平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析耿素兰 山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的大体概念、大体运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方式求解例一、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如下图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变更.假设,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点转变的变量，成立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的经常使用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴成立直角坐标系，那么(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。
,OC xOA yOB =+13(cos ,sin )(1,0)(,)22x y θθ∴=+-即cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。
因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。
例二、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故能够取得关于OQ 坐标的一个关系式，再依照QA QB 取最小值求.OQ 图 1解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，那么(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--22(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，现在(4,2).OQ =二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判定P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
平面向量的最值问题研讨
平面向量的最值问题研讨平面向量的最值问题，看起来好像一大堆公式、符号堆砌出来的死板东西，其实它背后有着一种很有趣的“玩儿法”。
你想想，我们生活中的一切，都是通过一些力、方向、大小来相互作用的，不管是你手里拿着的手机，还是你坐的公交车，甚至是你走路的步伐，都可以用向量来描述。
向量，其实就是一个有大小和方向的东西，不多不少，正好符合我们生活中大多数“有量有力”的情况。
所以，平面向量的最值问题，咱们不妨想象成一种“最优解”的寻找：在给定的条件下，怎么才能找到最合适的那个值，让一切都尽可能完美。
咱们一开始可以从一个简单的例子聊起：你在平面上走来走去，忽然觉得走得有点累。
为什么呢？因为你没有找到最短的路径！你是不是也想过，咋不直接走直线呢？你看看，最短的路径就是你从一点到另一点的直线段，根本不需要绕弯路。
所以平面向量的最值问题，简单来说，就是如何在这些向量的组合和变化中找到“最短”或“最优”的方向和大小。
要不然，咱们在生活中可就得不停地绕圈子了。
这个最值问题其实特别贴合咱们的实际生活。
比如，想象你站在一个大广场的中心，四周有四个方向可以选择：东南西北。
你如果向北走，刚开始觉得离目的地好像不远，但慢慢地发现，根本不对劲，那个地方离北方远着呢。
于是你得调整方向。
可问题就在于，怎么知道该选择哪一个方向？怎么判断哪个方向能帮你走得最快，走得最远，或者说，走得最合适？这时候，向量就成了你最好的“导航仪”。
不信你看，假设你有两个向量，一个表示你从A点到B点的方向和距离，另一个表示你从B点到C点的方向和距离。
想要找出一个最优解——比如最快到达C点的路径，你就得对这两个向量进行组合。
组合的方式很多，可以是加法、减法、甚至是倍数的乘法。
看似很复杂，但其实它就是在试图找到那条“黄金路径”。
这种“黄金路径”就像咱们常说的“走一步看一步”，一步步通过数学计算，找到最合适的方向和速度。
最值问题往往不止一个解。
咱们可能会遇到一个“多解”的情况。
平面向量中最值问题的解法探究
平面向量中最值问题的解法探究作者：张磊梁芳来源：《速读·上旬》2020年第08期◆摘要：“平面向量的最值问题”在近几年高考中常以压轴小题的形式出现，题目难度较大，破解方法灵活多样。
通过对两道高考题进行“一题多解”与“多题一解”探究，归纳出解决此类问题的三大方法：坐标运算，几何作图与基底转换。
◆关键词：平面向量;最值问题;高考数学;方法平面向量是高中数学的重要知识模块，在近几年数学高考中，“平面向量的最值问题”是考试命题的热点之一，是试卷中选填部分壓轴题的常客，多为综合性强、难度较大的题目，学生往往对此束手无策。
一道题目的解法灵活多样，不同题目的解法殊途同归。
一题多解有利于培养学生的思维能力，多题一解有助于理解问题本质。
本文对两道经典高考题从不同的角度进行剖析，提炼归纳出解决“平面向量的最值问题”的三种方法，供读者参考。
一、问题呈现三、方法总结当遇到平面向量的最值问题时，可试从以下三种角度入手解决问题：方法1：坐标运算。
根据题目条件，合理建立平面直角坐标系，将平面向量“代数化”，把向量问题转化为坐标运算的代数问题，简化求解程序，降低解题难度。
方法2：几何作图。
抓住平面向量的两大特征——“方向”与“长度”，理解几何意义，运用几何知识，将平面向量“图形化”，巧用数形结合，快速破解问题。
方法3：基底转换。
准确恰当地选择基底向量，用基向量表示目标向量，将平面向量“标准化”，明确突破思路，提高解题效益。
这三种方法并非彼此孤立，读者在实际解题过程中应灵活运用，融会贯通，以有效提升“数学运算”“直观想象”“逻辑推理”等数学核心素养。
作者简介1.张磊（1994—），男，汉族，山西太原人，中央民族大学硕士研究生，主要从事数学教育研究。
2.梁芳（1970—），女，汉族，山西朔州人，中央民族大学副教授，博士，主要从事数学教育哲学研究。
专题二 微重点8 平面向量的最值与范围问题
所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4， 当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
跟踪演练3 已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝2，等腰△OCD 的顶点 C，D 在 半圆弧A︵B上运动，且∠COD＝120°，点 P 是半圆弧A︵B上的动点，则P→C·P→D
的取值范围为
A.－34，34
B.－34，1
√C.－12，1
D.－12，12
以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建
12345678
5.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋
b|的可能取值为
A.3
B. 10
√C. 13
√D.6
12345678
设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 由a·e＝1得x1＝1， 由b·e＝2得x2＝2， 由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1， 则|a＋b|＝ a＋b2＝ x1＋x22＋y1＋y22 ＝ 11＋y21＋y22≥ 11＋2y1y2＝ 13， 当且仅当y1＝y2＝1时取等号.
∴1133－ －λλ22＋ －88－ ＋44λλ≥ ≥00， ，∴－ －71≤ ≤λλ≤ ≤35， ， ∴－1≤λ≤3.
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
例析平面向量的最值问题的几种解法
高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。
下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。
例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。
A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。
因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。
应选B。
评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。
利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。
练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。
提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。
二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。
例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。
解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。
由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。
重难点突破：平面向量中最值问题全梳理
1
x2
1
cos 2
2x 4
1 2sin 2
1 x2 2x 2 4 1 x2 2x 4
，
4
4
设 t 1 x2 2x 4 1 (x 4)2 ，4Βιβλιοθήκη 4又PA PB
|
PA |2
cos 2
(t
1) (t
2)
t2
3
2
2 3, t
t
t
2, (PA PB)min
2
2
3,t
x
23
3 k 3
得：
；
Q
:
y
kx
3 3
x
23
3 k 3
得：
y
3 x 1
y
3k k
1 3
y
3 x 1
y
3k k
1 3
BQ
5 3
3 k
3k 3
,
3k k
1 3
,CP
5 3
3 k
3k 3
,
3k k
1
3
BQ CP
5
3 3k
B ，则 PA PB 的取值范围为（ ）
A．[3 , ) 2
B． [2
2 3, )
C． 2
2
3,
56 9
D．
3 2
,
56 9
【解析】 P(x, y) ，设 CPA CPB ,C(1,0),| PA|2| PC |2 1 (x 1)2 y2 1 1 x2 2x 4 4
sin
1 | PC |
9, (PA PB)max
56 9
PA PB
的取值范围为
2
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平面向量中的最值问题浅析
耿素兰山西平定二中(045200 )
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题
要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方法求解
uuu uuu
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu
为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中
y 的最大值是
C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。
，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)，
2 2
C(cos ,sin )
uuur
取最小值时，求 OQ.
uuu uuiu uuu
分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个
uju uuu uur
关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ.
分析：寻求刻画 解:设 AOC
umr Q
OC
uuu xOA
uuu yOB,
(cos ,sin
x 上 2
、3y 2
cos
sin
因此，当
cos
.3sin
2sin(
評
3)。
3时，x y
取最大值
uuu UJU
例 2、已知 OA (1,7), OB
2。
uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB
uuu uuu 即
1
心)y(
^,
uur 解：设OQ uuu
xOP
uuu
(2x,x),(x 0)，则 QA
uuu
(1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)
uuu uuu
QAgQB (1 2x)(5 2x) (7 x)(1 x) 5x 2
20x 12 5(x 2)2
8
uu uuu uuur
当x 2时，QAgQB 取最小值-8，此时OQ (4, 2).
二、利用向量的数量积 m n |m n 求最值
例3、 ABC 三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆 uru uru
在什么位置时，BPgCQ 有最大值。
a =
b
c ，
Q |c l b
l
所以当b 与c 同向时, r r r a 取最大值3 ；当b 与c 反向时, 取最小值1。
四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形 ^P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 -
uur (A ) PP 2 UUJU
RP 3 (B )
uru r PP 2 urr r RP 4 urr (C ) PP 2 uuu r
PP 5
(
D
uuu
u RP 2 uuu
r PP 6
uuu
u 分析：平面向量数量积 uuiur unr uuui uuur PP 2gPP(i 1,2,3,4,5,6)的几何意义为PP z gPR 等于PP ?的长度与
,PQ 为直径，试判断 P 、Q
分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。
uuu uuu BP uru uur uuu uuir AP,AC CQ AQ uuu
AP uur JJJ
BPgCQ
2
r 2
uuu (AP uur uuu ABgAC uuu uur ABgAC
urur uuu uru ABgAC AP
uur uuu urur AB)( AP AC) uuu uuu AP(AB uuu
uuu APgCB uuu CB
uuur AC) uuu 当且仅当AP uuu
与CB 同向时, uuu
uuu BPQQ 有最大值。
r r a b
分析：注意到 解：由条件知
r
r
r r .
r
r
a
b
a b
a
b
的最大值与最小值。
(a b) 1。
考虑用向量模的性质求解。
图2
2,b a 例4:已知 、利用向量模的性质 (cos ,sin ),求
求解
nur uuuu PP 在RP 2方向上的投影 RR cos( RP 2, PR
)的乘积。
uui r uuuu uuir 显然，由图可知,
uuu uuur
RP 3在RP 2方向
上的投影最大，故选（A ）。
例6、a 与
b 是两个夹角为1200
的单位向量，且 p+q=1 qb 的最小值是 urn 分析：如图3 ,设OA r uur r uuur a,OB b,OC pa r uiur uuu qb 贝U OC pOA (1 uni p)OB umr
uuu BC pBA 因此点C 在直线
pa qb 最小，其最小值为 AB 上，显然当0C AB 时, A。