专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全
反思 感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的 中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析 作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)， 则O→C＝O→A＋O→B，
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析 对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误； 对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角， 因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1， 故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确； 对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0， 故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2
平面向量数量积的最小值问题
平面向量数量积的最小值问题引言平面向量的数量积是向量运算中的一种重要形式之一，它可以用于表示向量之间的夹角以及判断向量的正交性。
对于给定的平面向量，我们感兴趣的问题之一就是如何求得它们数量积的最小值。
本文将介绍平面向量数量积的最小值问题，以及一些解决该问题的方法。
问题描述给定平面上的两个向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(\\theta) $$其中 $|\\vec{a}|$ 和 $|\\vec{b}|$ 分别表示向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的模长，$\\theta$ 表示 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 之间的夹角。
我们的目标是求解数量积的最小值。
方法一：代数法一种简单直接的方法是通过代数运算求解最小值。
设 $\\vec{a} =\\begin{bmatrix}a_x \\\\ a_y \\end{bmatrix}$ 和 $\\vec{b} = \\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$，则数量积可以表示为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y $$为了求解最小值，可以利用数量积的几何意义，选择一个使得夹角$\\theta$ 最小的向量 $\\vec{b}$。
根据向量的乘积性质，当 $\\theta = 0$ 时，夹角最小，此时：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(0) =|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| $$为了使 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$ 最小，我们只需找到一个使得$|\\vec{b}|$ 最小的向量，这个向量可以通过求解 $\\vec{b}=\\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$ 的模长最小值问题来得到。
平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案一、单选题1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3【答案】B【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-，所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B.2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若()830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()()86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25【答案】C【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将25a =，10a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵25a =，又52a b +=， 所以()()225250a b+==，即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2b ＝50， 所以2b ＝25，即b ＝5. 故选：C.4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A．B． CD【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-，则AB 与a b -的夹角的余弦值为()()()221312AB a bAB a b⋅-⨯-+=-+-故选：A ．．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1B ．2C ．()()BG BA BA BP -⋅-D ．2()3AB AC AP +⋅为ABC的重心，所以为线段BC 所以23(0,3AG =-，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅故选：B ．a 与b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4--B ．()4,3C ．()4,3-D ．()4,3--【答案】D【分析】设(),b x y =，则由题意得2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解出方程，检验即可.【详解】设(),b x y =，则由题意得2205a b x y ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，即2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得43x y =⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=-⎩，设()1,0c =，当()4,3b =时，此时4cos ,05b c b c b c⋅==>， 又因为向量夹角范围为[]0,π，故此时夹角为锐角，舍去； 当()4,3b =--时，此时4cos ,05b cb c b c⋅==-<，故此时夹角为钝角，故选：D.，则AO AP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3【答案】C【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO ，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2211x y +-=，设P[)cos ,0,2π1sin x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩，则()cos 2,1sin AP θθ=++，()2,0AO =，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈，即AO AP ⋅的最大值为6.故选：C8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A B C ．D ．10由0NM NP ⋅=解得，所以2π6ω=π2，所以π6ϕ=，则NM NP ⋅=5,2⎛ ⎝二、多选题9．已知向量(2,1),(,1)a m b m =-=，则下列结论正确的是（） A ．若a b ∥，则2m = B ．若2m =，则a b ∥ C ．若a b ⊥，则13m = D ．若13m =，则a b ⊥【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案【详解】由a b ∥，得2m -正确；由a b ⊥，得2m +BCD.10．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,2【答案】BD【分析】根据向量的加法求出a b +，由两个向量垂直，数量积为零，求出y ，然后逐一判断各选项，a 在b 方向上的投影向量为()2a b bb⋅⋅.【详解】已知()()1,3,2,,a b y ==则()3,3a b y +=+，()a b a +⊥，()31330y ∴⨯+⨯+=，4y =-，()2,4b =-，故A 错误；12342cos ,21020a b a b a b⋅⨯-⨯===-⋅⋅，所以向量,a b 的夹角为3π4，故B 正确；()()()11,31,22,12a b +=+-=，152a b ∴+=，故C 错误；a 在b 方向上的投影向量为()()21,2a b b b⋅⋅=-，故D 正确.故选：BD. 11．已知向量()()()()3,1,cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ==≤≤=，则下列命题正确的是（）A ．a b ⋅的最大值为2B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．向量31,33e ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭是与a 共线的单位向量 D ．a 在c 3c 【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断； B.利用数量积公式，可得0a b ⋅=，即可求解θ； C.根据模的公式，计算e ，即可判断； D.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于A 选项，π3cos sin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当ππ32θ+=，即π6θ=时取最大值2，故A 正确；对于B 选项，要使a b a b +=-，则0a b ⋅=， 则tan 3θ=-，因为0πθ≤≤，所以2π3θ=，故存在θ，使得a b a b +=-，故B 正确；选项，因为33e ⎛=- ⎝所以向量e 不是单位向量，故选项，因为()1,0c =为单位向量，则a 在c 上的投影向量为3||a cc c c ⋅⋅=，故D 正确ABD .12．已知向量(cos ,sin m αα=，()cos ,sin n ββ=，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（） A ．221m n += B ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -的值为即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断【详解】21m =，21n =，即有222m n +=，故选项β<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为在单位圆221x y +=.根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 可得：()cos 0αβ-=，()sin 1β+=由()1,1m n +=可得：()2222m nm n +=+⋅=，可得：20m n ⋅=，22222m n m n m n -=+-⋅=，则可得：2m n -=，故选项D 成立. 故选：BD三、填空题13．已知向量()()3,1,1,a b λ=-=，若222a b a b -=+，则λ=__________.【答案】3【分析】求出a b -，利用模长公式列出方程，求出3λ=.【详解】因为()2,1a b λ-=--，所以224(1)911λλ++=+++，解得:3λ=. 故答案为：314．已知向量()3,1a =-，(),1b t =，,45a b =，则t =______． 【答案】2【分析】利用向量坐标夹角运用求参数. 【详解】因为,45a b =︒， 所以2312cos ,2101a b t a b a bt ⋅-===⋅+，且13103t t ->⇒>，整理得2123203t t t ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，解得：2t =或12t =-（舍去），故答案为：2.15．已知(1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则||a b +=______． 【答案】32【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出x ，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】因为()1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则21x x =-，解得=1x -，有(21,3)(3,3)a x b =-=-+，所以22|(3)332|a b -+=+=. 故答案为：3216．已知()1,0a =，()1,1b =，则a 在b 上的投影向量为________． 【答案】11(,)22【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，a 在b 上的投影向量为(1,1)111(,)22||||22b a b b b ⋅⋅=⋅=.故答案为：11(,)22。
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。
“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。
2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
2022年高中数学考前冲刺36讲第13讲 平面向量数量积的最值问题
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2.[2020 河北九校第二次联考]已知两个不相等的非零向量 a,b,满足|a|=1,且 a 与 b-a 的夹角为
60°,则|b|的取值范围是 ( )
A.(0, 3)
2
B.[ 3,1)
2
C.[ 3,+∞)D.(1,+∞)
2
【 解 析 】 如 图 D 5-2-6 所 示 , 设 OA =a, AB =b-a, 则 OB =b. 因 为 a 与 b-a 的 夹 角 为 60°, 所 以
3t)+1t(4-t)=-2t2+14t(0≤t≤4),当
22
t=72时,AP·AQ取得最大值,最大值为429,故选
C.
解法二 因为 AB=4,AC=4 3,BC=8,所以 AB2+AC2=BC2,
所以△ABC 是直角三角形,且∠A=90°,∠C=30°,∠B=60°.
设 CP=t,则 BQ=2t,且 0≤2t≤8,即 0≤t≤4,BQ与AC的夹角为 30°,CP与AB的夹角为 60°,
k
的取值范围______.
【解析】
a
kb
1, k
，b
2k a
2k ,1
，
a kb b 2k a k 2 1 1 4k 2 cos 2k k 0 ，即 k 0 ，
又 a kb ， b 2ka 不共线，∴ k
2 ，∴ k 0 且 k
2
2
2
10.[双空题]已知平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|=1,若 a·b=1,则(a+b)·(2b-c)的最小值是
图 D 5-2-8
令OA=a,OB=b,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则OC=a+b,∠AOB=θ,因为 a,b 均为单位
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。
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培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →
|AC →|，则PB →·PC →
的最大值等于( )
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，
AP →＝AB →|AB →|＋4AC
→| AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·
(－1，t －4) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t
·4t ＝13， 当且仅当t ＝12
时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13.
(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3
的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．
答案 5－213
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，
设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，
其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6
， 当θ＝π2
－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213.
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．
1．在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →
|的最小值是________． 答案 6 解析 由AB →·AC →＝－1，
得|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，
即|AB →|·|AC →
|＝2， 所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2
≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·A C →＝6，
当且仅当|AB →|＝|AC →|＝2时等号成立，
所以|BC →
|min ＝ 6.
2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB
→＝－32
，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．
答案 16 132
解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，
所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32
， 解得|AD →|＝1.
因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，
所以AD →＝16BC →，即λ＝16
. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，
则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332
. 以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．
如图，设M (a ,0)，不妨设点N 在点M 右侧，
则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72
. 又D ⎝
⎛⎭⎫1，332， 所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝
⎛⎭⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132
. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132
. 3．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．
答案 2
解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →
＝－1，点M 在边CD 上，
所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，
所以cos A ＝－12
，所以A ＝120°， 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A (0,0)，B (2,0)，D ⎝⎛⎭
⎫－12，32. 设M ⎝⎛⎭⎫x ，32，－12≤x ≤32， 因为MA →
＝⎝⎛⎭⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎫2－x ，－32， 所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34
＝(x －1)2－14
. 设f (x )＝(x －1)2－14
，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，32， 所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2.。