高考数学专题讲解:椭圆

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高考数学专题复习_椭圆

高考数学专题复习_椭圆

高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________(2)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点,若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,且2PQ =u u u r ,则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为A ,过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ,交x 轴于Q ,且85AP PQ =u u u r u u u r(1)求椭圆的离心率。

(2)若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切,求椭圆的方程。

【例3】已知中心在原点的椭圆的左,右焦点分别为12,F F ,斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点,与y 轴交于点M 点,且22MB BF =u u u r u u u r(1)若k ≤(2)若k =AB 的中点到右准线的距离为10033,求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ,短轴长为右准线交x 轴于点A ,右焦点为F ,且2OF FA =,过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 (1)求椭圆的方程(2)若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r,求直线l 的方程(3)若点Q 关于x 轴的对称点为Q ',证明:直线PQ '过定点 (4)求OPQ V 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1(1)求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点(,A B不是左,右顶点)且以(2)若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c ,在椭圆上存在一点P ,使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r(1)求椭圆离心率e 的取值范围(2)当离心率e 取最小值时,12PF F V 的面积为16,设,A B 是椭圆上两动点,若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

高三椭圆相关知识点总结

高三椭圆相关知识点总结

高三椭圆相关知识点总结在高三数学学习中,椭圆是一个十分重要且常见的几何图形。

它具有许多独特的性质和特点,对于理解和解决相关题目至关重要。

本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结,旨在帮助同学们更好地理解椭圆的性质和应用。

1. 椭圆的定义及公式椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

定点F₁和F₂称为椭圆的焦点,两焦点之间的距离为2c,且c²=a²-b²。

椭圆的离心率e=c/a。

椭圆的标准方程为,(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1,其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的性质- 长轴和短轴:椭圆的两焦点距离为2c,且c²=a²-b²,所以椭圆的长轴为2a,短轴为2b。

- 离心率:椭圆的离心率e=c/a,离心率越接近0,椭圆的形状越接近于圆;离心率越接近1,椭圆的形状越扁平。

- 对称性:椭圆关于x轴和y轴都具有对称性,中心对称。

3. 椭圆的方程变形椭圆的方程在数学上经常需要进行变形和化简。

以下是几种常见的椭圆方程变形形式:- 标准方程变形:将标准方程进行代数变形和化简,可以得到不同形式的椭圆方程,如正方形椭圆、长轴平行于y轴的椭圆等。

- 参数方程:将椭圆的方程用参数表示,例如x=a*cosθ,y=b*sinθ,其中θ为参数。

- 三角方程:利用三角函数的性质,将椭圆的方程变形为三角函数的方程,如x²/a²+ y²/b² = 1可以变形为sin²θ/a² + cos²θ/b² = 1。

4. 椭圆的性质与应用- 焦点定理:椭圆上任意一点P到两焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆的长轴长度,即PF₁ + PF₂ = 2a。

- 弦焦定理:椭圆上任意一条弦的两个焦点到弦的距离之和等于常数2a。

- 切线性质:椭圆上的点P处的切线斜率为y/x=-b²x/a²y。

高中数学椭圆的性质及相关题目解析

高中数学椭圆的性质及相关题目解析

高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形,它有着独特的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述,帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中,F1和F2称为椭圆的焦点,线段F1F2的长度为2c,a和c之间的关系为a > c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段,长度为2a;短轴是与长轴垂直的直线段,长度为2b,且满足a > b > c。

椭圆的离心率e定义为e = c / a,离心率决定了椭圆的形状。

当e < 1时,椭圆是一个封闭曲线;当e = 1时,椭圆变成一个抛物线;当e > 1时,椭圆变成一个双曲线。

椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度,即PF1 + PF2 = 2a;准线是与长轴平行且过焦点的直线,焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离,即PD =e * PF。

二、椭圆的相关题目解析1. 题目:已知椭圆的长轴长为10,短轴长为8,求椭圆的离心率。

解析:根据椭圆的定义,我们知道a = 5,b = 4。

将a和c的值代入离心率公式e = c / a,可得e = 4 / 5。

2. 题目:已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0),且焦点到准线的距离为2,求椭圆的方程。

解析:根据椭圆的性质,焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离,即2 = e * a。

由于焦点到准线的距离为2,而椭圆的长轴长度为2a,所以a = 1。

再根据焦点的坐标,可得椭圆的中心为O(0, 0)。

因此,椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1,即x^2 + y^2 = 1。

3. 题目:已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0),准线方程为x = 3,求椭圆的方程。

高考数学椭圆的知识点

高考数学椭圆的知识点

高考数学椭圆的知识点高考数学中,椭圆是一个重要的几何形状,涉及到的知识点相对较多。

在这篇文章中,我们将探讨椭圆的性质、方程、焦点等相关概念,并且通过一些实例帮助读者更好地理解椭圆的应用。

一、椭圆的性质椭圆是一个闭合的曲线,可以通过一个固定点(称为焦点)和离焦点的距离之和的大小来定义。

具体来说,对于一个给定的椭圆,离焦点的距离之和等于定值2a,其中a是椭圆的半长轴(长轴长度的一半)。

除了焦点和半长轴,椭圆还有一些其他重要的性质。

例如,椭圆的中点称为中心,位于中心的直线称为主轴。

椭圆的半短轴(短轴长度的一半)用b表示,它与椭圆的半长轴有一定的关系,即b^2 = a^2 -c^2,其中c是焦点到中心的距离。

二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过两种形式来表示,一种是标准方程,另一种是一般方程。

标准方程是这样的:(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1,其中(h, k)是椭圆的中心坐标。

一般方程则可以表达为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0,其中A、B、C、D、E是常数。

根据椭圆的方程,我们可以了解到椭圆的形状、大小以及位置等信息。

三、焦点与直角关系除了上述基本概念和性质,椭圆还与焦点和直角有一定的关系。

我们知道,对于一个椭圆来说,焦点和圆心确定的直角称为椭圆的焦点直角。

椭圆上的任意一点与焦点和圆心连成的三条线段构成一个直角。

这个直角关系在解决一些几何问题时非常有用,可以帮助我们确定和利用椭圆的性质,从而解决一些复杂的数学题目。

四、椭圆的应用举例椭圆的应用在生活和科学中是广泛存在的。

下面,我们通过一些例子来说明椭圆的实际应用。

1.卫星轨道:卫星绕地球运行的轨道往往是一个椭圆。

利用椭圆的性质,科学家可以计算出卫星的运行速度和轨道大小,从而更好地控制和管理卫星。

2.天体运动:行星、彗星等天体的运动轨迹也是椭圆。

通过研究椭圆轨道,天文学家可以了解天体的运动规律,从而预测天体的位置和行为。

高考数学十年真题专题解析—椭圆

高考数学十年真题专题解析—椭圆

椭圆年份题号考点考查内容2011理14椭圆方程椭圆的定义、标准方程及其几何性质文4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2012文理4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2013卷1理10椭圆方程直线与椭圆的位置关系,椭圆方程的求法文理20椭圆定义、标准方程及其几何性质椭圆的定义、标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系卷2理20直线与椭圆位置关系椭圆的方程求法,直线与椭圆位置关系,椭圆最值问题的解法文5椭圆定义、几何性质椭圆的定义,椭圆离心率的求法2014卷1理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系卷2理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质,过三点圆的方程的求法卷2理20直线与椭圆直线和椭圆的位置关系,椭圆的存在型问题的解法文20直线与椭圆椭圆方程求法,直线和椭圆的位置关系,椭圆的定值问题的解法2016卷1理20圆、直线与椭圆椭圆定义、标准方程及其几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系卷2理20直线与椭圆椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系文21直线与椭圆椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系2017卷1理20直线与椭圆椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系,椭圆的定点问题文12直线与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质卷3文11理10直线与圆,椭圆的几何性质直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质2018卷1理19直线与椭圆椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系文4椭圆椭圆的几何性质2019卷1理10文12椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质,椭圆标准方程的求法卷2理8文9椭圆与抛物线抛物线与椭圆的几何性质理21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆的最值问题的解法文20椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质卷3文理15椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理20文21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质,椭圆定点问题卷2理19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法,椭圆离心率的求法,抛物线的定义考点89椭圆的定义及标准方程1.(2019全国Ⅰ文12)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n FAB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得32n =.22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩,又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得32n =.222243,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .2.(2018高考上海13)设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A .22B .23C .25D .42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为25a =,故选C .【考点分析】椭圆的定义,考查考生的识记及基本运算能力.3.(2013广东文)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是A .14322=+y x B .13422=+y x C .12422=+y x D .13422=+y x 【答案】D 【解析】∵1,2,3c a b ===D .4.(2015新课标1理)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点,且圆心在x 的正半轴上,则该圆的标准方程为_________.【答案】22325()24-+=x y 【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点,设圆心为(,0)a ,其中0a >,由4-=a ,解得32a =,所以圆的方程为22325()24-+=x y .5.【2019年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)3(1,)2E --.【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 232==,因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2.由b 2=a 2−c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a=2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F 2的方程(x−1)2+y 2=16,解得y=±4.因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F 1(−1,0),所以直线AF 1:y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112(,55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,2E --.解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结E F 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB ,从而∠BF 1E=∠B .因为F 2A=F 2B ,所以∠A=∠B ,所以∠A=∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-.因此3(1,2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.考点90椭圆的几何性质6.【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅.在12AF F △中,由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=,解得2n =.22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=,故选B.法二:由已知可设2F B n=,则212,3AF n BF AB n===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=.在12AF F△和12BF F△中,由余弦定理得2221222144222cos4422cos9n n AF F nn n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩,又2121,AF F BF F∠∠互补,2121cos cos0AF F BF F∴∠+∠=,两式消去2121cos cosAF F BF F∠∠,,得223611n n+=,解得32n=.22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=,故选B.7.【2019年高考北京理】已知椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为12,则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2ce c a ba===-,化简得2234a b=,故选B.8.【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C:22214x ya+=的一个焦点为(20),,则C的离心率为A.13B.12C .22D .223【答案】C【解析】由题可得2c =,因为24b =,所以2228a b c =+=,即a =,所以椭圆C 的离心率22e ==,故选C .9.【2018·全国Ⅱ文】已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为A .12-B .2-C .312-D 1-【答案】D【解析】在12F PF △中,122190,60F PF PF F ∠=∠=︒,设2PF m =,则12122,c F F m PF ===,又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=+,则212c c e a a ====,故选D .10.(2018上海理)设P 是椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A .B .C .D .【答案】C 【解析】由题意25=a ,=a .由椭圆的定义可知,P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=aC .11.【2017·全国Ⅰ文】设A ,B 是椭圆C :2213x y m+=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是A .(0,1][9,)+∞B .[9,)+∞C .(0,1][4,)+∞ D .[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab≥= ,≥,得01m <≤;当3m >时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞ ,故选A .12.【2017·浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是()A .133B .53C .23D .59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率94533e ==,故选B .13.(2015新课标1文)已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :28y x =的焦点重合,A B 、是C 的准线与E 的两个交点,则AB =A .3B .6C .9D .12【答案】B 【解析】∵抛物线C :28y x =的焦点坐标为(2,0),准线l 的方程为2x =-①,设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,所以椭圆E 的半焦距2c =,又椭圆的离心率为12,所以4,a b ==,椭圆E 的方程为2211612x y +=②,联立①②,解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---,所以||6AB =,故选B .14.(2015广东文)已知椭圆222125x y m+=(0m >)的左焦点为()14,0F -,则m =A .2B .3C .4D .9【答案】B 【解析】由题意得:222549m =-=,因为0m >,所以3m =,故选C .15.(2014福建文理)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A .25B .246+C .27+D .26【答案】D 【解析】由题意可设10,sin )Q αα,圆的圆心坐标为(0,6)C ,圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )50523CQ ααα=+-=-+=,当且仅当2sin 3α=-时取等号,所以max max ||||52262PQ CQ r +==≤,所以Q P ,两点间的最大距离是62.16.(2012新课标文理)设1F 、2F 是椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点,P 为直线23a x =上一点,12PF F ∆是底角为o30的等腰三角形,则E 的离心率为A .21B .32C .43D .54【答案】C 【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==,故选C .17.【2019·全国Ⅲ文】设12F F ,为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,11228MF F F c ∴===,∴24MF =.设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>,则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△,又122201482415,4152MF F S y =⨯-=∴=△,解得015y =,2201513620x ∴+=,解得03x =(03x =-舍去),M \的坐标为(15.18.【2019·浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是___________.【解析】方法1:如图,设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ==,设(,)P x y ,可得22(2)16x y -+=,与方程22195x y +=联立,可解得321,22x x =-=(舍),又点P 在椭圆上且在x 轴的上方,求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以15212PFk ==.方法2:(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =,由中位线定理可得12||4PF OM ==,即342p p a ex x -=⇒=-,从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以212PF k ==19.(2012江西文理)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F .若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_________.【答案】55【解析】由椭圆的性质可知:1AF a c =-,122F F c =,1F B a c =+.又已知1AF ,12F F ,1F B 成等比数列,故2()()(2)a c a c c -+=,即2224a c c -=,则225a c =.故55c e a ==.即椭圆的离心率为55.20.(2011浙江文理)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点,点,A B 在椭圆上,若125F A F B = ;则点A 的坐标是.【答案】(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ,B 点的坐标为(,)c d.12(F F,可得1()F A m n =+,2()F B c d =,∵125F A F B = ,∴62,55m n c d +==,又点,A B 在椭圆上,∴2213m n +=,2262(5()135m n ++=,解得0,1m n ==±,∴点A 的坐标是(0,1)±.21.【2019年高考全国Ⅱ文】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点,P 为C 上一点,O为坐标原点.(1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1)1-;(2)4b =,a的取值范围为)+∞.【解析】(1)连结1PF ,由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中,1290F PF ∠=︒,2PF c =,1PF =,于是1221)a PF PF c =+=,故C的离心率是1ce a==-.(2)由题意可知,满足条件的点(,)P x y 存在.当且仅当1||2162y c ⋅=,1y y x c x c ⋅=-+-,22221x y a b+=,即||16c y =,①222x y c +=,②22221x y a b+=,③由②③及222a b c =+得422b y c =,又由①知22216y c=,故4b =.由②③得()22222a x c b c=-,所以22c b ≥,从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =,a ≥P ,所以4b =,a的取值范围为)+∞.22.(2015安徽理)设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,点O 为坐标原点,点A 的坐标为()0a ,,点B 的坐标为()0b ,,点M 在线段AB 上,满足2BM MA =,直线OM 的斜率为510.(Ⅰ)求E 的离心率e ;(Ⅱ)设点C 的坐标为()0b -,,N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72,求E 的方程.【解析】(1)由题设条件知,点M 的坐标为21(,)33a b,又10OM k =,从而210b a =,进而得,2a c b ==,故255c e a ==.(2)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线AB1y b +=,点N 的坐标为51(,)22b b -,设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ,则线段NS 的中点T 的坐标为1517(,4244x b b +-+.又点T 在直线AB 上,且1NS ABk k ⋅=-,从而有151742441712252x b b b b ⎧+-+⎪+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩,解得3b =,所以b =故椭圆E 的方程为221459x y +=.23.(2013安徽文理)如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1F ∠A 2F =60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403,求a ,b 的值.【解析】(Ⅰ)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==(Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-,在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=,1AF B ∆面积211133sin 60()10,5,2252S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔===考点91直线与椭圆的位置关系24.【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 的直线上,12PF F △等腰三角形,12120F F P ∠= ,则C 的离心率为()A .23B .12C .13D .14【答案】D【解析】试题分析:先根据条件得22PF c =,再利用正弦定理得,a c 关系,即得离心率.试题解析:因为12PF F △为等腰三角形,12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==,由AP 斜率为36得,222tan ,sin ,cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∴∠=,由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴==∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭,故选D .25.(2017新课标Ⅲ文理)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为()A .63B .33C .23D .13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=,直线20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离d a ==,整理为223a b =,即()22222323a a c a c =-⇒=,即2223c a =,63c e a ==,故选A .26.【2016·新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()(A)13(B)12(C)23(D)34【答案】B【解析】如图,在椭圆中,11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=,在Rt OFB △中,||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得224a c =,所以椭圆的离心率为12e =,故选B .27.(2016年全国III 文理)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为A .13B .12C .23D .34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-,||||OE k a =,设OE 的中点为H ,由OBH FBM △∽△,得1||||2||||OE OB FM BF =,即||2||()k a a k a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆离心率为13e =,故选A .28.(2016江苏理)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点,直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒,则该椭圆的离心率是.【答案】3【解析】由题意得(),0F c ,直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭,由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=,,22b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,,22b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,则22231044c a b -+=,由222b a c =-可得223142c a =,则3ce a ===.29.(2015福建文)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是A.(0,2B .3(0,]4C.,1)2D .3[,1)4【答案】A 【解析】设椭圆的左焦点为1F ,半焦距为c ,连结1AF ,1BF ,则四边形1AF BF 为平行四边形,所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=,根据椭圆定义,有11||||||||4AF AF BF BF a +++=,所以84a =,解得2a =.因为点M 到直线l :340x y +=的距离不小于45,即44,155b b ≥≥,所以21b ≥,所以2221,41a c c --≥≥,解得0c <所以02c a <≤,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,2.30.(2013新课标1文理)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆于A .B两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为A .x 245+y 236=1B .x 236+y 227=1C .x 227+y 218=1D .x 218+y 29=1【答案】D 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,则12x x +=2,12y y +=-2,2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②①-②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=,∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a,又AB k =0131+-=12,∴22b a =12,又9=2c =22a b -,解得2b =9,2a =18,∴椭圆方程为221189x y +=,故选D .31.【2020年高考上海卷10】已知椭圆22:143x y C +=,直线l 经过椭圆右焦点F ,交椭圆C 于,P Q 两点(点P 在第二象限),若Q 关于x 轴对称的点为'Q ,且满足'PQ FQ ⊥,则直线l 的方程为.【答案】1y x =-+【解析】由条件可知FQQ ' 是等腰直角三角形,所以直线l 的倾斜角是135 ,所以直线l 的斜率是tan1351=- ,且过点()1,0F ,得到直线l 的方程为()1y x =--,即1y x =-+.故答案为:1y x =-+.32.(2018浙江理)已知点(0,1)P ,椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ,B 满足2AP PB = ,则当m =___时,点B 横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由2AP PB =得122x x -=,1212(1)y y -=-,所以1223y y -=-,因为A ,B 在椭圆上,所以22114x y m +=,22224x y m +=,所以22224(23)4x y m +-=,所以224x +22324(m y -=,与22224x y m +=对应相减得234m y +=,2221(109)44x m m =--+≤,当且仅当5m =时取最大值.33.(2018浙江文)已知点(0,1)P ,椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ,B 满足2AP PB = ,则当m =___时,点B 横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由2AP PB = ,得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩,即122x x =-,1232y y =-.因为点A ,B 在椭圆上,所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得21344y m =+,所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤,所以当5m =时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2.34.(2015浙江文)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是.【答案】22【解析】设左焦点为1F ,由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上,得||||OQ OF =,又1||||OF OF =,所以1F Q QF ⊥,不妨设1||QF ck =,则||QF bk =,1||F F ak =,因此2c ak =,又2a ck bk =+,由以上二式可得22c a k a b c ==+,即c a a b c=+,即22a c bc =+,所以bc =,22e =.35.(2014江西文理)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于.【答案】22【解析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ,分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=,根据题意有12122,2x x y y +=+=,且121212y y x x -=--,所以22221(02a b +⨯-=,得222a b =,整理222a c =,所以22e =.36.(2014辽宁文)已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=.【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ,连接1F P 和2F P ,利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==.37.(2014江西文)设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ,,作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ,两点,B F 1与y 轴相交于点D ,若B F AD 1⊥,则椭圆C 的离心率等于________.【答案】33【解析】由题意可得2(,b A c a ,2(,)b B c a -,由题意可知点D 为1F B 的中点,所以点D 的坐标为2(0,2b a -,由B F AD 1⊥,所以11AD F B k k ⋅=-232b ac =,解得33e =.38.(2014安徽文)设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点,若x AF BF AF ⊥=211,3轴,则椭圆E 的方程为____.【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =,∴点B 坐标为251(,)33c B b --将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=,又221b c =-,解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴椭圆方程为22312x y +=.39.(2013福建文)椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于.【答案】13-【解析】由题意可知,21F MF ∆中,︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ,整理得13-==ac e ,故答案为13-.40.【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m +=<<的离心率为4,,A B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程;(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且,BP BQ BP BQ =⊥,求△APQ 的面积.【解析】解法一:(1)由c e a =,得2221b e a =-,即21511625m =-,∴22516m =,故C 的方程为221612525x y +=.(2)设点P 的坐标为(,)s t ,点Q 的坐标为(6,)n ,根据对称性,只需考虑0n >的情形,此时55s -<<,504t < .∵||||BP BQ =,∴有222(5)1s t n -+=+①.又∵BP BQ ⊥,∴50s nt -+=②.又221612525s t +=③.联立①、②、③,可得,312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时,(8,1)AP = ,(11,2)AQ =,∴15|82111|22APQ S ==⨯-⨯=△.同理可得,当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时,52APQ S =△.综上所述,可得APQ △的面积为52.解法二:(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<,∴5a =,b m =,根据离心率4c e a ====,解得54m =或54m =-(舍),∴C 的方程为:22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=,即221612525x y +=.(2) 点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,过点P 作x 轴垂线,交点为M ,设6x =与x 轴交点为N,根据题意画出图形,如图,||||BP BQ =,BP BQ ⊥,90PMB QNB ∠=∠=︒,又 90PBM QBN ∠+∠=︒,90BQN QBN ∠+∠=︒,∴PBM BQN ∠=∠,根据三角形全等条件“AAS ”,可得:PMB BNQ ≅△△,221612525x y +=,∴(5,0)B ,∴651PM BN ==-=.设P 点为(,)P P x y ,可得P 点纵坐标为1P y =,将其代入221612525x y +=,可得:21612525P x +=,解得:3P x =或3P x =-,∴P 点为(3,1)或(3,1)-,①当P 点为(3,1)时,故532MB =-=, PMB BNQ ≅△△,∴||||2MB NQ ==,可得:Q 点为(6,2),画出图象,如图,(5,0)A -,(6,2)Q ,可求得直线AQ 的直线方程为:211100x y -+=,根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为:222311110555125211d ⨯-⨯+===+,根据两点间距离公式可得:()()22652055AQ =++-=,∴APQ 面积为:15555252⨯=.②当P 点为(3,1)-时,故5+38MB ==, PMB BNQ ≅△△,∴||||8MB NQ==,可得:Q 点为(6,8),画出图象,如图,(5,0)A -,(6,8)Q ,可求得直线AQ 的直线方程为:811400x y -+=,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为:()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+,根据两点间距离公式可得:()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为:1518522185=.综上所述,APQ 面积为:52.41.【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -,右焦点为F ,且||||OA OF =,其中O 为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.【解析】(Ⅰ) 椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,∴3b =,由OA OF =,得3c b ==,又由222a b c =+,得2228313a =+=,所以椭圆的方程为221189x y +=.(Ⅱ) 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx +=,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126321213k y k k k k =⋅--=++,所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-,所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由3OC OF = ,得点C 的坐标为()1,0,所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.42.【2019年高考天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ,依题意,524,5c b a ==,又222a b c =+,可得a =,2,b =1c =.所以,椭圆的方程为22154x y +=.(2)由题意,设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠,.设直线PB 的斜率为()0k k ≠,又()0,2B ,则直线PB 的方程为2y kx =+,与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=,可得22045P kx k =-+,代入2y kx =+得2281045P k y k -=+,进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-.在2y kx =+中,令0y =,得2M x k=-.由题意得()0,1N -,所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥,得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭,化简得2245k =,从而2305k =±.所以,直线PB 的斜率为2305或2305-.43.【2019年高考天津文】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B.已知|2||OA OB =(O 为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x=4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有2b =,又由222a b c =+,消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,解得12c a =,所以椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,2,a c b ==,故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意,(, 0)F c -,则直线l 的方程为3()4y x c =+,点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简,得到2276130x cx c +-=,解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程,解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方,所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上,可设(4, )C t .因为OC AP ∥,且由(1)知(2 , 0)A c -,故3242ct c c=+,解得2t =.因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C 与l相切,得2=,可得=2c .所以,椭圆的方程为2211612x y +=.44.【2018高考全国III 文20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0 .证明:2FP FA FB =+.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)设而不求,利用点差法进行证明;(2)解出m ,进而求出点P 的坐标,得到FP,再由两点间距离公式表示出,FA FB,得到直l 的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.试题解析:(1)设11()A x y ,,22()B x y ,,则2211143x y +=,2222143x y +=.两式相减,并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知1212x x +=,122y y m +=,于是34k m =-.由题设得302m <<,故12k <-.(2)由题意得F(1,0).设33()P x y ,,则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,.由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而3(1)2P -,,3||=2FP uur .于是1||22x FA ==-uur .同理2||=22x FB -uur .所以1214()32FA FB x x +=-+=uur uur ,故2FA FB FP +=uur uur uur .45.【2018高考天津文19】(本小题满分14分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为3,AB =.(I)求椭圆的方程;(II)设直线():0l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点,P M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.【解析】试题分析:(I)由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.(I I)设点P 的坐标为()11,x y ,点M 的坐标为()22,x y ,由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=,由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =215x x =,可得89k =-,或12k =-.经检验 的值为12-.试题解析:(I)设椭圆的焦距为2c ,由已知得2259c a =,又由222a b c =+,可得23a b =.由AB ==3,2a b ==.所以,椭圆的方程为22194x y +=.(II)设点P 的坐标为()11,x y ,点M 的坐标为()22,x y ,由题意,210x x >>,点 的坐标为()11,x y --.由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得2PM PQ =,从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦,即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=,由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ,可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y,可得1x =.由215x x =,可得()532k =+,两边平方,整理得2182580k k ++=,解得89k =-,或12k =-.当89k =-时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,211212,5x x ==,符合题意.所以,k 的值为12-.46.【2018高考江苏18】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点12⎫⎪⎭,焦点())12,0,0F F ,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △的面积为l的方程.【解析】试题分析:(1)根据条件易得圆的半径,即得圆的标准方程,再根据点在椭圆上,解方程组可得,a b ,即得椭圆方程;(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程,再根据直线与椭圆相切得另一方程,解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长,再结合①中方程组,利用求根公式以及两点间距离公式,列方程,解得切点坐标,即得直线方程.试题解析:(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -,可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.又点12在椭圆C 上,2222311,43,a ba b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=.因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=,所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+,即0003x y x y y =-+.由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*) 直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,222222000000()()() 24443640(482)x x y y y x ∴∆=--+-=-=.0000,0,,1x y x y >∴== .因此,点P的坐标为),1.②OAB △,所以1 2AB OP ⋅=,从而427AB =.设1122,,()(),A x y B x y ,由(*)得001,2x =2221212()()AB y x x y ∴=-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+.22003x y += ,22022016(2)32(1)49x AB x -∴==+,即42002451000x x -+=,解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P的坐标为(22.综上,直线l的方程为y =+.47.【2018高考全国1理19】(本小题满分12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为()2,0.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.【解析】试题分析:(1)首先根据l 与x 轴垂直,且过点()1,0F ,求得直线l 的方程为1x =,代入椭圆方程求得点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,利用两点式求得直线AM 的方程;(2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果.试题解析:(1)由已知得()1,0F ,l 的方程为1x =.由已知可得,点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以AM 的方程为222y x =-+222y x =.(2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,OMA OMB ∴∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B ,则122,2x x <<,直线MA MB ,的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--.由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.2212121333221222422441284,,23()40212121k k k k k k kk x x x x x x k k k k x x k ---+++==∴-++=∴=+++.从而0MA MB k k +=,故MA MB ,的倾斜角互补,OMA OMB ∴∠=∠.综上,OMA OMB ∠=∠.48.【2018高考全国3理20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++= 0.证明:,,FA FP FB成等差数列,并求该数列的公差.【解析】试题分析:(1)设而不求,利用点差法进行证明;(2)解出m ,进而求出点P 的坐标,得到FP,再由两点间距离公式表示出,FA FB,得到直l 的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.试题解析:(1)设()()1122,,,A x y B x y ,则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减,并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知12121,22x x y y m ++==,于是34k m=-.①由题设得302m <<,故12k <-.(2)由题意得()1,0F ,设()33,P x y ,则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.又点P 在C 上,34m ∴=,从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .于是122xFA ==-= .同理222x FB =- ,()121432FA FB x x +=-+=∴ .2FP FA FB =+∴ ,即,,FA FP FB成等差数列.设该数列的公差为d ,则12122d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-,l ∴的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==,代入②解得28d=49.【2018高考天津理19】(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b +=(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为53,点A 的坐标为(,0)b ,且FB AB ⋅=.(I)求椭圆的方程;(II)设直线l :(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点),求k 的值.【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得,32a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ,点Q 的坐标为()22,x y .由题意可得1259y y =.由方程组22{ 194y kx x y =+=,,可得1y =.由方程组{20y kx x y =+-=,,可得221ky k =+.据此得到关于k 的方程,解方程可得k 的值为12或1128试题解析:(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ,由已知有2259c a =,又由222a b c =+,可得23a b =.由已知可得,FB a =,AB =,由FB AB ⋅=,可得6ab =,从而,32a b ==,∴椭圆的方程为22194x y +=.(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ,点Q 的坐标为()22,x y .由已知有120y y >>,故12PQ sin AOQ y y ∠=-.又2y AQ sin OAB =∠ ,而∠OAB=π4,故2AQ =.由sin 4AQ AOQ PQ =∠,可得1259y y =.由方程组22,194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,可得1y =易知直线AB 的方程为20x y +-=,由方程组{20y kx x y =+-=,,消去x ,可得221ky k =+.由1259y y =,可得()15k +=,两边平方,整理得25650110k k -+=,解得12k =,或1128k =,k ∴的值为12或1128.50.(2017天津文)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -,右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上,3||2FQ c =,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .(i)求直线FP 的斜率;(ii)求椭圆的方程.【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知,可得21()22b c a c +=.又由222b ac =-,可得2220c ac a +-=,即2210e e +-=.又因为01e <<,解得12e =.所以,椭圆的离心率为12.(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线FP 的方程为(0)x my c m =->,则直线FP 的斜率为1m.由(Ⅰ)知2a c =,可得直线AE 的方程为12x yc c+=,即220x y c +-=,与直线FP 的方程联立,可解得(22)3,22m c c x y m m -==++,即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++.。

有关椭圆的高考知识点

有关椭圆的高考知识点

有关椭圆的高考知识点椭圆是数学中的一种几何形状,它是离心率小于1的圆的一种特殊情况。

在高考数学中,椭圆是一个重要的知识点,它涉及到椭圆的定义、性质、方程、参数方程等内容。

本文将从不同的角度探索有关椭圆的高考知识点,帮助大家更好地理解和应用该知识。

1. 椭圆的定义和性质椭圆的定义比较简单,它是离心率小于1的圆的一种特殊情况。

在平面直角坐标系中,椭圆的定义可以表达为:给定两个固定点F1和F2,以及一个正常数a,椭圆是到这两个点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

椭圆具有许多重要的性质。

首先,椭圆是对称图形,其中心是坐标原点,对称轴是x轴和y轴;其次,椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数2a;再次,椭圆上的点关于x轴和y轴的对称点也在椭圆上。

2. 椭圆的方程和参数方程在解决椭圆相关问题时,最常用的表达方式是椭圆的方程和参数方程。

椭圆的标准方程是:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

通过椭圆的方程,我们可以了解椭圆的形状和位置。

a和b的大小关系决定了椭圆是瘦长椭圆还是矮胖椭圆,而a和b的值决定了椭圆的大小。

除了方程形式外,还可以使用参数方程来表示椭圆。

椭圆的参数方程为:x = a*cosθ,y = b*sinθ,其中θ是取值在0到2π之间的参数。

参数方程的优势在于可以直观地看出椭圆的运动轨迹。

当θ从0到2π变化时,椭圆的点会在平面上画出一圈完整的椭圆。

3. 椭圆的性质和应用椭圆有许多独特的性质和应用,对于理解和应用椭圆的知识点有很大的帮助。

首先,椭圆具有焦点性质。

椭圆上的每个点到两个焦点之间的距离之和是常数。

这个性质在实际生活中有很多应用,比如声波在焦点上的集中、行星的轨道等。

其次,椭圆还具有切线性质。

椭圆上的每个点的切线与该点到两个焦点的连线垂直。

这个性质在工程建模和物体运动的描述中常常使用,例如球体在椭球体内滚动的模型。

另外,椭圆还有与矩形和三角形面积相关的性质。

高三椭圆相关知识点

高三椭圆相关知识点

高三椭圆相关知识点椭圆是高中数学的重要内容之一,涉及到椭圆的定义、性质、参数方程等方面的知识。

在高三阶段,学生需要掌握围绕椭圆的基本概念和计算方法。

本文将重点介绍高三椭圆相关的知识点,以帮助学生加深对椭圆的理解和应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点,两焦点间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和离心率决定,离心率是椭圆的一个重要参数,定义为离心率等于焦距与椭圆长轴的比值。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是含有坐标的一次方程,其一般形式为:(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

在该方程中,(h, k)表示椭圆的中心坐标,a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴长度。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是由参数t的函数给出的,椭圆上的任意一点的坐标可以表示为x = a*cos(t),y = b*sin(t),其中0≤t≤2π。

四、椭圆的性质1. 焦点和准线:椭圆的焦点在椭圆的长轴上,且位于中心的左右两侧。

同时,每条过焦点和垂直于长轴的直线称为准线。

2. 圆和双曲线的特殊情况:当椭圆的长轴和短轴相等时,椭圆即为圆。

当离心率等于1时,椭圆退化成双曲线。

3. 对称性:椭圆具有对称性,对于任意一点P(x, y)在椭圆上,以中心O为对称中心,点P关于中心O的对称点也在椭圆上。

4. 焦半径的性质:从椭圆上的任意一点P到两焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度,即PF₁ + PF₂ = 2a。

5. 点到椭圆的判定:对于给定的点P(x, y),可以通过计算(x-h)²/a² + (y-k)²/b²的值是否小于1来判断该点是否在椭圆上。

五、椭圆的方程变换椭圆的方程可以通过平移、缩放和旋转等方式进行变换。

具体来说,通过平移可以改变椭圆的中心位置,通过缩放可以改变椭圆的长短轴长度,通过旋转可以改变椭圆相对于坐标轴的方向。

高考椭圆的知识点

高考椭圆的知识点

高考椭圆的知识点高考数学中关于椭圆的知识点主要包括以下几个方面:1、椭圆的定义:椭圆是平面内到两个固定点(焦点)的距离之和为定值(大于两焦点间距离)的所有点的轨迹。

2、椭圆的标准方程:当焦点在x轴上时,标准方程为:(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1,其中(a > b > 0),(h, k)是椭圆中心的坐标。

当焦点在y轴上时,标准方程为:(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1,同样a>b>0,(h, k)为椭圆中心坐标。

3、参数形式:椭圆还可以用参数方程表示,例如:x = a * cosθ + h,y = b * sinθ + k。

4、基本性质:长半轴a和短半轴b决定了椭圆的形状和大小,离心率e = c/a(c为焦距的一半),范围在0 < e < 1。

椭圆的面积公式S = πab。

焦点与长轴、短轴的关系:焦距|F1F2| = 2c,长轴长2a,短轴长2b,有关系式a^2 = b^2 + c^2。

5、几何性质:焦点弦性质、通径(过焦点垂直于长轴的弦)、共轭直径等。

与圆锥曲线相关的光学性质,如反射定律等。

6、解题方法:利用定义求解有关焦点、焦半径等问题。

根据给定条件确定椭圆的标准方程,通常采用待定系数法。

计算椭圆上的点与焦点或准线的距离,以及运用离心率解决相关问题。

7、离心率的应用:离心率常作为约束条件出现在题目中,用来求解椭圆方程或者判断椭圆形状。

8、交点问题:椭圆与其他图形(直线、圆、抛物线等)相交时求交点坐标及相关长度、面积计算。

高考中的椭圆题目类型多样,包括但不限于以上知识点,要求考生能够灵活运用椭圆的基本概念、性质及方程来解答不同难度的问题。

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高考数学专题讲解:椭圆定义与基本性质第一部分:椭圆的定义与性质第一部分:椭圆的定义与方程推理【椭圆的定义】:到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。

规定:定点为椭圆的交点。

【焦点在x 轴】:如下图所示:规定:①以两个焦点的连线为x 轴;②以两个焦点的连线的中垂线为y 轴。

假设:椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ;两个焦点之间的距离(焦距)为c 2。

如下图所示:左焦点1F 的坐标为)0,(c ,右焦点2F 的坐标为)0,(c 假设:定长为a 2。

椭圆的定义式:a PF PF 221=+。

P 点的坐标),(y x ,1F 点的坐标为22221)()0()]([)0,(y c x y c x PF c ++=-+--=⇒-;P 点的坐标),(y x ,2F 点的坐标为221)()0,(y c x PF c +-=⇒;a y c x y c x a PF PF 2)()(2222221=+-+++⇒=+。

化简:22222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++⇒=+-+++2222222222222)()(44)())(2())((y c x y c x a a y c x y c x a y c x +-++--=++⇒+--=++⇒cx y c x a a cx y c cx x y c x a a y c cx x 2)(4422)(442222222222222-+--=⇒++-++--=+++⇒22222222222)(])([)(44)(4cx a y c x a cx a y c x a cx a y c x a -=+-⇒-=+-⇒-=+-⇒2224222222242222)2(2])[(x c cx a a y c cx x a x c cx a a y c x a +-=++-⇒+-=+-⇒2242222222224222222222x c a y a c a x a x c cx a a y a c a cx a x a +=++⇒+-=++-⇒)()(22222222224222222c a a y a x c a c a a x c y a x a -=+-⇒-=-+⇒1)()()()()(2222222222222222222222=-+⇒--=-+--⇒ca y a x c a a c a a c a a y a c a a x c a 。

假设:222c a b -=。

椭圆的方程:12222=+b y a x 。

左右顶点(与x 轴的交点):令:⇒±=⇒=⇒=⇒=a x a x ax y 222210左顶点)0,(a -,右顶点)0,(a ;上下顶点(与y 轴的交点):令:⇒±=⇒=⇒=⇒=b y b y by x 222210上顶点),0(b ,下顶点),0(b -。

如下图所示:长轴:a 2;短轴:b 2。

【焦点在y 轴】:如下图所示:规定:①以两个焦点的连线为y 轴;②以两个焦点的连线的中垂线为x 轴。

假设:椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ;两个焦点之间的距离(焦距)为c 2。

如下图所示:上焦点1F 的坐标为),0(c ,下焦点2F 的坐标为),0(c -。

假设:定长为a 2。

椭圆的定义式:a PF PF 221=+。

P 点的坐标),(y x ,1F 点的坐标为221)()0(),0(c y x PF c -+-=⇒;P 点的坐标),(y x ,2F 点的坐标为22221)()]([)0(),0(c y x c y x PF c ++=--+-=⇒-;a c y x c y x a PF PF 2)()(2222221=+++-+⇒=+。

化简:22222222)(2)(2)()(c y x a c y x a c y x c y x -+-=++⇒=+++-+2222222222222)()(44)())(2())((c y x c y x a a c y x c y x a c y x -++-+-=++⇒-+-=++⇒cy c y x a a cy c cy y x c y x a a c cy y x 2)(4422)(442222222222222--+-=⇒+-++-+-=+++⇒22222222222)(])([)(44)(4cy a c y x a cy a c y x a cy a c y x a -=-+⇒-=-+⇒-=-+⇒2224222222242222)2(2])([y c cy a a c cy y x a y c cy a a c y x a +-=+-+⇒+-=-+⇒2242222222224222222222y c a c a y a x a y c cy a a c a cy a y a x a +=++⇒+-=+-+⇒)()(22222222224222222c a a y c a x a c a a y c y a x a -=-+⇒-=-+⇒1)()()()()(2222222222222222222222=+-⇒--=--+-⇒ay c a x c a a c a a c a a y c a c a a x a 。

假设:222c a b -=。

椭圆的方程:12222=+a y b x 。

左右顶点(与x 轴的交点):令:⇒±=⇒=⇒=⇒=b x b x bx y 222210左顶点)0,(b -,右顶点)0,(b ;上下顶点(与y 轴的交点):令:⇒±=⇒=⇒=⇒=a y a y ay x 222210上顶点),0(a ,下顶点),0(a -。

图像:如下图所示:长轴:a 2;短轴:b 2。

第二部分:椭圆的离心率与准线【离心率的定义】:圆锥曲线上一点到焦点的距离与该点到对应准线的距离的比值。

定义式:离心率=圆锥曲线上一点到焦点的距离÷该点到对应准线的距离。

椭圆的离心率的测量值:ac e =。

【椭圆的准线】:(Ⅰ)焦点在x 轴:假设:椭圆的右准线的方程:m x =,左准线的方程:m x -=。

假设:取椭圆上一点)0,(a P (椭圆的右顶点)。

如下图所示:点)0,(a P 到右焦点)0,(c 的距离:c a -;点)0,(a P 到右准线m x =的距离:a m -;根据离心率的定义得到:a m c a e --=;根据离心率的测量值得到:ac e =;⇒=⇒=⇒-=-⇒-=-⇒=--c a m a cm ac a ac cm c a a a m c a c a m c a 222)()(椭圆的右准线为:ca x 2=,椭圆的左准线为:ca x 2-=。

(Ⅱ)焦点在y 轴:假设:椭圆的上准线的方程:m y =,下准线的方程:m y -=。

假设:取椭圆上一点),0(a P (椭圆的上顶点)。

如下图所示:点),0(a P 到上焦点),0(c 的距离:c a -;点),0(a P 到上准线m y =的距离:a m -;根据离心率的定义得到:a m c a e --=;根据离心率的测量值得到:ac e =;⇒=⇒=⇒-=-⇒-=-⇒=--c a m a cm ac a ac cm c a a a m c a c a m c a 222)()(椭圆的上准线为:ca y 2=,椭圆的下准线为:ca y 2-=。

第二部分:椭圆的定义题型【题型一】:已知:椭圆上一点坐标和两个焦点的坐标。

例题一:已知:椭圆C :12222=+a y b x (0>>b a ),点)3,21(P 为椭圆C 上一点,焦距为32。

求解:椭圆C 的方程。

本题解析:焦距为⇒=⇒=⇒332232c c 上焦点)3,0(1F ,下焦点3,0(2-F ;根据椭圆的定义得到:a PF PF 221=+。

)3,21(P ,2141)33()021(3,0(2211==-+-=⇒PF F ;)3,21(P ,274491241)33()021()3,0(2222==+=++-=⇒-PF F ;22422721221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF ,1343222=-=-=⇒=c a b c 。

所以:椭圆C 的方程:1422=+y x 。

例题二:已知:椭圆C :12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点)0,1(1-F ,右焦点)0,1(2F ,点)22,1(--P 为椭圆C 上一点。

求解:椭圆C 的方程。

本题解析:椭圆C 的左焦点)0,1(1-F ,右焦点)0,1(2F 1=⇒c 。

根据椭圆的定义得到:a PF PF 221=+。

)22,1(--P ,2221)022()11()0,1(2211==--++-=⇒-PF F ;)22,1(--P ,22329214)022()11()0,1(2222==+=--+--=⇒PF F ;2222222322221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF ,1121222=-=-=⇒=c a b c 。

所以:椭圆C 的方程:1222=+y x 。

例题三:2018年高考数学江苏卷第18题:如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C 过点P )213(,焦点)0,3(1-F ,)0,3(2F ,圆O 为直径为21F F 。

(Ⅰ)求椭圆C 以及圆O 的方程。

本题解析:P )213(,)03(1-F 274494112)021()33(221==+=-++=⇒PF ;P )213(,)0,3(2F 2141)021()33(222==-+-=⇒PF ;根据椭圆的定义得到:24222127221=⇒=⇒=+⇒=+a a a a PF PF 。

焦点3)0,3(1=⇒-c F ,⇒=-=-=⇒=1342222c a b a 椭圆的方程:1422=+y x 。

【题型二】:已知垂直与角度,求离心率例题一:已知:椭圆C :12222=+by a x (0>>b a ),1F 和2F 为椭圆C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥,621π=∠F PF 。

求解:椭圆C 的离心率。

本题解析:根据21PF PF ⊥,621π=∠F PF ,焦距c F F 221=得到直角三角形21F PF ,如下图所示:c c c PF c PF =⨯=⨯=⇒=2126sin 226sin 22ππ,c c c PF c PF 32326cos 226cos 11=⨯=⨯=⇒=ππ;根据椭圆的定义得到:a PF PF 221=+,c PF 31=,a c a c c c PF 2)13(232=+⇒=+⇒=⇒-=-=--=-+-=+=⇒132)13(213)13(2)13)(13()13(2132a c 椭圆的离心率:13-=e 。

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