平面向量的数量积教案;

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教材分析：
教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。

向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。

教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。

这些结论可以看成是定义的直接推论。

教材例一是对数量积含义的直接应用。

二、学情分析：
前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

三、三维目标：
(一)知识与技能
1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。

2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的
定义、性质进行运算。

(二)过程与方法
1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。

（三）情感态度价值观
1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。

2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
四、教学重难点：
1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证；
2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；
五、教具准备：多媒体、三角板
六、课时安排：1课时
七、教学过程：
（一）创设问题情景，引出新课
问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义
（二）新课：
1、探究一：数量积的概念 从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析：
问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？
答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F →,在数学中我们给它一个名字叫投影。

“投影”的概念：作图
定义：|→b |cos 叫做向
量→b 在→
a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
2、背景的第二次分析：
问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。

这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？
平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→
0与任何向量的数量积为0.
注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.
3、向量的数量积的几何意义：
数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积.
八、练习设计：
例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→
b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹
角θ=00，求→a ·→
b ； 解：由向量的数量积公式得：
①→a ·→b =|→a ||→
b |cos θ=8×6×cos O 60=8×6×21=24 ①→a ·→b =|→a ||→
b |cos θ=8×6×cos O 0=8×6×1=48 归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到：
性质（1） 当→a 与→b 同向时，→a ·→b = →→b a ；
练习2已知｜→a ｜＝1，｜→b ｜＝2，当→a 与→b 的夹角为090时，求→a ·→b 和→a ⋅→
a 解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得：
①→a ·→b =|→a ||→
b |cos θ=1×2×cos O 0=1×2×1=2
②→a ·→a =|→a ||→b |cos θ =1×1×cos O 0=1×1×1=1 归纳总结：⑵特别地→a ⋅→a 常记作2→a ，这时2→a = 2
→a ； ⑶→a ⊥→b ⇔ →a ·→b = 0 ；
练习4：
九、课堂小结：“1+3” 一个概念：数量积的定义→a ·→b = |→a ||→b |cos θ 三个性质：
1、当→a 与→b 同向时，→a ·→b = →→b a ；
2、特别地→a ⋅→a 常记作2→a ，这时2→a = 2→a ；
3、→a ⊥→b ⇔ →a ·→b = 0 ；
作业：
基础作业：
课本109页 练习A ，2，练习B ，1、2
课后思考：向量的数量积运算满足哪些运算律？
十、板书设计
十一、教学反思
;b 30b ,2b ,12a 10→
→→→→→•==a a ，求的夹角为与、已知;b 45b ,4b ,25a 20→→→→→→•==
a a 求的夹角为与、已知。