2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第一节数列的概念与简单表示法 Word版含解析

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2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习5.1 数列的概念与简单表示法教学设计及答案

第一节列的概念与简单表示法列的概念及表示方法(1)了解列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解列是自变量为正整的一类函．知识点一列的概念1．列的定义按照一定顺序排列的一列称为列，列中的每一个叫作这个列的项．排在第一位的称为这个列的第1项(通常也叫作首项)．2．列的分类易误提醒1．由前n 项写通项、列的通项并不唯一．2．易混项与项两个不同的概念，列的项是指列中某一确定的，而项是指列的项对应的位置序号．[自测练习]1．列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)解析：观察列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是列{a n }中的项 B ．只是列{a n }中的第2项 C ．只是列{a n }中的第6项 D ．是列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是列{a n }中的第2项或第6项．答案：D知识点二列与函关系及递推公式 1．列与函的关系从函观点看，列可以看作定义域为正整集N ＋(或它的有限子集)的函，当自变量从小到大依次取值时，该函对应的一列函值就是这个列．2．列的递推公式如果已知列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n－1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式表示，那么这个公式叫列的递推公式．必记结论 a n 与S n 的关系若列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一由列的前几项求列的通项公式|1．下列公式可作为列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－n＋12 C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….答案：C2．根据列的前几项，写出各列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各都是偶，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒，且奇项为负，偶项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n n ＋.(3)这是一个摆动列，奇项是a ，偶项是b ，所以此列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇，b ，n 为偶.(4)这个列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求列的通项公式的两个技巧(1)根据列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转为一些常见列的通项公式求．(2)对于正负符号变，可用(－1)n 或(－1)n ＋1调整．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面列{an }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段写．已知各项均为正的列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.考点三由递推关系式求列的通项公式|递推公式和通项公式是列的两种表示方法，它们都可以确定列中的任意一项，只是由递推公式确定列中的项时，不如通项公式直接．归纳起常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .4．形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .探究一形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 1．在列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)．解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n.探究二形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以an ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n2＋n2.探究三形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以列{a n ＋1}为等比列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n－1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)，求a n .4．已知列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差列．∴1a n＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．已知列的递推关系，求列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．1．形如a n＝a n－1＋f(n)(n≥2，n∈N*)时，用累加法求解．2．形如a na n－1＝f(n)(a n－1≠0，n≥2，n∈N*)时，用累乘法求解．3．形如a n＝a n－1＋m(n≥2，n∈N*)时，构造等差列求解；形如a n ＝xa n－1＋y(n≥2，n∈N*)时，构造等比列求解．16.函思想在列中的应用【典例】已知列{a n}．(1)若a n＝n2－5n＋4.①列中有多少项是负？②n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．(2)若a n＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有a n＋1>a n成立．求实k的取值范围．[思路点拨] (1)求使a n<0的n值；从二次函看a n的最小值．(2)列是一类特殊函，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴列中有两项是负，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该列是一个递增列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的列通项公式可以看作是一个定义在正整集上的二次函，因此可以利用二次函的对称轴研究其单调性，得到实k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了列作为函的特殊性，即自变量是正整．3．在利用二次函的观点解决该题时，一定要注意二次函对称轴位置的选取．[跟踪练习] 已知列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.A 组考点能力演练1．已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B ．156 C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由列递推关系式，推得列{a n }是周期变的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：列{a n }是周期变的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋n 为奇，2a nn 为偶，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查列的基本性质．代入得a 4＝a 3＋2＝10，a 5＝2a 4＝20.答案：C4．在列{a n }中，有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．200B ．300C ．298D ．299解析：由题意，知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，所以列{a n }是周期为3的周期列，则a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 97＝a 100＝2，a 2＝a 5＝…＝a 98＝4，a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 99＝3，所以列的前100项和为(a 1＋a 2＋a 3)×33＋a 100＝299，故选D.答案：D5．已知在列{a n }中，a 1＝2，a 2＝7，若a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2 016的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4；因为a 2a 3＝7×4＝28，所以a 4＝8；因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2；因为a 4a 5＝8×2＝16，所以a 6＝6；因为a 5a 6＝2×6＝12，所以a 7＝2；因为a 6a 7＝6×2＝12，所以a 8＝2；依次计算得a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，所以从第3项起，列{a n }成周期列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a 2 016＝6.答案：B6．已知在列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，若对任意的正整n ，m (n >m )，有a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，则a 2 015＝________.解析：令n ＝2，m ＝1，则a 22－a 21＝a 1a 3，得a 3＝－1；令n ＝3，m ＝2，则a 23－a 22＝a 1a 5，得a 5＝1；令n ＝5，m ＝2，则a 25－a 22＝a 3a 7，得a 7＝－1，所以猜想当n 为奇时，{a n }为1，－1,1，－1，…，所以a 2015＝－1. 答案：－17．若列{(n －a )2}是递增列，则实a 的取值范围是________．解析：由题意得，对任意的n ∈N *.(n ＋1－a )2>(n －a )2恒成立，即2a <2n ＋1恒成立，所以2a <(2n ＋1)min ＝3，则a <32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，328．(2016·蚌埠检查)已知列{a n }满足：a 1为正整，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， a n 为偶，3a n ＋1， a n 为奇，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实p 的取值范围．解：由题意得，c 8是列{c n }中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B. 答案：B2．(2011·高考四川卷)列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该列从第2项开始是以4为公比的等比列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝，3×4n －2n，∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________.解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的列，∴a 1＝a 7＝12.答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x .各项均为正的列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n ，a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012，即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0，∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2 006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n＝n n ＋2，则1a n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和 S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.答案：2011。

新高考一轮复习人教A版第5章第1节数列的概念课件(69张)

D．1＋n＋ln n
解析：因为an＋1－an＝ln
n＋1 n
＝ln (n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
3．数列的分类分类标准项数
项与项间的大小关系
类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列
常数列
an＋1_>_an an＋1_<_an an＋1＝an
满足条件项数有__限__ 项数无__限__
其中n∈N*
4．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列__表__法__、图象法和解__析__法__．
3 2
，1，
7 10
，
9 17
，则这个数列的一个通项公式是an＝
________．解析：数列{an}的前4项可变形为21×21＋＋11 ，22×22＋＋11 ，23×23＋＋11 ，24×24＋＋11 ，故an＝
2n＋1 n2＋1
．
答案：2nn2＋＋11
4．数列{an}的项为－1，32 ，－13 ，34 ，－15 ，36 ，…，则{an}的一个通项公式是 ____________．
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，所以an＝2nn－1 (n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
2，n＝1，所以an＝2nn－1，n≥2.
(3)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1

[推荐学习]2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第三节等比数列及其前n项和 Wo

课时规范练 A 组基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1，故选A.答案：A5．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫23n －1，S n ＝a 1(1－q n)1－q＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝3－2⎝⎛⎭⎫23n －1＝3－2a n ，故选D. 答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn }为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn ，∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列． (2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n .B 组能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时， a 1＝a 2＝a 3＝9， ∴S 3＝3×9＝27.当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q ，∴27＝a 1－9q 1－q ，∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2， ∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 答案：D3．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在解析：∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ⎣⎡⎦⎤16(m ＋n ) ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等号)， ∴1m ＋4n 的最小值是32. 答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由已知S n ＋a 1＝2a n ，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1), 解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，则a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：347．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 8．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.解析：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n＝n ·22－n＝4n 2n . (2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.。

近年届高考数学一轮复习第五章数列课堂达标26数列的概念与简单表示法文新人教版(2021年整理)

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课堂达标(二十六）数列的概念与简单表示法［A基础巩固练]1．数列0,1,0，－1，0，1,0，－1，…的一个通项公式是a n等于( ）A.错误!B．cos错误!C．cos错误!π D．cos错误!π［解析］令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项,易得D正确．[答案］D2．数列｛a n｝满足a n＋a n＋1＝12(n∈N＊),a2＝2，S n是数列{a n｝的前n项和，则S21为( ）A．5 B。

错误!C.错误!D。

错误!［解析]∵a n＋a n＋1＝错误!，a2＝2，∴a n＝错误!∴S21＝11×错误!＋10×2＝错误!.［答案］B3．(2018·福建福州八中质检）已知数列｛a n}满足a1＝1,a n＋1＝a错误!－2a n＋1（n∈N*），则a2 017等于( )A．1 B．0C．2 017 D．－2 017[解析］∵a1＝1，∴a2＝(a1－1）2＝0，a3＝（a2－1）2＝1，a4＝(a3－1）2＝0，…，可知数列{an｝是以2为周期的数列，∴a2 017＝a1＝1.[答案］A4．对于数列{a n}，“a n＋1>｜a n|(n＝1，2，…)”是“｛a n}为递增数列”的（)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件[解析］当a n＋1〉｜a n|（n＝1，2，…)时，∵|a n|≥a n,∴a n＋1>a n，∴｛a n}为递增数列．当{a n｝为递增数列时，若该数列为－2,0，1，则a2>｜a1|不成立，即知：a n＋1>|a n｜（n＝1,2，…)不一定成立．故综上知,“a n＋1〉｜a n|（n ＝1，2，…)”是“{a n｝为递增数列"的充分不必要条件．[答案］B5．设曲线f（x）＝x n＋1（n∈N＊）在点（1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1·x2·x3·x4…x2 017等于（)A。

2020年一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第一节数列的概念与简单表示法Word版含解析.d

课时规范练A 组基础对点练1设数列｛a n ｝的前n 项和S n = n 2 + n ,贝V a 4的值为( )A . 4B . 6C . 8D . 10解析： a 4= S 4 — S 3= 20— 12 =8. 答案： C2.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1= 1 , 5= 2a n + 1,则S n =()B.P 1 c ®1n — 1A . 2 1D?n -1解析：由已知 Sn = 2an + 1 得S=2(Sn +1 — 5),即 2S n + 1 = 3Sn ,Sn 1 2，而 S 1= a 1= 1，所以 S n S n=3 n — 1,故选 B.答案：B3.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S n = 2a n — 4, n € N ,n +1nA . 2B . 2n —1n —2C . 2D . 2则 a n =( )解析：• a n +1 = S n +1 — S n = 2a n +1 — 4 — (2a n — 4)，…a n +1 = 2a n , - a 1 = 2a 〔一 4,• • a 〔 = 4,・•数列｛ a n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列，• a n = 4 2n 1= 2^1，故选A. 答案：A4.在数列｛a n ｝中，a 1 = 1, a n a n -1= a n -1 + (— 1)n(n >2,祇N *），则譽的值是（）A 15 A.花c 15 B.?3c・解析：由已知得 a 2= 1 + (—1)2= 2,• 2a 3= 2+ (—1)3,a 3 = 2 二 |a 4=； + (— 1)4, a 4 = 3,・3a 5 = 3 +(— 1)5，二 a 5= 3,• a 3= l x 3= 3 'a 5 2 2 4.答案：C5. （2018唐山模拟）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若 a 4= 32，则 a 1 =解析： • S n = 1, a 4 = 32,.255a i 63a i 1…—32，…a i ——33 12'1答案：16.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n —2n ,则a 3+ a 4 —解析：当 n 》2 时，a n — 2n -2n -1 — 2n -1,所以 a 3 + a 4— 22+ 23— 12. 答案： 12n + 27.已知数列｛a n ｝中，a i — 1，前n 项和S n — ^~an .3 (1)求 a 2, a 3；⑵求｛a n ｝的通项公式.4解析：(1)由?2— ?a 2 得 3(a 1 + a 2)— 4a 2,解得 a 2— 3a 1 — 3.5由 S 3 — §a 3 得 3(a 1+ a 2+ a 3)— 5a 3, 3解得 a 3 — 2(a 1+ a 2)— 6.于是a 1 — 1, a 2 —討，a 3—务2,…,_ n _ n + 1 %-1—n —2处-2,a n —7亦-1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n —呼1.显然，当n — 1时也满足上式.综上可知，｛a n ｝的通项公式a n — 峯严.&已知数列｛a n ｝的通项公式是a n — n 2+ kn + 4. (1)若k —- 5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值;⑵对于n € N *，都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围. 解析：(1)由 n 2- 5n + 4<0，解得 1<n<4. 因为n € N *，所以n — 2,3, 所以数列中有两项是负数，即为a 2, a 3.(2)由题设知 a 1— 1.当n 》2时, 有 a n — S n — S n -1—专a n -宁a n -1,整理得a n —n +1 荷a n_1.因为 a n = n 2— 5n + 4 = n — 2 2 — 4,由二次函数性质，得当 n = 2或n = 3时，a n 有最小值，其最小值为 a 2 = a 3=— 2. ⑵由对于n € N *，都有a n + i >a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 a *= n 2+ kn + 4,可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n € N *，所以—号<|,即得k> — 3. 所以实数k 的取值范围为（一3 ,+^）.B 组能力提升练1.已知数列｛a n ｝满足 a i = 15，且 3a n +1 = 3a *— 2•若 a k a k +1<0，则正整数 k =（）A . 21B . 22C . 23D . 242 47 2解析：由 3a n +1= 3a n — 2 得 a *+1 = a n — 3,则｛a n ｝是等差数列，又 a 1= 15，二 a n = — — §na k+1<0,「.47— |k •45 — |k <0,••• 45<k<47,••• k = 23.故选 C.答案：Ca n — 1 a n a n a n +1 〒 =h （n > 2），则这个数列的第10项等1 A .210 1 C .1答案：C故选B.答案：B4. （2018临沂联考）观察下列各图，并阅读图形下面的文字，贝U10条直线相交，交点的个数2.如果数列｛a n ｝满足a 1 = 2 , a ?= 1,且 a n + 11 B .29解析：T 二色=an — an +11—』a n—1a n + 1a n—1a n +1並—1,即直+-a ^=2 ,.••」，12a n—1a n + 1 + a n—1a n +1a n,故」'■an 」是等差数列.又•••d = 1 —丄 1a 2 a 1 2'11 1 1a1=1+9x2=5,故a 10=i3.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且 a 1= 1, ｛ S n + na n ｝为常数列,则 a n =()1 A ・3n—C _C . n + 1 n + 25 — 2n D . 丁解析：由题意知，S n + na n = 2,当n 》2时,S n -1+ (n — 1)a n -1 =2 , --(n + 1)a n = (n—1)an -1 ,a 2 a 3 a 4从而_ • •a 1 a 2 a 3 a n = 12 a n -1= 34，则 a n =n + 12 2nn + 1 '当n = 1时上式成立'所以a n = nn + 1，最多是（）6. ________________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝中，a 1= 1，若a n = 2a .-1 + 1(n 》2)，则的值是 ______________________________________解析：T a n = 2a n —1 + 1，— a n + 1 = 2(a n -1+ 1),A . 40B . 45C . 50D . 55解析：设n 条直线的交点个数为 a n （n 》2），则「a 3— a 2= 2,a — a = 3, a io — a g = 9.累加得 a io — *2= 2+ 3 + …+ 9,a 10 = 1 + 2 + 3 + …+ 9 = 45.答案：B5. 现定义 a n = 5n + 5 n ，其中 n € 秸，5, *, 1:贝U a n 取最小值时，n 的值为 _______________1解析：令5n = t>0,考虑函数y =t +1，易知其在（0,1］上单调递减，在（1,+^）上单调递增，且当t = 1时，y 的值最小，再考虑函数 t = 5x ,当0<x W 1时，t € （1,5］，则可知a = 5n + 1 n在（0,1］上单调递增，所以当n =1时，a n 取得最小值.答案:丄10a n + 1a n -1+1=2，又a 1= 1,.・. ｛a n + 1｝是以2为首项, 2为公比的等比数列，即a n + 1 = 2X 2n2条直线相交 3条出线相交 4锵直线相交绘多有1亍套点域彩冇亨个交点厳當有方个交点由a n + 2 — a n = 4知，数列｛ a 2n ｝和｛a 2n —l ｝都是公差为4的等差数列，二a 2n = 3+ 4( n — 1) == 2(2 n) —1, a 2n -1= 1 + 4(n — 1) = 2(2n — 1) — 1, — a n = 2n — 1.&已知数列｛a n ｝中，a 1 = 3, a 2 = 5,其前 n 项和 0 满足 S n + S n ~2= 2S n -1+ 2 1(n 》3).(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；求最大值.解析：(1)由题意知 S n — S n -1= Sn -1 — Si -2+ 2“ 1(n > 3)，即 a n = a “-1 + 2n 1 (n >3)，二 a n = (a n —a n -1) + …+ (a 3 — a 2) + a 2= 2+ 2+ …+ 2 + 5= 2+ 2+ …+ 2 + 2 + 1 + 2= 2 +1(n > 3),经检验，知n = 1,2时，结论也成立，故a n = 2n + 1.25628- 2n*(2)b n = log 2 = log^2n = log 22= 8 — 2n ，n € N ，a 2n — I 2当 1< n w 3 时，b n = 8 — 2n>0;当 n = 4 时，b n = 8 — 2n = 0; 当 n 》5 时，b n = 8— 2n<0.故n = 3或n = 4时，5有最大值，且最大值为 &= S 4 = 12.1= 2n ,「. a 5 +1 = 25,即卩 a 5= 31.答案：317. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1, a n * 0, a *a n +1 = 4S n —1(n € N ). （1）证明：a n + 2—an =4；⑵求｛a n ｝的通项公式.解析：（1）证明：T a n a n +1 = 4S n — 1,--an + 1a n + 2 = 4Sn +1—1…an + 1 (a n +2—an ) = 4a n +1,又 an *，…an + 2—an =4・(2)由 a n a n +1= 4Sn — 1, a 1= 1,求得 a ?= 3,⑵若b n = log2562a 2n — 1,n € N *，设数列｛b n ｝的前n 项和为S,当n 为何值时, S n 有最大值？并。

高三数学一轮复习讲义数列的概念与简单表示法教案新人教A版

数列的概念与简单表示法自主梳理1．数列的定义按照________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．1．一定顺序排列每一个数定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2．通项公式：如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．2.第n 项 n 用一个公式3．数列有三种表示法：它们分别是_________、________、________. .解析法(通项公式或递推公式) 列表法图象法 4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n . 按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列 a n 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…4.有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列 > < ＝ 5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2.S 1 S n －S n －11.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列.(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现.(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *).自我检测1．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大 ( ) A ．10 B ．11 C ．10或11 D ．122.已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是 ( )A.a 12B.a 13 C .a 12或a 13 D.不存在3.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于( )A.1B .－1C.5D.－54．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 ( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－215．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ·n 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n·n n ＋32n ＋1C ．a n ＝(－1)n ·n ＋12－12n ＋1D ．a n ＝(－1)n·n n ＋22n ＋36．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是 ( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④7.已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__ a n ＝2n －1 (n ∈N *)________. 8.已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第___7_____项.9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝___.2n －11_______；数列{na n }中数值最小的项是第________项.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝___1n___.题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式探究点一由数列前几项求数列通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…. (6)23，415，635，863，1099，…；解题导引根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1.探究提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的各部分特征；④各项符号特征等，并对此应多进行对比分析、从整体到局部多角度观察、归纳、联想.. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整.变式训练1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)2，5，22，11，…；(4)3,5,7,9，…；(5)12，34，78，1516，3132，…；(6)－1，32，－13，34，－15，36，…；(7)3,33,333,3 333，….解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得 12，42，92，162，252，…，观察知，各项的分子是对应项数的平方，∴数列通项公式是a n ＝n 22.(3)将数列各项统一成f (n )的形式得 2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(4)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(5)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(6)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1nn 为正奇数3nn 为正偶数.(7)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1).题型二已知数列的递推公式求通项公式例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，(3)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．(4)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)；(5)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1 (n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.(3)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2. 方法二由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2a n －2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫121a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2 (4)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .(5)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解. 变式训练2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式.(1) a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3) 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1；(4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5) 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；(6) 在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.(7) 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n<12，2a n－1 12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 010的值为__37__．解 (1) ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n.∴a n －a n －1＝lnnn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1. ∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， ……a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！. (3) 将a n ＋1＝a n2a n ＋1取倒数得： 1a n ＋1＝2＋1a n，∴1a n ＋1－1a n＝2，又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列.∴1a n ＝1＋2(n －1)，∴a n ＝12n －1.(4)由已知a n >0，在递推关系式两边取对数. 有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3，令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3， ∴b n ＋1＋lg 3＝2(b n ＋lg 3)， ∴{b n ＋lg 3}是等比数列， ∴b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3，∴b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n ， ∴a n ＝32n－1.(5) 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列， ∴a n －n ＝(a 1－1)4n －1，∴a n ＝4n －1＋n .(6) 将a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0变形为a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，则数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝－6为首项，3为公比的等比数列，则a n ＋1－a n ＝－6·3n －1，利用累加法可得a n ＝11－3n.题型三由a n 与S n 的关系求通项a n例3 （1）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2.（2）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求{a n }的通项公式.解由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去. 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.探究提高 (1)已知{a n }的前n 项和S n ，求a n 时应注意以下三点：① a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况． ②由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”. ③由S n －S n －1＝a n 推得的a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1n ≥2.(2)利用S n 与a n 的关系求通项是一个重要内容，应注意S n 与a n 间关系的灵活运用. 变式训练3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n . 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1(n ≥2). (2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *). ①求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；②是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由.解 ①由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *).当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)·a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，4为公差的等差数列. 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *).②由S n ＝na n －2n (n －1)，得S n n＝2n －1 (n ∈N *)，∴S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007.题型四用函数的思想方法解决数列问题数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.例4已知数列{a n }. (1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立.求实数k 的取值范围.(1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续. 解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N *上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.(3)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．解方法一令⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧10n ＋10≥11n11n ＋11≥10n ＋20⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10n ≥9，∴n ＝9或n ＝10时，a n 最大，即数列{a n }有最大项，此时n ＝9或n ＝10. 方法二 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴数列{a n }中有最大项，为第9、10项．有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项，则用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.数列的概念与简单表示法一、选择题1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2.数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于( ) A.34B .55C.89D.1003.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A.a n ＝2(n 2＋n ＋1) B.a n ＝3·2nC.a n ＝3n ＋1 D .a n ＝2·3n二、填空题4.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝__4______.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为___－1_____，k 的值为__4____.6.已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝_ n 2＋1_______. 三、解答题7.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍).∴从第7项起各项都是正数. 一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为 ( )A.－3B.1C.2D .32.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A.5B .72C.92D.1323.数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A .6116B.259C.2516D.31151．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－24．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于 ( )A ．13 B.113 C ．11 D.1115．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为 ( )A ．5B .72 C.92 D.132二、填空题4.已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝__12______.5.数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112________.6.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝__4______.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *)________. 8．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是__n 2－n ＋62__________．三、解答题7.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 7.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1 (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性.可知1>a 1>a 2>a 3>a 4； a 5>a 6>a 7>…>a n >1 (n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…； (2)－1，32，－13，34，－15，36.9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…，∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．(2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13， a 4＝2＋14，…，∴a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn(n ∈N *)10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)； (2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得， a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，故a n ＝n (n ＋1)2.(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12.将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，故a n ＝1n(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n－111．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n . 11．(1)解 a 1＝S 1＝4对于n ≥2有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合， ∴{a n }的通项公式a n ＝4n将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1 (求b n 方法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1， T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n(求b n 方法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得 T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n(T 1－2)＝－21－n ， T n ＝2－21－n ， b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . b 1＝1也适合综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n . (2)证明方法一由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴c n ＋1c n <12·(2)2＝1，又c n ＝n 2·25－n >0，即c n ＋1<c n 方法二由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2] ＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1< c n .。

2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章第1节数列的概念与简单表示法

多维层次练28[A级基础巩固]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的() A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.答案：C2．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n不一定大于零，还有可能小于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，所以“a n>0”不是“数列{S n}是递增数列”的必要条件．所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．答案：A3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A ．31B ．42C ．37D ．47解析：由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案：D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n解析：由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，a nn ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n .答案：C5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则a n 的表达式为( ) A ．a n ＝24n －3B ．a n ＝26n －5C ．a n ＝24n ＋3D ．a n ＝22n －1解析：(1)数列{a n }中，由a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝3＋1a n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为3的等差数列，所以1a n ＝12＋3(n －1)＝6n －52.可得a n ＝26n －5(n ∈N *)．答案：B6．(2019·上海卷)已知数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝2，则S 5＝________．解析：n ＝1时，S 1＋a 1＝2，所以a 1＝1. n ≥2时，由S n ＋a n ＝2得S n －1＋a n －1＝2，两式相减得a n ＝12a n －1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：31167．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝40×412＝820.答案：8208．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．解析：由题意可知，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.答案：61169．(2020·天河模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . 解：(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1<2，解得a 1＝1.当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）2－21n ＝18n 2－3n .10．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[B 级能力提升]11．数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( ) A.9998 B ．2 C.9950D.99100解析：由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950. 答案：C12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个．解析：法一由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n ＋1，m，n∈N，当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N.故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－615≤k≤2 01115，故k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．答案：13513．(一题多解)已知数列{a n}中，a1＝3，且n(n＋1)(a n－a n＋1)＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a1·a2·…·a n（n＋1）·2n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)法一由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，所以n ≥2时，a n －1－a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ，a n －2－a n －1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n －1，…，a 1－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12，以上(n －1)个式子左右两边分别相加得a 1－a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ，又a 1＝3，所以a n ＝1＋2n (n ≥2)．又a 1＝3符合上式，故a n ＝1＋2n(n ∈N *)．法二由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，所以a n ＋1－2n ＋1＝a n －2n ，所以a n －2n ＝a n －1－2n －1＝…＝a 1－21＝3－2＝1，所以a n ＝1＋2n.(2)法一由(1)知，a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1a 2…a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n＝n ＋22n ＋1，所以S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12S n ＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋123⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＋2＝1－12n ＋1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2，故S n ＝2－n ＋42n ＋1.法二由(1)知a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1·a 2·…·a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n ＝n ＋22n ＋1＝n ＋32n －n ＋42n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫421－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－623＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32n －n ＋42n ＋1＝2－n ＋42n ＋1.[C 级素养升华]14．(多选题)已知数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则下列数字在数列{a n }中的是( )A ．14B ．18C ．20D ．32解析：由题意知，数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减得，a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，所以a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，所以a 1＝14.综上可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：AD。

(精品推荐)2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第五章第二节等差数列及其前n项和

课时规范练 A 组基础对点练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫8a 1＋8×72d －⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A.答案：A3．等差数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( ) A ．3,7,9,15,100 B ．4,10,12,34,100 C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A.答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15 解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13. 答案：B6．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：107．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：58．(2018·河北三市联考)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，求数列{a n }的公差．解析：由S 5＝5a 4－10，得5a 3＝5a 4－10，则公差d ＝2.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且 a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. B 组能力提升练1．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．－109 C ．－181D ．121解析：设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.答案：B2．(2018·唐山统考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9D ．6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D. 答案：D3．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，公比为q ，数列{c n }中，c n ＝a n b n ，S n 是数列{c n }的前n 项和．若S m ＝11，S 2m ＝7，S 3m ＝－201(m 为正偶数)，则S 4m 的值为( ) A ．－1 601 B ．－1 801 C ．－2 001D ．－2 201解析：令A ＝S m ＝11，B ＝S 2m －S m ＝－4，C ＝S 3m －S 2m ＝－208，则q m ·A ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q m ＝a 1b m ＋1＋…＋a m b 2m .故B －q m ·A ＝(a m ＋1－a 1)b m ＋1＋…＋(a 2m －a m )b 2m ＝md (b m ＋1＋…＋b 2m )，其中，d 是数列{a n }的公差，q 是数列{b n }的公比．同理C －q m ·B ＝md (b 2m ＋1＋…＋b 3m )＝md (b m ＋1＋…＋b 2m )·q m ，故C －q m ·B ＝q m (B －q m ·A )．代入已知条件，可得11(q m )2＋8q m －208＝0，解得q m ＝4或q m ＝－5211(因m 为正偶数，舍去)．又S 4m －S 3m ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q 3m ＋3md (b m ＋1＋…＋b 2m )q 2m ＝11×43＋3(B －q m ·A )×42＝11×43－3×12×43＝－1 600. 故S 4m ＝S 3m －1 600＝－1 801. 答案：B4．(2018·长春质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值，故选B. 答案：B5．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于__________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：1326．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知得⎩⎨⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案：－497．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.8．(2018·长春模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解析：(1)当n ＝1时，a 2＋a 1＝－42，a 1＝－23， ∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项，2为公差的等差数列．从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24，n 为奇数，n －21，n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2·(n －1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值为－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44] ＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12·(－44)＝－23＋(n ＋1)(n －1)2－22(n －1)＝n 22－22n －32. 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，S n 取得最小值为－242；当n 为奇数时，S n 取最小值为－243.。

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课时规范练 A 组基础对点练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A. 答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝__________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12. 答案：127．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组能力提升练1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C.答案：C2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15D.110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.答案：C3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A.13n 1 B.2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 答案：B4．(2018·临沂联考)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是()A ．40B ．45C ．50D ．55解析：设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，……a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. 答案：B5．现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为__________．解析：令5n ＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t ，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x ，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：1106．已知数列{a n}中，a1＝1，若a n＝2a n－1＋1(n≥2)，则a5的值是__________．解析：∵a n＝2a n－1＋1，∴a n＋1＝2(a n－1＋1)，∴a n＋1a n－1＋1＝2，又a1＝1，∴{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.答案：317．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求{a n}的通项公式．解析：(1)证明：∵a n a n＋1＝4S n－1，∴a n＋1a n＋2＝4S n＋1－1，∴a n＋1(a n＋2－a n)＝4a n＋1，又a n≠0，∴a n＋2－a n＝4.(2)由a n a n＋1＝4S n－1，a1＝1，求得a2＝3，由a n＋2－a n＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.8．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和S n满足S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2256a2n－1，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n有最大值？并求最大值．解析：(1)由题意知S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)，即a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，∴a n＝(a n －a n－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故a n＝2n＋1.(2)b n＝log2256a2n－1＝log22822n＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，当1≤n≤3时，b n＝8－2n>0；当n＝4时，b n＝8－2n＝0；当n≥5时，b n＝8－2n<0.故n＝3或n＝4时，S n有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.。

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