人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案
人教新课标版数学高一必修4导学案2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一平面向量数量积的定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作______，即____________规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义(1)条件：向量a与b的夹角为θ.(2)投影：(3)a ·b 的几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与________________________的乘积．知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定的？当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°，非零向量的数量积为负数．设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧，当a ，b 同向时， ，当a ，b 反向时. (3)a·a ＝____________或|a |＝____________.(4)cos θ＝____________.(5)|a ·b |______|a ||b |.【合作探究】类型一 平面向量数量积的含义例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．类型二 投影例2 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.类型三 平面向量数量积的性质例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－22．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.3．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．4．已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.5．已知向量x ＝a ＋b ，y ＝2a ＋b ，且|a |＝|b |＝1，a ⊥b .求|x |，|y |.【小结作业】小结：作业：本节限时练。
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案4平面向量的数量积4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ叫与的夹角.说明：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥；新知梳理：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ=，.并规定向量与任何向量的数量积为.思考感悟：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.向量的数量积写成•；符号“•”既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若，且，则b=0=0，不能推出=.因cos0.．“投影”的概念：作图：定义：||cos.思考感悟：=0投影为||=180||．向量的数量积的几何意义：||cos.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，==，==||2或； ||≤||||；cos= 平面向量数量积的运算律= ===+说明：一般地，≠•＝•＝对点练习．下列叙述不正确的是A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律c.向量的数量积满足结合律D. ．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为A.平行B.垂直c.夹角为D.不平行也不垂直已知|→|=，n →=，→•n →=9，则→,n →的夹角为A.150ºB.120ºc.60ºD.30º已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
【合作探究】典例精析：例1．证明：变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：•.|+|与|-|.例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案新人教版必修4
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．2.过程与能力目标通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．3.情感与态度目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.二、教学重、难点1.教学重点平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.2.教学难点平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.三、教学准备多媒体、彩色粉笔四、教学过程新课（一）创设情景，引入新课问题：如图所示，一辆小车，在力F 的作用下，产生位移S ，那么请问力F 在这个运动过程中所做的功？（1）力F 所做的功W ：W = （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量，θ是 .（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？（二）探究新知探究一:明晰向量数量积的定义1、 数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作b a ⋅规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅注意： “b a ⋅”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替.2、提出问题（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？（2）影响数量积大小的因素有哪些？ （3）学生讨论完成下表θ的范围 0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° a ·b 的与0的关系探究二:向量数量积的几何意义1、 给出“投影”定义师引导学生思考：（1）初中学过投影吗？（2）b 在a 方向上的投影应该怎么做？红色线段又表什么？（3）计算投影？作图：如图，我们把│b │cos θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，记做：OB 1=│b │cos θ2、 提出问题：向量数量积的几何意义是什么？数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cos θ 的乘积 探究三：探究数量积的运算性质1、（1）我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:b a b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ（2）我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos 由此我们就可以得出θ的值. 当0=⋅b a 时,︒=⇒=900cos θθ．总结（1）（2）知0=⋅⇔⊥b a b a .（3）特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅.（4）请判断的大小关系与b a b a ⋅．分析： 1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，b a b a b a ≤=⋅∴θcos ．这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。
导学案1：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
必修四第二章 平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示.2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量数量积的运算性质2、难点：平面向量数量积的运算性质知识要点．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特例：a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |[预习自测]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32归纳反思能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10. 3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或72。
2.4.1平面向量的数量积 导学案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。
2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。
2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。
2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。
3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。
【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。
【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。
2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。
4.b在a上的投影是。
5.数量积a b⋅的几何意义是。
6.零向量与任一向量的数量积等于。
7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。
A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其定义教案人教版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。
高中数学 241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计 新人教A版必修4 教案
年级
高一 单元 第二章
课题
理背景及其含义
主备
授课
个人修改
集体 备课 达成 目标
核心问题 平面向量数量积的物理背景及其几何意义，
教学 三维目标
1.知识与技能 （1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； （2）掌握平面向量数量积的性质与运算律； （3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角， （4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物 理背景，学习“投影”后，通过设置例 1 让学生练习计算数量积与投影，并引 导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意 义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置 分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。 3.情感态度与价值观
位向量，那么 a·b=
.
5.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
6.已知|a|=1，|b|= 2 ，(1)若 a∥b，求 a·b；(2)若 a、b 的夹角为６０°，求|a+b|；
(3)若 a-b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角. 必做作业：教材 108 页 2 题
三、课堂训练 基础练习：课本 106 页 1、2、(1,2 题进行口答) 综合测评：
解得 | b | 3 2 ，
出示达标测
试题
巡视了解
对照答案
纠错
⑴向量 a, b 的夹角为 60°，| a | 2,| b | 1, 则| a b | _______答案： 3
[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案241平面向量数量积的物理背景及含义.doc
![[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案241平面向量数量积的物理背景及含义.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/d951a590e45c3b3566ec8b1d.png)
2. 4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平而向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平而向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向暈垂貢的条件.教学重点：平回向量的数量积定义教学难点：平而向量数量积的定义及运算律的理解和平而向量数量积的应川教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：己知非零向量齐与'作0A = a 9 OB = b,则Z/ 0B= 0（ 0 W 乃）叫匂与b的夹角.说明：（1）〃 =0 时, 0 =兀时,(2)(3)(3)(4)JT〃=丝时,2注意在两向量的夹允定义，两向暈必须是同起点的•范围0。
£共180。
两向量共线的判定练习1•若沪(2, 3), 戻(4，T+y),且a// by则尸(C )A.6B.5C.7D.8A•-3 〃•一1 C. 1 D. 3B（l, 3）, CQ, 5）三点共线，则/的值为（B ）力做的功：W = |F|-|s|cos6, 0是尸与s的夹角.〃二、讲解新课：1.平而向量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角是（）, 则数量|a| \b\cos。
叫a与的数量积，记作a・b,艮睛a-b- \a\\b\ cosO, 0 W 0W乃）・并规定0向量为任何向量的数暈积为0.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为止？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号山cos。
的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积氷b,而"方是两个向屋的数量的积，书写时要严格区分.符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若麻0, Q. 5-Z F O,则H0；但是在数量积中，若曲0,且击0,不能推出E0.因为其中cosO有可能为0.(4)已知实数臼、b、c(/?^0),则ab=bc =>臼二c.但是a-b -方・c井如右图:a-b = | c?| | Z?| cosp = \b\ |0A|, b・c 二\ b\ \ c\cosa = | => a-b= b-c但日 H c(5)在实数中,W (a-Z?) c = a(b-c),但是(a-6) c h a(b-c)显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与臼共线的向量，而一般臼与c不共线.2.“投影”的概念：作图定X： 1*1 cosO叫做向量力在a方向上的投影•投影也是一个数量,不是向量;当e为锐角吋投影为正值；当e为钝角吋投影为负值；当&为直角吋投影为o；当e = o。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3FS，（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移α那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：αS量，①W（功）是量，F②（力）是（位移）是③S 量，。
④α是?）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗（3 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义数量积的定义：（1）??aabb b叫做，我们把数量cos已知两个非零向量︱︱与，它们的夹角为︱·︱?aaaabbbb，即：︱·︱·cos=与的数量积（或内积），记作：︱·︱）定义说明：（2ab?”代替。
①记法“”不可以省略，也不可以用“·”中间的“·②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小）提出问题4（3 的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不ab仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。
与）学生讨论，并完成下表：（4????°的范围°≤0°°≤0° <90< =90180 ab·的符aaaabbbb的夹角⊥，③与1 例：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②ab.·60°时，分别求是aabb同向，则它们的夹角θ解：①当与∥＝０°，时，若aabb｜·｜18｜∴cos0°＝3×6×1＝·；＝｜aｂθ＝180°，与反向，则它们的夹角若aabb｜｜｜cos180°＝3×6×（·-1）＝－＝｜18∴；ab⊥时，它们的夹角θ②当＝90°，ab∴·＝０；ab与③当60°时，有的夹角是1aabb9 ＝｜｜·｜cos60°＝3×6×＝｜2，因此，两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］评述：ab.180°两种可能∥时，有当0°或aaabbbb ttt的、，求使与|+变式：值，并求此时对于两个非零向量+|最小时的夹角。
探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：??ab如图，我们把│cos│cos）（││aabb在方向上）的投影，叫做向量方向上（在?b 记做：│︱=OB︱│cos12.提出问题：数量积的几何意义是什么？5aaaabb的方向上的投影期望学生回答：数量积在·等于的长度︱︱与?b。
的乘积 cos︱︱．3. 研究数量积的物理意义。
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积探究三：探究数量积的运算性质：1、提出问题6aabb·︱×︱︱的大小，你有什么结论？比较︱︱与︱、明晰：数量积的性质2都是非零向量，反向时同向时，︱︱；、与或特别地︱︱= ︱aabb︱︱×︱︱≤︱·、︱ 33.数量积的运算律：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适（、提出问题1）7用？预测：学生可能会提出以下猜想：aabb = ··①caacbb) (=·（②·）ccacabb··） =+·+ ③（）2 （、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：定相等吗？ac共线的向量，显然在期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量ac不共线的情况下猜测②是不正确的。
与向量向量、明晰：数量积的运算律：）3（cab已知向量、、和实数λ，则： = aaaaabbbbb=λ（（·)=λ·）（2）aabb°，求的夹角为=4, 、（师生共同完成）已知︱=6︱60，︱与︱例2aabb）-3）（·+2（，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？aaaaaabbbbbb.+2.-3-6.. -3）（（+2=）·解：4 4×4×6×0.5-6× =36-3×= -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律aaabbb222 )=(·++21变式：（）+aaabbb22）()=(+- )·2—（（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。
在下一节课我们一起来学习数量积那么，我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，的坐标运算。
模。
夹角。
这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用教师课后及时批阅本节的延伸拓并对本节课巩固提高。
设计意图：布置下节课的预习作业，展训练。
九、板书设计几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。
通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。
比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
．2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容： 1.平面向量数量积（内积）的定义：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别2.“投影”的概念：作图3． 4.向量的数量积的几何意义：．两个向量的数量积的性质：5abb. 同向的单位向量为两个非零向量，设e是与、bb e = e1?? =aabb = ? 2???aab. 是为两个非零向量，设e、与同向的单位向量aa?e = e?=aaaaaabbbb同向时，与当= ? = 当3?与反向时，?= 特别的?2aaa?||a? ||或= cos?4?aabb| ||| 5? |?| ≤三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标说出平面向量的数量积及其几何意义；1 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；3.学习重难点：。
平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结1、提出问题1 果是什么？：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按、提出问题22 照怎样的顺序研究了这种运算的？、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3 量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3FS，1（）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移W=所做的功：F那么力）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：（S（功）是量，①W量，（力）是②F③S（位移）是量，是α。
④? ）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗（3 2、明晰数量积的定义）数量积的定义：1（．??aabb叫做，我们把数量︱已知两个非零向量︱cos与︱·︱，它们的夹角为?aaaabbbb︱︱︱·︱与的数量积（或内积）·，记作：cos·=，即：2）定义说明：（ab?①记法“·”代替。
”中间的“·”不可以省略，也不可以用““规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
②：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小4（3）提出问题的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：????°0°=90°<180≤0的范围°≤ <90°ab·的符aaaabbbb的夹角｜＝３，｜⊥｜＝６，当①与∥，②：已知｜例1 ，③ab.60°时，分别求·是解：变式：aaabbbb的夹角.值，并求此时最小时的| . 对于两个非零向量、，求使+t|t与+t探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：??ab cos（│cos）如图，我们把│││aabb在在方向上（叫做向量方向上）的投影，?b│︱记做：OB=︱│cos1提出问题5：数量积的几何意义是什么？2.3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质aabb︱×︱·6︱的大小，你有什么结论？：比较︱︱与︱1、提出问题、明晰：数量积的性质23.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2）、明晰：数量积的运算律：cab、、和实数λ，则：已知向量= aaaaabbbbb）（)=λ（2）（λ·）·）（1=·λ（··caccabb··+ ）·+=（3）（aabb°，求，︱︱的夹角为=6=4, 60、例2与（师生共同完成）已知︱︱aabb+2，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？）·（（）-3 解：aaabbb变式：222·1（）+2(++)=aaabbb22—(-)=+ )·）（2(（三）反思总结四)当堂检测(o aaabbb·，求与|=5，的夹角||=4，θ=120 . 1 .已知|o aaaabbbb) ((+2| |=6，||=4-3，60与的夹角为)·求已知2..aaaabbbb +k互相垂直与. -k，，3 .已知||=3 ||=4 且与不共线，k为何值时，向量aaaabbbb时，分60°的夹角是与，③⊥，②∥｜＝６，当①｜＝３，｜已知｜4.ab·. 别求aaaaabbbbb2；|，求5.°已知∥|+|=1，|，求||=·；(2)若，(1)、若的夹角为６０aaabb. 与的夹角(3)与若垂直，求-ab. nm6.设、n-3是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量+=2mnm与的夹角=2课后练习与提高aaaabbb2 ( -的夹角是（) 与||=1，|垂直，则|= ，且）与已知1. ４５° A.60°B.30° C.135° D.?aaabbb与之间的夹角为），那么向量m，| |=1=，-42.已知|的模为（|=233D.12A.2B.2C.6aaaabbbb +)与）( 3.已知-、是非零向量，则)|垂直的（|=||是( A.充分但不必要条件必要但不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 D.C.充要条件?aaaabbbb. |= 4.已知向量-、的夹角为，||=2，||=1，则| + |·|3aabb轴正方向上的单位+16jyx轴、是直角坐标系中，其中5.已知i+-8=2i、j，j-=-8i ab·. 向量，那么= aaaabbbb２______.＝-c)，c，|已知6.与⊥、c60°、的夹角均为，且|=1，||=2||=3则(+2。