最新人教版高中数学选修4-4《极坐标系》课后导练

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人教版数学选修4-4课后练 1.2 极坐标系课后 Word版含答案

第一讲一、选择题．(·湖南大学附中期末)在极坐标系中与点重合的点是( )．．．．解析：在极坐标系中与点重合的点是，故选．．(·北京东城一模)已知点的极坐标为，那么将点的极坐标化成直角坐标为( )．．．．解析：由点的极坐标为，得＝π＝－，＝＝，∴点的直角坐标为.．(·福建泉州一中期末)点的直角坐标是(，－)，在ρ≥≤θ<π的条件下，它的极坐标是( )．．．．解析：∵点的直角坐标是(，－)，∴在ρ≥≤θ<π的条件下，ρ＝＝，θ＝＝－，又点是第四象限的点，∴θ＝π，∴其极坐标为，选．．点(，)经过伸缩变换(\\(′＝()，′＝))后所得点的极坐标为( )．．．．解析：点(，)经过伸缩变换(\\(′＝()，′＝))后所得点的直角坐标为(，)，因为ρ＝＝，θ＝＝，又因为(，)在第一象限，所以θ＝，故选．．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( )．关于极轴所在直线对称．关于极点对称．重合．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：两点的极径相等，且极径所在射线关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故选．．(·北京高三模拟)在极坐标下，圆：ρ＋ρθ＋＝的圆心坐标为( )．() ．．(，π)．解析：圆的直角坐标方程为＋＋＋＝，圆心坐标为(，－)，圆心的极坐标为.二、填空题．(·广东汕头二模)在极坐标系中，定点，点在直线ρθ＋ρθ＝上运动，当线段最短时，点的极坐标为.解析：直线ρθ＋ρθ＝的直角坐标方程为＋＝①，定点的直角坐标为(，－)，动点在直线＋＝上运动，当线段最短时，直线垂直于直线＋＝，则直线：＝－②联立①②可得，化成极坐标为.．(·广东惠州中学期末)在极坐标系中，已知两点，的极坐标分别为，，则△(其中为极点)的面积为.解析：，的直角坐标分别为，(，)，则△＝.．将点的直角坐标化为极坐标(ρ>，θ∈[π))为.解析：ρ＝＝π，又∵θ＝＝－，θ∈[π)且点在第二象限，∴θ＝π，∴极坐标为.三、解答题．在极坐标系中，已知△的三个顶点的极坐标分别为，(，π)，.()判断△的形状；()求△的面积．解析：()由极坐标系中两点间的距离公式得到＝＝＝，故△是等边三角形．() 由()得△＝×()＝.．在极坐标系中，如果，为等腰直角三角形的两个顶点，求直角顶点的极坐标(ρ≥≤θ<π)．解析：设直角顶点的极坐标为(ρ，θ)，由题意可知＝＝，故\(\)(\\(θ－(π))))＝\(\)(\\(θ－(π))))＝＝.所以θ＝π或θ＝π，ρ＝.所以直角顶点的极坐标为或.．(·湖北团风中学高二月考)在极坐标系中，已知三点，()，.()将，，三点的极坐标化为直角坐标；()判断，，三点是否在一条直线上．解析：()由公式(\\(＝ρθ，＝ρθ，))得的直角坐标为(，－)；。

2020年高中数学人教A版选修4-4练习(二) 极坐标系 Word版含解析

课时跟踪检测(二) 极坐标系一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和HD ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点． 2．将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝⎛⎭⎫2，76π.答案：⎝⎛⎭⎫2，76π6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析：|AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3. 又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4. 所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4. (3)ρ＝(－3)2＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2020年高中数学理科选修4-4极坐标系习题(附答案)

高中数学理科选修4-4极坐标系习题（附答案）一、单项选择及填空1、在直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，2）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（）A ． B.(2） C ． D ． 2、在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是（）A.θρcos 2a -=（232πθπ<≤） B.θρcos a =（πθ<≤0） C.θρsin 2a -=（232πθπ<≤） D.θρsin a =（πθ<≤0） 3、极坐标系中，圆上的点1=ρ到直线2sin cos =+θρθρ的距离最大值为（） A.2 B. 12+ C. 12- D. 224、在极坐标系中，点)3,4(πM 到曲线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值为（）A.2B.4C.6D.85、欲将曲线22143x y +=变换成曲线221x y ''+=，需经过的伸缩变换ϕ为（） A .2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ B.12x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩ C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩ D.1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩6、在极坐标系中，直线02)sin (cos =+-θθρ被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为．7、在极坐标系中，以2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为 . 8、在极坐标系中，点32,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:3cos 4sin 3l ρθρθ-=的距离为．三、解答题.9、在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：，交于不同的两点A，B．（1）求|AB|的值；（2）求过点C（1，0）且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．10、已知曲线C的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程参考答案一、单项选择1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】B6、【答案】)43,2(π 7、【答案】4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8、【答案】1 三、解答题9、【答案】（1）把曲线C 1和曲线C 2 的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d 的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．（2）用待定系数法求得直线l 的方程为直线l 的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l 的极坐标方程解：（1）曲线C 1：ρ=2，即x 2+y 2=4，表示以原点O （0，0）为圆心，半径等于2的圆．曲线C 2：，即 x ﹣y+2=0，表示一条直线．圆心到直线的距离为d==，故弦长|AB|=2=2．（2）设过点C （1，0）且与直线AB 平行的直线l 的方程为 x ﹣y+m=0，把点C 的坐标代入求得m=﹣1，故直线l 的方程为 x ﹣y ﹣1=0，即 ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0，即ρsin （θ﹣）=1．10、60y +-=试题分析：根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析：由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，5分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 60y +-=．10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程。

最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：极坐标系 Word版含解析.doc

二极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积．参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。

(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

人教版数学选修4-4课后练 1.2 极坐标系课末 Word版含答案

第一讲 1.2
1．已知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，π3，下列所给出的能表示该点的坐标的是( D ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，4π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，－5π3 解析：M (ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，M (5，π3)也可以表示为(5，π3
＋2k π)(k ∈Z )，故选D ． 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( B )
A ．(ρ，θ)
B ．(ρ，－θ)
C ．(ρ，θ＋π)
D ．(ρ，π－θ)
解析：在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点的极径不变，极角关于极轴对称．故选B ．
3．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3. 解析：ρ＝x2＋y2＝错误!＝2，tan θ＝错误!＝－错误!，因为点M 在第二象限，所以取θ＝错误!，
故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. 4．(2016·湖北黄冈检测)在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，(3,0)，O 为极点，求： (1)|AB |；(2)求△AOB 的面积．
解析：(1)△AOB 中，|OA |＝2，|OB |＝3，∠AOB ＝π3
由余弦定理得 |AB |＝
|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos π3＝ 22＋32－2×2×3×12＝7.
(2)S △AOB ＝12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝
1
2×2×3×
3
2＝
33
2.。

高中数学人教A版选修4-4课后训练：1.2极坐标系 Word版含解析

课后训练1．下列各点中与极坐标π57⎛⎫⎪⎝⎭，表示同一个点的是( )． A ．6π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．15π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．6π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2．在极坐标系内，点π32⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π33⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11π36⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．已知点M 的极坐标为π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．4π53⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π53⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．5π53⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，和⎝⎛⎭⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )．A ．2B ．2C ．2D ．25．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________．6．直线l 过点π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π63⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：①π4⎫⎪⎭；②π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)：①；②(－1，－1)；③(－3,0)．10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π66B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π86C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积；(3)求△ABC 的边AB 上的高．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A解析：化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：C解析：A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知13ππ5π1246AOB ∠＝－＝. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，所以，由余弦定理，得 |AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos5π6＝9＋9－2×9×2⎛- ⎝⎭＝2918(12＋＝.∴||AB 5. 答案：2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋(k ∈Z )解析：4ρ，tan 2y x θ-＝＝ ∴2π3θ＝.∴点(－用极坐标表示为2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(k ∈Z )． 6. 答案：π4解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， πππ 366AOB ∠＝－＝，所以ππ5π6212OAB ∠－＝＝，所以π5πππ3124ACO ∠＝－－＝. 7. 解：A ，B两点的直角坐标分别为(－，．线段AB的中点的直角坐标为12⎛- ⎝⎭.则ρtan θ-＝所以线段AB的中点的极坐标为)θ，其中tan θ＝－8. 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)．因为π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则A 的直角坐标为(4,4)，5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．9.解：(1)①πcos 14x＝， πsin 14y ＝，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． ②x ＝6·cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3， y ＝6·sin π3⎛⎫-⎪⎝⎭＝－所以点π3⎫-⎪⎭的直角坐标为(3，－． ③x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρtan θ又因为点在第一象限，所以π3θ＝.所以点的极坐标为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.②ρtan θ＝1．又因为点在第三象限，所以5π4θ＝.所以点(－1，－1)的极坐标为5π4⎫⎪⎭.③3ρ，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10. 解：4π5ππ362AOB ∠＝－＝，7π5ππ663BOC ∠＝－＝，4π7ππ366COA ∠＝－＝.(O 为极点)(1)||AB |BC |＝＝|AC |＝＝∴△ABC 是等腰三角形．(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝ S △COA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝ 4.(3)设AB 边上的高为h ，则2||13ABC S h AB ∆＝＝.。

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课后导练
基础达标
1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )
A.(2,
4
π) B.(2,43π) C.(2,45π) D.(2,47π)
解析:因为点P(-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为4
3π
,故选B.这种
类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B
2.点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )
A.(-ρ0,θ0)
B.(ρ0,-θ0)
C.(-ρ0,-θ0)
D.(-ρ0,θ0+π) 解析:由ρ取负值时点的确定方法即得. 答案:A
3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2. 答案:C
4.曲线的极坐标方程为aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线解析:将方程aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0各项都乘以ρ,
aρ2cos 2θ+bρcosθ-ρsinθ=0⇒ax 2+bx-y=0⇒y=ax 2+bx,是抛物线. 答案:D 5.点P 1(2,
4π),P 2(-3,-4
π
),则|P 1P 2|的值为( ) A.13 B.5 C.2613+ D.2613- 解析:应用极坐标系中两点间的距离公式
|P 1P 2|=)cos(212212
22
1θθρρρρ--+(ρ1、ρ2≥0). 其中P 1(2,4
π),P 2(3,43π),代入可得.
答案:A 6.已知点A(-2,-2
π),B(2,43π),O(0,θ),则△ABO 为( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角等腰三角形
D.等腰直角三角
形
解析:点A(-2,2
π
-)即为A(2,
2
π), ∴∠AOB=
4
π
,且|OB|=2,|OA|=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D
7.直线l 过点A(3,
3π)、B(3, 6
π
),则直线l 与极轴夹角等于_____________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴的夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据
点A 、B 的位置分析夹角的大小
.
∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=
3π-6π=6
π, ∴∠OAB=
12526ππ
π=-
. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π
.
答案:4
π
8.极坐标方程ρ2=θ
θ
ρ2
sin cos 44+f 所对应的直角坐标方程为____________. 解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==,
0,tan ,
,sin ,cos 222x x y
y x y x θρθρθρ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可.
答案：y 2=4(x+1)
9.已知下列各点的极坐标为A(5,2π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3
π
),画出这些点,并求出它
们的直角坐标. 解:这些点如下图
.
利用公式⎩
⎨⎧==,sin ,
cos θρθρy x
即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(33-,-3),D(32-,-2),E(0,0).
10.极坐标方程4ρsin 2
2θ
=5表示的曲线是…( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为2
c o s 14θ
ρ
-=5,即4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10. ∵ρ=2
2y x +,∴16(x 2+y 2)=(4x+10)2.整理,得4y 2-20x-25=0.∴为抛物线.
答案:D 综合运用
11.极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( )
A.两条射线
B.两条相交直线
C.圆
D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y=x 3±. ∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B
12.极坐标方程ρ=cos(
4
π
-θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos
4πcosθ+sin 4
π
sinθ. 两边同乘以ρ,得ρ2=
θρθρsin 2
2
cos 22+, 即x 2+y 2=
y x 2
222+, 即为x 2+y 2-y x 2
2
22-=0表示圆. 答案:D
13.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
4π)=2
2
,则原点到该直线的距离是___________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=2
2,∴ρsinθcos 4π+ρcosθsin 4π=22
, 即x+y=1.
∴原点到直线x+y=1的距离为d=
2
2
2
1=
. 答案:
2
2 拓展探究
14.在极坐标系中,O 是极点,设点A(4,
3
π),B(5,-65π),则△AOB 的面积是______________. 解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π-3π-6
5π=65π
.
∴S △OAB =
21×4×5×sin 6
5π
=5. 答案:5
点评：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P 的一极坐标为(4π,4
π
)，那么点P 适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(
4π,4
9π)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，当且仅当点P 的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C 的方程.。

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