章末复习
《章末复习课》匀变速直线运动
05
匀变速直线运动的综合练习
匀变速直线运动的合成运动练习
总结词
掌握匀变速直线运动的合成运动规律，了解速度、加速度、位移等物理量的合成方法。
详细描述
匀变速直线运动是物理学中的重要概念，它涉及到速度、加速度、位移等物理量的合成和 分解。在合成过程中，需要遵循平行四边形定则，通过已知的两个分运动，求得合运动。
公式总结
v=v1+at，x=x1+vt，Δx=x2-x1=at²
匀变速直线运动与牛顿第二定律的综合运用练习
01
总结词
理解牛顿第二定律与匀变速直线运动的关系，掌握运用牛顿第二定律解
决匀变速直线运动问题的方法。
02 03
详细描述
牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比 。在匀变速直线运动中，物体的加速度恒定不变，因此可以通过牛顿第 二定律求得作用力的大小。
公式总结
E=mc²，E₁+E₂=E₃+E₄
THANK YOU
• 匀减速直线运动：当加速度a恒定且小于零时，物体做 匀减速直线运动，速度和位移随时间减小。
03
匀变速直线运动的实践应用
汽车刹车问题
01
02
03
刹车距离
汽车在行驶过程中，如果 以恒定速度刹车，其刹车 距离与车辆的重量、摩擦 系数、初速度等有关。
刹车时间
汽车刹车所需时间取决于 刹车距离、初速度、摩擦 系数等因素。
如何求解多个匀变速直线运动的合成加速度
总结词
利用等效思想，将多个匀变速直线运动等效为一个匀 变速直线运动，再利用公式求解。
详细描述
首先，将多个匀变速直线运动的时间和位移分别等效 为单个匀变速直线运动的时间和位移；其次，根据等 效思想，将多个匀变速直线运动的初速度和末速度等 效为单个匀变速直线运动的初速度和末速度；最后， 利用匀变速直线运动的加速度公式求解等效后的单个 匀变速直线运动的加速度，即为多个匀变速直线运动 的合成加速度。
第一单元《圆》章末单元复习卷 2022—2023北师大版六年级上册(含答案)
第一单元《圆》章末同步练习2022—2023北师大版六年级上册（含答案）一、选择题1. 在一个长6厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的（）厘米。
A．直径是6 B．半径是6 C．直径是4 D．半径是42. 在一个长方形内有4个相同的圆（如图），长方形的长是16厘米，长方形的宽是（）厘米。
A．1 B．2 C．4 D．83. 下面说法正确的是（）A．甲比乙多，也就是乙比甲少．B．一个假分数的倒数一定比这个假分数大．C．一个数（0除外）除以分数的商一定一定比原来的数小．D．圆有无数条对称轴．4. 下面各图中，正确画出直径的是（）。
A．B．C．D．5. 一个正方形的周长和一个圆的周长相等，哪个图形的面积大（）。
A．正方形B．圆C．一样大二、填空题6. 一个圆的半径是2厘米，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
7. 用( )可以画出一个精确的圆。
( )决定圆的大小，( )决定圆的位置。
8. 如图是14个圆，它的半径是8厘米，它的周长___________厘米，面积是___________平方厘米。
9. 一个长16厘米，宽12厘米的长方形最多可以剪( )个半径为4厘米的圆。
10. 如图,一张直径是4厘米的圆形纸片在一个边长为8厘米的正方形内任意移动，这张圆形纸片不可能接触到的部分的面积是( )平方厘米。
11. 一个半圆形的养鱼池，直径6米，它的周长是( )米，占地面积是( )平方米。
12. 一只挂钟的时针长9厘米，经过6小时后，它扫过的面积是( )，时针针尖走过的路程是( )。
13. 一个没有标出圆心的圆片，至少经过( )次对折才能找到圆心，一次对折后的折痕就是圆的( )，圆心决定圆的( )。
14. 在长10cm、宽6cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是________cm，面积是________2cm。
（π取3.14）15. 一个圆形花坛，直径是20m，在它的外围修一条2m宽的石子小路，这条小路的面积是( )2m。
九年级数学上册教学课件《第二十五章 章末复习》
按照上面的规则，请你解答下列问题：
（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
解:(1)画树状图得
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？
解: (2)由树状图得
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形两直角边分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）
解：(1)用树状图表示二者的数字之积为4的结果如下： 由上图可知，共有20种可能性相等的结果，其中数字之积为4(记为事件A)的结果有3种，所以P(A)= .
(2)若方程ax2+3x+ =0有实数根(记为事件B)，
则9-ab≥0，即ab≤9，由(1)可知满足ab≤9的结果有14种，
5.同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数和小于5的概率.
解:同时投掷两枚骰子,点数和的所有可能的结果列表如右：共有36种可能性相等的结果,其中点数和小于5的结果有6种.所以P(点数和小于5)
综合应用
6.随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域，如果指针恰好指在分格线上，取分格线右边的数字).(1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；(2)设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+ =0有实数根的概率.
C
专题训练二 函数和一元二次方程中概率的计算
（重庆中考）从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 .
2023学年新教材高中地理专项培优4地球上的水章末专题复习湘教版必修第一册(含答案)
新教材高中地理湘教版必修第一册：专项培优4 章末专题复习知识网络·宏观掌控专题一运用水循环原理探究生活实例高考对于水循环的考查，多结合一些生活中常见的现象。
可借助水循环示意图，分解这些现象的主要环节，探究其成因。
1.实例——沼泽湿地的形成一般情况下，一个地区在地势低平、排水不畅、降水量大、蒸发量小、不易下渗等多个条件作用下，土壤过度潮湿会形成沼泽湿地。
如下图所示：2.实例——内流河断流的原因内流河地处大陆内部，远离海洋，流域内降水少，河流流量普遍较小；河流流经沙漠等干旱地区时，下渗严重；气温升高，蒸发量会增大，再加上人类过度引用河水，河流水量会大量减少，出现断流现象。
如下图所示：3.实例——土地盐碱化的成因一些干旱、半干旱和半湿润地区，如我国西北和华北地区，降水较少，人类不合理的灌溉，再加上地势低平，排水不畅，导致下渗增多，地下水位上升，土壤中的盐分随水上泛至地表，由于蒸发旺盛，水分蒸发而盐分保留在地表造成土地盐碱化。
如下图所示：4.实例——城市内涝的成因城市建设使地表植被减少，地表硬化，降水时，地表水下渗减少，地表径流增多，易造成城市内涝。
如下图所示：应用体验[2022·北京怀柔高一期末]下图为“海绵城市雨水收集利用示意图”。
阅读图文材料，回答下列问题。
活动一初识海绵城市（1）海绵城市针对“下渗减排”采取的具体措施是、等。
（2）修建蓄水池、雨水罐等设施可显著影响水循环、环节。
活动二聚焦雨水花园建设雨水花园体现了海绵城市理念。
下图为“雨水花园结构图”。
（3）（双项选择题）雨水花园中（）A．地表洼地可以滞留雨水B．花草灌木减弱蒸腾作用C．种植土层加剧土壤侵蚀D．砂层、砾石层利于蓄水活动三了解雨水用途经调查发现，大量的雨水通过收集装置、过滤装置、传输通道以及储存装置被收存利用。
（4）海绵城市收存的雨水可用于回补地下水、和等。
活动四认识海绵城市的意义（5）（双项选择题）建设“海绵城市”可以。
高中数学同步教学课件 章末复习课
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22.
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a， ∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22. ∴cos θ＝23.∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23. ∴异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.
第6章 空间向量与立体几何
章末复习课
知识网络
内容索引
一、空间向量的线性运算与数量积 二、利用空间向量证明位置关系 三、利用空间向量求空间角 四、利用空间向量计算距离
一 空间向量的线性运算与数量积
1.向量的线性运算的关键是熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角 形法则，向量减法的定义及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及 其几何意义. 2.利用数量积可以解决有关垂直、夹角、长度问题，解决问题的两条途 径：一是根据数量积的定义；二是利用坐标运算. (1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；
(x－4，y－1，z－3)＝13×(1－3，－5－1，－4－2)，
x－4＝－23， 即y－1＝－2，
z－3＝－2，
x＝130， 解得y＝－1，
z＝1，
∴点 C 的坐标是130，－1，1.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， 以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹 角为60°. ①求—AC→1 的长；
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量两两夹角均为60°. M→N＝A→N－A→M＝12(A→C＋A→D)－12A→B＝12(q＋r－p)， ∴M→N·A→B＝12(q＋r－p)·p ＝12(q·p＋r·p－p2) ＝12(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
人教版数学九年级上册第二十三章《章末复习》名师教案
第23章 章末复习〔曹瑶〕一、本章思维导图二、典型例题讲解例1、随着我国经济快速开展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出以下四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是〔 〕A ．B ．C ．D ．【知识点】中心对称图形；轴对称图形质【解题过程】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；定义性质定义性质1、平面内、一个图形定义2、绕旋转中心、某个方向3、转动一定角度〔旋转角〕性质1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应点到旋转中心距离相等4、对应点与旋转中心连线夹角相等性质3、转动180°1、图形的形状、大小不变2、对应线段、对应角相等3、对应线段平行〔或者在同一直线上〕且相等4、对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分中心对称定义1、平面内、一个图形2、绕旋转中心 图案设计成中心对称中心对称图形 关于原点对称的点的坐标旋转平移轴对称B 、是轴对称图形，不是中心对称图形；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形． 应选C ．【思路点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【答案】C例2、如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，假设OB =23，∠C =120°，那么点B′的坐标为 〔 〕C'B'A'ACBOx yA.(3,3)B. (3,3)-C. (6,6)D. (6,6)-【知识点】坐标与图形的旋转变化，菱形的性质，垂直的定义，旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB 的度数，又由将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA 的度数，然后在Rt △B′OF 中，利用三角函数即可求得OF 与B′F 的长，那么可得点B′的坐标：过点B 作BE ⊥OA 于E ，过点B′作B′F ⊥OA 于F ，∴∠BEO =B′FO =90°. ∵四边形OABC 是菱形，∴OA ∥BC ，∠AOB =12∠AOC .∵∠AOC +∠C =180°，∠C =120°，∴∠AOC =60°，∠AOB =30°. ∵菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，O B′=OB=.∴∠B′OF =45°. 在等腰Rt △B′OF 中，OF =OB ′÷2=×=∴B′F=∵点B′在第四象限，∴点B′的坐标为：.应选D.【思路点拨】利用旋转的性质，找到特殊的直角三角形即可解题. 【答案】D例3、在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D 、E 分别是AB 、AC 的中点．假设等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α〔0<α≤180°〕，记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；〔直接填写结果〕（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1．E 1BCE D （D 1）APE 1BCEDD 1A图1 图2【知识点】旋转变换 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：〔1〕∵∠A =90°，AC =AB =4，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴AE =AD =2，∵等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α〔0＜α≤180°〕， ∴当α=90°时，AE 1=2，∠E 1AE =90°，1BD ==∴1E C ==故答案为25，25；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵1111AD AED ABE ACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A=∠CFP，∴∠CPF=∠F AB=90°，∴BD1⊥CE1 .【思路点拨】〔1〕利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；〔2〕根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC〔SAS〕，即可得出答案.【答案】详见解题过程第23章章末检测题〔曹瑶〕一、选择题〔每题4分，共48分〕1、以下图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．【知识点】轴对称图形与中心对称图形的概念【解题过程】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．应选C．【思路点拨】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【答案】C2、将叶片图案旋转180°后，得到的图形是()【知识点】图案旋转【解题过程】A是叶片图案经过翻转、旋转得到；B与叶片图案成轴对称；C是叶片图案经过平移得到；D是叶片图案旋转180°后得到.所以应选D.【思路点拨】以旋转图形的定义为依据进展判断，观察图形可知【答案】D.3、如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，那么∠BAC'等于〔〕A.60°B.105°C.120°D.135°【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】∵△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴∠CAC′=60°，又∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．故答案为105°【思路点拨】抓准旋转的性质，旋转角相等即可解题.【答案】B.4、在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，那么点B的坐标是()A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)【知识点】坐标系中点的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图：∴点B的坐标为〔-4，3〕．应选A．【思路点拨】画出坐标系，利用全等三角形解题.【答案】A.5、如图是一个中心对称图形，A为对称中心，假设∠C=90°，∠B=30°，AC=1，那么BB'的长为〔〕A．4 B．2 C．1 D．3【知识点】中心对称【数学思想】数形结合【解题过程】∵此图是中心对称图形，A为对称中心，∴△BAC≌△B′AC′，∴∠B =∠B′，∠C =∠C′，AC =AC′，AB=AB'， ∵∠C =90°，∠B =30°，AC =1， ∴AB′=2AC′=2，∴BB'=2AB'=4． 应选A ．【思路点拨】利用中心对称图形关于A 为对称中心，得出两图形全等，即可解决. 【答案】A .6、如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作以下变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【知识点】平移、旋转、轴对称 【数学思想】数形结合【解题过程】根据题意分析可得：①②③都可以使△ABC 变换成△PQR ． 应选D ．【思路点拨】利用平移、旋转、轴对称的定义. 【答案】D7、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中阴影局部的面积为( ) A.21 B.33 C. 33-1 D.43-1【知识点】旋转的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中， AE =AE ，AB′=AD ，∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE 〔HL 〕， ∴∠DAE =∠B′AE ， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′=60°， ∴∠DAE =0.5×60°=30°， ∴DE =33∴阴影局部的面积=1—33 应选C ．【思路点拨】找准旋转角，利用30°的直角三角形解题. 【答案】C8、如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺针旋转90°后得到△AOB′，那么点B′的坐标是〔 〕A.〔3，4〕B.〔4，5〕C.〔7，4〕D.〔7，3〕【知识点】坐标系中点的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】直线434+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于A 〔3，0〕，B 〔0，4〕两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA 长，即为3， ∴横坐标为OA +OB =OA +O′B′=3+4=7． 应选D ．【思路点拨】找对应线段，利用三角形全等. 【答案】D9、将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标中，OB 在x 轴上，假设OA =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，那么点A 的对应点A′的坐标为〔 〕A.3(，)1B.1(，)3-C.2(，)2-D.2(-，)2 【知识点】坐标与图形变化-旋转． 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：如图，∵三角板绕原点O 顺时针旋转75°， ∴旋转后OA 与y 轴夹角为45°， ∵OA =2， ∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2222=⨯，纵坐标为2222-=⨯-，所以A′点的坐标为)2,2(-，应选C. 【思路点拨】利用旋转性质得出OA′线段长度和各夹角大小，然后求出A′的坐标. 【答案】C.10、坐标平面上的机器人承受指令“[a ，A ]〞(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 假设机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，那么它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A. (-1，-3)B. (-1，3)C.(3，-1)D.(-3，-1)【知识点】图形旋转【数学思想】数形结合【解题过程】由得到：OA=2，∠COA=60°，过A作AB⊥x轴于B，∴∠BOA=90°-60°=30°，∴AB=1，由勾股定理得：OB=3，∴A的坐标是〔-3，-1〕．应选C．【思路点拨】旋转过程中对应线段相等【答案】D.11、如图，等边三角形的顶点A〔1，1〕、B〔3，1〕，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位〞为一次変换，如果这样连续经过2021次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为〔〕．A.），132014(+-B.），132014(--C.），132014(-D.），132014(+ 【知识点】翻折变换〔折叠问题〕；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵△ABC 是等边三角形AB =3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1， 横坐标为2，∴A 〔2，3+1〕，第2021次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2-2021×1=-2021， 所以，点A 的对应点A′的坐标是(-2021，3+1)故答案为：A (-2021，3+1)．【思路点拨】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可.【答案】A .12、如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ〔0°＜θ＜90°〕，PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，那么以下结论中正确的个数是〔 〕．〔1〕EF =2OE ；〔2〕S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；〔3〕BE +BF =2OA ；〔4〕在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =43．【知识点】四边形的旋转【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE =∠OCF =45°，∠BOC =90°，∴∠BOF +∠COF =90°，∵∠EOF =90°，∴∠BOF +∠COE =90°，∴∠BOE =∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OBE OCOB COF BOE ， ∴△BOE ≌△COF 〔ASA 〕，∴OE =OF ，BE =CF ，∴EF =2OE ；故正确； 〔2〕∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOF =S △BOF +S △COF =S △BOC =41S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；〔3〕∴BE +BF =BF +CF =BC =2OA ；故正确；〔4〕过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC =1，∴OH =21BC =21， 设AE =x ，那么BE =CF =1﹣x ，BF =x ，∴S △BEF +S △COF =21BE •BF +21CF •OH =21x 〔1﹣x 〕+21〔1﹣x 〕×21 =﹣21〔x ﹣41〕2+329， ∵a =﹣21＜0， ∴当x =41时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =41；故错误. 【思路点拨】〔1〕由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF 〔ASA 〕，那么可证得结论；〔2〕由〔1〕易证得S 四边形OEBF =S △BOC =41S 正方形ABCD ，那么可证得结论； 〔3〕由BE =CF ，可得BE +BF =BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BF =2OA ； 〔4〕首先设AE =x ，那么BE =CF =1﹣x ，BF =x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案.【答案】C二、填空题〔每题4分，共24分〕13、下面图形：①四边形，②等边三角形，③正方形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ．〔填序号〕【知识点】轴对称、中心对称【解题过程】①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③不是轴对称图形，是中心对称图形；④是轴对称图形，不是中心对称图形；⑤不是轴对称图形，是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形．应选答案为：①⑥．【思路点拨】把握住轴对称和中心对称的定义即可.【答案】①⑥14、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 公里.【知识点】中心对称图形的性质【解题过程】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里． 故答案为4.【思路点拨】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案.【答案】4.15、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，假设∠AOD =110°，那么∠BOC =_____. D C B A O【知识点】旋转角【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得∠AOB +∠COD =180°，又∠AOB +∠COD =∠AOC +2∠COB +∠BOD =∠AOD +∠COB ，∵∠AOD =110°，∴∠COB =70°．故答案为70°．【思路点拨】旋转角相等【答案】70°16、如图，在正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，假设BE =2，DF =3，那么AH 的长为 ．【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：由旋转的性质可知：AF=AG ，∠DAF =∠BAG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°．又∵∠EAF =45°，∴∠BAE+∠DAF =45°．∴∠BAG +∠BAE =45°．∴∠GAE =∠F AE ．在△GAE 和△F AE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△GAE ≌△F AE ．∵AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，那么EC=x-2，FC=x-3．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，即〔x -2〕2+〔x -3〕2=25．解得：x =6．∴AB =6．∴AH =6．故答案为：6．【思路点拨】由旋转的性质可知：AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，接下来再证明∠GAE =∠F AE ，由全等三角形的性质可知：AB=AH ，GE=EF =5．设正方形的边长为x ，接下来，在Rt △EFC 中，依据勾股定理列方程求解即可．【答案】6.17、如图，等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，点C 转到C′的位置，且BC′与AC 交于点D ，那么CD D C '的值为 ． 【知识点】旋转的性质，等边三角形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】设等边△ABC 的边长是a ，那么BD ＝23BC 3， C′D ＝331a a ⎛= ⎝⎭，CD = 12a .∴31'2312a C D CD a ⎛ ⎝⎭==【思路点拨】等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，那么△BCD 是直角三角形，即可求解.【答案】23.18、如图，边长为1的正方形ABCD 中绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，那么图中阴影局部的面积为 ．【知识点】旋转的性质；正方形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，连接AO ，根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，那么∠DAB′=60°．在Rt △ADO 和Rt △AB′O 中，AD=AB′，AO=AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ．∴∠OAD =∠OAB′=30°．又∵AD =1，∴OD =AD •tan ∠OAD =33 ∴阴影局部的面积33133212=⨯⨯⨯=，故答案为33 【思路点拨】此题只需把公共局部分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．【答案】33 三、解答题〔共78分〕19、〔6分〕如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为〔﹣1，3〕、〔﹣4，1〕〔﹣2，1〕，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是〔1，2〕，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2．〔1〕画出△A 1B 1C 1；〔2〕画出△A 2B 2C 2；〔3〕求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．【知识点】作图-旋转变换；作图-平移变换【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕如图，△A 1B 1C 1为所作；〔2〕如图，△A 2B 2C 2为所作；〔3〕OA =244422=+.点A 经过点A 1到达A 2的路径总长=18024901522••++π=π2226+． 【思路点拨】〔1〕由B 点坐标和B 1的坐标得到△ABC 向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A 1B 1C 1，那么根据点平移的规律写出A 1和C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；〔2〕利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；〔3〕先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长.【答案】〔1〕见上图〔2〕见上图〔3〕π226+220、〔8分〕四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得△ABE,如下图，如果AF=4，AB=7.〔1〕指出旋转中心和旋转角度；〔2〕求DE的长度.【知识点】旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；可得旋转中心为点A；〔2〕DE=AD-AE=7-4=3.【思路点拨】利用旋转的性质找到旋转角和对应线段即可.【答案】〔1〕点A；旋转角度为90°或270°〔2〕321、〔8分〕如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．〔1〕线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．〔2〕连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．【知识点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定【解题过程】解：〔1〕10；135°.〔2〕证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°，∴A 1C 1∥BC ．又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.【思路点拨】〔1〕由于将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1，根据旋转的性质可以得到A 1C 1=AC =10，∠CBC 1=90°，而△ABC 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA 1=∠CBC 1＋∠A 1BC 1=90°＋45°=135°.〔2〕由∠A 1C 1B =∠C 1BC =90°可以得到A 1C 1∥BC ，又A 1C 1=AC =BC ，利用评选四边形的判定即可证明.【答案】〔1〕10；135° 〔2〕略22、〔10分〕两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上〔如图①〕，CE =2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转一样的角度．〔1〕当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD 〔如图②〕． 〔2〕当α=45°时〔如图③〕，求证：四边形MHND 为正方形．【知识点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；正方形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】证明：〔1〕如图②，∵由题意知，AD=GD ，ED=CD ，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ，即∠ADE=∠GDC ，在△AED 与△GCD 中，AD GD ADE GDC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GCD 〔SAS 〕；〔2〕如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．【思路点拨】〔1〕根旋转的性质得AD=GD，CD=ED，由于∠CDE=∠EDC,那么可根据全等三角形的判定方法SAS得到△AED≌△GCD〔SAS〕；〔2〕由于α=45°，结合旋转的性质，∠CNE=90°，再根据矩形的性质∠GHN=∠AND=90°，可以判定四边形MHND是矩形，最后根据DN=NH，所以可判断矩形MHND是正方形.【答案】见解题过程23、〔10分〕如图，△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α〔α＜60°〕，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．〔1〕求证：BE=CD；〔2〕假设AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】证明：〔1〕∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α〔α＜60°〕，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AB =AC ， ∴∠BAE =∠CAD ， 在△ACD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE CAD BAE AC AB ， ∴△ACD ≌△ABE 〔SAS 〕， ∴BE =CD ； 〔2〕∵AD ⊥BC ， ∴BD =CD ，∴BE =BD =CD ，∠BAD =∠CAD ， ∴∠BAE =∠BAD ， 在△ABD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE BAD BAE AB AB ， ∴△ABD ≌△ABE 〔SAS 〕， ∴∠EBF =∠DBF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠DBF =∠EFB ， ∴∠EBF =∠EFB ， ∴EB =EF ， ∴BD =BE =EF =FD ， ∴四边形BDFE 为菱形 【思路点拨】〔1〕根据旋转可得∠BAE =∠CAD ，从而SAS 证明△ACD ≌△ABE ，得出答案BE =CD ； （2）由AD ⊥BC ，SAS 可得△ACD ≌△ABE ≌△ABD ，得出BE =BD =CD ，∠EBF =∠DBF ，再由EF ∥BC ，∠DBF =∠EFB ，从而得出∠EBF =∠EFB ，那么EB =EF ，证明得出四边形BDFE 为菱形【答案】 详见解题过程24、〔12分〕数学问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1〔其中m 、n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1〕． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进展探究． 探究一：计算21+221+321+...+n 21． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影局部的面积为21； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续二等分，阴影局部的面积之和为21+221； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续二等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后二等分，所有阴影局部的面积之和为21+221+321+...+n 21，最后空白局部的面积是n 21． 根据第n 次分割图可得等式：21+221+321+...+n 21．=1﹣n 21．探究二：计算31+231+331+...+n 31．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影局部的面积为32； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续三等分，阴影局部的面积之和为32+232； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续三等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后三等分，所有阴影局部的面积之和为32+232+332+...+n 32，最后空白局部的面积是n 31． 根据第n 次分割图可得等式：32+232+332+...+n 32=1﹣n 31，两边同除以2，得31+231+331+...+n 31=21-n321⨯．探究三：计算n 41...41414132++++．〔仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影局部面积，并写出探究过程〕解决问题：计算m 1+21m +31m +...+n m1． 〔只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影局部面积，并完成以下填空〕 根据第n 次分割图可得等式： ， 所以，m 1+21m +31m +...+n m1= ． 拓广应用：计算n n 51-5...51-551-551-53322++++． 【知识点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类 【数学思想】数形结合【解题过程】解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影局部的面积为43； 第2次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续四等分， 阴影局部的面积之和为24343+； 第3次分割，把上次分割图中空白局部的面积继续四等分， …，第n 次分割，把上次分割图中空白局部的面积最后四等分，所有阴影局部的面积之和为：n 43...43434332++++，最后的空白局部的面积是n 41，根据第n 次分割图可得等式：n n 41-143...43434332=++++，两边同除以3，得nn 431-3141...41414132⨯=++++； 解决问题：n n mm m m m m m m m 1-11-...1-1-1-32=++++， m 1+21m +31m +...+n m 1=nm m m ⨯---）（1111；故答案为：n n 41-143...43434332=++++，nmm m ⨯---）（1111.拓广应用：n n 51-5...51-551-551-53322++++ =1﹣51+1﹣251+1﹣351+…+1﹣n 51，=n ﹣〔51+251+351+…+n 51〕，=n ﹣〔41﹣n 541⨯〕，=nn 54141⨯+-．【思路点拨】探究三：根据探究二的分割方法依次进展分割，然后表示出阴影局部的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影局部的面积及，再除以〔m ﹣1〕即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进展计算即可得解.【答案】n n 41-143...43434332=++++，nm m m ⨯---）（1111，n n 51-5...51-551-551-53322++++=n n 54141⨯+- 25、〔12分〕在校园文化建立活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a 〔a ＞1〕的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值. 【知识点】作图—应用与设计作图 【数学思想】数形结合【解题过程】解：①如图，a =4，②如图，a =25，③如图，a =34，④如图，a =35，【思路点拨】平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a 〔a ＞1〕，剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图. 【答案】a =4、a =25、a =34、a =35. 26、〔12分〕：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点〔点P 不与点A 、C 重合〕，分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点． 〔1〕当点P 与点O 重合时如图1，易证OE =OF 〔不需证明〕〔2〕直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE =30°时，如图2、图3的位置，猜测线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜测，并选择一种情况给予证明．【知识点】四边形中的旋转 【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO =∠CFO =90°， 在△AEO 和△CFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COF AOE OCAO CFOAEO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴OE =OF ．〔2〕图2中的结论为：CF =OE +AE ． 图3中的结论为：CF =OE ﹣AE ． 选图2中的结论证明如下： 延长EO 交CF 于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO =∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COG AOE OCAO GCO EAO ， ∴△EOA ≌△GOC ， ∴EO =GO ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵EO =OG ， ∴OE =OF =GO ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG =90°﹣30°=60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF =GF ， ∵OE =OF ， ∴OE =FG ， ∵CF =FG +CG ， ∴CF =OE +AE ．选图3的结论证明如下： 延长EO 交FC 的延长线于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠AEO =∠G ， 在△AOE 和△COG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OC AO GOC AOE G AEO∴△AOE ≌△COG ， ∴OE =OG ，AE =CG ， 在RT △EFG 中，∵OE =OG ， ∴OE =OF =OG ， ∵∠OFE =30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．【思路点拨】〔1〕由△AOE≌△COF即可得出结论．〔2〕图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似.【答案】略。
《章末复习课》一元二次函数、方程和不等式
详细描述
方程与不等式之间有着密切的联系，如一元二次 方程的实数根范围问题、一元二次不等式的解法 等。这类问题需要学生掌握方程与不等式的联系 和区别，灵活运用知识点进行解题。
例题
解不等式$x^{2} - 3x + 2 > 0$。
函数与不等式的结合
总结词
知识点多，思维难度大
解题策略
熟练掌握函数和不等式的知识点；寻找题 目中的隐含条件；运用数形结合思想解题
性质
一元二次不等式的解集与系数`a`, `b`, `c`的值有关，也与二次函数的图像和x轴的位置关系 有关。
判别式
判别式`Δ = b^2 - 4ac`是一元二次不等式解集的重要参数。根据判别式的不同，解集会有 不同的形式。
解法与技巧
求解步骤
一元二次不等式的求解一般分为三步 ：移项、配方和开方。移项是将不等 式转化为二次项系数为正的形式；配 方是根据二次项系数为1的情况下的 配方法则进行配方；开方是根据配方 的结果进行开方，得出两个一元一次 不等式，然后求解这两个一元一次不 等式的并集即可得到原不等式的解集 。
VS
技巧
在解一元二次方程时，可先尝试通过因式 分解简化方程，再根据不同情况选择合适 的解法。对于不含一次项的系数为0的情 况，可直接令一次项系数为0求解。
实际应用
应用领域
一元二次方程在实际生活中应用广泛，如几何、物理、经济等领域。例如，在几何中，一元二次方程 可用于求解三角形面积的最大值或最小值；在物理中，一元二次方程可用于求解波动问题；在经济中 ，一元二次方程可用于求解最优定价等问题。
性质
一元二次函数具有二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，以及定义 域和值域等性质。
图像与性质
八年级数学上册教学课件《第十一章 章末复习》
三
角
三角形的内角和
形
三角形的外角和
边 高 中线 角平分线 多边形的内角和
多边形的外角和
① 三角形的定义
a.边：组成三角形的线段 b.顶点：相邻两边的交点 c.角：相邻两边组成的角 d.表示法：△ABC
② 三角形的分类：
a.按边分：等腰三角形和不等边三角形 b.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形
解：（1）S△ABC
1 2
AC·BC
1 512 2
30(cm2 ).
S△ABC
1 2
AB·CD，
CD AC·BC 60 (cm).
AB 13
（2）S△ABE
S△BCE
1 2
S△ABC
15(cm2 ).
拓展延伸 3.一轮船由B 处向C处航行，在B 处测得C
处在B 的北偏东75°方向上，在海岛上的观察 所A 测得B 在A 的南偏西30°方向，C 在A的南 偏东25°方向；若轮船行使到C 处，那么从C 处 看A、B 两处的视角∠ACB是多少度？
解：根据题意，画出示意图如图所示： 另求出∠ABC =75°- 30°= 45°， ∠BAC = 30°+25°= 55°， 所以∠ACB =180°- 45°- 55°= 80°.
课堂小结 边
与三角形有关的线段
高 中线
三
角
三角形的内角和
形
角平分线 多边形的内角和
三角形的外角和
多边形的外角和
课后作业
B
DE
C
A 组 复习与三角形有关的线段：
2．如图：
A
（3）若AF =CF，BF 与
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典例精析 例1 某股民在上星期五买进某种股票500股， 每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况 (单位：元).
星期
每股涨跌
一
＋4
二
＋4.5
三
－1
四
－2.5
五
－6
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋4
＋4.5
－1
－2.5
－6
①星期三收盘时，每股是多少元？ ②已知买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出 时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，如果 在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的 收益情况如何？
8.什么叫做科学记数法，它的表达形式是怎 样的？如何按要求求一个数的近似数？以及由 近似数怎么确定其精确度？ 将一个数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜ 10，n为正整数），这种记数方法叫做科学记数 法.求一个数的近似数时，先明了要求的精确度， 再根据精确度四舍五入.由近似数确定其精确度， 则要看近似数的最末位数字在哪个数位上即为其 精确度.
例2 计算：
2 1 1 2 8 2 2 2
解： =2 8 4
=4
1 2 1 2 2 3 2 4 2 4 3 3 9 4 4 解：=9 4+ 4 9 3 16 12 = 4+ 9 9 64 = 9
2
2
3 1 3 1 3 1 4 3 1+ 2 16 4 16 4 2
1 27 1 12 8 解： = 1+ + 16 16 64 16 16 16
章末复习
R· 七年级上册
知识框图
1.知识结构 有理数 有理数的运算
加 法
交换律 结合律 乘 法 乘 方
减 法
分配律 除 法
点与数的对应
数 轴
比较大小
• 复习目标： 1. 能表述出本章的知识结构和有关概念、法则. 2. 能熟练把握有理数的运算顺序和运算技巧.
推进新课
2. 什么叫做数轴？它有什么用途？什么叫做 绝对值？怎样化简绝对值？什么是相反数和倒数？
有理数的减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数.
有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝 对值相乘.任何数与0相乘，都得0. 有理数的除法法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.
n个相同的因数相乘 6.有理数的乘方意义是___________________. 一个数的乘方符号怎样确定？ 先乘方，再乘除， 7.有理数的混合运算顺序是_______________ 后加减 __________.
-3 -2 -1 0 1 2 3
在数学中，可以用一条直线上的点表示数， 这条直线叫做数轴.数轴可以用来表示数，也可以 比较数的大小.数轴上表示数a的点与原点的距离 叫做数a的绝对值.如果a≥0，则a=a，如果a＜0， 则a=-a.只有符号不同的两个数叫互为相反数.乘积 是1的两个数互为倒数.
3.为了表示具有相反意义的量，引入了
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
＋4
＋4.5
－1
－2.5
－6
分析：①实际上是求买股票时每股的价格与 星期一、二、三几天的每股涨跌值的代数和，故 60＋4＋4.5－1＝67.5 列出算式：____________________.
分析：②收益=总收入-总支出 总收入=卖出时每股价格×股数，所以总收入 29500 59 ×______ 500 ＝_________ =______ 总支出由购买成本、手续费，卖出时手续费、 交易费四部分组成. 60 ×______=________ 500 30000 其中购买成本=_____ 购买时手续费=________ 45 30000 ×1.5‰ =______ 44.25 卖出时手续费=________ 29500 ×1.5‰ =______ 29500 ×1‰=_______ 29.5 卖出时交易费=________ 29500 － 按上面结果求得它的最终收益为：________ ______________________________________. 30000 － 45－44.25 － 29.5＝ － 618.75元
a a b b
，得a、b同号，
①a＝3，b＝4，3a＋2b＝3×3＋4×2＝17. ②a＝－3，b＝－4，3a＋2b＝3×(－3)＋ 4×(－2)=－17.
拓展延伸 1 2 3 4 ， ， ， ， 4.观察下列数，探究其规律：
5 6 ， ，… 6 7 2 3 4 5
（1）分别计算第1个数和第2个数的和，第3个 数与第4个数的和： （2）猜想：第n个数和第（n+1）个数的和 （n为奇数）. 1 1 2 1 3 4 1 . 解： 1 , ; 2 n 1 n 2 2 3 6 4 5 20
相反 数.它在现实生产、生活中有什么用途？ _______
4. （ 整 ）数 有理数 （ 分 ）数
（ 正整数 ） （ 零 ）
（ 负整数 ）
（ 正分数 ） （ 负分数 ）
p 若p、q是整数，q ≠ 0，则有理数可用 q _______ 来表示.
5 . 有理数的加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值.互为相反数的两个数相加得0.一个数同0相 加，仍得这个数.
课堂小结 加 法
交换律 结合律 乘 法 乘 方
减 法
有理数
有理数的运算
分配律 除 法
点与数的对应
数 轴
比较大小
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
声
明
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35 21 = 4 16
35 16 20 = = 4 21 3
随堂演练
基础巩固 1.下列运算正确的是（ D ）
5 2 5 2 A. + = + = 1 7 7 7 7
B.－7－2×5＝－9×5＝－45
5 4 C. 3 =3 1=3 4 5
D.－(－3)3=27
2. 已知|ab| = －ab ≠ 0，且| a | = | b |，则下列 式子结果不正确的是（ C ） A.a＋b＝0
1 1 B. 0 a b
C.a2＋b2＝ 0
D.a3＋b3＝0
综合应用 a a ，求3a＋ 3.若|a| = 3，|b| = 4，且 b b 2b的值. 解：由