最新高三数学专题复习资料平面向量的数量积及平面向量的
平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习
平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos
1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos
θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
高三数学平面向量的数量积
cos θ －sin θ cos θ ＝0.
∴ a ⊥b . (2)由x⊥y得：x·y＝0，
即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.
【答案】 C
5．(2009 年重庆高考)已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向 量 a 与 b 的夹角是( A. π 6 π B. 4 π D. 2 )
【思路点拨】 (1)可通过求a²b＝0证明a⊥b. (2)由x⊥y得x²y＝0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小
值．
【自主探究】
π (1)∵a²b＝cos(－θ )²cos －θ ＋ 2
π sin(－θ )²sin －θ ＝sin θ 2
第十节
平面向量的数量积及平面 向量应用举例
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量 数量积的运算. 考纲点 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 击 量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题. 1.平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与 垂直问题是高考命题的热点，多以选择、填 热点提 空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变.
2 2 2 2 2 2
＝3 ＋6－2³4 ＝－17.
平面向量的垂直问题
已知向量a＝(cos (－θ )，sin(－θ ) )，
专题28平面向量的数量积及应用(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
即
a
b
2 ，设 a 与 b
的夹角为 ，则 a b
a
b cos
1 ，即 cos
1 ab
，
且
a
b
2 ，则 cos
1 2
，所以
π 3
，则 a 与 b
的夹角可以为
π 6
，
2π 7
.
故选：AB
例 15．（2023 春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）已知非零向量 a ， b 满足 a 2 b ，且 a b b ，
a b a b x1x2 y1y2 0
考点一 平面向量数量积的基本概念及运算
例 1．（2023 春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知向量 a b
则ab bc ca （ ）
A． 17 B． 15 C． 17 D． 15
2
2
2
2
解：因为 a b c ，则 a b 2 c 2 ，
则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． π B． π C． 2π
6
3
3
D． 5π 6
解：设 a ， b 的夹角为 ， 0, π，
因为 a 2 b ， a b b ，
所以
ab
b
a
b
2
b
2
b
b
cos
b
2
0
，
则 cos 1 ， π .
2
3
故选：B.
考点四 两个向量的垂直关系
例 16．（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量 a 2, x ，b 2,1不共线，且 a b a b ，则 a b
c m,2 ，且 a b ∥a 2c ．
(1)求实数 n 关于 m 的表达式； (2)当 b c 的值最小时，求向量 a 和 b 的夹角的余弦值．
平面向量的数量积-高三新高考一轮复习(人教A版)
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
平面向量的数量积及平面向量的应用举例
3．求向量模的常用方法：利用公式 |a|2＝a2，将模的运算转化为向量数量 积的运算．
失误防范
1．零向量：(1)0 与实数 0 的区别，不可 写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·＝ 0 0≠0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方 向，0 与任何向量平行，我们只定义了非 零向量的垂直关系．
课前热身
1．若向量a，b，c满足a∥b 且a⊥c，则c· (a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
答案：D
2．已知向量 a，b 满足 a· b＝0，|a|＝1， |b|＝2，则|2a－b|＝( A．0 C．4 ) B．2 2 D．8
答案：B
3． (2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C： y2＝4x 的焦点为 F，直线 y＝2x－4 与 C 交于 A，B 两点，则 cos∠AFB＝( 4 3 A. B. 5 5 3 4 C．－ D．－ 5 5 )
a· b 2 则 cosθ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1× 2 π 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ . 4 π 即 a 与 b 的夹角为 . 4
1 2
(2)∵(a－b)2＝a2－2a· 2 b＋b 1 1 1 ＝1－2× ＋ ＝ ， 2 2 2 2 ∴|a－b|＝ ， 2 ∵(a＋b)2＝a2＋2a· 2 b＋b 1 1 5 ＝1＋2× ＋ ＝ ， 2 2 2
量积等于0说明两向量的夹角为直角,
数量积小于0且两向量不共线时两向量
的夹角是钝角．
考点3 两向量的平行与垂直关系
向量的平行、垂直都是两向量关系中 的特殊情况，判断两向量垂直可以借 助数量积公式．如果已知两向量平行 或垂直可以根据公式列方程(组)求解
例3
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
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[全盘巩固]
1．(A.新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
2．(A.金华模拟)平面向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a －b |＝( )
A.
3
2
B. 3 C ．3 D ．4
3．(B.福建高考)在四边形ABCD 中， (－4,2)，则该四边
形的面积为( )
A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10
4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，则
( )
A ．2 3 B.
3
2
C ．－3
2
D. 3
5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则(a －b )·c 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[－1,1] C ．[－3，3] D ．[0，3]
A.1
2
B.
1±2
2
C.1±10
2
D.
－3±22
2
7．单位圆上三点A，B，C满足则向量的夹角为________．
8. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P, 且AP＝3，则
＝________.
9．(B.浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝x e1＋y e2，x，y∈R.若
e
1，e2的夹角为
π
6
，则
|x|
|b|
的最大值等于________．
10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的
取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足求t的值．
[冲击名校]
1．(B.浙江高考)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝1
4
AB，且对于边
AB 上任一点P ，恒有
，则( )
A ．∠ABC ＝90°
B ．∠BA
C ＝90° C ．AB ＝AC
D ．AC ＝BC
2．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝
α·β
β·β
.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4
，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫n 2
n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )
A.52
B.32 C ．1 D.1
2 [高频滚动]
1．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：
.
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．在△ABC 中，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN ，AM
交于点P ，则
____________(用a ，b 表示)．
答案 [全盘巩固]
1．解析：选A 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.
2．解析：选C |a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 60°＝4＋1－2×2×1×1
2
＝3.
3．
4．
5．解析：选C 由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝3，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cos θ∈[－3，3]．
6.
7．
答案：120°
8.
答案：18
9．解析：当x ＝0时，|x ||b |＝0，当x ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2
＝x 2x 2＋y 2＋3xy
＝
1
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x 2
＋3
y x ＝
1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋1
4≤4，所以|x ||b |的最大值是2，当且仅当y x ＝－3
2时取到最大值．
答案：2
10．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－5
3
.
当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)， ∴⎩⎨
⎧
1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，
解得λ＝0.
即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，
综上可知，实数λ
的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－53
，0∪(0，＋∞)．
11．
故所求的两条对角线长分别为210，4 2.
从而5t ＝－11，所以t ＝－115
. 12.
[冲击名校]
1．解析：选D 设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，则A (－2,0)，B (2,0)，则P 0(1,0)，设C (a ，b )，P (x,0)，
即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．
∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .
2．解析：选D 由题设定义得a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |
|b |
cos θ，
b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2
＝|b |
|a |cos θ.又a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫n 2n ∈Z 中且θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，π2，设a ∘b ＝n 12
，b ∘a ＝n 22
(n 1，n 2∈N )，那么(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2
θ＝n 1n 24
，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12
＝12
.
[高频滚动] 1．
2．
答案：－23a ＋1
3b。