2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第七章第二节简单几何体的表面积与体积Word版含解析.

课时规范练 A 组基础对点练1体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ）A . 12 n B.32nC . 8 nD . 4 n解由正方体的体积为 8可知，正方体的棱长 a = 2•又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R = 3a （R 为正方体外接球的半径），所以R = ,3,故所求球的表面积 S = 4%R 2=12 n.答案：A2.平面a 截球0的球面所得圆的半径为 1,球心O 到平面a的距离为一 2,则此球的体积为 ( ) A. 6 n解析：设球的半径为R ,由球的截面性质得 R = . 2 2+ 12=寸3，所以球的体积 v = 4n R 3=4 3n. 答案：B 3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）4 D.4解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示,A. 32 3B.C .8止住）视圏1i i 8V = V 柱+ V 锥=—X (1 + 1) X 1X 2 +— X —X (1 + 1) X 1 X 2=—,故选 C.2 — 2 — 答案：C4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的三视图，则A . 24 nB . 29 nC . 48 nD . 58 n解析：如图，在3X 2 X 4的长方体中构造符合题意的几何体 （三棱锥A BCD ），其外接球即该几何体外接球的表面积为 （为长方体的外接球，表面积为4T R 2= n （3+ 22+ 42）= 29 n.答案：B5. （2018西安质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4 5代3 B.27C.3 D . 3解析：根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+ V三棱锥=~1X 2 X 1 X 1+ 1X 1X 2 X 1X 1 = 4.故选A.答案：A6. （2018山西四校联考）若三棱锥P ABC 的最长的棱PA = 2，且各面均为直角三角形，则 此三棱锥的外接球的体积是 _______________ .解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接1 4 Q 4球，易得外接球的半径 R = 2PA = 1,所以该三棱锥的外接球的体积V = -X nX 13= 3 n.4 答案：4n7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2的球O 的球面上，且 AB = 3, BC =〔 3,过点D 作 DE 垂直于平面 ABCD ，交球O 于E ,则棱锥E ABCD 的体积为 ________________.解析：如图所示，BE 过球心O ,「. DE = 42- 32- 3 2= 2, 1二 V E -ABCD = 3X 3X 3X 2 = 2 3. 答案：2 3&已知 H 是球O 的直径 AB 上一点，AH : HB = 1 : 2, AB 丄平面 a, H 为垂足, 所得截面的面积为 n 则球O 的表面积为 _____________解析：如图，设截面小圆的半径为 r ，球的半径为 R ,因为AH : HB = 1 : 12, 所以OH = -R.由勾股定理，有 R 2= r 2+ OH 2,又由题意得 n 2= n,则r =1，故R^ = 1+（扌旳2,即卩R^=9.由球的表面积公式，得 s = 4 n R 2= 95答案：字9. （2016高考全国卷H ）如图，菱形 ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交BD 于点 比将厶DEF 沿EF 折到△ D ' EF 的位置.a 截球O(1) 证明：AC 丄 HD ';(2) 若 AB = 5, AC = 6, 解析：（1）证明：由已知得 AC 丄BD , AD = CD.由此得 EF 丄HD , EF 丄HD '，所以AC 丄HD ', 小 OH AE 1(2)由 EF // AC得DO =AD =4.由 AB = 5, AC = 6 得 DO = BO = AB 2 — AO 2= 4. 所以 OH = 1, D ' H = DH = 3.于是 OD ' 2+ OH 2= (2 2)2 + 12= 9= D ' H 2, 故OD '丄OH. 由(1)知，AC 丄 HD '，又 AC 丄 BD , BD n HD ' = H , 所以AC 丄平面BHD '，于是AC 丄OD '.又由OD '丄OH , AC n OH = O ,所以OD '丄平面 ABC.DHDO119 69五边形ABCFE 的面积S =产6 X 8 — § X 产3=孑 所以五棱锥D' -ABCFE 的体积V = 3 X 69X 2 2= 23^2.3 4 2 10•如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形, 点，SA = SB = 2, AB = 2 3, BC = 3. （1）证明：SC //平面BDE ;⑵若BC 丄SB,求三棱锥 C BDE 的体积.解析：（1）证明：连接 AC ,设AC n BD = O , •••四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点.在厶ASC 中，E 为AS 的中点，••• SC// OE , 又 OE?平面 BDE , SC?平面 BDE ,• SC //平面 BDE .D 1又由AE = CF 得 AE _ A D =CFCD ，故 AC // EF. 5 一4 =E A=2 2，求五棱锥 D ' -ABCFE 的体积.(2) •/ BC 丄AB, BC 丄SB, AB A SB= B,••• BC 丄平面SAB,又BC // AD AD 丄平面SAB.•/ SC//平面BDE ,•••点C与点S到平面BDE的距离相等，•V C BDE = V S BDE=V D SBE,在厶ABS 中，SA= SB= 2, AB= 2 3,1•- S A ABS= 2 X 2 ,3 X 1 = 3.又T E为AS的中点，• S A BES=*S A ABS=又点D到平面BES的距离为AD,•V D BES=^S A BES AD = 3= 23,•- V c BDE =于，即三棱锥C BDE的体积为于.B组能力提升练1•一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()112B. 3 nD . 28 n解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为的正方形，高是2 ,3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面A • 36 nC. 32 n是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球•三棱柱的底 面是边长为 4的正三角形，•••底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2 3 = 3答案：B2. （2018广州模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称 为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA 丄平面ABC , PA = AB = 2, AC = 4，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的 表面积为（ ）A . 8 nB . 12 nC . 20 nD . 24 n解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心 O ,易得2R = PC ={20,所以R =¥°,球O 的表面积为4K R 2= 20n 选 C.答案：C 3.在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球•若 AB丄BC , AB = 6, BC = 8, AA 1= 3，则V 的最大值是（ ）9 nA . 4 n B.y 32 nC . 6 nD. 3解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求 得球的半径为2,球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下 底面相切，此时球的半径 R = 3，该球的体积最大，V max = 4n R 3= 4兀>< 27=聖23 3 8 2答案：B4. 四棱锥S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同 一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时， 其表面积等于8+ 8 3,则球O 的体积等于（ ）112 n故选B.二外接球的半径3 28S = 4n R =4nxg =解析：依题意，设球O 的半径为R ,四棱锥S ABCD 的底面边长为a 、高为h ，则有h < R , 1 2 2R 3即h 的最大值是R ,又AC = 2R ,则四棱锥S ABCD 的体积V s ABCD = 3X 2R 2 3hWg.因此，1当四棱锥 S ABCD 的体积最大，即 h = R 时，其表面积等于 (.2R)2+ 4X X 2R X答案：A35•多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ____________ cm .解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥D ABC 中，底面ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为E ,则底 边AB 及底边上的高 CE 均为4,侧棱AD 丄平面ABC ，且AD = 4,所1 11 32以三棱锥 D ABC 的体积 V = ~S A ABC AD = 3 X - X 4X 4X 4 = ~3(cm ‘).3 3 2 32解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE(图略)，贝y E 为正方形ABCD 的中心.由题意可知-3X ( ,3)2X OE =乎，所以OE = ¥,故球的半径 R = OA = OE 2+ EA 2=. 6，则球的表面积3S = 4 T R =24 n.答案：24 n7.如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA = 6•顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D , D 在平面FAB 内的正投影为点 E ,连接PE 并延长交AB 于点G.6.已知正四棱锥O ABCD 的体积为-2一，底面边长为 3，则以O 为球心，OA 为半径的答案:球的表面积为 _________A. 32 n 32 2 n 3C . 16 n8+ &,3,解得R = 2，因此球O 的体积等于4 T R 3_ =32 n选A. 323B.正视图D(1)证明：G是AB的中点；⑵在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积. 解析：⑴证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB丄PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB丄DE.因为PD A DE = D ,所以AB丄平面PED，故AB丄PG.又由已知，可得PA = PB,所以G是AB的中点.⑵在平面PAB内，过点E作PB的平行线交FA于点F, F即为E在平面FAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB丄PA, PB丄PC,又EF // PB，所以EF丄PA, EF丄PC.因此EF丄平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.2由⑴知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD = 3CG.32 1由题设可得PC丄平面PAB, DE丄平面PAB，所以DE // PC,因此PE = "PG , DE = §PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA= 6,可得DE = 2, PE = 2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF = PF = 2,11 4所以四面体PDEF的体积V= - X-X 2X 2 X 2 =-.3 2 3&如图所示，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE ;(2) 求三棱锥E ABD的侧面积和体积.解析：(1)证明：在厶ABD 中，T AB= 2, AD = 4,/ DAB = 60° ••• BD = AB2+ AD2- 2AB ADcos/ DAB = 2 3.••• AB2+ BD2= AD2,：AB 丄BD.又平面EBD丄平面ABD，平面EBD门平面ABD = BD , AB?平面ABD , •AB 丄平面EBD.又DE?平面EBD , • AB 丄DE.(2)由⑴知AB丄BD.•/ CD // AB, • CD 丄BD，从而DE丄BD.在Rt△ DBE 中，T DB = 2 3, DE = DC = AB = 2,1•-S A EDB= ^DB DE = 2 3.•/ AB 丄平面EBD, BE?平面EBD, • AB丄BE.T BE = BC= AD = 4,•S A EAB= ^AB BE= 4.•/ DE丄BD，平面EBD丄平面ABD ,•ED丄平面ABD，而AD?平面ABD,1--ED丄AD，…S A EAD = ?AD DE = 4.综上，三棱锥 E ABD 的侧面积S= S A EDB+S A EAB + S A EAD = 8+ 2 3.•/ DE丄平面ABD,且S A ABD = EBD = 2\!3, DE = 2,•V E ABD = ^S A ABD DE = 1X 2；?3 X 2 = 433.。