最新平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析耿素兰 山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的大体概念、大体运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方式求解例一、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如下图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变更.假设,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点转变的变量，成立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的经常使用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴成立直角坐标系，那么(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。
,OC xOA yOB =+13(cos ,sin )(1,0)(,)22x y θθ∴=+-即cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。
因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。
例二、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故能够取得关于OQ 坐标的一个关系式，再依照QA QB 取最小值求.OQ 图 1解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，那么(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--22(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，现在(4,2).OQ =二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判定P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题指的是求平面向量的最大值和最小值的问题。
在求解平面向量的最值问题时，一般可以通过以下几种常用的方法进行求解：
1. 向量的模的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其模的最大值和最小值分别为：
最大值：|a| = √(x^2 + y^2)
最小值：|a| = 0
2. 向量的投影的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其在某个方向上的投影的最大值和最小值分别为：
最大值：|proj_u a| = |a|·cosθ，其中θ为a与u的夹角
最小值：|proj_u a| = 0
3. 向量的点乘的最大值和最小值：对于平面向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其点乘的最大值和最小值分别为：
最大值：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ为a与b的夹角
最小值：a·b = |a|·|b|·cosθmin，其中θmin为a与b的夹角的最小值，即θmin=0时
需要注意的是，以上方法中的最大值和最小值都是相对于给定的条件和向量范围的。
具体在实际问题中求解向量的最值时，需要根据具体的条件和向量的性质进行分析和计算。
与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略
与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略ʏ罗良平与平面向量有关的最值㊁范围问题是高中数学的一个难点,也是高考的一个热点㊂下面就常见的求解策略,进行举例分析,供大家学习与参考㊂策略一:利用一次函数的性质例1 如图1,在矩形A B C D 中,A B =2B C =2,A C 与B D 的交点为M ,N 为边A B上任意点(包含端点),则M B ң㊃D N ң的最大值为㊂图1解:以A 为坐标原点,向量A B ң,A D ң的方向为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系x A y (如图1),则点M 1,12,B (2,0),D (0,1)㊂设点N (m ,0),0ɤm ɤ2,则M B ң=1,-12,D N ң=(m ,-1),所以M B ң㊃D Nң=m +12㊂因为0ɤm ɤ2,所以12ɤM B ң㊃D N ңɤ52,所以M B ң㊃D N ң的最大值为52㊂一次函数y =k x +b (k ʂ),当k >0时,为单调递增函数;当k <0时,为单调递减函数㊂策略二:利用二次函数的性质例2 如图2,在平行四边形A B C D 中,A B =4,A D =2,A B ң㊃A D ң=42,点P 在边C D 上,则P A ң㊃P B ң的取值范围是( )㊂图2A.-1,8 B .-1,4+2C .-2,4+42D .-2,0 解:作D O ʅA B ,垂足为O ㊂以点O 为坐标原点,O B ,O D 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系x O y (如图2)㊂因为c o s øB A D =A B ң㊃A DңA B ң㊃A Dң=424ˑ2=22,所以øB A D =π4㊂在R tәA O D 中,因为øB A D =π4,A D =2,所以O D =O A =2,O B =4-2,所以点A (-2,0),B (4-2,0)㊂设点P (x ,2),0ɤx ɤ4,则P A ң=(-2-x ,-2),P B ң=(4-2-x ,-2),所以P A ң㊃P B ң=(-2-x )(4-2-x )+(-2)ˑ(-2)=x 2+(22-4)x +4-42㊂因为二次函数y =x 2+(22-4)x +4-42的图像的开口向上,对称轴为x =2-2,且0ɤx ɤ4,所以当x =2-2时,P A ң㊃P B ң取得最小值-2,当x =4时,P A ң㊃P B ң取得最大值4+42㊂故P A ң㊃P B ң的取值范围是[-2,4+42]㊂应选C ㊂坐标法是求解这类问题的常用方法,建立坐标系的关键在于 巧 ㊂求二次函数的最值问题,应注意二次项系数的符号㊂策略三:利用三角函数的性质例3 如图3,已知边长为1的正方形A B C D 位于第一象限,且顶点A ,D 分别在x 轴,y 轴的正半轴上(含原点O )滑动,则O B ң+O C ң的最大值是()㊂图3A.5 B .2 C .3 D .1031知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解:当A 与O 重合时,B (1,0),C (1,1),此时O B ң+O C ң=(2,1),所以|O B ң+O C ң|=5㊂当A 与O 不重合时,设øO A D =θ,0ɤθɤπ2㊂因为A D =1,所以O A =c o s θ,O D =s i n θ,所以点Bc o s θ+c o s π2-θ,s i nπ2-θ,C (s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң=(c o s θ+s i n θ,c o s θ),O C ң=(s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң+O C ң=(2s i n θ+c o s θ,s i n θ+2c o s θ),所以O B ң+O Cң=(2s i n θ+c o s θ)2+(s i n θ+2c o s θ)2=5+4s i n 2θ,所以当2θ=π2,即θ=π4时,O B ң+O C ң取得最大值3㊂综上可知,O B ң+O C ң的最大值为3㊂应选C ㊂若x 为三角形的内角,则y =si n x 在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减㊂策略四:利用向量共线例4 如图4,单位圆O :x 2+y 2=1上有两定点A (1,0),B (0,1)及两动点C ,D ,且O C ң㊃O D ң=12,则C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是( )㊂图4A.2+6B .2+23C .6-2D .23-2解:设A B 的中点为E ,C D 的中点为F ,则O A ң+O B ң=2O E ң,O C ң+O D ң=2O F ң㊂由O C ң㊃O D ң=12,可得O C ң㊃O D ңc o søC O D =c o s øC O D =12,所以øC O D =π3,所以әO C D 为等边三角形,所以O F =32㊂由题设可得,O E =22㊂C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң=O A ң-O Cң㊃O B ң-O C ң+O A ң-O D ң㊃O B ң-O D ң=2O A ң㊃O B ң+O C ң2+O D ң2-O A ң+O Bң㊃O C ң+O D ң =-4O E ң㊃O F ң+2㊂所以当O E ң,O F ң的方向相反时,-4O E ң㊃O F ң+2有最大值为-4O E ң㊃O Fңco s π+2=4ˑ22ˑ32+2=2+6,即C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是2+6㊂应选A ㊂向量共线,有方向相同和方向相反两种情况,方向相同时,其夹角为0ʎ;方向相反时,其夹角为180ʎ㊂平面向量a ,b 满足a =3b ,且a -b =4,则a 与a -b 夹角的正弦的最大值为㊂提示:如图5所示,设a =O A ң,b =O B ң,则a -b =B A ң㊂图5设b =m ,则a =3m ,m >0㊂由余弦定理得c o s øO A B =9m 2+16-m 224m =m3+23mȡ2m 3ˑ23m =223,当且仅当m =2时等号成立㊂因为<a ,a -b >=øO A B ɪ0,π2 ,所以当c o søO A B 最小时,s i nøO A B 最大㊂故a 与a -b 夹角的正弦的最大值为1-c o s 2øD A B =13㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面向量的最值问题研讨
平面向量的最值问题研讨平面向量的最值问题，看起来好像一大堆公式、符号堆砌出来的死板东西，其实它背后有着一种很有趣的“玩儿法”。
你想想，我们生活中的一切，都是通过一些力、方向、大小来相互作用的，不管是你手里拿着的手机，还是你坐的公交车，甚至是你走路的步伐，都可以用向量来描述。
向量，其实就是一个有大小和方向的东西，不多不少，正好符合我们生活中大多数“有量有力”的情况。
所以，平面向量的最值问题，咱们不妨想象成一种“最优解”的寻找：在给定的条件下，怎么才能找到最合适的那个值，让一切都尽可能完美。
咱们一开始可以从一个简单的例子聊起：你在平面上走来走去，忽然觉得走得有点累。
为什么呢？因为你没有找到最短的路径！你是不是也想过，咋不直接走直线呢？你看看，最短的路径就是你从一点到另一点的直线段，根本不需要绕弯路。
所以平面向量的最值问题，简单来说，就是如何在这些向量的组合和变化中找到“最短”或“最优”的方向和大小。
要不然，咱们在生活中可就得不停地绕圈子了。
这个最值问题其实特别贴合咱们的实际生活。
比如，想象你站在一个大广场的中心，四周有四个方向可以选择：东南西北。
你如果向北走，刚开始觉得离目的地好像不远，但慢慢地发现，根本不对劲，那个地方离北方远着呢。
于是你得调整方向。
可问题就在于，怎么知道该选择哪一个方向？怎么判断哪个方向能帮你走得最快，走得最远，或者说，走得最合适？这时候，向量就成了你最好的“导航仪”。
不信你看，假设你有两个向量，一个表示你从A点到B点的方向和距离，另一个表示你从B点到C点的方向和距离。
想要找出一个最优解——比如最快到达C点的路径，你就得对这两个向量进行组合。
组合的方式很多，可以是加法、减法、甚至是倍数的乘法。
看似很复杂，但其实它就是在试图找到那条“黄金路径”。
这种“黄金路径”就像咱们常说的“走一步看一步”，一步步通过数学计算，找到最合适的方向和速度。
最值问题往往不止一个解。
咱们可能会遇到一个“多解”的情况。
平面向量中的最值或范围问题
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所 以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为 。
6
6
2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所 以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因 为|
=
+
b|≤1,所 以 当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况 下,如 果 遇 到 的 问 题 适 合 建 立
2
+
3 s
i
n
π
2
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
解答平面向量最值问题的几个“妙招”
思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题，通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。
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平面向量中的最值问题浅析
耿素兰 山西平定二中（045200）
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中
,x y R ∈,则x y +的最大值是________.
分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13
(,
)22
B -，(cos ,sin )
C θθ。
,OC xOA yOB =+
13
(cos ,sin )(1,0)(,)22
x y θθ∴=+-即
cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪
⎨
⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3
π
θ≤≤。
因此，当3
πθ=
时，x y +取最大值2。
例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当
QA QB 取最小值时，求.OQ
分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ
解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--
图 1
2
2
(12)(52)(7)(1)520125(2)8
QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--
∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ =
二、利用向量的数量积n m n m
⋅≤⋅求最值
例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。
分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。
解：
,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-
2
22
()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-
当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。
三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解
例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。
分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。
解：由条件知1b =。
设a b c -=，则a =b c +，
c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。
所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。
四、利用几何意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅ （C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅
分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与
P
A
Q
B
C
图 2
图3
1i PP 在12PP
方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积。
显然，由图可知，13PP 在12PP 方向上的投影最大，故选（A ）。
例6、a b 与是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p 、q ∈R ），则pa qb +的最小值是
分析: 如图3，设,,OA a OB b OC ===pa qb +则(1)OC pOA p OB
=+-即
BC pBA = 因此点C 在直线AB 上，显然当OC ⊥AB 时，pa qb +最小，其最小值为12。
O A
图
4
C。