第三编概率论(上)

(3)P(AB) P(A)P(B | A) 3 1 3 5 2 10
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第 三 编
概 率 论
上
条件概率例题（续）
例9 解答题： 设P( A) 0.5, P( AB) 0.3,求P(B | A).
解： 由条件概率公式可知 P(B | A) P( AB) P( A)
由事件的关系可得 A AB AB
⑴ 频率 如果在不变的一组条件下（即同一试验），重复进行n次试验，事件A
发生的次数为nA，则称比值nA/n为事件A发生的频率。 ⑵ 频率的稳定性
当试验次数n很大时，随机事件A发生的频率总在某一常数p附近摆动， 并且一般说来，这种摆动的幅度会随着试验次数的增加而逐渐减少。 该性质称为频率的稳定性，p称为频率的稳定值。
极差：一组数据x1，x2，…，xn中的最大值减去最小值，即
R max{ xi } min{ xi } (1 i n)
称为x1，x2，…，xn的极差
x 变异系数：一组数据x1，x2，…，xn的标准差s与均值 之比，
称为该组数据的变异系数，记为CV，即
CV s x
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第 三 编
概 率 论
6
6
6
6
加权方差： S 2 1 (17 20)2 2 (18 20)2 2 (20 20)2 1 (27 20)2 11
6
6
6
6
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第 三 编
概 率 论
上
3．中位数、众数、极差和变异系数
中位数：把n个数据从小到大排列，当n为奇数时，位于中间的 数即为中位数；
当n为偶数时，位于中间的两个数的平均值就是中位数。 众数：一组数据中，出现次数最多的那个数即为众数。
概
则p（B）＝ 0.7 。
率
论
解： 此时A，B互为对立事件，
故P(B) P( A) 1 P( A) 1 0.3 0.7
上
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第 三 编
概 率 论
上
条件概率例题
例8： （ 课本P261练习7.5 2 ）盒中有5个乒乓球，其中3个新的、
2个旧的。每次取一球，连续无放回地取两次。求：
显然AB与AB互不相容 ,由加法公式得 : P( A) P( AB) P( AB)
由上式可得 P( AB) P( A) P( AB)
至此得 P(B | A) P( A) P( AB) 0.5 0.3 0.4
P( A)
0.5
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第 三 编
概 率 论
上
三、古典概率概率的性质
论
4、简单运算概率的加法公式和乘法公式， 5、 知道事件的包含、相等以及和、积、差，
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上
了解事件互不相容和对立事件等概念； 6、会解简单古典概型问题；
7、了解条件概率概念；理解事件独立概念。
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第 三 编
概 率 论
上
数据处理
总体与样本计算举例
一．总体与样本
1、 总体：所研究对象的全体。 2、 个体：组成总体的基本单 位。
第 三 编
概 率 论
上
2．加权平均数与加权方差
如果一组数据 x1，x2，，xn的权分别是 p1，p2，，pn，其中0 pi 1
n
且 pi 1，则这组数据的加权平均 数是 i 1
n
x p1x1 p2 x2 pn xn xi pi i 1
n
加权方差是 s2 pi (xi x)2 i 1 加权平均数与加权方差例题
解：
均值 x 1 (18 20 27 20 17 18) 20 6
方差 s 2 1 [(18 20)2 (20 20)2 (27 20)2 (20 20)2 6
(17 20)2 (18 20)2 ] 11 标准差 s 11 3.32
概 率 论
上
二．重要特征数（1）——平均数
1．均值、方差与标准差
一组数据x1，x2，…，xn的均值、方差与标准差分别为：
均值：x

1 n
( x1

x2

xn )

1 n
n i 1
xn
均值的两个性质：
n
n
n
① (xi x) 0，② (xi c)2 (xi x)2 (c为任意常数 )
求它们的面值之和恰是十元的概率。
解：从10张人民币中任取5张，总共有
150

10! 5!5!

252(个)
即基本事件总数n=252.
设A={5张面值之和是10元}， 则A={取到1张5元，1张2元，3张1元}
A包含的基本事件个数是 k 12 13 53 2 310 60
2．必然事件
在一定条件下必然发生的事件，称为必然事件，用U表示，例如，掷一枚骰子，
“点数不超过6”就是一个必然事件。
3．不可能事件
在一定条件下，不会发生的事件为不可能事件，用Φ表示。例如，掷一枚骰子， “点数为8”就是一个不可能事件。 4．随机事件的概率
度量随机事件A发生可能性大小的数量指标，称为事件A发生的概率，记为P(A)。
i 1
i 1
i 1
方差：s 2

1 n
n
(xi
i 1

x)2
标准差：s
1 n
n i 1
(xi

x)2
注：在方差的计算中，
还可使用简化公式： s 2

1 n
n i 1
xi 2
x2
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第 三 编
概 率 论
上
均值、方差与标准差计算举例
例2 设一组数据为18，20，27，20，17，18，求其均值、方差与标准差。
⑶ 概率的统计定义 频率的稳定值p称为随机事件A发生的概率，记为P(A)=p。 通过上面的动画演示，可以看出，抛掷一枚硬币，当抛掷次数较多时，
“正面向上”出现的频率总在1/2附近波动，且抛掷次数越多，就越接近于1/2 。
于是“正面向上”这一事件的概率就是1/2。设记A={正面向上}，则有 P(A)=1/2。
第
第三编 概率论（上）
三
编 第6章 数据处理
概 第7章 随机事件与概率
率 论 (上)
讲课 徐军 课时 约150分钟
第
教学要求
三
编
1、了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、 标准差、众数和中位数等概念，
概
2、掌握均值、加权平均数、方差、标准差、 众数和中位数的计算方法。
率 3、知道随机事件的概念，了解概率概念及性质；
于是变异系数为 CV s 3.32 0.17 x 20
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第 三 编
概 率 论
上
随机事件与概率
一、随机事件与概率
1．随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件，通常用
大写英文字母A、B、C…等表示。例如，抛掷一枚硬币，记A={正面向上}，则事件A就 是一个随机事件。
上
中位数、众数、极差和变异系数例题
例5 设一组数据为18，20，27，20，17，18，求其中位数、极差和变异系数。
解：把数据由小到大排列为：17，18，18，20，20，27。
中位数 1 (18 20) 19 2
极差R 27 17 10
x 因由例2已计算出该组数据的标准差S=3.32，均值 =20，
5、设任意事件A，B，有乘法公式：
P（AB）=P（A）P（B|A）
（P（A）≠0）
或 P（AB）=P（B）P（A|B）
（P（B）≠0）
6、如果事件A，B满足条件 P（AB）=P（A）P（B）
则称事件A，B相互独立
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第 三 编
概 率 论
上
概率计算例题
例 6 单项选择题
⒈设事件A与B互不相容，则有（ b ）。
3、事件的积
事件“A且B”称为事件A与事件B
的积事件，记作A·B或AB或 A B
U AB
U AB
U
A
B
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概 率 论
上
4、互不相容事件 如果事件A与B不可能同时发生， 称为事件A与事件B互不相容，或 称A、B为互斥事件。
有AB=φ
5、对立事件与事件的差 如果事件A、B满足AB=φ，且 A+B=U，称为事件A与事件B互为 对立事件。
显然，必然事件发生的可能性是百分之百，它的概率应是1；
不可能事件发生的可能性是0，它的概率应该也是0；
而任一事件A发生的可能性不会小于0，也不会大于百分之百，它的概率
应介于0与1之间。于是得到概率的如下性质：
① 0≦P(A)≦1
② P(U)=1，P(Φ)=0
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第 三 编
概 率 论
上
5．概率的统计定义
例3 单项选择题 1. 设一组数据x1=0, x2=1, x3=2，它们的权数分别为
p1 0.1 p2 0.6 p3 0.3
则这组数据的加权平均数是（A）.
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A. 1.2
B. 1 C. 0.4
D. 0.6
x 0 0.11 0.6 2 0.3 1.2 解：
故选A
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第 三 编
概 率 论
上
四、概率的有关计算公式
1、若A与B互不相容，即AB=φ，则 P（A+B）= P（A）+ P（B）
2、P（A）=1 - P（A）
3、对任意的事件A，B，有概率加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）- P（AB）