高考数学大一轮复习 第八章 第5节 椭圆
2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
得（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0. 因为线段AB的中点坐标为(1，－1)， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 且 kAB＝xy11－－yx22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2②. 由①②，得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
第八章 平面解析几何
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _椭__圆___.这两个定点叫做椭圆的__焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距__， 焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， 且a，c为常数： (1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c___，则集合P为空集.
D. x2＋y2＝1 18 9
解析 由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①. 因为直线 AB 经过点(1，－1)，F(3，0)，所以 kAB＝－1－ 1－30＝12. 设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则xaxa212222＋ ＋bbyy212222＝ ＝11， ，两式相减，
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第五节椭圆课件
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于___常_数____(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____焦_点______，两焦点间的 距离叫做椭圆的_____焦__距_____．
2．椭圆的标准方程和几何性质
AABB121___(2(－____0(____a，(a____，0，____，－____00____)bb)____)) ，，，_
AABB121___(2(0____－(，0____(，____bb－____，，a____a)____00)____)) ，，，_
长轴A1A2的长为___2_a____； 短轴B1B2的长为__2_b_____
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
夯实基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(4)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
∴|PF2|＝12－3＝9，
即点P到另一个焦点的距离为9.
5
．
(
易
错
)
已
知
椭
圆
x2 5
+
y2 m
＝
1(m>0)
的
离
心
率
e
＝
10 5
，
则
m
的
值
为
___3_或__23_5 _．
2025年高考数学一轮复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质【课件】
＞｜ C 1 C 2｜＝8，由椭圆的定义， M 的轨迹是以 C 1， C 2为焦点，
长轴长为16的椭圆.则 a ＝8， c ＝4，所以 b 2＝82－42＝48，动圆的
2
2
圆心 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
理、｜ PF 1｜＋｜ PF 2｜＝2 a ，得到 a ， c 的关系.
目录
高中总复习·数学（提升版）
椭圆的标准方程
【例1】
2
2
（1）已知椭圆 C ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点
1
分别为 F 1， F 2，离心率为 ，过 F 2的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，
1
面积 S ＝ ×2
2
1
｜2＋8－4｜ AF
2
7
1｜，解得｜ AF 1｜＝ 2 .∴△ AF 1 F 2的
7
2
7
× × ＝ .
2
2
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
4.
2
2
设椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为 F ，则对于椭圆上两动点 A ， B ，△
16
9
ABF 周长的最大值为 16 .
解析：设 F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得｜ AF ｜
n ）.因为椭圆经过 P 1， P 2两点，所以点 P 1， P 2的坐标满足椭圆
1
＝ ，
6＋ = 1，
9
方程，则ቊ
解得൞
所以所求椭圆的方程为
1
3 + 2 = 1，
＝ .
3
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆的定义标准方程及其性质教学案理(解析版)
[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. 4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B [由题意可知a 2＝25，b 2＝16，∴c 2＝25－16＝9，∴c ＝±3， 又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±3)．]3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 2＝1 B ．y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D ．x 29＋y 25＝1D [由题意有6＞2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．]4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A.5－12 B ．1＋52C.－1＋52D ．－1±52C [由题意有b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，则a 2－c 2＝ac ，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c a ，则e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.因为0＜e ＜1，所以e ＝－1＋52.故选C.]5．(教材改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．20 [由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ＝4×5＝20.]第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74 C.72D ．752(1)D (2)C [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.](1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.(1)A (2)3 [(1)由题意可知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |＞|FO |，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆，故选A. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1 [(1)由|AC |＋|BC |＝18－8＝10＞8知，顶点C 的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴－52a 2＋32b 2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.]直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B ．x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．y 24＋x 22＝1(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1 [(1)△AF 1B 的周长是4a ＝43，所以a ＝3，e ＝c a ＝33， 所以c ＝1， 那么b 2＝a 2－c 2＝2，所以方程是x 23＋y 22＝1.故选A.(2)由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1，故选C.(3)不妨设点A 在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)． 又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b49b2＝1.又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B ．13 C.12D ．33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A [(1)法一：如图，在R t △PF 2F 1中， ∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c3，|PF 2|＝2c ·ta n 30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 法二：(特殊值法)在R t △PF 2F 1中 ，令|PF 2|＝1， ∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D ．(2)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时，a ＝3，b ＝m ，ta n α＝3m≥ta n 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2 ②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，ta n α＝m3≥ta n 60°＝3，∴m ≥9.综上，m ∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.] ►考法2 与椭圆的几何性质有关的最值问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D ．3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(1)D (2)C [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a＝23＋1＝3－1.故选D ．(2)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.]1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B ．12 C.13D ．14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D ．] 2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.]。
高考数学(文)一轮复习 8-5椭圆
30
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练2】
(1)[2017·锦州模拟]设椭圆C：
ax22＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥ F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
7
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点 的轨迹是椭圆．( × ) 2．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
8
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦 距)．( √ )
13
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．[2017·贵阳监测]椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，短轴长为4，则椭圆的方程为___1x_62_＋__y4_2_＝__1_____．
数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析
第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
2025年高考数学一轮知识点复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质-专项训练【含答案】
第一章集合、常用逻辑用语与不等式第二节常用逻辑用语1.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（）A.∀x∈R，1＜f（x）≤2B.∃x∈R，1＜f（x）≤2C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞22.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜bC.若2x为偶数，则x∈ND.π是无理数3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）使2≥1成立的一个充分不必要条件是（）A.0＜x＜1B.0＜x＜2C.x＜2D.0＜x≤27.（多选）已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（）A.p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”B.q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0”C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5）D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）8.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题p是命题（填“真”或“假”）.9.能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1≥2”是假命题的x的值可以是（写出一个即可）.10.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为.11.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x212.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（）13.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（）A.xc2＞yc2B.1＜1＜0C.｜x｜＞｜y｜D.ln x＞ln y14.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
整理ppt
3．椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值为(
)
A．－21
B．21
C．－1295或 21
D.1295或 21
【答案】 C
整理ppt
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴，离心率为 55，
且过点 P(－5,4)，则椭圆的方程为
．
【答案】 4x52 ＋3y62 ＝1
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
a，b，c 的关系
c e＝_a_∈(0,1)
c2＝a2－b2
整理ppt
点 P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax022＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax022＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax022＋by202＞1.
①
又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5
②
联立①，②，得 a＝ 10，c＝ 5，
∴b2＝a2－c2＝5， 所以该椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
整理ppt
规律方法 1 1.(1)求椭圆的标准方程的方法：①定义法； ②待定系数法；③轨迹方程法．
(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定 量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量” 是指确定 a、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质， 已知条件，列关于 a，b，c 的方程．
【尝试解答】 由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)， O(0,0)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB＝－ba， 因此直线 OP 的方程为 y＝－bax， 代入椭圆ax22＋by22＝1，得 x＝± 22a，
整理ppt
由 PF1⊥x 轴，知 x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c，
第五节 椭 圆
整理ppt
[考情展望] 1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主 要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向 量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系， 常以解答题形式考查．
整理ppt
一、椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数． (1)若 2a＞|F1F2| ，则集合 P 为椭圆； (2)若2a＝|F1F2| ，则集合 P 为线段； (3)若 2a＜|F1F2| ，则集合 P 为空集．
为( )
B.7
C.5
D.7
整理ppt
(2)已知椭圆：x92＋by22＝1(0＜b＜3)，左右焦点分别为 F1，
F2，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若|B→F2|＋|A→F2|的最大
值为 8，则 b 的值是( )
A．2 2
B. 2
C. 3
D. 6
【答案】 (1)B (2)D
整理ppt
B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程
为
．
【答案】 x2＋32y2＝1
整理ppt
考向二 [145] 椭圆的几何性质
(1)(2013·辽宁高考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接
AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则 C 的离心率
规律方法 2 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已 知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次 方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．e 与 a，b 间的关系 e2＝ac22＝1－ba2.
整理ppt
5．(2013·大纲全国卷)已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的
两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且
|AB|＝3，则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
D.x52＋y42＝1
【答案】 C
整理ppt
两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的
面积为 9，则 b＝
.
【答案】 3
整理ppt
(2)已知 F1，F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左，右焦点， A，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB，PF1⊥x 轴，|F1A|＝ 10＋ 5，求椭圆的方程．
2．涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余) 弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2| 整体代换．
整理ppt
对点训练 (2014·安徽高考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 ＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，
整理ppt
1．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两
个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】 D
整理ppt
2．“－3＜m＜5”是“方程5－x2m＋m＋y2 3＝1 表示椭圆”
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
整理ppt
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
整理ppt
范围
_－__a≤x≤a_ －__b_≤y≤_b
_－__b≤x≤b －__a_≤y≤a
对称性
对称轴：坐__标__轴__；对称中心：_原__点__
性
质 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
6．(2014·辽宁高考)已知椭圆 C：x92＋y42＝1，点 M 与 C
的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝
.
【答案】 C
整理ppt
考向一 [144] 椭圆的定义与标准方程
(1)已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的