k+ 2 4k — 22k — 1 2k + 1 ______ 4k(2k + 1 ) = 2k + 1 =2 2k + 1 2— 2 2k — 1 2= 42k +11则 2m — k = — — k = 2(定值).所以a =2■ 3°，12.代入a + b = 3得，c= 3, a = 2, b = 1.⑵因为B(2,0), P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为 y = k(x — 2) k z 0, ，①2把①代入》+ y 2= X 解得P8k 2— 2 4k 2+ 1， 4k 4k 2+ 1 .由 D(0,1), P8k 2— 2 4k 2+ 1，4k 4k 2+ 1，N(x,0)三点共线知8k 2— 24k 2 + 10— 1x — 0，所以MN 的斜率为 ①与②联立解得4k 2k — 1 .。