热点难点微专题二平面向量中的最值问题
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
平面向量的最值问题研讨
平面向量的最值问题研讨平面向量的最值问题，看起来好像一大堆公式、符号堆砌出来的死板东西，其实它背后有着一种很有趣的“玩儿法”。
你想想，我们生活中的一切，都是通过一些力、方向、大小来相互作用的，不管是你手里拿着的手机，还是你坐的公交车，甚至是你走路的步伐，都可以用向量来描述。
向量，其实就是一个有大小和方向的东西，不多不少，正好符合我们生活中大多数“有量有力”的情况。
所以，平面向量的最值问题，咱们不妨想象成一种“最优解”的寻找：在给定的条件下，怎么才能找到最合适的那个值，让一切都尽可能完美。
咱们一开始可以从一个简单的例子聊起：你在平面上走来走去，忽然觉得走得有点累。
为什么呢？因为你没有找到最短的路径！你是不是也想过，咋不直接走直线呢？你看看，最短的路径就是你从一点到另一点的直线段，根本不需要绕弯路。
所以平面向量的最值问题，简单来说，就是如何在这些向量的组合和变化中找到“最短”或“最优”的方向和大小。
要不然，咱们在生活中可就得不停地绕圈子了。
这个最值问题其实特别贴合咱们的实际生活。
比如，想象你站在一个大广场的中心，四周有四个方向可以选择：东南西北。
你如果向北走，刚开始觉得离目的地好像不远，但慢慢地发现，根本不对劲，那个地方离北方远着呢。
于是你得调整方向。
可问题就在于，怎么知道该选择哪一个方向？怎么判断哪个方向能帮你走得最快，走得最远，或者说，走得最合适？这时候，向量就成了你最好的“导航仪”。
不信你看，假设你有两个向量，一个表示你从A点到B点的方向和距离，另一个表示你从B点到C点的方向和距离。
想要找出一个最优解——比如最快到达C点的路径，你就得对这两个向量进行组合。
组合的方式很多，可以是加法、减法、甚至是倍数的乘法。
看似很复杂，但其实它就是在试图找到那条“黄金路径”。
这种“黄金路径”就像咱们常说的“走一步看一步”，一步步通过数学计算，找到最合适的方向和速度。
最值问题往往不止一个解。
咱们可能会遇到一个“多解”的情况。
高考数学 玩转压轴题 专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二．解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ,c>60a c b <--=︒，则c 的最大值等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. 1 【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在Rt ABC ∆中， 090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为（ ）A.72 B. 3 C. 125 D. 52【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,a b 满足： 1a b ==，且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0x >，0y >且2x y +=，则c 的最小值是__________．【解析】1a b ==，且12a b ⋅=，当c xa yb =+时， 222222c x a xya b y b =+⋅+， ()222x xy y x y xy =++=+-，又0,0x y >>且22,12x y x y xy +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取“=”， ()2222213,2x y c x y c +⎛⎫∴≥+-=-=∴ ⎪⎝⎭的最小值是.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c ，满足1,2,3a b c ===， 01λ≤≤，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的最大值为_________，最小值为__________．【答案】1 【解析】设()()1,1n b c a b c a nλλλλ=+----=-，n a a n n a-≤-≤+，即11n a n n -≤-≤+，()()()2222221121n b c b c bc λλλλλλ=--=+-+-()()2224911318901λλλλλ=+-=-+≤≤，由二次函数性质可得，266136139,3,111413n n n a n n ≤≤≤≤-≤-≤-≤+≤， ()1a b c λλ∴---，最大值为4，最小6131-，故答案为4， 6131-. 类型二 与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，转化为求二次函数的最小值问题，当θθcos 45cos 210++=t 时，取最小值，由已知条件0105t <<，得关于夹角θ的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3π【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b +=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. ⎛⎤⎥⎝⎦C. ⎛⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤⎥ ⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当1λ0x >===，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 1x ====1x <05x ∴-<<综上所述]( ,15x ∈-故答案选D 【指点迷津】由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。
2018年高考数学压轴题突破140平面向量最值五种求解小绝招
2018年高考数学压轴题突破140平面向量最值五种求解小绝招一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.类型二与向量夹角有关的范围问题【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．类型三与向量投影有关的最值问题类型五平面向量系数的取请点击此处输入图片描述值范围问题【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；学*科网（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.类型六平面向量与三角形四心的结合:【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．。
专题二 微重点8 平面向量的最值与范围问题
所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4， 当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
跟踪演练3 已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝2，等腰△OCD 的顶点 C，D 在 半圆弧A︵B上运动，且∠COD＝120°，点 P 是半圆弧A︵B上的动点，则P→C·P→D
的取值范围为
A.－34，34
B.－34，1
√C.－12，1
D.－12，12
以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建
12345678
5.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋
b|的可能取值为
A.3
B. 10
√C. 13
√D.6
12345678
设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 由a·e＝1得x1＝1， 由b·e＝2得x2＝2， 由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1， 则|a＋b|＝ a＋b2＝ x1＋x22＋y1＋y22 ＝ 11＋y21＋y22≥ 11＋2y1y2＝ 13， 当且仅当y1＝y2＝1时取等号.
∴1133－ －λλ22＋ －88－ ＋44λλ≥ ≥00， ，∴－ －71≤ ≤λλ≤ ≤35， ， ∴－1≤λ≤3.
平面向量中最值、范围问题解题模板
例2在 中， ， ，点 是 所在平面内一点，则当 取得最小值时， （）
A. B. C. D.24
【答案】D
解题模板选择：
本题中题意得 ，可建立适当的直角坐标，故选取解题方法模板二坐标法进行解答.
解题模板应用：
第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；
以C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴建立直角坐标系，
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作出图像如下图所示，取 的中点为D，由 ，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式 ，可得选项.
【解析】作出图像如下图所示，取 的中点为D，则 ，因为 ，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则 .又 为圆O上的点P到D的距离，则 ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
3.如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .若 与 相交于点 ，则 的取值范围是__.
【答案】 .
【分析】设 ， ，由三点共线的向量表示可设 ，结合已知条件进一步得到 ，
由此可得 ，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【解析】不妨设 ， ，由于 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
故由平面向量基本定理可设， ，
10.如图，在等腰梯形 中， ， ，高为 ， 为 的中点， 为折线段 上的动点，设 的最小值为 ，若关于 的方程 有两不等实根，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先以 为坐标原点， 为 轴，建立直角坐标系，设 的横坐标为 ，将 用 表示分段表示出来，再求最小值 ，再对 有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出 的取值范围.
而 ，所以 .
平面向量中最值、范围问题(含解析)高三数学备考冲刺
问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =, ,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1； 当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2＝1 上， A，B 为圆 C：x2 +(y-4)2＝4 上两动点，且 AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m 的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC 中，D 为AB 的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D 为AB 的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为23的正三角形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______.【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 【答案】3 【解析】∴ 2a xb-的最小值为3.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<,故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】 试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6max π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】321- 【解析】 试题分析:设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案321-.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈,因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为23,若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2322>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则, ,所以PB PC ⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题(原卷版)
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】已知向量a ，b ，c 满足4a =，22b =，,4a b π=，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（ ）A ．12+B ．122+C ．212+D ．212+ 【来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题【举一反三】1．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0OA OB ⋅=若向量OC OA OB λμ=+(,)R λμ∈，且22221(21)cos (21)sin 4λαμα-+-=，则||OC 的最大值为（ ） A ．32 B ．34 C ．35 D ．372.（2020·浙江高考模拟）已知平面向量,a b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b + 的夹角是θ，则θ最大时，a b -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．23.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .类型二 与向量夹角有关的范围问题 【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【举一反三】 1.已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 2.非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a ，则b a 与的夹角的最小值是 ．3.已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 类型三 与向量投影有关的最值问题 【例3】（2020天津模拟）设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. 25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 25⎤⎥⎝⎦C. 5⎤⎥⎝⎦D. 5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【举一反三】设2OA =，1OB =，0OA OB ⋅=，OP OA OB λμ=+且1λμ+=，则向量OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）A ．452⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．252⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．252⎤⎥⎝⎦【来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（理）试题2．（2020·北京高考模拟）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ） A ．13 B ．12 C ．33 D ．23类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例4】（2020·天津高考模拟）已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A ．23-B ．43-C ．15275-D ．7336- 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知ABC ∆是边长为23的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6 2、（2020辽宁省鞍山市高三一模）中，，，，且，则的最小值等于A ．B ．C ．D ．3．如图，,C D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知2AB =，则•AC BD 的最大值是A ．12B ．53-C ．22D ．31-类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】（2020·河南高考模拟）在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．83D ．103 【举一反三】1．（2020·安徽高考模拟）已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN yAC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．42333+2．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，cos b c A =⋅，ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则1132x y ++的最小值为（ ） A ．9 B ．34 C ．914 D ．12【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题3.（2020云南省昆明市云南师范大学附属中学）已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为 A ． B ． C ． D ．类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】（2020·吉林高考模拟）如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为（ ）A ．2B ．13 C ．43 D ．34【举一反三】 1.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为2．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPC PO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3.（2020大连模拟）已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+（m ， n R ∈），则（ ）MN AB GQA. 2m n +≤-B. 21m n -≤+<-C. 1m n +<-D. 10m n -<+<三．强化训练1．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2- B ．32- C ．3- D ．6-2．已知向量a 满足||3a =，设{|||2|}X x x x a ==-∣，1,,,22Y y y x x y x X π⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭，若m X ∈，n Y ∈，则||m n -的最大值为（ ）A ．352-B ．352+C ．253-D ．253+3．（2020·山东高考模拟）如图所示，两个不共线向量,OA OB 的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y R =+∈，则22x y +的最小值为（ ）A ．24B ．18C ．22D ．124．（2020·河北高考模拟）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞C ．[]5,5-D ．[]25,25- 5．（2020·浙江高考模拟）如图，在△ABC 中，点,DE 是线段BC 上两个动点，且AD AE + x AB y AC =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92 6、（2020宁夏六盘山一模）如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．7．（2020·山东高考模拟）已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512- 8．（2020·四川高考模拟）已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2020·天津市滨海新区高考模拟）已知ABC 是边长为a 的正三角形，且,(,,1)AM AB AN AC R λμλμλμ==∈+=.设函数()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）A ．2B ．423C ．43D ．433 10．（2020·黄陵中学高考模拟）如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB=+（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．32【来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟）12．若ABC 的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,6-B ．[]2,6C ．[]22-,D ．[]2,4 【来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题13．已知ABC 的边2AB =，ABC 的外接圆半径为2，则AB AC ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,6-B ．2,6C ．[]2,2-D ．[]2,4 【来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺数学试题（5）14．12,e e 均为单位向量，且它们的夹角为45°，设a ，b 满足2122||,()4a e b e ke k R +==+∈，则||a b -的最小值为（ ）A 2B ．22C ．24D ．32415．在ABC 中，1AB AC ==，AB AC ⊥，点M ，N 为ABC 所在平面内的一点，且满足2AM AC AB →→→=-，1MN →=，若AN AB AC λμ→→→=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．21+B ．21-C ．2D ．1【来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） 文科数学全国卷II 试题16．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-【来源】江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题17．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12B ．32C ．33D ．36【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，60BCD ∠=，150ADC ∠=，3BE EC =，2333CD BE ==，，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．219．已知非零平面向量a ，b ，c .满足4a =，2b c =，且()()3a c b c -⋅-=，则a b -的最小值是（ ） A 26 B 35 C ．2 D ．320．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12C ．33D ．23 【来源】广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学（理）试题 21．已知1e ，2e ，3e 是空间单位向量，且满足12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若向量()1231,b e e λλλ=+-∈R .则3e 在b 方向上的投影的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．32D ．33【来源】浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检数学试题22．若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满足||||PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，sin PAB ∠的最大值是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．1623.（2020襄阳模拟）已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为24.（2020·天津高考模拟）在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=25．（2020·浙江高考模拟）已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211().132f x x a x a bx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为26．（2020·浙江高考模拟）已知向量,a b 满足：13,1,512a b a b ==-||||||≤，则b 在a 上的投影长度的取值范围是 27.（2020上海市金山区一模）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________28.（2020浙江省湖州三校联考）已知向量，的夹角为，且，则的最小值为29.（2020·安徽高考模拟）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且6a=，点O为其外接圆的圆心.已知·15BO AC=，则当角C取到最大值时ABC的面积为30．（2020·贵州高考模拟）在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.D、E是线段AB上满足条件1()2CD CB CE=+，1()2CE CA CD=+的点，若2CD CE cλ⋅=，则当角C为钝角时，λ的取值范围是。
数学-平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案 (－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3 向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案 32解析 |a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3 已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案 433解析 将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案 255解析 ∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4 已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案 D解析 由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案 B解析 ∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案 A解析 以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案 C解析 ∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案 9解析 根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案 2＋12解析 因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解 由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解 设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案 C解析 ∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案 C解析 不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案 D解析 因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案 －4952解析 ∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案 12解析 设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解 (1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
7＋4 3 4
解析：解法 1
建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，
C(1,4)．又 kBC＝－43，故 BC：y＝－43(x－4)．又A→P＝mA→B＋nA→D，A→B＝(4,0)，A→D＝
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2(极化恒等式)：设 PQ 的中点为 M. 则O→P·O→Q＝(O→M＋M→P)·(O→M－Q→M)＝(O→M＋M→P)·(O→M－M→P)＝O→M2－M→P2，根据图 形可得，当点 P 与 A(或 B)重合时，点 Q 与 P 重合，且|O→M|max＝1，|M→P|min＝0，则 (O→P·O→Q)max＝1；当点 P 位于弧 AB 的中点时，|OM|min＝ 22，|M→P|max＝1－ 22，则 (O→P·O→Q)min＝ 2－1，所以O→P·O→Q的取值范围为 2－1，1.
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
(3) 如图，直角梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1， 动点 P 在边 BC 上，且满足A→P＝mA→B＋nA→D(m，n 均为正实数)，则m1 ＋1n的最小值 为________．
(0,4)，所以A→P＝(4m,4n)，故 P(4m,4n)．又点 P 在直线 BC 上，即 3n＋4m＝4，即
4
m1 ＋1n
＝
(3n
＋
4m)
m1 ＋1n
＝
7
＋
3n m
＋
4m n
≥7
＋
2
12 ＝ 7 ＋ 4
3，所以m1 ＋1nmin＝
7＋4 4
3，当且仅当33nn＋2＝44mm＝2，4，
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[ 2－1,1] 解析：思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方 法：坐标法和基底法进行求解． 解法 1 (坐标法)：以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则点 A(1,0)， B(0,1)，则直线 AB：x＋y－1＝0，由于点 P 在单位圆在第一象限的圆弧上，可设 P(cosθ ， sinθ) ， θ ∈ 0，π2 ， 设 点 P 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 Q(x1 ， y1) ， 则
x1＋2cosθ＋y1＋2sinθ－1＝0， xy11－－csoinsθθ×－1＝－1，
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可得xy11＝ ＝11－ －scionsθθ，， 即 Q(1－sinθ，1－cosθ)．
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
所以O→P·O→Q＝cosθ(1－sinθ)＋sinθ(1－cosθ)＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθ. 令 t＝sinθ＋cosθ＝ 2sinθ＋π4，则 t∈1， 2，且 2sinθcosθ＝t2－1. 故O→P·O→Q＝f(t)＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，所以O→P·O→Q的取值范围为 2－1，1.
即 x2＋2(x－1)a·b－1≥0 对于 x∈R 恒成立，Δ＝4(a·b)2＋8a·b＋4≤0，
即 4(a·b＋1)2≤0，所以 a·b＝－1，即 cosθ＝－21＝－ 22，所以 a，b 的夹角为34π.
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2 如图，令O→A＝a，A→P＝xb(P 为直线 l 上任意一点)，则O→P＝a＋xb，所以|a ＋xb|＝OP 的最小值即点 O 到直线 l 的距离 OH，即 OH＝|a＋b|，即O→H＝a＋b， 所以 b＝A→H.在 Rt△OHA 中，AH＝1，OA＝ 2，cos∠HOA＝ 22，即∠HOA＝π4， 所以 a，b 的夹角为34π.
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
专课 题时 综作 述业
与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量 的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有① 坐标化；② 基底化； ③ 几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意 义求解．
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
【方法归类】 关于向量模的问题可以考虑三个方法：① 坐标化；② 基底化； ③ 几何法．本题代数解法就是一元二次不等式的解集为 R 的处理，而本题第(1) 问几何作法其本质就是求直线上任一点到直线外一点距离的最小值的问题，第(2) 问根据向量等式以及坐标法求出动点轨迹方程，再利用几何法或参数方程求解．
即 m＝12－36
3，n＝8
Hale Waihona Puke 33－12时取等号．第11页
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热点难点微专题二 平面向量中的最值问题
解法 2 因为A→P＝mA→B＋nA→D，所以A→P＝mA→B＋n(A→C＋C→D)＝mA→B＋nA→C－n4A→B＝ m－n4A→B＋nA→C.又 C，P，B 三点共线，故 m－n4＋n＝1，即 m＋34n＝1，以下同解 法 1.
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(2) 已知向量 a，b 满足|a|＝ 2，|b|＝1，且对于一切实数 x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立， 则 a 与 b 的夹角大小为________．
3π 4
解析：解法 1
将|a＋xb|≥|a＋b|平方可得 2＋2xa·b＋x2≥2＋2a·b＋1，
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典课 型时 例作 题业
例 1 (1) 如图，已知扇形 AOB 的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 AB 上的 动点，作点 P 关于弦 AB 的对称点 Q，则O→P·O→Q的取值范围为________．
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