2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
人教版高三数学一轮复习精品课件7：§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切
【学习目标】 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并利用它们进行化简 与求值． 2．掌握二倍角公式及其变式． 3．能灵活应用和差角公式与二倍角公式进行三角变换．
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！ 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
【知识要点】 1．两角和与差的三角函数公式
S(α±β)：sin(α±β)＝____si_n__α_c_o_s__β_±___c_o_s_α__s_in__β__． C(α±β)：cos(α±β)＝___c_o_s__α_c_o_s__β_∓__s_in__α_s_i_n__β__．
A.－12
B.－2
1
C.2
D.2
【解析】由 cos(3π－x)－3cosx＋2π＝0，得 tan x＝13. 所以 tanx＋π4＝t1a－n xta＋n 1x＝131＋－113＝2.
3.已知 cosx－π6＝－ 33，则 cos x＋cosx－3π的值是( C )
A.－2
3 3
B.±2
3 3
C.－1
D.±1
【解析】cos
x＋cosx－3π＝cos
x＋12cos
x＋
3 2 sin
x
＝32cos
x＋
3 2 sin
【精品】人教版A版2019版一轮创新思维文科数学练习：第三章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式
课时规范练A 组 基础对点练1．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：B2．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45. 答案：B3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.答案：D4．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1 D.33解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32.答案：A 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C.答案：C6．(2018·漳州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)＝( )A.725 B ．－725C.925D ．－925解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35， ∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 答案：A7．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝1 －2sin αcos α＝2，∴2sin α·cos α＝－1，∴sin 2α＝－1.故选A. 答案：A8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°＞sin 33°＝a ， ∴b ＞a .又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°＞sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c ＞b .∴c ＞b ＞a .故选C. 答案：C9．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32.答案：B 10．若－θ＋θ－sin θ＋＋θ＝12，则tan θ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析：原式可化为sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，分子、分母同除以cos θ得tan θ＋1tan θ－1＝12，求得tan θ＝－3，故选D. 答案：D11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴的距离为π3.若角φ的终边经过点P (1，－2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3等于( )A.255B.55 C ．－255D ．－55解析：由题意知sin φ＝－25＝－255，2πω＝2π3，所以ω＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3＝sin(7π＋φ)＝－sin φ＝255.答案：A12．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.答案：D 13．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝__________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－4314．化简：α－－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝__________. 解析：α－－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cosα)·(－sin α)＝－cos 2α. 答案：－cos 2α15．若角θ满足2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ＋θ－－θ＝3，则tan θ的值为__________．解析：由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ2s＋θ－－θ＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1. 答案：1B 组 能力提升练1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cosα＝－45.答案：B2．(2018·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．2D ．－12解析：由题意可得tan α＝2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin α＋cos α＝－2tan αtan α＋1＝－45.故选B. 答案：B3．(2018·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5D ．－1－ 5解析：由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案：B4．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 把tan θ＝2代入得，原式＝4＋2－24＋1＝45.故选D. 答案：D5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.答案：D6．已知α∈R ，cos α＋3sin α＝5，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．±43D ．±34解析：∵cos α＋3sin α＝5，∴(cos α＋3sin α)2＝5，即2sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2α＝0，∴2tan 2α＋3tan α－2＝0.解得tan α＝12或tan α＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选A. 答案：A7．4sin 80°－cos 10°sin 10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－3解析：4sin 80°－cos 10°sin 10°＝4sin 80°sin 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝－－cos 10°sin 10°＝－3，故选B.答案：B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223B.223C ．－13D.13解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，展开化简可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13.故选C. 答案：C9．已知锐角θ满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6的值为( )A ．－19B.459C ．－459D.19解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝23，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，可得θ2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝459，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－459.故选C. 答案：C10．tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 之间的关系是( )A ．p ＋q ＋1＝0B ．p －q －1＝0C ．p －q ＋1＝0D ．p ＋q －1＝0解析：依题意有p ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，q ＝tan θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，化简得p ＝－tan 2θ＋1tan θ＋1，q ＝tan θ－tan 2θ1＋tan θ，故p －q ＝－1，即p －q ＋1＝0.故选C.答案：C11．已知α为锐角，若sin 2α＋cos 2α＝－15，则tan α＝( )A ．3B ．2 C.12D.13解析：因为sin 2α＋cos 2α＝－15，所以两边平方可得1＋2sin 2αcos 2α＝125，即sin 2αcos 2α＝－1225，所以联立sin 2α＋cos 2α＝－15，可得sin 2α＝35，cos 2α＝－45，所以tan 2α＝－34，再由tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得tan α＝3或tan α＝－13，因为α为锐角，所以tan α>0，所以tan α＝3，故选A. 答案：A12．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－113．设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析：法一：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105.法二：由于θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105. 答案：－10514．若f (α)＝k ＋＋αk ＋－α]k π－αk π＋α(k ∈Z)，则f (2 017)＝__________. 解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z)，原式＝n π＋π＋αn π＋π－αn π－αn π＋α＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z)， 原式＝n ＋＋αn ＋－α]n ＋－αn ＋＋α]＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1. 综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 017)＝－1. 答案：－115．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________．解析：∵sin A ＋cos A ＝15 ①，①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，则(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC的内角，∴sin A >0，又sin A cos A ＝－1225<0，∴cos A <0，∴sin A －cos A >0，则sin A －cos A ＝75 ②.由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.答案：－43。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
知识梳理
双基自测
1 2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β .
(3)tan(α±β)=
tan������±tan������
)
1 D.2
A.- 2
√3
B. 2
√3
1 C.-2
关闭
sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80° =sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(10°+20°)=sin D
1 30°=2.
-5解析 关闭
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
3.若 tan θ=-3,则 cos 2θ= A.4 5
B.-
1 2
π 6
+sin αsin ������C.
√3
π 3
=( D理12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为 始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α= 1 ,则cos(α-β)= . 3
(1)A (2)-
7 9
-10-
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
-������ =sin = ,
故选 A. (2)(方法一)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数 1 定义可得 sin β=sin α= ,cos β=-cos α,因此 ,cos(α- β)=cos αcos β+sin
αsin β=-
2 √2 3
2
+
【配套K12】[学习]2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第五节 两角和与差的正
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第五节 两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业 A 组——基础对点练1．设sin(π－θ)＝13，则cos 2θ＝( )A ．±429 B.79C ．－429D ．－79解析：因为sin(π－θ)＝sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79，故选B.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B ．12 C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B ．16 C.57D ．56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝( )A ．1B ．12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为( )A.14 B ．78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为±14，故选C.答案：C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 答案：C7．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan(α＋π4)的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．－1或3解析：∵2sin 2α＝1＋cos 2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α，①当cos α＝0时，α＝k π＋π2，此时tan(α＋π4)＝－1，②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3，综上所述，tan(α＋π4)的值为－1或3.答案：D8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B ．13 C.12D ．23解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.答案：A9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D ．78解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.答案：A10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α的值是( ) A.2325 B ．15 C ．－15D ．－2325解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2325.答案：A11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34. 答案：C12．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15 B ．14 C.13D ．12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 答案：D13．已知tan α＝3，则cos 2α＝________.解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝2·cos 2αsin 2α＋cos 2α－1＝2×1tan 2α＋1－1＝－45. 答案：－4514．(2018·长沙市模拟)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为________．解析：由tan α－tan β＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＝α－βcos αcos β＝3，解得cosαcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝33－12. 答案：33－1215．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝45， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45. 答案：－45B 组——能力提升练1．(2018·洛阳市模拟)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°·cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°， ∴a ＞c ＞b . 答案：D2．(2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝－22(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D ．π4<β<α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.答案：B4．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B ．1＋538C.1－358D ．1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A5．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π3＋α)]的值是( )A.79 B ．13 C ．－13D ．－79解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π3＋α)]＝cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－79.答案：D6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.答案：C7．已知sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.答案：A9．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C. 答案：C10．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B ．210C.5210D ．7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210. 答案：A11．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos2θ22sin θ2cos θ2＋2sin2θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝1tanθ2＝12， 所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：D12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝__________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－15613．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝__________.解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π314．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－α＋tan α1－β－αα＝17.精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 答案：1715．已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1， ∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45， ∴sin θ＋cos θ＝－15. 答案：－15。
高考数学一轮复习第三章第3课时两角和与差的正弦课时作业理新人教版
第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) G a - B):cos( a-B )=⑵G “+直):cos( a+ B )=⑶S( a+B):si n( a+ B )=⑷S a - B) :si n( a-B )=T( a+B):ta n( a+ B )=⑹T:tan( a-B )=_( a - B)2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S?a:sin2 a = ______________ ;(2) C2 a:cos2 a= ______ = ______ = ________ ;(3) T2a:tan2 a = __________ .3. 函数f ( a) =a cos a +b sin a (a, b 为常数), 可以化为,其中0可由a,b的值唯一确定1.（教材改编）下列各式的值为的是（）.A. B. 1 -2sin 275C. D. sin15 ° cos152.已知sin a = ,则cos( n -2 a )等于3. (cos15 ° - cos75°)(sin75 ° +sin15 °)等于( ).4. （课本精选）化简：sin200 ° cos140°-cos160° sin40 °= ______5. （教材改编题）tan20 ° +tan40 ° +tan20 ° tan40 ° = .♦一个源头公式cos( a -卩)是所有公式的源头，其他公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出♦两个技巧(1)折角、拼角技巧：2 a = a +3)+( a -卩)；a= a +卩)-卩；(2)化简技巧：切化弦、“1 ”的代换等.公式有正用、逆用、变形用•如:♦三种应用公式有正用、逆用、变形用•如:考向一三角函数的化简例1化简:⑴⑵【审题视点】(1)分子展开消去1,目标把COS a约去化为整式(2)中分母切化弦，分子配方降幕，进行约分.【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看“角”：通过分析角之间的差异与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”：尽可能统一函数名，如弦切互化；三看“结构特征”：分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“分式通分，根式的被开方数升幕去根号”等•1. 化简: .考向二三角函数的求值例2 （2013 •福建龙岩质检）计算sin68 ° sin67 ° -sin23 ° cos68°的值为（）.审题视点】给角求值: 非特殊角化为特殊角【方法总结】 (1)给角求值的关键是正确地选用公式 ，以便把非特殊角的三角函数相消 ，从而化为特殊角的三角函数•(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式 值代入，从而达到解题的目的•.一般可以适当变换已，便于将已知式求得的函考向三三角函数的给值求角例3 (2014 •广东)已知函数,且(1)求A的值;(2) 若审题视点】本题考查三角函数图象的性质【方法总结】1. 三角函数的给值求角问题的一般思路(1) 求出该角的某一三角函数值;(2) 确定角的范围;(3) 根据角的范围写出角.2. 三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时, 尽量选择在该角所在范围内是单调的函数可以, 这样, 由三角函数值才唯一确定角(1)若角的范围是⑵若角的范围是(0, n ),选余弦较好(3)若角的范围为典例 （2014 •山东）在△ ABC 中,角 AB, C 所对的边分别为a , b , c.已知a=3.,选正、余弦皆可,则选正弦.⑴求b的值；⑵求厶ABC的面积.1. ____________________________________________________________________ (2014 •全国新课标II)函数f(x)=si n( x+0 )-2sin 0 cos x的最大值为_________________________ .2. (2014 •湖南)如图所示，在平面四边形ABCD中，DA丄AB, DE=, EC=EA=2, /ADC=■ NBECU3泪 sinN C E s q f w -(2)泪 O T m l -3・(2014 • HBf )口再®^f (x u (a+2cos x)cos(2 x +6 )R ^®^(1)求a, e的值;(2) 若的值.参考答案与解析1. (1) cos a cos 卩+sin a sin 卩(2) cos a cos 卩-sin a sin 卩(3) sin a cos 卩+ cos a sin 卩(4) sin a cos 3 - cos a sin 卩1-2sin 2a2cos2a - 1 2. (1) 2sin a cos a 2 . 2 cos a -sin a1. D2. B3. C4.5.【例2】B 解析:sin68 ° sin67 ° - sin23 ° cos68°=sin68 ° cos23° - cos68° sin23=sin(68 ° - 23°)=sin45 °, 故选B.1.1 解析：f(x)=sin( x+0 )-2sin 0cos x=sin x cos 0+ cos x sin 0 -2sin 0 cos x=sin x cos 0 - cos x sin 0 =sin( x- 0 ),其最大值为1.2.设/ CED a.(1)在厶CD冲,由余弦定理，得E C=C D+D E-2CD・ DE- cos / EDC于是由题设，知7=C D+1+CD即cD+CD6=0,解得CD：2(CD=3舍去).。
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余
α 3 解析：因为 sin ＝ ， 2 3 所以 cos α＝1－2sin
2α
＝1－2× 2
3 2 1 ＝ . 3 3
答案：C
π 6 2．(2018· 温州模拟)已知 sin x＋ 3cos x＝ ，则 cos －x＝ 5 6
________.
π 解析：∵ cos －x＝ cos 6
π cos －α＝ cos 6
答案：C
1 2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝ f(x)，则 tan 2x 的 2 值是 2 A．－ 3 4 B．－ 3 4 C． 3 ( 3 D． 4 )
1 1 解析：因为 f′(x)＝cos x＋sin x＝ sin x－ cos x， 2 2 所以 tan x＝－3， －6 3 2tan x 所以 tan 2x＝ ＝ ，故选 D. 2 ＝ 1－tan x 1－9 4
必
过
易
错
关
1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件， 要注意和、 差、 倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注 意“1”的各种变通． 2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的 角的范围．
[小题纠偏]
α 3 1．若 sin ＝ ，则 cos α＝ 2 3 2 A．－ 3 1 C． 3 1 B．－ 3 2 D． 3 ( )
tan(α＋ β)的值为 (
)
29 A． 41 1 C． 41
1 B． 29 D． 1
答案：D
3．化简 cos 18° cos 42° － cos 72° sin 42°的值为 ________．
1 答案： 2
3 4． (教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________. 5 7 答案： 25
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后习题 新人教A版必修
高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、A组1.在△ABC中，sin A sin B〈cos A cos B,则△ABC是（）A。
直角三角形B。
钝角三角形C。
锐角三角形 D.等腰三角形解析:由题意,得cos A cos B-sin A sin B>0，则cos（A+B）〉0,所以cos（π—C）>0，即cos C<0,所以∠C是钝角.故△ABC是钝角三角形。
答案:B2。
(2016•陕西渭南阶段性测试）若sin（α-β)cos α-cos（α-β)sin α=m,且β为第三象限角，则cos β的值为(）A.B。
—C。
D。
—解析：∵sin(α-β）cos α-cos（α-β）sin α=m,∴sin [（α—β)—α］=-sin β=m,即sin β=—m。
又β为第三象限角，∴cos β<0. 由同角三角函数的基本关系可得cosβ=—=—，故选B.答案:B3。
已知sin α=，α是第二象限角，且tan(α+β）=-,则tan β的值为（）A.-B.C.-D。
解析:∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α=—，∴tan α=—.tan β=tan [（α+β）—α]===—。
【创新方案】高考数学(理)一轮复习配套文档：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切【考纲下载】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β， cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β，tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.1．两角和与差的正弦、余弦公式对任意角α，β都成立吗？ 提示：都成立．2．两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？其适用条件是什么？提示：在公式T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．3．函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的最大值和最小值各是什么？ 提示：最大值为a 2＋b 2，最小值为－a 2＋b 2.1．(2013·江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．(教材习题改编)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 解析：选C sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos(34°＋26°)＝－cos 60°＝－12.3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141D ．1 解析：选D tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.4．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3 5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.解析：∵tan (20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3易误警示(三)三角函数求角中的易误点[典例] (2013·北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． [解题指导] 先利用倍角公式化简f (x )的解析式，然后求解．[解] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[名师点评] 1.解决本题易忽视α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，由sin⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1，得出4α＋π4＝π2，从而得到α＝π16的错误结论．2．在解决三角函数求角中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2.∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.。
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课时规范练 A 组 基础对点练1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：C2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1B.12C.32 D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．(2018·江西新余三校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为( ) A.14 B.78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝12⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：C7．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝⎝⎛⎭⎫cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 答案：D8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16B.13C.12D.23解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 答案：A9．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C.14D.78解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.答案：A10．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34.答案：C11．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.答案：D12．cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22.答案：2213．已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3.答案：314．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________． 解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π15．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝45， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45.答案：－45B 组 能力提升练1．(2018·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 答案：D2．(2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故cosα＋sin α＝－26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 答案：B4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又 tan β·tan C ＝1－2，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1.由已知，有tan A ＝－tan(B ＋C )，则tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A5．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A6．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π3＋α)]的值是( )A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π3＋α)]＝cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－79.答案：D7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45B ．－45C.35 D ．－35解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.答案：C8．已知sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝cos 2 α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C.⎣⎡⎦⎤－π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A. 答案：A10．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5＝3sin π5sin π5＝3，故选C. 答案：C11．若tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B.210C.5210D.7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎡⎦⎤35＋⎝⎛⎭⎫－45＝－210. 答案：A12．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ22sin θ2cos θ2＋2sin2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝1tan θ2＝12，所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：D13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝__________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－15614．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝__________. 解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，故α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π315．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan [(β－α)＋α]＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)·tan α＝17.答案：1716．(2018·吉林东北师大附中联考)已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1，∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.答案：－15。