章末复习课

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，
∴OF∥平面 PMD.又 MA 綉12PB， ∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形. ∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD.
【训练2】 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平 面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证： 平面DMN∥平面ABC. 证明 ∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC. ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC. ∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綉BD.∴四边形BCND为矩形.∴DN∥BC. 又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN， ∴平面DMN∥平面ABC.
S球＝4πR2，R为 球的半径
V＝43πR3，R 为 球的半径
2.平面的基本性质 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平 面内. (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.
【训练3】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点. 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(3)因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形. 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 因为BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
2.垂直关系的转化是：
【 例 3 】 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， AB∥CD ， AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E 和F分别为CD和PC的中点.求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
r，则高h＝2r.
∵S＝S 侧＋2S 底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝
S 6π.
又正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底边 AB＝2rsin 45°＝ 2r，
∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V＝S 底·h＝( 2r)2·2r＝4r3＝4

6Sπ3＝S
6πS 9π2 .
(3)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义；
②判定定理 1： ml⊥，mn，⊂αl⊥，n m∩n＝A⇒l⊥α； ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
5.面面关系 (1)两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种. (2)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (3)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法有： ①根据定义(作两平面构成的二面角的平面角，计算其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).
章末复习课
[网络构建]
[核心归纳] 1.空间几何体的结构特征及其表面积和体积
名称
形成
图形
有两个面互相平行，
多
其余各面都是四边形，
面
并且相邻两个四边形
柱
体
的公共边都互相平行，
棱
由这些面所围成的多
面体
表面积
体积
围成它的各 个面的面积 的和
V棱柱＝Sh S为柱体的底 面积，h为柱 体的高
有一个面是多边形，
V 三棱柱 AGD－BHC＝13× 42×12×2＋ 42×1＝ 32.故选 A. 答案 A
【训练1】 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱
的体积.
解 如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－
A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱.设等边圆柱的底面半径为
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE.
故该圆柱的内接正四棱柱的体积为S
6πS 9π2 .
要点二 空间中的平行关系 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其 中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维” 的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理 时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化 的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规 律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.
各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其 中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.
2.常见的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解. (2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体 积的几何体，从而求出原几何体的体积. (3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点 和底面，利用体积不变的原理来求原几何体的体积.
(3)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时，要通 过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
4.线面关系 (1)直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种. (2)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
V 圆锥＝13πr2h (r 是底面半径， h 是高)
用平行于圆锥底面
圆 的平面去截圆锥，
台 底面与截面之间的
旋
部分
转
体
半圆以它的直径所
圆
在直线为旋转轴，
球 旋转一周形成的曲
面叫做球面，球面
所围成的旋转体
S圆台＝π(r′2＋r2＋ r′l＋rl)(r′，r分别 是上、下底面半 径，l是母线长)
V 圆台＝13πh(r′2ห้องสมุดไป่ตู้ r′r＋r2)(r′，r 分 别是上、下底面 半径，h 是高)
要点三 空间中的垂直关系 1.空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法有： ①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②由线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)； ③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°. (2)判定线面垂直的方法有： ①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；
【例1】 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE， △BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A.
2 3
B.
3 3
C.43
D.32
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，
连接DG，CH， 容易求得 EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝ 23， 取 AD 的中点 O，连接 GO，易得 GO＝ 22， ∴S△AGD＝S△BHC＝12× 22×1＝ 42， ∴多面体的体积 V＝V 三棱锥 E－ADG＋V 三棱锥 F－BCH＋V 三棱柱 AGD－BHC＝2V 三棱锥 E－ADG＋
其余各面都是有一 棱
个公共顶点的三角 多 锥 形，由这些面所围