【配套K12】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的坐标运算
若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.
【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2
=10. (1)求D 点的坐标;
(2)用AB 、AD 表示AC .
思路分析:求D 点坐标要先设出D 点的坐标,然后用待定系数法求之.
解：(1)设D(x,y),则AB =(1,2),AD =(x+1,y), 所以AB ·AD =x+1+2y=5,①
2=(x+1)2+y 2=10.②
联立①②,解之,得⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧=-=.1,23,2y x y x 或 所以D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)当D 点的坐标为(-2,3)时,AB =(1,2),
AD =(-1,3),AC =(-2,1),设AC =m AB +n AD ,
则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
所以⎩⎨⎧+=-=-.
321,2n m n m 所以m=-1,n=1. 所以=-+.
当D 点的坐标为(2,1)时,设=p AB +q AD ,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以⎩⎨⎧+=+=-.
21,32q p q p 所以p=1,q=-1. 所以=-.
综上,当D 点的坐标为(-2,3)时,=-+.
当D 点的坐标为(2,1)时,=AB -AD .
各个击破
类题演练 1
设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值.
思路分析:运用(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°列出等式,解方程.
解:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),
(a +t b )·b =(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,
|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=
+-++t t t . 由(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°,
得5t+5=
4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.
温馨提示
本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.
变式提升 1
已知向量a 与b 同向,b=(1,2),a·b =10.
(1)求向量a 的坐标;
(2)若c =(2,-1),求(b ·c )a .
思路分析:因为a 与b 同向,所以在设出a 的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件. 解:(1)∵a 与b 同向,∴可设a =(k,2k)(k>0).
又a·b =10,∴(k,2k)·(1,2)=10⇒k=2.
∴a =(2,4).
(2)(b ·c )a =［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.
二、两向量垂直条件的坐标表示
设a 与b 为两个非零向量,且a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0.
【例2】 在△ABC 中,=(2,3),AC =(1,k),且△ABC 为直角三角形,求k 的值.
思路分析:题目中只给出了△ABC 为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论. 解：若∠A=90°,由已知得AB ·AC =0,
∴2×1+3k=0,解得k=3
2-. 若∠B=90°,则·=0, ∵=-=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∴AB ·=2×(-1)+3(k-3)=0,
解得k=3
11. 若∠C=90°,则·=0.
∴1×(-1)+k(k-3)=0,
即k 2-3k-1=0,解得k=2
133±. 综上可得k=32-或k=311或k=2
133±. 类题演练 2
已知a =(1,0),b =(1,1),当λ为何值时,(a +λb )⊥a ?
思路分析:先求出a +λb 的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.
解:∵a =(1,0),b =(1,1),∴a +λb =(1+λ,λ).
又∵a +λb 与a 垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.
∴当λ=-1时,a +λb 与a 垂直.
变式提升 2
平面上三点A 、B 、C 共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且⊥.求m 、n 的值. 思路分析:解答本题要注意A 、B 、C 三点共线这个条件的运用,即与共线. 解:由题意得向量AB 与共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.
∴⎩⎨⎧=+-=----+.
02,0)1(7)1)(2(m n m m n 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==.23,33,6n m n m 或 三、向量的模、距离和夹角公式
1.设a =(a 1,a 2)，
则|a |=2221a a +.
2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 则=(x 2-x 1,y 2-y 1)， ∴|AB |=212212)()(y y x x -+-.
3.设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),
则cos 〈a ,b 〉=222122212
211b b a a b a b a +∙++.
【例3】 已知a =(-2,-1),b=(λ,1),若a 与b 的夹角α为钝角,求λ的取值范围.
思路分析：由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cos θ=||||b a b a ∙去
判断θ分五种情况:cos θ=1,θ=0°;cos θ=0,θ=90°;cos θ=-1,θ=180°;cos θ<0且cos θ≠-1,θ为钝角;cos θ>0且cos θ≠1,θ为锐角.
解:由题意cos α=1
512||||2+∙--=∙λλb a b a , ∵90°<α<180°,∴-1<cos α<0.
∴-1<151
22+∙--λλ<0. ∴⎪⎩⎪⎨⎧+->--<--.
5512,0122λλλ 即⎪⎩
⎪⎨⎧+<+->.55)12(,2122λλλ即⎪⎩⎪⎨⎧≠->.2,21λλ
∴λ的取值范围是(-2
1,2)∪(2,+∞). 类题演练 3
已知a 、b 是两个非零向量,同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.
思路分析:设出a 与b 的坐标,运用公式.
解:设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).
∵|a |=|b |,
∴x 12+y 12=x 22+y 22.
由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=
21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2·
21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12), 得|a +b |=)(32121y x +.
设a 与a +b 的夹角为θ,则cos θ=233)(21)(||||)(21
21212121212121=+∙∙++++=++∙y x y x y x y x b a a b a a . ∴θ=30°.
变式提升 3
如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，试用向量法证明⊥
.
证明:以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，
|DP |=λ，则A （0，1），P （22λ，22λ），E （1，22λ），F （2
2λ，0）. 于是PA =（22-λ，1-22λ），EF =(2
2λ-1,22-λ).
∵·=(22-λ)·(22λ-1)+(1-2
2λ)(22-λ)=0, ∴PA ⊥EF .。