13平面向量数量积最值问题的求解策略教师版

平面向量数量积最值问题的求解策略
近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.
一、利用函数思想方法求解
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中
,x y R ∈,则x y +的最大值是________.
分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +
与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(2B -，(cos ,sin )C θθ。

,OC xOA yOB =+
1(cos ,sin )(1,0)(,22
x y θθ∴=+-即
cos 2sin y x θθ⎧-=⎪⎪
= cos 2sin()6x y πθθθ∴+==+2(0)3
π
θ≤≤。

因此，当3
πθ=
时，x y +取最大值2。

例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当
QA QB 取最小值时，求.OQ
分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ
解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--
图 1
2
2
(12)(52)(7)(1)520125(2)8
QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--
∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ =
二、利用向量的数量积n m n m
⋅≤⋅求最值
例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。

分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。

解：
,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-
2
22
()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-
当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。

三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解
例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。

分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。

解：由条件知1b =。

设a b c -=，则a =b c +，
c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。

所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。

四、利用几何意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅ （C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅
分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121
i PP PP 等于1
2PP 的长度与
图 2
图3
1i PP 在12PP
方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积。

显然，由图可知，13PP 在12PP 方向上的投影最大，故选（A ）。

例6、a b 与是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p 、q ∈R ），则pa qb +的最小值是
分析: 如图3，设,,OA a OB b OC ===p a q b +则(1)OC pOA p OB
=+-即
BC pBA = 因此点C 在直线AB 上，显然当OC ⊥AB 时，pa qb +最小，其最小值为12。

【经典例题赏析】
一、借助基本的向量运算降低问题难度
例1:(05年江苏高考试题)在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则
()OA OB OC ⋅+的最小值是__________.
分析:(如图)本题的突破口关键在于AM 为ABC ∆的中线,故易知
2OB OC OM +=,所以:()(2)2()OA OB OC OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅
从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题. 解:
AM 为ABC ∆的中线2OB OC OM ∴+=
()(2)2()2||||cos 2||||OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM π∴⋅+=⋅=⋅=⋅=-⋅
又2
2||||||||||(
)124
OA OM AM OA OM ++≤==()2OA OB OC ∴⋅+≥-
O
A
图4 C
例2:(04年湖北高考试题)在Rt ABC ∆中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.
分析:本题的突破口关键在于,,P A Q 三点共线,从而联想到把BP 和CQ
作如下的分解:12BP BA AP BA PQ =+=-, 1
2
CQ CA AQ CA PQ
=+=+分解之后,真可谓是海阔天空.211
()24
BP CQ BA CA PQ BA CA PQ ⋅=⋅+⋅--
故:222211
||||cos cos 22
BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ⋅=⋅-=-=-
解:11
()()()()22BP CQ BA AP CA AQ BA PQ CA PQ ⋅=+⋅+=-⋅+
221111
()||2424BP CQ BA CA PQ BA CA PQ BA CA PQ BC PQ ∴⋅=⋅+⋅--=⋅+⋅-
又,||2,||BA CA PQ a BC a ⊥==
222211
||||cos cos 22
BP CQ PQ BC a PQ BC a a a θθ∴⋅=
⋅-=-=- ∴当cos 1θ=,即0θ=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅取到最大值0.
二、建立直角坐标系降低问题门槛
对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.
例1:另解:以M 点为圆心,AM 所在直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系.
设(0,2),(,),(0,)A B x y O z ,则(,)C x y --
(0,2),(,),(,)OA z OB x y z OC x y z ∴=-=-=--- (0,2)OB OC z +=-(02)z ≤≤
2()(2)(2)2(1)2OA OB OC z z z ∴⋅+=--=--
故()OA OB OC ⋅+的最小值为2-
例2:另解:以A 点为原点,AB 边所在直线为x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设CAB α∠=,PQ 与AB 的夹角为β,则(cos ,0),(0,sin )B a C a αα
(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a Q a a ββββ--
(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-
2222222
cos cos cos sin sin sin [1cos()]
BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴⋅=---+=-++
∴当cos()1αβ+=-即αβπ+=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅的最大值为0
点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.
练习:如图,已知等边ABC ∆的边长为2,又以A 为圆心,半径为1作圆,PQ 是直径,试求BP CQ ⋅的最大值,并指明此时四边形BCQP 的形状.
答案:BP CQ ⋅的最大值为3,此时四边形BCQP 为矩形.。